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【KS5U解析】河北省保定市2016届高三上学期期末数学试卷(理科)

时间:2018-03-26

2015-2016 学年河北省保定市高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.集合 A={x|(1+x) (1﹣x)>0},B={x|y= },则 A∩B=( c ) A. B. (﹣1,1) (0,1) C.[0,1) D. (﹣1,0] 2.复数 z= A.1 B.2 的实部与虚部相等,则实数 a=( d ) C. D.﹣1

3.“m≥0”是“直线 mx﹣y+1﹣m=0 与圆(x﹣1)2+y2=1 相切”的( b ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设 m、n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则(c ) A.若 m⊥n,n∥α,则 m⊥α B.若 m∥β,β⊥α,则 m⊥α C.若 m⊥β,n⊥β,n⊥α,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥β,β⊥α,则 m⊥α 5.如图,程序框图所进行的求和运算是( a)

A. C.

B. D. )图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移

6.将函数 f(x)=sin(4x+

个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,则 y=g(x)图象的一条对称轴是直线( c ) A.x= B.x= C.x= D.x=

7.下列四个判断: ①某校高三一班和高三二班的人数分别是 m,n,某次测试数学平均分分别是 a,b,则这两 个班的数学的平均分为 ;

②10 名工人某天生产同一种零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14, 12,设其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有 c>a>b; ③设从总体中抽取的样本为(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) ,若记 = yi,则回归直线方程 =bx+a 必过点( , ) ; xi, =

④已知 ξ 服从正态分布 N(0,σ2) ,且 P(﹣2≤ξ≤0)=0.4,则 P(ξ>2)=0.2. 其中正确判断的个数有( b) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 8.已知抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M(1,m) (m>0)到其焦点的距离为 5,双曲线 x2 ﹣ay2=a 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 等于( a ) A. B. C. D. ﹣ =﹣2,则 S2016=( c )

9.等差数列{an}中,a1=2016,前 n 项和为 Sn,若 A.2014 B.2015 C.2016 D.2017 10.已知 + + = ,且 与 ( d ) A. B. C.﹣1 D.﹣ 的夹角为 ,| |=

| |,设 , 的夹角为 θ,则 tanθ=

11.已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=

+3loga

(﹣ ≤x≤ ) ,设函数 f(x)

的最大值是 A,最小值是 B,则(b ) A.A﹣B=4 B.A+B=4 C.A﹣B=6 D.A+B=6 12.函数 f(x)= ﹣k 在(0,+∞)上有两个不同的零点 a,b(a<b) ,则

d) 下面结论正确的是( A.sina=acosb B.sinb=﹣bsina C.cosa=bsinb

D.sina=﹣acosb

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.一个几何体的三视如图所示,其中正视图和俯视图均为腰长为 2 的等腰直角三角形,则 用___3____个这样的几何体可以拼成一个棱长为 2 的正方体.

14.若 a=

cosxdx,则( + +

)4 的展开式中常数项为___23/2.

15.设函数

,D 是由 x 轴和曲线 y=f(x)及该曲线在点(1,0)

处的切线所围成的封闭区域,则 z=x﹣2y 在 D 上的最大值为___2____. 16.已知 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3) ,g(x)=2x﹣2,若同时满足条件: ①? x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ②? x∈(﹣∞,﹣4) ,f(x)g(x)<0. 则 m 的取值范围是___(-4,-2)____. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若向量 =( =(cosB, cosA) , ? = +cos(A+B) . (1)求∠C; (2)若 c=3,b= a,求△ABC 的面积 S. 18.已知数列{an},{bn},其中 a1=1,an= (1)求证:数列{bn﹣ }是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前 n 项和 Sn. 19.某校为了在竞争中更好的发展,校领导专门聘请省内外专家组成“学校建设和发展”专家 顾问委员会,项专家接脑、帮助学校制定未来五年发展规划,并召开了座谈会,问需于民, 问计与民,广泛征询专家,普通老师和同学们对学校发展的意见和建议,此次座谈会共邀请 了 50 名代表参加,他们分别是专家 20 人,普通教师 15 人,学生 15 人,现从 50 名代表中 随机选出 3 名做典型发言. (1)求选出的 3 名代表中,专家比普通教师多一人的概率; (2)若记选出的 3 名代表中专家的人数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 20. AB⊥BC, BC=2AB=1, PC= 在三棱锥 P﹣ABC 中, 平面 PAB⊥平面 ABC, (1)求证:BC⊥PB; (2)求二面角 A﹣PC﹣B 的大小. , ∠PBA= . + , = ﹣

sinA,sinB) ,

(n∈N*) .

21.已知抛物线 C1:y2=2x 与椭圆 C2:

+

=1 在第一象限交于点 A,直线 y=

x+m

与椭圆 C2 交于 B、D 两点,且 A,B,D 三点两两互不重合. (1)求 m 的取值范围;

(2)△ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由? (3)求证:直线 AB、AD 的斜率之和为定值. 22.已知函数 f(x)=axlnx﹣x+1(a≥0) . (1)当 a=1 时,求 f(x)的最小值; (2)若 x∈(1,+∞) ,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:当 m>n>1 时,mn﹣1<nm﹣1.

2015-2016 学年河北省保定市高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.集合 A={x|(1+x) (1﹣x)>0},B={x|y= },则 A∩B=( ) A. B. (﹣1,1) (0,1) C.[0,1) D. (﹣1,0] 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,求出 B 中 x 的范围确定出 B,找出两集合的交 集即可. 【解答】解:由 A 中不等式解得:﹣1<x<1,即 A=(﹣1,1) , 由 B 中 y= ,得到 x≥0,即 B=[0,+∞) , 则 A∩B=[0,1) , 故选:C.

2.复数 z= A.1 B.2

的实部与虚部相等,则实数 a=( C. D.﹣1



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,然后由实部与虚部相等列式求得 a 值. 【解答】解:∵z= ∴ 故选:D. 3.“m≥0”是“直线 mx﹣y+1﹣m=0 与圆(x﹣1)2+y2=1 相切”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ) = 的实部和虚部相等,

,即 a+6=3﹣2a,解得:a=﹣1.

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】直线 mx﹣y+1﹣m=0 过点(1,1) ,利用直线 mx﹣y+1﹣m=0 与圆(x﹣1)2+y2=1 相切,可得 m=0,即可得出结论. 【解答】解:直线 mx﹣y+1﹣m=0 过点(1,1) ∵直线 mx﹣y+1﹣m=0 与圆(x﹣1)2+y2=1 相切, ∴m=0, ∴“m≥0”是“直线 mx﹣y+1﹣m=0 与圆(x﹣1)2+y2=1 相切”的必要不充分条件, 故选:B. 4.设 m、n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则( A.若 m⊥n,n∥α,则 m⊥α B.若 m∥β,β⊥α,则 m⊥α )

C.若 m⊥β,n⊥β,n⊥α,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥β,β⊥α,则 m⊥α 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】根据空间线线,线面,面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论. 【解答】解:A.若 m⊥n,n∥α,则 m⊥α 或 m? α 或 m∥α,故 A 错误. B.若 m∥β,β⊥α,则 m⊥α 或 m? α 或 m∥α,故 B 错误. C.若 m⊥β,n⊥β,n⊥α,则 m⊥α,正确. D.若 m⊥n,n⊥β,β⊥α,则 m⊥α 或 m? α 或 m∥α,故 D 错误. 故选:C 5.如图,程序框图所进行的求和运算是( )

A. C.

B. D.

【考点】程序框图;数列的求和. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算变量 S 值,分析循环变量的初值(由 n=2 决定) 、终值(由 n<21 决定) 、 及步长(由 n=n+2 决定)我们易得到结论. 【解答】解:由 n=2 知循环变量的初值为 2 由 n<21 得循环变量的终值为 20 由 n=n+2 得循环变量步长为 2 又由 S=S+ , 则 S= 故选:A. ,

6.将函数 f(x)=sin(4x+

)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移 )

个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,则 y=g(x)图象的一条对称轴是直线(

A.x=

B.x=

C.x=

D.x=

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】由题意根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,得 出结论. 【解答】解:将函数 f(x)=sin(4x+ y=sin(2x+ 再向右平移 图象. 令 x= ,求得 g(x)=1,为函数 g(x)的最大值, , )的图象, 个单位长度,得到函数 y=g(x)=sin[2(x﹣ )+ ]=sin(2x﹣ )的 )图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,可得

则 y=g(x)图象的一条对称轴是直线 x= 故选:C.

7.下列四个判断: ①某校高三一班和高三二班的人数分别是 m,n,某次测试数学平均分分别是 a,b,则这两 个班的数学的平均分为 ;

②10 名工人某天生产同一种零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14, 12,设其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有 c>a>b; ③设从总体中抽取的样本为(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) ,若记 = yi,则回归直线方程 =bx+a 必过点( , ) ; xi, =

④已知 ξ 服从正态分布 N(0,σ2) ,且 P(﹣2≤ξ≤0)=0.4,则 P(ξ>2)=0.2. 其中正确判断的个数有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①利用平均数的定义可得:两个班的数学的平均分为 ,即可判断出正误;

②利用的定义可得:平均数为 a=14.7,中位数为 b=15,众数为 c=17,即可判断出正误; ③利用回归直线方程的性质可得:谢谢回归方程可得:必过点( , ) ; ④利用正态分布的对称性可得. 【解答】解:①某校高三一班和高三二班的人数分别是 m,n,某次测试数学平均分分别是 a,b,则这两个班的数学的平均分为 ,因此不正确;

②10 名工人某天生产同一种零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14, 12,则其平均数为 a= c=17,则有 c>b>a,因此不正确; ③设从总体中抽取的样本为(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) ,若记 = yi,则回归直线方程 =bx+a 必过点( , ) ,正确; xi, = =14.7,中位数为 b=15,众数为

=0.4, = ④已知 ξ 服从正态分布 N σ2) (0, , 且P (﹣2≤ξ≤0) 则P (ξ>2) =0.1,因此不正确. 其中正确判断的个数有 1 个. 故选:B. 8.已知抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M(1,m) (m>0)到其焦点的距离为 5,双曲线 x2 ﹣ay2=a 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a 等于( ) A. B. C. D.

【考点】抛物线的简单性质. 4) 【分析】 求得抛物线的焦点和准线方程, 运用抛物线的定义, 可得 p=8, 进而求得 M (1, , 求出双曲线的左顶点和渐近线方程,由两直线平行的条件,解方程即可得到 a 的值. 【解答】解:抛物线 y2=2px 的焦点 F 为( ,0) ,准线方程为 x=﹣ , 由抛物线的定义可得|MF|=1+ =5,解得 p=8, 可得抛物线的方程为 y2=16x,M(1,4) , 2 2 双曲线 x ﹣ay =a 的左顶点为 A(﹣ ,0) , 直线 AM 的斜率为 , x,

又双曲线的渐近线方程为 y= 由题意可得, 解得 a= , 故选 A. = ,

9.等差数列{an}中,a1=2016,前 n 项和为 Sn,若



=﹣2,则 S2016=(



A.2014 B.2015 C.2016 D.2017 【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】由题意可得公差 d 的方程,解得 d 值代入求和公式计算可得. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d,





=



=﹣2,

所以 d=﹣2,又 a1=2016, 故 S2016=2016a1+ 故选:C. ×(﹣2)=2016,

10. 已知 + + = , 且 与 的夹角为 A. B. C.﹣1 D.﹣

, | |=

| |, 设 , 的夹角为 θ, 则 tanθ= (



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】作出图形,将问题转化为解三角形问题. 【解答】解:如图,设 四边形 OADB, 则 = =﹣ ,∠ODB=∠AOD= .BD=OA,OB= OA. = , = , ,则∠COA= ,以 OA,OB 为邻边作平行

在△OBD 中,由正弦定理得:

,∴

=



解得 sin∠BOD= ,∴∠BOD= 故选:D.

.∴θ=∠BOD+∠AOD=

=

.∴tanθ=﹣



11.已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=

+3loga

(﹣ ≤x≤ ) ,设函数 f(x)

的最大值是 A,最小值是 B,则( ) A.A﹣B=4 B.A+B=4 C.A﹣B=6 D.A+B=6 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】讨论 0<a<1 和 a>1,判断函数 f(x)的单调性,结合指数函数和对数函数的运 算法则进行化简即可. 【解答】解:f(x)= +3loga = +3loga

=3﹣

+3loga(﹣1﹣

) , )在﹣ ≤x≤ 上为增函数,

若 a>1,则﹣

为增函数,3loga(﹣1﹣

即 f(x)在﹣ ≤x≤ 上为增函数, 此时函数的最大值 A=f( ) ,最小值 B=f(﹣ ) , 若 0<a<1,则﹣ 为减函数,3loga(﹣1﹣ )在﹣ ≤x≤ 上为减函数,

即 f(x)在﹣ ≤x≤ 上为减函数, 此时函数的最大值 A=f(﹣ ) ,最小值 B=f( ) ,

则 A+B=f(﹣ )+f( )=

+3loga

+

+3loga

=

+

+3loga +3loga3

=

+3loga1

=4+0=4, 故选:B

12.函数 f(x)=

﹣k 在(0,+∞)上有两个不同的零点 a,b(a<b) ,则

下面结论正确的是( ) A.sina=acosb B.sinb=﹣bsina C.cosa=bsinb D.sina=﹣acosb 【考点】根的存在性及根的个数判断;函数零点的判定定理. 【分析】化简 f(x) ,得方程 有两个根,即函数 y=|sinx|和函数 y=kx 在(0,+∞)

上有两个交点,画出函数图象,利用导数求切线即可. 【解答】解:f(x)= ﹣k= ,

∵f(x)=

﹣k 在(0,+∞)上有两个不同的零点 a,b(a<b) ,

∴f(x)=

﹣k=0 在(0,+∞)上有两个不同的根 a,b(a<b) ,

即|sinx|=kx 有两个根, ∴函数 y=|sinx|和函数 y=kx 在(0,+∞)上有两个交点,x>0 且 k>0,画出两个函数的图 象, 则函数 y=|sinx|和函数 y=kx 在(0,π)上有一个交点 A(a,sina) ,在(π,2π)上有一个 切点 B(b,﹣sinb)时满足题意, a,b 是方程的根. 当 x∈(π,2π)时,f(x)=|sinx|=﹣sinx,f′(x)=﹣cosx, ∴在 B 处的切线为 y+sinb=f′(b) (x﹣b) ,将 x=0,y=0 代入方程,得 sinb=﹣b×(﹣cosb) , ∴ =cosb,

∵O,A B 三点共线, ∴ ∴ = ,

=﹣cosb,

∴sina=﹣acosb. 故选:D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.一个几何体的三视如图所示,其中正视图和俯视图均为腰长为 2 的等腰直角三角形,则 用 3 个这样的几何体可以拼成一个棱长为 2 的正方体.

【考点】由三视图还原实物图. 【分析】由三视图可知,几何体为底面是正方形的四棱锥,再根据公式求解即可. 【解答】解:由三视图可知,几何体为底面是正方形的四棱锥, 所以 V= ×2×2×2= , 由于边长为 2 的正方体 V=8,所以用 3 个这样的几何体可以拼成一个棱长为 2 的正方体.

故答案为:3.

14.若 a=

cosxdx,则( + +

)4 的展开式中常数项为



【考点】定积分. 【分析】求定积分可得 a 值,由二项式的知识可得. 【解答】解:求定积分可得 a= )4=( + + )4, ? ? ( )2+ ( )4= +6+4= cosxdx=sinx =2,

∴( + +

故展开式中的常数项为 故答案为:

?( )2?( )2+

15.设函数

,D 是由 x 轴和曲线 y=f(x)及该曲线在点(1,0)

处的切线所围成的封闭区域,则 z=x﹣2y 在 D 上的最大值为 2 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;简单线性规划. 【分析】先求出曲线在点(1,0)处的切线,然后画出区域 D,利用线性规划的方法求出目 标函数 z 的最大值即可. 【解答】解:当 x>0 时,f′(x)= , 则 f′(1)=1,所以曲线 y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线为 y=x﹣1, D 是由 x 轴和曲线 y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域如下图阴影 部分.

z=x﹣2y 可变形成 y= x﹣ ,当直线 y= x﹣ 过点 A(0,﹣1)时,截距最小,此时 z 最大.最大值为 2. 故答案为:2. 16.已知 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3) ,g(x)=2x﹣2,若同时满足条件: ①? x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0;

②? x∈(﹣∞,﹣4) ,f(x)g(x)<0. 则 m 的取值范围是 (﹣4,﹣2) . 【考点】全称命题;二次函数的性质;指数函数综合题. 【分析】①由于 g(x)=2x﹣2≥0 时,x≥1,根据题意有 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3)< 0 在 x>1 时成立,根据二次函数的性质可求 ②由于 x∈(﹣∞,﹣4) ,f(x)g(x)<0,而 g(x)=2x﹣2<0,则 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3)>0 在 x∈(﹣∞,﹣4)时成立,结合二次函数的性质可求 【解答】解:对于①∵g(x)=2x﹣2,当 x<1 时,g(x)<0, 又∵①? x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0 ∴f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3)<0 在 x≥1 时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下,且二次函数与 x 轴交点都在(1,0)的左面



∴﹣4<m<0 即①成立的范围为﹣4<m<0 又∵②x∈(﹣∞,﹣4) ,f(x)g(x)<0 x ∴此时 g(x)=2 ﹣2<0 恒成立 ∴f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3)>0 在 x∈(﹣∞,﹣4)有成立的可能,则只要﹣4 比 x1, x2 中的较小的根大即可, (i)当﹣1<m<0 时,较小的根为﹣m﹣3,﹣m﹣3<﹣4 不成立, (ii)当 m=﹣1 时,两个根同为﹣2>﹣4,不成立, (iii)当﹣4<m<﹣1 时,较小的根为 2m,2m<﹣4 即 m<﹣2 成立. 综上可得①②成立时﹣4<m<﹣2. 故答案为: (﹣4,﹣2) .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若向量 =( =(cosB, cosA) , ? = +cos(A+B) . (1)求∠C; (2)若 c=3,b= a,求△ABC 的面积 S. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (1)由条件利用两个向量的数量积的公式求得 sin(C+ (2)由条件利用余弦定理求得 a 的值,可得△ABC 的面积 S.

sinA,sinB) ,

)的值,可得 C 的值.

【解答】解: (1)由题意可得 , ∴ (2)当 求得 a=3,∴ 当 时,由勾股定理得 a= ,∴ ,∴ 或 . a,由余弦定理得 c2=a2+b2﹣2ab?cosC, , ,

,∴

时,根据 c=3,b=

18.已知数列{an},{bn},其中 a1=1,an= (1)求证:数列{bn﹣ }是等比数列;

+ ,

=



(n∈N*) .

(2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前 n 项和 Sn. 【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【分析】 (1)由已知得 q=2 的等比数列. (2) 由{ }是首项为 , 公比 q=2 的等比数列, 得 , 从而 , ,由此能证明{ }是首项为 ,公比

由此能求出数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前 n 项和 Sn. 【解答】 (1)证明:∵ ∴ 又 ∴{ ≠0, }是首项为 ,公比 q=2 的等比数列. = , , ,即 ,

(2)解:由(1)知 bn﹣ = ∴ ∵ ,n≥1, ,∴ ,

∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn =

=



19.某校为了在竞争中更好的发展,校领导专门聘请省内外专家组成“学校建设和发展”专家 顾问委员会,项专家接脑、帮助学校制定未来五年发展规划,并召开了座谈会,问需于民, 问计与民,广泛征询专家,普通老师和同学们对学校发展的意见和建议,此次座谈会共邀请 了 50 名代表参加,他们分别是专家 20 人,普通教师 15 人,学生 15 人,现从 50 名代表中 随机选出 3 名做典型发言. (1)求选出的 3 名代表中,专家比普通教师多一人的概率; (2)若记选出的 3 名代表中专家的人数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1)利用互斥事件概率加法公式能求出选出的 3 名代表中,专家比普通教师多一人 的概率. (2)由题意 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量 ξ 的 分布列和 Eξ. 【解答】解: (1)∵座谈会共邀请了 50 名代表参加,他们分别是专家 20 人,普通教师 15 人,学生 15 人,现从 50 名代表中随机选出 3 名做典型发言, ∴选出的 3 名代表中,专家比普通教师多一人的概率: . (2)由题意 ξ 的可能取值为 0,1,2,3, 又 ,





, ∴随机变量 ξ 的分布列是 ξ 0 1 P ∴Eξ= = .

2

3

20. AB⊥BC, BC=2AB=1, PC= 在三棱锥 P﹣ABC 中, 平面 PAB⊥平面 ABC, (1)求证:BC⊥PB; (2)求二面角 A﹣PC﹣B 的大小.

, ∠PBA=



【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】 (1)由已知推导出 BC⊥平面 PAB,由此能证明 BC⊥PB. (2)法一:以 B 为原点,BC 为 x 轴,BA 为 y 轴,过 B 作垂直于平面 ABC 的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角 A﹣PC﹣B 的大小. 法二:作 PQ⊥直线 AB 于 Q,则 PO⊥平面 ABC,作 AE⊥PB 于 E,则 AE⊥平面 PBC,∠ AFE 就是二面角 A﹣PC﹣B 的平面角,由此能求出二面角 A﹣PC﹣B 的大小. 【解答】证明: (1)∵平面 PAB⊥平面 ABC,且 AB⊥BC, ∴BC⊥平面 PAB, ∴BC⊥PB. (2)解法一:如图,以 B 为原点,BC 为 x 轴,BA 为 y 轴,过 B 作垂直于平面 ABC 的直 线为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 ,

∵平面 PAB⊥平面 ABC,∴点 P 在坐标平面 yBz 内, ∵PC= ,BC=1,BC⊥PB,∴ , 作 PQ 垂直于直线 AB 于 Q, 则 ∴P(0,1,1) , 设平面 PBC 的法向量为 , , ,QB=1, , ,



,取 y=1,得



设平面 PAC 的法向量 =(0,﹣ ,﹣1) ,

=(a.b.c) , =(1,﹣1,﹣1) ,



,取 a=1,得





=

=



由图知,二面角 A﹣PC﹣B 是锐二面角,

∴二面角 A﹣PC﹣B 的大小是



解: (2)解法二:作 PQ⊥直线 AB 于 Q,则 PQ⊥平面 ABC, ∵ , ,PO=BO=1,

如图,作 AE⊥PB 于 E,则 AE⊥平面 PBC, ∴AE⊥PC,取 PC 中点 F,连接 AF,EF, ∵AO=AB= ,PO=BC=1, ∴ ,∴AF⊥PC,∴PC⊥平面 AEF,

∴PC⊥EF,∴∠AFE 就是二面角 A﹣PC﹣B 的平面角. , ∴ , , . ,

∴二面角 A﹣PC﹣B 的大小是

21.已知抛物线 C1:y2=2x 与椭圆 C2:

+

=1 在第一象限交于点 A,直线 y=

x+m

与椭圆 C2 交于 B、D 两点,且 A,B,D 三点两两互不重合. (1)求 m 的取值范围; (2)△ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由? (3)求证:直线 AB、AD 的斜率之和为定值. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)联立方程中先求出 A 点坐标,联立方程组 ,由此利用根的判别式能求出 m 的取值范围.

(2)利用椭圆弦长公式和点到直线的距离公式能求出当 m=±2 时,△ABD 的面积最大, 最大值为 . (3)设直线 AB、AD 的斜率分别为:kAB、kAD,推导出 kAB+kAD=0,由此能证明直线 AB、 AD 的斜率之和为定值 0. 【解答】解: (1)∵抛物线 C1:y2=2x 与椭圆 C2: + =1 在第一象限交于点 A,

∴由

,得 A 点坐标为



联立方程组 ∵A、B、D 三点两两互不重合, ∴△=﹣8m2+64>0,∴ ∴m 的取值范围是 (2)设 B(x1,y1) ,D(x2,y2) , ∵|BD|= |x1﹣x2|= , 的距离,则 .



,且 m≠0, . ①

设 d 为点 A 到直线 BD ∴

,当且仅当 m=±2 时取等号.

∵±2∈(﹣2 ,0)∪(0,2 ) , ∴当 m=±2 时,△ABD 的面积最大,最大值为 . (3)证明:设直线 AB、AD 的斜率分别为:kAB、kAD, 则 将①代入上式整理得 kAB+kAD=0, ∴直线 AB、AD 的斜率之和为定值 0. 22.已知函数 f(x)=axlnx﹣x+1(a≥0) . (1)当 a=1 时,求 f(x)的最小值; (2)若 x∈(1,+∞) ,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:当 m>n>1 时,mn﹣1<nm﹣1. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的最小值即可; (2)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间,从而求出满足条件的 a 的范围即可; ,

(3)问题转化为

,设 g(x)=

, (x>1) ,根据函数的单调性证出 g(m)

<g(n) ,从而证出结论. 【解答】解: (1)f(x)的定义域为(0,+∞) , 当 a=1 时,f(x)=xlnx﹣x+1,f′(x)=lnx, 令 f′(x)>0,则 x>1;令 f′(x)<0,则 x<1, ∴f(x)在(0,1)单调递减, (1,+∞)单调递增, ∴f(x)min=f(1)=0; (2)f′(x)=alnx+a﹣1, (x>1) , ①a=0 时,f′(x)=﹣1<0,f(x)在(1,+∞)单调递减, f(x)<f(1)=0 恒成立与已知相矛盾, ②当 a>0 时,由 由 ∴f(x)的单调减区间是 当 , ,单调增区间是 . ,

,即 a≥1 时,f(x)在(1,+∞)单调递增,

f(x)>f(1)=0 恒成立. 当 f(x)在 存在 ,即 0<a<1 时, 单调递减,在 ,与已知相矛盾, 单调递增,

综上:实数 a 的取值范围是[1,+∞) . (3)证明:∵m>n>1,∴要证:mn﹣1<nm﹣1, 只需证(n﹣1)lnm<(m﹣1)lnn, 只需证: .

设 g(x)=

, (x>1) ,则



由(1)知当 a=1 时,f(x)=xlnx﹣x+1>f(1)=0, ∴x﹣1﹣xlnx<0,∴g'(x)<0, ∴g(x)在(1,+∞)上是减函数, 而 m>n,∴g(m)<g(n) , 故原不等式成立.

2016 年 9 月 12 日


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