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2017届高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语平面向量复数算法合情推理不等式4不等式及线性规划课件文

时间:2017-03-26


类型一
类型二 类型三 类型四 限时速解训练 综合提升训练

必考点四

不等式及线性规划

[高考预测]——运筹帷幄 1.根据不等式性质判断不等式成立,求解不等式. 2.利用基本不等式求解最值问题. 3.根据简单的线性规划求目标函数最值和字母参数.

[速解必备]——决胜千里 1.(1)若 ax2+bx+c=0 有两个不等实根 x1 和 x2(x1<x2) ax2+bx+c>0(a>0)的解为{x|x>x2,或 x<x1} ax2+bx+c<0(a>0)的解为{x|x1<x<x2}
? ?a>0, 2 (2)ax +bx+c>0(a≠0)恒成立的条件是? ? ?Δ<0. ? ?a<0, 2 (3)ax +bx+c<0(a≠0)恒成立的条件是? ? ?Δ<0.

?a+b? ?2 2.(1)ab≤? ? 2 ? (a,b∈R). ? ?

(2)

a2+b2 a+b 2ab ≥ ≥ ab≥ (a>0,b>0). 2 2 a+b

(3)不等关系的倒数性质
? ?a>b ? ? ?ab>0

1 1 ?a<b.

(4)真分数的变化性质 n n+c 若 0<n<m,c>0,则 < . m m+c

b b (5)形如 y=ax+x (a>0,b>0),x∈(0,+∞)取最小值时,ax=x ?x = b a,即“对号函数”单调变化的分界点.
?P ? 的最大值为? 2 ?2; ? ?

(6)a>0,b>0,若 a+b=P,当且仅当 a=b 时,ab

若 ab=S,当且仅当 a=b 时,a+b 的最小值为 2 S. 3.不等式 y>kx+b 表示直线 y=kx+b 上方的区域;y<kx+b 表示 直线 y=kx+b 下方的区域.

[速解方略]——不拘一格 类型一 不等式性质及解不等式 [例 1]
? ?x?x+2?>0, (1)不等式组? ? ?|x|<1

的解集为( C ) B.{x|-1<x<0} D.{x|x>1}

A.{x|-2<x<-1} C.{x|0<x<1}

解析:基本法:由 x(x+2)>0 得 x>0 或 x<-2;由|x|<1 得-1 <x<1,所以不等式组的解集为{x|0<x<1},故选 C. 速解法:A、D 显然不适合|x|<1,而 C 中有 x>0,显然适合 x(x +2)>0,故选 C.

答案:C

方略点评:基本法是解不等式组的通法;速解法是根据答案选项 特征,观察使两个不等式同时成立.

1 (2)设函数 f(x)=ln(1+|x|)- ,则使得 f(x)>f(2x-1)成立的 x 1+x2 的取值范围是( A )
?1 ? A.?3,1? ? ? ? 1 1? C.?-3,3? ? ? ? 1? B.?-∞,3?∪(1,+∞) ? ? ? ? 1? ? 1 D.?-∞,-3?∪?3,+∞? ? ? ? ?

1 解析: 基本法: ∵f(-x)=ln(1+|-x|)- ∴函数 f(x) 2=f(x), 1+?-x? 为偶函数. 1 ∵当 x≥0 时,f(x)=ln(1+x)- , 1+x2 1 在(0,+∞)上 y=ln(1+x)递增,y=- 2也递增, 1+x 根据单调性的性质知,f(x)在(0,+∞)上单调递增. 综上可知:f(x)>f(2x-1)?f(|x|)>f(|2x-1|)?|x|>|2x-1|?x2>(2x 1 -1) ?3x -4x+1<0? <x<1.故选 A. 3
2 2

速解法:令 x=0,f(x)=f(0)=-1<0. 1 f(2x-1)=f(-1)=ln 2-2=ln 2-ln 不适合 f(x)>f(2x-1),排除 C. 1 令 x=2,f(x)=f(2)=ln 3- , 5 1 f(2x-1)=f(3), 由于 f(x)=ln(1+|x|)- 在(0, +∞)上为增函数 1+x2 ∴f(2)<f(3),不适合.排除 B、D,故选 A. e>0.

答案:A

方略点评: 1.基本法是根据函数性质转化不等式具体求解. 速解法 结合特值验证,排除答案,化简相对简单. 2.解不等式,大多经过等价转化,最终化为一元二次不等式或一 元一次不等式(组). 3.分段(讨论)求解不等式时要分清交集与并集的使用.

1.设函数 f(x)= 是________.

则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围

解析:结合题意分段求解,再取并集. 当 x<1 时,x-1<0,ex-1<e0=1≤2, ∴当 x<1 时满足 f(x)≤2. 当 x≥1 时, ≤2,x≤23=8,

∴1≤x≤8.综上可知 x∈(-∞,8].

答案:(-∞,8]

2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x2-4x, 则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示为________.

解析:基本法:先求出函数 f(x)在 R 上的解析式,然后分段求解 不等式 f(x)>x,即得不等式的解集. 设 x<0,则-x>0,于是 f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x,由于 f(x) 是 R 上的奇函数,所以-f(x)=x2+4x,即 f(x)=-x2-4x,且 f(0) ?x2-4x,x>0, ? =0,于是 f(x)=?0,x=0, ?-x2-4x,x<0. ?

当 x>0 时,由 x2-4x>x 得 x>5;

当 x<0 时,由-x2-4x>x 得-5<x<0,故不等式的解集为(-5,0) ∪(5,+∞).

速解法:数形结合作出 y1=x2-4x 与 y2=x 的图象使 y1 的图象在 y2 图象的上部所对应的 x 的范围. 设 y1=f(x)=x2-4x,y2=x(x>0). 令 y1=y2,∴x2-4x=x,∴x=0 或 x=5.

作 y1=f(x)及 y2=x 的图象, 则 A(5,5),由于 y1=f(x)及 y2=x 都是奇函数,作它们关于(0,0)的 对称图象,则 B(-5,-5),由图象可看出当 f(x)>x 时,x∈(5,+ ∞)及(-5,0).

答案:(-5,0)∪(5,+∞)

类型二 [例 2]

基本不等式及应用

x y (1)若直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,1),则 a+b 的最小 a b

值等于( C ) A.2 C.4 B.3 D.5

x y 1 解析:基本法:因为直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,1),所以 + a b a
?1 1? 1 a b ? + ?=2+ + ≥2+2 =1.所以 a+b=(a+b)· b b a ?a b?

ab ·=4, 当且仅 ba

当 a=b=2 时取“=”,故选 C.

x y 速解法: 如图 a, b 分别是直线 + =1 在 x, y 轴上的截距, A(a,0), a b B(0,b),当 a→1 时,b→+∞,当 b→1 时,a→+∞,只有点(1,1) 为 AB 的中点时,a+b 最小,此时 a=2,b=2,∴a+b=4.

答案:C

方略点评:基本法是直接应用基本不等式,速解法是结合直线的 旋转特征,猜想到 a+b 最小的情况.

x2-y2 (2)定义运算“?”:x?y= xy (x,y∈R,xy≠0).当 x>0,y>0 时,x?y+(2y)?x 的最小值为________.

x2-y2 4y2-x2 2x2-2y2+4y2-x2 解析: 基本法: x?y+(2y)?x= xy + 2yx = = 2xy x2+2y2 x y 2xy =2y+x, x y ∵x>0,y>0,∴2y+x≥2 1 2= 2,

x y 当且仅当2y=x,即 x= 2y 时等号成立,故所求最小值为 2.
答案: 2

方略点评: 1.本题只可按新定义化简目标表达式, 并构造基本不等 式的应用环境. 2.一般地,分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数 以及含有两个变量的函数,特别适合用基本不等式求最值. 3. 在运用基本不等式求最值时, 必须保证“一正, 二定, 三相等”, 凑出定值是关键. 4.“=”成立必须保证,若两次连用基本不等式,要注意等号的 取得条件的一致性,否则就会出错.

1.(2016· 贵州贵阳市高三检测)若点 A(a,b)在第一象限且在直线 x +2y=4 上移动,则 log2a+log2b( C ) A.有最大值 2 C.有最大值 1 B.有最小值 1 D.没有最大值和最小值

解析:基本法:由题意,知 a+2b=4(a>0,b>0),则有 4=a+ 2b≥2 2ab,当且仅当 a=2b,即 a=2,b=1 时等号成立,所以 0 <ab≤2,所以 log2a+log2b=log2ab≤log22=1,故选 C.

答案:C

2.若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( D ) A.[0,2] C.[-2,+∞) B.[-2,0] D.(-∞,-2]

解析:基本法:由 2x+2y=1 直接用基本不等式(和为定值)转化构 造出“x+y”的形式. ∵2x+2y≥2 2x· 2y=2 2x+y, ∴2 2
x+y

≤1,即 2

x+y

1 -2 ≤ =2 . 4

所以 x+y≤-2,故选 D.

速解法:(特例检验法)检验 x+y 能否为 0. 若 x+y=0,即 y=-x, 1 ∴2 +2 =1,∵2 + x>2 恒成立,所以 x+y 不可能为 0.故选 D. 2 答案:D
x
-x

x

类型三

求线性规划中线性目标函数的最值

[例 3]

?x-y+1≥0, ? (1)若 x, y 满足约束条件?x-2y≤0, ?x+2y-2≤0, ?

则 z=x+y 的最

大值为________.

解析:基本法:作出可行域,如图:

由 z=x+y 得 y=-x+z,当直线 y=-x+z 过点
? 1? A?1,2?时,z ? ?

1 3 取得最大值,zmax=1+ = . 2 2 得点(-2,-1),则 z=-3

? ?x-y+1=0 速解法:由? ? ?x-2y=0 ? ?x-y+1=0 由? ? ?x+2y-2=0

得点(0,1),则 z=1

? ?x-2y=0 由? ? ?x+2y-2=0

? 1? 得点?1,2?则 ? ?

3 z= . 2

3 答案:2

方略点评:基本法是画出可行域并平移目标函数直线,观察所经 过的点.速解法是根据目标函数的最值就在可行域端点处取到,故 代入端点的坐标比较验证可得答案.

(2)设 x, y

? ?x+y≥a, 满足约束条件? ? ?x-y≤-1,

且 z=x+ay 的最小值为 7,

则 a=( B ) A.-5 C.-5 或 3 B.3 D.5 或-3

解析:基本法:二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其 中
?a-1 a+1? ? A? ? 2 , 2 ?.平移直线 ? ?

x+ay=0, 可知在点

?a-1 a+1? ? A? ? 2 , 2 ?处, ? ?

a-1 a+1 z 取得最小值,因此 2 +a× 2 =7,化简得 a2+2a-15=0, 解得 a=3 或 a=-5,但 a=-5 时,z 取得最大值,故舍去,答 案为 a=3,故选 B.

1 z 速解法:由 z=x+ay 得 y=- x+ a a 1 z z 当 a<0 时,由可行域知,当 y=- x+ 过 A 点时 最小,z 有最 a a a 大值,不合题意. 1 z z 当 a>0 时,y=-ax+a过 A 点时,a最小,z 也最小,故只能选 B.

答案:B

方略点评: 1.基本法就是通过平移目标直线使之过端点, 构造方程 z 求解.速解法就是根据a的意义确定 a 的正负情况来排除答案. a z 2.截距型:z=ax+by?y=- x+ ,与直线的截距相关联.若 b b z z b>0,则b的最值情况和 z 的一致;若 b<0,则b的最值情况和 z 的 相反.

3.需要注意的是:其一,准确无误地作出可行域;其二,画目标 函数所对应的直线时,要注意与约束条件中的直线的斜率进行比 较,避免出错;其三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值 均在可行域的端点或边界上取得. 4.最优解唯一时,目标函数过边界的端点;最优解不唯一时,目 标函数线重合于边界线.

?x+y-2≤0, ? 1.若 x,y 满足约束条件?x-2y+1≤0, ?2x-y+2≥0. ? 为________.

则 z=3x+y 的最大值

解析:基本法:画出可行域,并分析 z 的几何意义,平移直线 y =-3x 求解. 画出可行域如图所示. ∵z=3x+y, ∴y=-3x+z.

∴直线 y=-3x+z 在 y 轴上截距最大时,即直线过点 B 时,z 取 得最大值.
? ?x+y-2=0, 由? ? ?x-2y+1=0.

解得 B(1,1), ∴zmax=3×1+1=4.

速解法:利用边界端点代入比较,由图知 A(-1,0),C(0,2).
? ?x+y-2=0, 由? ? ?x-2y+1=0,

得 B(1,1)代入 z=3x+y 得最大值为 3×1+1=

4.

答案:4

?x-y+1≥0, ? 2.(2016· 高考全国甲卷)若 x,y 满足约束条件?x+y-3≥0, ?x-3≤0, ? z=x-2y 的最小值为________.



解析:基本法:

作出不等式组表示的可行域,利用数形结合思想求解. ?x-y+1≥0, ? 不等式组?x+y-3≥0, ?x-3≤0 ? 1 1 由 z=x-2y 得 y= x- z. 2 2 1 平移直线 y=2x,易知经过点 A(3,4)时,z 有最小值,最小值为 z =3-2×4=-5.

表示的可行域如图阴影部分所示.

速解法:(特殊点法)利用可行域的三个端点成立.
? ?x-y+1=0 由? ? ?x+y-3=0 ? ?x-y+1=0 由? ? ?x=3 ? ?x+y-3=0 由? ? ?x=3 ? ?x=1, 得? ? ?y=2. ? ?x=3, 得? ? ?y=4. ? ?x=3, 得? ? ?y=0.

B(1,2),z=-3.

A(3,4),z=-5.

C(3,0),z=3.

∴zmin=-5.

答案:-5

类型四 线性规划的非线性目标函数的最值 [ 例 4] (1)(2016· 陕西渭南一模)设 x,y 满足约束条件 x+2y+3 则 的取值范围是( x+1 B.[2,6] D.[3,10]

?x≥0, ? ?y≥x, ?4x+3y≤12, ? A.[1,5] C.[3,11]

)

?x≥0, ? 解析:基本法:画出约束条件?y≥x, ?4x+3y≤12 ?

的可行域,

x+2y+3 x+1+2y+2 y+1 y+1 = =1+2× , 的几何意义为过点(x, x+1 x+1 x+1 x+1 y)和(-1,-1)的直线的斜率.

y+1 y+1 y+1 由可行域知 的取值范围为 kMA≤ ≤k , 即 ∈[1,5], 所 x+1 x+1 MB x+1 x+2y+3 以 的取值范围是[3,11]. x+1

答案:C

y 方略点评:根据 表示点?x,y?与点?0,0?的连线斜率,利用边界点求其最值. x

?x+y≤2, ? (2)(2016· 高考山东卷)若变量 x,y 满足?2x-3y≤9, ?x≥0, ? 最大值是( A.4 C.10 ) B.9 D.12

则 x2+y2 的

解析:基本法:先作出不等式组表示的平面区域,再求目标函数 的最大值.

作出不等式组表示的平面区域, 如图中阴影部分所示. x2+y2 表示
? ?x+y=2, 平面区域内的点到原点距离的平方,由? ? ?2x-3y=9

得 A(3,-1),

由图易得(x2+y2)max=|OA|2=32+(-1)2=10.故选 C.

答案:C

方略点评:1.基本法是采用数形结合及两点间的距离公式直接求 解. y-b 2.斜率型:z= 即为点(a,b)与(x,y)连线的斜率.常见的变 x-a ay+b 形形式为: ?a× . x+c x-?-c?
?-b? ? y-? ? a ? ? ?

3.距离型:x2+y2 表示点(x,y)与(0,0)距离的平方,常见的变形:
2 2 ? ? ? ? D E D E x2+y2+Dx+Ey=?x+ 2 ?2+?y+ 2 ?2- 4 - 4 . ? ? ? ?

?x+y≤2 ? 1.设实数 x,y 满足不等式组?y-x≤2 ?y≥1 ? 是( B ) A.[1,2] C.[ 2,2] B.[1,4] D.[2,4]

,则 x2+y2 的取值范围

解析:基本法:如图所示,不等式组表示的平面区域是△ABC 内 部(含边界),x2+y2 表示的是此区域内的点(x,y)到原点距离的平 方.从图中可知最短距离为原点到直线 BC 的距离,其值为 1;最 远的距离为 AO,其值为 2,故 x2+y2 的取值范围是[1,4],故选 B.

答案:B

?x+y≤1 ? 2.设 x,y 满足约束条件?x+1≥0 ?x-y≤1 ? 范围为( C ) A.[-3,3] C.[-2,2] B.[-3,-2] D.[2,3]

y ,则目标函数 z= 的取值 x+2

y 解析:基本法:(特殊点数形结合法)根据 的几何意义,观察图 x+2 y-0 y 形中点的位置作可行域如图阴影部分所示 = 表示点 x+2 x-?-2? (x,y)与点(-2,0)连线的斜率.

-2-0 当过 A 点(-1, -2)时, k1= =-2 为最小; 当过点 B(- -1-?-2? 2-0 1,2),k2= =2 为最大.故选 C. -1-?-2? y 速解法: 根据可行域的特征进行排除. 可行域关于 x 轴对称, 故 x+2 的最大值与最小值互为相反数,排除 B、D.又直线过 B 点时,斜 率为 2.故选 C.

答案:C

[终极提升]——登高博见 求解选择题、填空题的方法——数形结合法

根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形,
借助几何图形的直观性作出正确的判断,习惯上也 叫数形结合法.有些选择题可通过命题条件中的函 方法诠释 数关系或几何意义,作出函数的图象或几何图形, 借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等,

结合图象的特征,得出结论.图形化策略就是以数
形结合的数学思想为指导的一种解题策略.

(1)方程问题→函数问题→函数图 运用 技巧


(2)平面向量问题→三角形问题

(3)二元等式或不等式→直线、曲
线、解析几何


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