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高等代数教案

时间:2015-10-14










教 案

秦文钊

一、章(节、目)授课计划





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段

第二章

§ 1 引言

授课 时数

通过本节的学习,使学生了解行列式的背景

要求学生熟练掌握二、三级行列式的对角线计算法则

二、三元线性方程组的计算公式,二、三级行列式的对角线计算法则

二、三元线性方程组的计算公式

启发式

讲练相结合

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记



1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

二 、课 时 教 学 内 容
2













小结

解方程是代数中的一个基本的问题,特别是在中学所学代数中,解 方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组,即 线性方程组. 一、对于二元线性方程组
? a11 x1 ? a12 x 2 ? b1 , ? ?a 21 x1 ? a 22 x 2 ? b2 ,

当 a11a22 ? a12 a21 ? 0 时,此方程组有唯一解,即

x1 ?

b1a22 ? a12 b2 a11 a22 ? a12 a21

, x2 ?

a11b2 ? a12 b1 . a11 a22 ? a12 a21

我们称 a11 a22 ? a12 a21 为二级行列式,用符号表示为
a11 a 22 ? a12 a 21 ? a11 a 21 a12 a 22

.

于是上述解可以用二级行列式叙述为: 当二级行列式
a11 a 21 a12 a 22 ?0

时,该方程组有唯一解,即
b1 x1 ? a12 , x2 ? a11 b1 b2 a 22 a11 a12 a 21 a 22 a 21 b2 . a11 a12 a 21 a 22

二、对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组
? a11 x1 ? a12 x 2 ? a13 x3 ? b1 , ? ?a 21 x1 ? a 22 x 2 ? a 23 x3 ? b2 , ?a x ? a x ? a x ? b . 32 2 33 3 3 ? 31 1

称代数式 a11a22 a33 ? a12 a23 a31 ? a13 a21a32 ? a11a23 a32 ? a12 a21a33 ? a13 a22 a31 为 三级行列式,用符号表示为:

二 、课 时 教 学 内 容
3












a11 a12 a 22 a32 a13 a 23 . a33

小结

a11 a 22 a33 ? a12 a 23 a31 ? a13 a 21 a32 ? a11 a 23 a32 ? a12 a 21 a33 ? a13 a 22 a31 ? a 21 a31

当三级行列式
a11 d ? a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 ? 0 a 33

时,上述三元线性方程组有唯一解,解为
x1 ? d d1 d , x 2 ? 2 , x3 ? 3 , d d d

其中
b1 d1 ? b2 b3 a12 a 22 a32 a13 a11 b1 b2 b3 a13 a11 a12 a 22 a32 b1 b2 . b3 a 23 , d 2 ? a 21 a33 a31 a 23 , d 3 ? a 21 a33 a31

三、 n 元线性方程组
? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? b1 , ?a x ? a x ? ? ? a x ? b , ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a n1 x1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nn x n ? bn

是否也有类似的结论呢?为此,首先给出错误!未定义书签。级行列式的定 义并讨论它的性质,最后来解决这一问题,这是本章的主要内容.

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§ 2 排列

授课 时数

通过本节的学习,使学生掌握有关排列的相关知识

要求学生掌握有关排列的基本概念、并能熟练掌握排列逆序数的计算 与奇偶性的确定。

有关排列的基本概念、排列的奇偶性。

排列逆序数的计算与奇偶性的确定

讲授法

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

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5





教 一、排列的定义







小结

定义 1 由 1, 2 ,?, n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列.

n 级排列的总数是 n! .
显然 12 ? n 也是一个 n 级排列,这个排列具有自然顺序,就是按递增 的顺序排起来的;其它的排列或多或少地破坏自然顺序. 定义 2 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即 前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的 总数就称为这个排列的逆序数. 排列 j1 j2 ? jn 的逆序数记为

? ( j1 j 2 ? jn )
例:排列 53214 的逆序数 7 定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为 奇排列。 应该指出,我们同样可以考虑由任意 n 个不同的自然数所组成的排 列,一般也称为 n 级排列。对这样一般的 n 级排列,同样可以定义上面这 些概念。 二、排列的奇偶性 把一个排列中某两个数的位置互换,而其余的数不动,就得到另一 个排列.这样一个变换称为一个对换。显然,如果连续施行再次相同的对 换,那么排列就还原了。由此得知,一个对换把全部 n 级排列两两配对, 使每两个配成对的 n 级排列在这个对换下互变。 定理 1 对换改变排列的奇偶性. 这就是说,经过一次对换,奇排列变成偶排列,偶排列变成奇排列. 推论 在全部 n 级排列排列中,奇、偶排列的个数相等,各有 n!/ 2 个. 定理 2 任意一个 n 级排列与排列 12 ? n 都可以经过一系列对换互变, 并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性. 结论:任意两个排列都可以经过一系列对换互变.

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§ 3

n 级行列式

授课 时数

使学生掌握行列式的定义

要求学生真正的理解行列式的定义以及行与列地位的对称

一般行列式的定义、行与列的地位是对称的

行列式的定义

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

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教 一、 n 级行列式的概念







小结

在给出 n 级行列式的定义之前,先来看一下二级和三级行列式的定义。我 们有

a11 a 21
a11 a 21 a31

a12 a 22
a12 a 22 a32

? a11 a 22 ? a12 a 21
a13

(1)

a 23 ? a11 a 22 a33 ? a12 a 23 a31 ? a13 a 21 a32 ? a11 a 23 a32 ? a12 a 21 a33 ? a13 a 22 a31 (2) a33

从二级和三级行列式的定义中可以看出,它们都是一些乘积的代数和,而 每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的,并且展开 式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面, 每一项乘积都带有符号.这符 号是按什么原则决定的呢?在三级行列式的展开式(2)中,项的一般形式可以写 成

a1 j1 a2 j2 a3 j3

(3)

其中 j1 j2 j3 是 1,2,3 的一个排列.可以看出,当 j1 j2 j3 是偶排列时.对应的项在 (2)中带有正号,当 j1 j2 j3 是奇排列时带有负号. 定义 4 n 级行列式
a11 a 21 ? a n1 a12 ? a1n a 22 ? a 2 n ? ? a n 2 ? a nn

(4)

等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积

a1 j1 a2 j2 ?anjn

(5)

的代数和, 这里 j1 j2 ? jn 是 1,2 ,?, n 的一个排列, 每一项(5)都按下面规则带有符 号;当 j1 j2 ? jn 是偶排列时,(5)带有正号,当 j1 j2 ? jn 是奇排列时,(5)带有负 号.这一定义可写成

二 、课 时 教 学 内 容
8






a11 a 21 ? a n1 a12 a 22 ?







小结

? a1n ? a2n ? ?
j1 j2 ? jn

? (?1)?

( j1 j2 ? jn )

a1 j1 a 2 j2 ? a njn

(6)

a n 2 ? a nn

这里

j1 j2 ? jn

?

表示对所有 n 级排列求和.

定义表明, 为了计算 n 级行列式, 首先作所有可能由位于不同行不同 列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序,然后 由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号. 由定义看出, n 级行列式是由 n! 项组成的. 例 1 计算行列式

0 0 0 4
例 2 计算上三角形行列式
a11 0 ? 0 a11 0 ? 0 a12 a 22 ? 0 a12 a 22 ? 0

0 0 3 0

0 2 0 0

1 0 . 0 0

? a1n ? a2n . ? ? a nn ? a1n ? a2n ? a11 a 22 ? a nn . ? ? a nn

(7)

(8)

这个行列式就等于主对角线(从左上角到右下角这条对角线)上元素的 乘积.特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式 . 对角 形行列式的值等于主对角线上元素的乘积. 容易看出,当行列式的元素全是数域中的数时,它的值也是数域中 的一个数.

二 、课 时 教 学 内 容
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教 二、行列式的性质







小结

在行列式的定义中,为了决定每一项的正负号,把元素按行指标排 起来.事实上, 数的乘法是交换的, 因而这些元素的次序是可以任意写的, 一般地, n 级行列式中的项可以写成

ai1 j1 ai2 j2 ?ain jn ,

(11)

其中 i1i2 ?in , j1 j2 ? jn 是两个 n 级排列.利用排列的性质,不难证明,(11) 的符号等于

(?1)? (i1i2?in )?? ( j1 j2? jn )

(12)

按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于, 行指标与列指标的地位 是对称的,因而为了决定每一项的符号,同样可以把每一项按列指标排 起来,于是定义又可以写成
a11 a 21 ? a n1 a12 a 22 ? ? a1n ? a2n ? ? (?1)? ( i1i2 ?in ) ai11 ai2 2 ? ain n . ? i1i2 ?in

(15)

a n 2 ? a nn

由此即得行列式的下列性质: 性质 1 行列互换,行列式不变.即
a11 a 21 ? a n1 a12 a 22 ? ? a1n a11 a 21 a 22 ? a2n ? a n1 ? an2 . ? ? a nn ? a2n a ? 12 ? ? a1n

(16)

a n 2 ? a nn

性质 1 表明,在行列式中行与列的地位是对称的,因之凡是有关行 的性质,对列也同样成立. 例如由(8)即得下三角形的行列式
a11 a 21 ? a n1 0 a 22 ? ? ? 0 0 ? a11 a 22 ? a nn ?

a n 2 ? a nn

一、章(节、目)授课计划
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§ 4

n 级行列式的性质

授课 时数

通过本节学习,使学生能熟练掌握行列式性质的应用

要求学生能熟练掌握行列式性质及其应用

行列式的性质及其应用

行列式性质的应用

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

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小结

行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很复杂的问题.因此有必 要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质来简化行列式的计算. 在行列式的定义中,虽然每一项是 n 个元素的乘积,但是由于这 n 个 元素是取自不同的行与列,所以对于某一确定的行中 n 个元素 ( 譬如

ai1 , ai 2 ,?, ain )来说,每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素 .
因之, n 级行列式的 n! 项可以分成 n 组,第一组的项都含有 ai1 ,第二组 的项都含有 ai 2 等等.再分别把 i 行的元素提出来,就有
a11 a 21 ? a n1 a12 a 22 ? ? a1n ? a2n ? ai1 Ai1 ? ai 2 Ai 2 ? ? ? ain Ain (1) ?

a n 2 ? a nn

其中 Aij 代表那些含有 aij 的项在提出公因子 aij 之后的代数和 (至于 Aij 究 竟是哪一些项的和暂且不管, 到§6 再来讨论).从以上讨论可以知道,Aij 中不再含有第 i 行的元素,也就是 Ai1 , Ai 2 ,?, Ain 全与行列式中第 i 行的元 素无关.由此即得. 性质 2 a11
? ? a n1

a12 ? ? an2

?

a1n ? ?

a11 ? ? a n1

a12 ?

? a1n ? ain ? a nn

kai1 kai 2 ? kain ? k ai1 ? a nn

ai 2 ? ? an2 ?

这就是说,一行的公因子可以提出去,或者说以一数乘行列式的一行相 当于用这个数乘此行列式. 令 k ? 0 ,就有如果行列式中一行为零,那么行列式为零.

二 、课 时 教 学 内 容
12





教 性质 3







小结

a11

a12

?

a1n

a11 ? b1 ? a n1

a12 ? b2

? a1n ? ? bn ? ? a nn

a11 ? c1 ? a n1

a12 ? ? c2 ? ? an2 ?

a1n ? cn ? a nn
.

? ? ? b1 ? c1 b2 ? c 2 ? bn ? c n ? ? a n1 ? an 2 ? ? a nn

? an2 ?

这就是说,如果某一行是两组数的和,那么这个行列式就等于两个行列 式的和,而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样. 性质 3 显然可以推广到某一行为多组数的和的情形. 性质 4 如果行列式中有两行相同,那么行列式为零.所谓两行相同就 是说两行的对应元素都相等. 性质 5 如果行列式中两行成比例,那么行列式为零. 性质 6 把一行的倍数加到另一行,行列式不变. 性质 7 对换行列式中两行的位置,行列式反号. 例 1 计算 n 级行列式
a b ?
例 2 计算行列式

b a ?

b ? b b ? b a ? b ? ? b ? a

d? b b b b

?2 5

3 2

1 3

503 201 298 .

由于上(下)三角形行列式容易计算,因此计算行列式的一个基本方法是利用行 列式的性质,把行列式化成上(下)三角形行列式进行计算.

例 3 一个 n 级行列式,假设它的元素满足

aij ? ?a ji , i , j ? 1, 2 ,?, n ,
证明,当 n 为奇数时,此行列式为零.

(4)

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§ 5 行列式的计算

授课 时数

通过本节学习,使学生能熟练掌握矩阵的初等变换在行列式的计算中 的应用

通过本节学习,要求学生能熟练掌握矩阵的初等变换在行列式的计算 中的应用

矩阵的初等变换、行列式计算

行列式的计算

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

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小结

在§ 3 我们看到,一个上三角形行列式
a11 0 ? 0 a12 a 22 ? 0 ? a1n ? a2n ? ? a nn

就等于它主对角线上元素的乘积

a11a22 ?ann
这个计算是很简单的.下面我们想办法把任意的 n 级行列式化为上三角形 行列式来计算. 定义 5 由 sn 个数排成的 s 行(横的) n 列(纵的)的表
? a11 ? ? a 21 ? ? ? ?a ? s1 a12 a 22 ? as2 ? a1n ? ? ? a2n ? ? ? ? ? a sn ? ?

(1) 称为一个 s ? n 矩阵. 数 aij , i ? 1, 2,?, s, j ? 1, 2,?, n ,称为矩阵(1)的元素, i 称为元素 aij 的 行指标, j 称为列指标.当一个矩阵的元素全是某一数域 P 中的数时,它 就称为这一数域 P 上的矩阵.

n ? n 矩阵也称为 n 级方阵.一个 n 级方阵
? a11 ? ?a A ? ? 21 ? ? ?a ? n1 a12 a 22 ? an2 ? a1n ? ? ? a2n ? ? ? ? ? a nn ? ?

定义一个 n 级行列式
a11 a 21 ? a n1 a12 ? a1n a 22 ? a 2 n ? ? a n 2 ? a nn

称为矩阵 A 的行列式,记作 | A | .

二 、课 时 教 学 内 容
15













小结

定义 6 所谓数域 P 上矩阵的初等行变换是指下列三种变换: 1)以 P 中一个非零的数乘矩阵的某一行; 2)把矩阵的某一行的 c 倍加到另一行,这里 c 是 P 中任意一个数; 3) 互换矩阵中两行的位置. 一般说来,一个矩阵经过初等行变换后,就变成了另一个矩阵.当矩 阵 A 经过初等行变换变成矩阵 B 时,我们写成
A? B

若一个矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在 的下方全为零,则称这样的矩阵为阶梯形矩阵. 可以证明,任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩 阵. 现在回过来讨论行列式的计算问题.一个 n 级行列式可看成是由一个

n 级方阵 A 决定的,对于矩阵可以作初等行变换,而行列式的性质 2,6,
7 正是说明了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响.每个方阵 A 总可 以经过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵 J .由行列式性质 2,6,7, 对方阵每作一次初等行变换,相应地,行列式或者不变,或者差一非零 的倍数,也就是
| A |? k | J | , k ? 0

显然,阶梯形方阵的行列式都是上三角形的,因此是容易计算的. 例 计算

? 2 5 ?1 3 1 ? 9 13 7 3 ?1 5 ?5 2 8 ? 7 ? 10
不难算出,用这个方法计算一个 n 级的数字行列式只需要做
n 3 ? 2n ? 3 次乘法和除法.特别当 n 比较大的时候,这个方法的优越性就 3

二 、课 时 教 学 内 容
16













小结

更加明显了.同时还应该看到,这个方法完全是机械的,因而可以用电子 计算机按这个方法来进行行列式的计算. 对于矩阵同样可以定义初等列变换,即 1)以 P 中一个非零的数乘矩阵的某一列; 2)把矩阵的某一列的 c 倍加到另一列,这里 c 是 P 中任意一个数; 3) 互换矩阵中两列的位置. 为了计算行列式,也可以对矩阵进行初等列变换.有时候,同时用初 等行变换和列变换,行列式的计算可以更简单些. 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换.

一、章(节、目)授课计划
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§ 6 行列式按一行(列)展开

授课 时数

通过本节的学习,可以以使行列式的计算更简化

要求学生会应用行列式展开性质来计算行列式

行列式按一行展开的性质、展开性质的应用

展开性质的应用

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

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a11 ? ai1 ? a n1 a12 ? ai 2 ? ? a1n ?







小结

在§4 看到,对于 n 级行列式,有

? ain ? ai1 Ai1 ? ai 2 Ai 2 ? ? ? ain Ain , i ? 1, 2 ,? , n . (1) ?

a n 2 ? a nn

现在来研究这些 Aij , i , j ? 1, 2 ,?, n 究竟是什么.
三级行列式可以通过二级行列式表示:

a11 a 21 a31

a12 a 22 a32

a a 23 ? a11 22 a32 a33

a13

a 23 a33

? a12

a 21 a31

a 23 a33

? a13

a 21 a31

a 22 a33

.

(2)

定义 7 在行列式
a11 ? ? a i1 ? ? a n1 ? a1 j ? a ij ? ? a1n ? a in ? a nn

? a nj ?

中划去元素 aij 所在的第 i 行与第 j 列, 剩下的 (n ? 1) 2 个元素按原来的排法 构成一个 n ? 1 级行列式
a11 ? ai ?1,1 ai ?1,1 ? a n1 ? ? a1, j ?1 ? ai ?1, j ?1 ? ? a n , j ?1 ? ai ?1, j ?1 a1, j ?1 ? ai ?1, j ?1 ai ?1, j ?1 ? a n , j ?1 ? ? ? ? a1n ? ai ?1,n ai ?1,n ? a nn

(3)

称为元素 aij 的余子式,记作 M ij 下面证明

Aij ? (?1) i ? j M ij .

(4)

为此先证明 n 级行列式与 n ? 1 级行列式的下面这个关系,

二 、课 时 教 学 内 容
19













小结

a11 a 21 ? a n ?1,1 0

a12 a 22 ? a n ?1, 2 0

? ? ? ?

a1,n ?1 a 2,n ?1 ? a n ?1,n ?1 0

a1n a2n ? a n ?1,n 1 ?

a11 a 21 ? a n ?1,1

a12 a 22 ?

? ?

a1,n ?1 a 2,n ?1 ?
. (5)

a n ?1, 2 ? a n ?1,n ?1

其次,在(1)中令 ai1 ? ai 2 ?? ?aij ?1 ?aij ?1 ?? ?ain ? 0, aij ? 1, 即可得证 定义 8 上面所谈到的 Aij 称为元素 aij 的代数余子式. 这样,公式(1)就是说,行列式等于某一行的元素分别与它们代数余 子式的乘积之和.在(1)中,如果令第 i 行的元素等于另外一行,譬如说, 第 k 行的元素,也就是

aij ? akj , j ? 1, 2,?, n , k ? i .
于是

a11 ?

?

a1n ? a kn ? a kn ? a nn

a k1 ? a k1 Ai1 ? a k 2 Ai 2 ? ? ? a kn Ain ? ? a k1 ? ? a n1 ?

右端的行列式含有两个相同的行,应该为零,这就是说,在行列式中, 一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零. 定理 3 设
a11 d? a 21 ? a n1 a12 a 22 ? an2 ? a1n ? a2n ? ? a nn

Aij 表示元素 aij 的代数余子式,则下列公式成立:

二 、课 时 教 学 内 容
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容 (6)

小结

?d , 当k ? i , a k1 Ai1 ? a k 2 Ai 2 ? ? ? a kn Ain ? ? ?0 , 当k ? i . ?d , 当l ? j , a1l A1 j ? a 2l A2 j ? ? ? a nl Anj ? ? ?0 , 当l ? j .
用连加号简写为
n

(7)

?
s ?1

? d , 当k ? i , a ks Ais ? ? ?0 , 当k ? i ;

?
s ?1

n

?d , 当l ? j , a sl Asj ? ? ?0 , 当l ? j .

在计算数字行列式时,直接应用展开式(6)或(7)不一定能简化计算, 因为把一个 n 级行列式的计算换成 n 个( n ? 1 )级行列式的计算并不减少 计算量,只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时,应用公式(6) 或(7)才有意义.但这两个公式在理论上是重要的. 例 1 计算行列式
5 1 3 7 ?1 2 3 3 2 5 1 4 5 0 2 0 0 0

0 ?2 0 2

0 ? 4 ?1

例 2 行列式

1 a1 d? a12 ? a1n ?1

1 a2
2 a2

1 ? a3 ?
2 a3

1 an
2 an

?

(8)

?
n ?1 a2

?

?

n ?1 n ?1 a3 ? an

称为 n 级的范德蒙德(Vandermonde)行列式.证明对任意的 n(n ? 2) ,n 级范 德 蒙 德 行 列 式 等 于 a1 , a2 ,?, an 这 n 个 数 的 所 有 可 能 的 差

ai ? a j (1 ? j ? i ? n) 的乘积.
用连乘号,这个结果可以简写为.

二 、课 时 教 学 内 容
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小结

1 a1 a12 ? a
n ?1 1

1 a2
2 a2

1 ? a3 ?
2 a3

1 an
2 an ?

?

? a
n ?1 2

? a
n ?1 3

?
n ?1 ? an

1? j ?i ? n

? (a

i

? aj).

由这个结果立即得出,范德蒙德行列式为零的充要条件是 a1 , a2 ,?, an 这

n 个数中至少有两个相等.
例 3 证明

a11 ? ? a k1 ? c11 ? ? c r1 ?

a1k ? a kk c1k ? c rk

0 ? 0 ? ? 0 ? 0 b11 ? b1r ? ? br1 ? brr a11 ? a1k ? ? ? a k1 ? a kk b11 ? b1r ? br1 ? ? brr
.

一、章(节、目)授课计划
22





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段

§ 7

Cramer 法则

授课 时数

通过本节的学习,使学生会运用 Gramer 法则求线性方程组的解

通过本节的学习,要求学生会运用 Gramer 法则求线性方程组的解

Gramer 法则的应用

Gramer 法则的应用

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

二 、课 时 教 学 内 容
23













小结

现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未 知量个数相等的情形. 定理 4 如果线性方程组
? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? b1 , ?a x ? a x ? ? ? a x ? b , ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ? ?????????? ? ? a n1 x1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nn x n ? bn

(1)

的系数矩阵
? a11 ? ?a A ? ? 21 ? ? ?a ? n1 a12 a 22 ? an2 ? a1n ? ? ? a2n ? ? ? ? ? a nn ? ?
d ?| A |? 0

(2)

的行列式

那么线性方程组(1)有解,并且解是唯一的,解可以通过系数表为
x1 ? d d1 d , x2 ? 2 , ? , xn ? n , d d d

(3)

其中 d j 是把矩阵 A 中第 j 列换成常数项 b1 , b2 ,?, bn 所成的矩阵的行列 式,即

a11 dj ? a 21 ? a n1

? ? ?

a1, j ?1 ?

b1 ?

a1, j ?1 a 2, j ?1 ?

? ?

a1n a2n ? a nn , j ? 1, 2 ,?, n .
(4)

a 2, j ?1 b2 a n, j ?1 bn

a n, j ?1 ?

定理中包含着三个结论:1)方程组有解;2)解是唯一的;3)解由 公式(3)给出.这三个结论是有联系的,因此证明的步骤是: 1. 把 (
d d1 d 2 , , ? , n ) 代入方程组,验证它确是解. d d d

2. 假如方程组有解,证明它的解必由公式(3)给出. 定理 4 通常称为克拉默法则.

二 、课 时 教 学 内 容
24





教 例 1 解方程组







小结

? 2 x1 ? x 2 ? 5 x3 ? x ? 3x ? 1 2 ? 2 x 2 ? x3 ? ? ? x1 ? 4 x 2 ? 7 x3

? x4 ? 8 , ? 6 x4 ? 9 , ? 2 x 4 ? ?5 , ? 6 x4 ? 0 .

应该注意,定理 4 所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组, 它只能应用于这种方程组;至于方程组的系数行列式为零的情形,将在 下一章的一般情形中一并讨论. 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总 是有解的,因为 (0 , 0 , ? , 0) 就是一个解,它称为零解.对于齐次线性方程 组,我们关心的问题常常是,它除了零解以外,还有没有其它解,或者 说, 它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组, 应用克拉默法则就有 定理 5 如果齐次线性方程组
? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? 0 , ?a x ? a x ? ? ? a x ? 0 , ? 21 1 22 2 2n n ? ? ?????????? ? ? a n1 x1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nn x n ? 0

(10) 的系数矩阵的行列式 | A |? 0 , 那么它只有零解.换句话说, 如果方程组(10) 有非零解,那么必有 | A |? 0 . 例 2 求 ? 在什么条件下,方程组

??x1 ? x 2 ? 0 , ? ? x1 ? ?x 2 ? 0
有非零解. 克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系,这一点 在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便 的,因为按这一法则解一个 n 个未知量 n 个方程的线性方程组就要计算 n ? 1 个 n 级行列式,这个计算量是很大的.

一、章(节、目)授课计划
25





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段

§ 8

Laplace 定理·行列式的乘法规则

授课 时数

通过本节的学习,使学生了解 Laplace 定理·行列式的乘法规则

通过本节的学习,要求学生了解 Laplace 定理·行列式的乘法规则

Laplace 定理

Laplace 定理

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

二 、课 时 教 学 内 容
26





教 一、拉普拉斯定理







小结

定义 9 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列( k ? n ),位于这些 行和列的交点上的 k 2 个元素按照原来的次序组成一个 k 级行列式 M ,称 为行列式 D 的一个 k 级子式.在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原 来的次序组成的 n ? k 级行列式 M ? 称为 k 级子式 M 的余子式. 从定义立刻看出, M 也是 M ? 的余子式.所以 M 和 M ? 可以称为 D 的 一对互余的子式. 例 1 在四级行列式

1 2 0 ?1 D? 0 0 0 0

1 2 2 1

4 1 1 3

中选定第一、三行,第二、四列得到一个二级子式 M :

M?
M 的余子式为

2 4 , 0 1

M? ?
例 2 在五级行列式
a11 D? a 21 ? a51 a12 a 22 ? a52
a12 M ? a 22 a 42

0 2 . 0 1
a13 a14 a15 a 25 ? a55

a 23 a 24 ? ? a53 a54
a13 a 23 a 43 a15 a 25 a 45





M? ?
是一对互余的子式.

a31 a51

a34 a54

二 、课 时 教 学 内 容
27













小结

定义 10 设 D 的 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是

i1 , i2 ,?, ik ; j1 , j2 ,?, jk ,则 M 的余子式 M ? 前面加上符号 (?1) (i1 ?i2 ???ik )?( j1 ? j2 ??? jk ) 后称做 M 的代数余子式.
因为 M 与 M ? 位于行列式 D 中不同的行和不同的列,所以有下述 引理 行列式 D 的任一个子式 M 与它的代数余子式 A 的乘积中的每 一项都是行列式 D 的展开式中的一项,而且符号也一致. 定理 6(拉普拉斯定理 ) 设在行列式 D 中任意取定了 k ( 1 ? k ? n ? 1 ) 个行.由这 k 行元素所组成的一切 k 级子式与它们的代数余子式的乘积的 和等于行列式 D . 例 3 利用拉普拉斯定理计算行列式

1 2 0 ?1 D? 1 0 0 1

1 2 1 3

4 1 3 1

从这个例子来看,利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的. 这个定理主要是理论方面的应用. 二、行列式的乘积法则 定理 7 两个 n 级行列式
a11 D1 ? a 21 ? a n1 b11 D2 ? b21 ? bn1 a12 a 22 ? an2 b12 b22 ? bn 2 ? ? a1n ? a2n ? ? a nn


? b1n ? b2 n ? bnn

二 、课 时 教 学 内 容
28





教 的乘积等于一个 n 级行列式
c11 C? c 21 ? c n1


c12 c 22 ? cn 2




? c1n ? c2n ? ? c nn

小结

,

其中 cij 是 D1 的第 i 行元素分别与 D2 的第 j 列的对应元素乘积之和:
cij ? ai1b1 j ? ai 2 b2 j ? ? ? ainbnj ? ? aik bkj .
k ?1 n

这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3 中就完全 清楚了.

一、章(节、目)授课计划
29





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段

第三章

线性方程组

§1 消元法

授课 时数

通过本节的学习,使学生掌握方程组的有解判别

通过本节的学习,要求学生掌握方程组的有解判别

方程组的初等变换、方程组的有解判别

方程组的有解判别

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

二 、课 时 教 学 内 容
30





教 一、线性方程组的初等变换







小结

现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为
? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? b1 , ?a x ? a x ? ? ? a x ? b , ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ???????? ? ? ? a s1 x1 ? a s 2 x 2 ? ? ? a sn x n ? bs

(1)

的 方 程 组 , 其 中 x1 , x2 ,?, xn 代 表 n 个 未 知 量 , s 是 方 程 的 个 数 ,

aij (i ? 1,2,?,s; j ? 1,2,?, n) 称为线性方程组的系数, b j ( j ? 1,2,?, s) 称为
常数项.方程组中未知量的个数 n 与方程的个数 s 不一定相等.系数 aij 的第 一个指标 i 表示它在第 i 个方程,第二个指标 j 表示它是 x j 的系数. 所谓方程组(1)的一个解就是指由 n 个数 k1 , k 2 ,?, k n 组成的有序数组

(k1 , k 2 ,?, k n ) ,当 x1 , x2 ,?, xn 分别用 k1 , k 2 ,?, k n 代入后, (1)中每个等式
都变成恒等式. 方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就 是找出它全部的解,或者说,求出它的解集合.如果两个方程组有相同的 解集合,它们就称为同解的. 显然,如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项,那么这个 线性方程组就基本上确定了.确切地说,线性方程组(1)可以用下面的矩阵
? a11 a12 ? a1n b1 ? ? ? ? a 21 a 22 ? a 2 n b2 ? (2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? a ? a b s2 sn s ? ? s1 来表示.实际上,有了 (2)之后,除去代表未知量的文字外线性方程组 (1) 就确定了,而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学 代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、 三元线性方程组.实际上, 这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性. 下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组.

例如,解方程组

二 、课 时 教 学 内 容
31













小结

?2 x1 ? x 2 ? 3 x3 ? 1 , ? ?4 x1 ? 2 x 2 ? 5 x3 ? 4 , ?2 x ? x ? 2 x ? 5 . 2 3 ? 1

第二个方程组减去第一个方程的 2 倍,第三个方程减去第一个方程,就 变成
?2 x1 ? x 2 ? 3 x3 ? 1 , ? 4 x 2 ? x3 ? 2 , ? ? 2 x 2 ? x3 ? 4 . ?

第二个方程减去第三个方程的 2 倍,把第二第三两个方程的次序互换, 即得
?2 x1 ? x 2 ? 3 x3 ? 1 , ? 2 x 2 ? x3 ? 4 , ? ? x 3 ? ?6 . ?

这样,就容易求出方程组的解为(9,-1,-6). 分析一下消元法,不难看出,它实际上是反复地对方程组进行变换, 而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成: 1. 用一非零数乘某一方程; 2. 把一个方程的倍数加到另一个方程; 3. 互换两个方程的位置. 定义 1 变换 1,2,3 称为线性方程组的初等变换. 二、线性方程组的解的情形 消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明,初等变换总是 把方程组变成同解的方程组. 下面我们来说明,如何利用初等变换来解一般的线性方程组. 对于方程组(1),首先检查 x1 的系数.如果 x1 的系数 a11 , a21 ,?, as1 全为 零,那么方程组(1)对 x1 没有任何限制, x1 就可以取任何值,而方程组(1) 可以看作 x2 ,?, xn 的方程组来解.如果 x1 的系数不全为零,那么利用初等

二 、课 时 教 学 内 容
32













小结

变换 3,可以设 a11 ? 0 .利用初等变换 2,分别把第一个方程的 ? 到第 i 个方程( i ? 2 ,?, n ).于是方程组(1)就变成
? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? b1 , ? ? x2 ? ? ? a2 ? n x n ? b2 ?, a 22 ? ? ???????? ? ? ? ? a? s 2 x 2 ? ? ? a sn x n ? bs , ?

a i1 倍加 a11

(3)

其中

? ? aij ? aij

ai1 ? a1 j , i ? 2 ,?, s , j ? 2 ,? , n a11
? x2 ? ? ? a2 ? n x n ? b2 ?, ?a 22 ? (4) ????????? ?a ? x ? ? ? a ? x ? b ? sn n n ? s2 2

这样,解方程组(1)的问题就归结为解方程组

的问题.显然(4)的一个解,代入(3)的第一个方程就定出 x1 的值,这就得出 (3)的一个解;(3)的解显然都是(4)的解.这就是说,方程组(3)有解的充要 条件为方程组(4)有解,而(3)与(1)是同解的,因之,方程组(1)有解的充要 条件为方程组(4)有解. 对(4)再按上面的考虑进行变换,并且这样一步步作下去,最后就得 到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便,不妨设所得的方程组为

? c11 x1 ? c12 x 2 ? ? ? c1r x r ? ? ? c1n x n ? d1 , ? c 22 x 2 ? ? ? c 2 r x r ? ? ? c 2 n x n ? d 2 , ? ? ?????? ? c rr x r ? ? ? c rn x n ? d r , ? ? 0 ? d r ?1 , ? ? 0?0, ? ?? ? ? 0?0. ?

(5)

二 、课 时 教 学 内 容
33













小结

其中 cii ? 0 , i ? 1, 2 ,?, r .方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出 现,也可能出现,这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的. 现在考虑(5)的解的情况. 如(5)中有方程 0 ? d r ?1 ,而 d r ?1 ? 0 .这时不管 x1 , x2 ,?, xn 取什么值都 不能使它成为等式.故(5)无解,因而(1)无解. 当 d r ?1 是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时,分两种情况: 1) r ? n .这时阶梯形方程组为
? c11 x1 ? c12 x 2 ? ? ? c1n x n ? d1 , ? c 22 x 2 ? ? ? c 2 n x n ? d 2 , ? (6) ? ?????? ? ? c nn x n ? d n , ?

其中 cii ? 0 , i ? 1, 2 ,?, n .由最后一个方程开始, xn , xn?1 ,?, x1 的值就可以 逐个地唯一决定了.在这个情形,方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解. 例 1 解线性方程组
?2 x1 ? x 2 ? 3 x3 ? 1 , ? ?4 x1 ? 2 x 2 ? 5 x3 ? 4 , ?2 x ? x ? 2 x ? 5 . 2 3 ? 1

2) r ? n .这时阶梯形方程组为

? c11 x1 ? c12 x 2 ? ? ? c1r x r ? c1,r ?1 x r ?1 ? ? ? c1n x n ? d1 , ? c 22 x 2 ? ? ? c 2 r x r ? c 2,r ?1 x r ?1 ? ? ? c 2 n x n ? d 2 , ? ? ?????? ? ? c rr x r ? c r ,r ?1 x r ?1 ? ? ? c rn x n ? d r , ?
其中 cii ? 0 , i ? 1, 2 ,?, r .把它改写成

? c11 x1 ? c12 x 2 ? ? ? c1r x r ? d1 ? c1,r ?1 x r ?1 ? ? ? c1n x n , ? c 22 x 2 ? ? ? c 2 r x r ? d 2 ? c 2,r ?1 x r ?1 ? ? ? c 2 n x n , ? (7) ? ?????? ? ? c rr x r ? d r ? c r ,r ?1 x r ?1 ? ? ? c rn x n . ?

二 、课 时 教 学 内 容
34













小结

由此可见,任给 xr ?1 ,?, xn 一组值,就唯一地定出 x1 , x2 ,?, xr 的值,也就 是定出方程组 (7) 的一个解 . 一般地,由 (7) 我们可以把 x1 , x2 ,?, xr 通过

xr ?1 ,?, xn 表 示 出 来 , 这 样 一 组 表 达 式 称 为 方 程 组 (1) 的 一 般 解 , 而 xr ?1 ,?, xn 称为一组自由未知量.
例 2 解线性方程组
?2 x1 ? x 2 ? 3 x3 ? 1 , ? ?4 x1 ? 2 x 2 ? 5 x3 ? 4 , ? 2 x ? x ? 4 x ? ?1 . 2 3 ? 1

从这个例子看出,一般线性方程组化成阶梯形,不一定就是 (5)的样 子,但是只要把方程组中的某些项调动一下,总可以化成(5)的样子. 以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是,首先用 初等变换化线性方程组为阶梯形方程组,把最后的一些恒等式“0=0”(如 果出现的话 )去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零 的数,那么方程组无解,否则有解.在有解的情况下,如果阶梯形方程组 中方程的个数 r 等于未知量的个数,那么方程组有唯一的解;如果阶梯形 方程组中方程的个数 r 小于未知量的个数,那么方程组就有无穷多个解. 定理 1 在齐次线性方程组
? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? 0 , ?a x ? a x ? ? ? a x ? 0 , ? 21 1 22 2 2n n ? ???????? ? ? ? a s1 x1 ? a s 2 x 2 ? ? ? a sn x n ? 0

中,如果 s ? n ,那么它必有非零解. 矩阵
? ? ? ? ? ? ? a11 a 21 ? a s1 a12 ? a1n a 22 ? a 2 n ? ? a s 2 ? a sn b1 ? ? b2 ? ? ? ? bs ? ?

(10)

二 、课 时 教 学 内 容
35













小结

称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然, 用初等变换化方程组(1)成阶梯形就 相当于用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此,解线性方程组 的第一步工作可以通过矩阵来进行,而从化成的阶梯形矩阵就可以判别 方程组有解还是无解,在有解的情形,回到阶梯形方程组去解. 例 3 解线性方程组
?2 x1 ? x 2 ? 3 x3 ? 1 , ? ?4 x1 ? 2 x 2 ? 5 x3 ? 4 , ?2 x ? x ? 4 x ? 0 . 2 3 ? 1

解: (略)

一、章(节、目)授课计划
36





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段

§ 2 n 维向量空间

授课 时数

通过本节的学习,使学生理解 n 维向量概念、熟练掌握 n 维向量的运算。

通过本节的学习,要求学生理解 n 维向量概念、熟练掌握 n 维向量的运算。

n 维向量概念、n 维向量的运算

n 维向量的运算

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

二 、课 时 教 学 内 容
37













小结

定义 2 所谓数域 P 上一个 n 维向量就是由数域 P 中 n 个数组成的有 序数组

(a1 , a2 ,?, an )

(1)

a i 称为向量(1)的分量.
用小写希腊字母 ? , ? , ? ,? 来代表向量. 定义 3 如果 n 维向量

? ? (a1 , a2 ,?, an ) , ? ? (b1 , b2 ,?, bn )
的对应分量都相等,即

ai ? bi

(i ? 1, 2 ,?, n) .

就称这两个向量是相等的,记作 ? ? ? .

n 维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的.
定义 4 向量

? ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ,?, an ? bn )
称为向量

? ? (a1 , a2 ,?, an ) , ? ? (b1 , b2 ,?, bn )
的和,记为

? ?? ? ?
由定义立即推出: 交换律: 结合律:

? ? ? ? ? ?? .

(2) (3)

? ? ( ? ? ? ) ? (? ? ? ) ? ? .

定义 5 分量全为零的向量
(0,0,?,0)

称为零向量,记为 0;向量 (?a1 ,?a2 ,?,?an ) 称为向量 ? ? (a1 , a2 ,?, an ) 的 负向量,记为 ? ? . 显然对于所有的 ? ,都有 ? ?0 ?? .

(4) 第
38

二 、课 时 教 学 内 容









容 (5)

小结

? ? (?? ) ? 0 .
(2)—(5)是向量加法的四条基本运算规律. 定义 6 ? ? ? ? ? ? (? ? ) 定义 7 设 k 为数域 P 中的数,向量

(ka1 , ka2 ,?, kan )
称为向量 ? ? (a1 , a2 ,?, an ) 与数 k 的数量乘积,记为 k? 由定义立即推出:
k (? ? ? ) ? k? ? k? , (k ? l )? ? k? ? l? , k (l? ) ? (kl)? ,

(6) (7) (8)

1? ? ? . (9) (6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则 .由(6)—(9)或由定义不难推 出: 0? ? 0 , (10)

(?1)? ? ?? ,
k0 ? 0 .

(11) (12)

如果 k ? 0 , ? ? 0 ,那么
k? ? 0 .

(13)

定义 8 以数域 P 中的数作为分量的 n 维向量的全体,同时考虑到定 义在它们上面的加法和数量乘法,称为数域 P 上的 n 维向量空间. 在 n ? 3 时,3 维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成 的空间. 以上已把数域 P 上全体 n 维向量的集合组成一个有加法和数量乘法 的代数结构,即数域 P 上 n 维向量空间. 向量通常是写成一行:

? ? (a1 , a2 ,?, an ) .

二 、课 时 教 学 内 容
39





教 有时也可以写成一列:







小结

? a1 ? ? ? ?a ? ? ?? 2? . ? ? ? ?a ? ? n?

为了区别,前者称为行向量,后者称为列向量。它们的区别只是写 法上的不同.

一、章(节、目)授课计划
40





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段

§ 3 线性相关性

授课 时数

通过本节的学习,使学生能熟练掌握线性相关性的判定、极大线性无 关组及向量组的秩。

通过本节的学习,要求学生能熟练掌握线性相关性的判定、极大线性 无关组及向量组的秩。

线性组合、向量组等价、线性相关(无关)等一些基本概念、线性相关性 的判定、极大线性无关组及向量组的秩。

求极大线性无关组及向量组的秩、论证向量组的等价。

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

二 、课 时 教 学 内 容
41













小结

一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外,都含有无穷多个 向量,这些向量之间有怎样的关系,对于弄清向量空间的结构至关重要。 一、线性相关与线性无关 两个向量之间最简单的关系是成比例 . 所谓向量 ? 与 ? 成比例就是 说有一数 k 使

? ? k? .
定义 9 向量 ? 称为向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s 的一个线性组合,如果有数

域 P 中的数 k1 , k 2 ,?, k s ,使

? ? k1 ?1 ? k 2 ? 2 ? ? ? k s ? s ,
其中 k1 , k 2 ,?, k s 叫做这个线性组合的系数. 例如,任一个 n 维向量 ? ? (a1 , a2 ,?, an ) 都是向量组
?? 1 ? (1, 0 ,?, 0) , ?? ? (0 ,1,?, 0) , ? 2 ? ??????? ? ?? n ? (0 , 0 ,? ,1) 的一个线性组合.

(1)

向量 ?1 , ? 2 ,?, ? n 称为 n 维单位向量. 零向量是任意向量组的线性组合. 当向量 ? 是向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s 的一个线性组合时,也说 ? 可以经向 量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s 线性表出. 定义 10 如果向量组 ?1 ,? 2 ,?,? t 中每一个向量 ? i (i ? 1, 2 ,?, t ) 都可以经

向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s 线性表出, 那么向量组 ?1 ,? 2 ,?,? t 就称为可以经向量 组 ?1 , ? 2 ,?, ? s 线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出,它们就称 为等价.

二 、课 时 教 学 内 容
42













小结

由定义有,每一个向量组都可以经它自身线性表出 .同时,如果向 量 组 ?1 ,? 2 ,?,? t 可 以 经 向 量 组 ?1 , ? 2 ,?, ? s 线 性 表 出 , 向 量 组 那么向量组 ?1 ,? 2 ,?,? t ?1 , ? 2 ,?, ? s 可以经向量组 ? 1 , ? 2 ,?, ? p 线性表出, 可以经向量组线性表出. 向量组之间等价具有以下性质: 1)反身性:每一个向量组都与它自身等价. 2)对称性:如果向量组 ?1 ,? 2 ,?,? s 与 ?1 , ? 2 ,?, ? t 等价,那么向量 组 ?1 , ? 2 ,?, ? t 与 ?1 ,? 2 ,?,? s 等价. 3) 传递性: 如果向量组 ?1 ,? 2 ,?,? s 与 ?1 , ? 2 ,?, ? t 等价,?1 , ? 2 ,?, ? t 与 ? 1 , ? 2 ,?, ? p 等价,那么向量组 ?1 ,? 2 ,?,? s 与 ? 1 , ? 2 ,?, ? p 等价. 定义 11 如果向量组 ?1 ,? 2 ,?,? s ( s ? 2) 中有一个向量是可以由其

余的向量的线性表出,那么向量组 ?1 ,? 2 ,?,? s 线性相关. 从定义可以看出,任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的. 向量组 ?1 ,? 2 线性相关就表示 ? 1 ? k? 2 或者 ? 2 ? k? 1 (这两个式子不一定 能同时成立).在 P 为实数域,并且是三维时,就表示向量 ?1 与 ? 2 共线. 三个向量 ?1 ,? 2 ,? 3 线性相关的几何意义就是它们共面. 定义 11′向量组 ?1 ,? 2 ,?,? s ( s ? 1) 称为线性相关的,如果有数域 P 中不全为零的数 k1 , k 2 ,?, k s ,使

k1?1 ? k 2? 2 ? ? ? k s? s ? 0
这两个定义在 s ? 2 的时候是一致的. 定义 12 一向量组 ?1 ,? 2 ,?,? s ( s ? 1) 不线性相关,即没有不全为零 的数 k1 , k 2 ,?, k s ,使 k1?1 ? k 2? 2 ? ? ? k s? s ? 0 就称为线性无关;

二 、课 时 教 学 内 容
43













小结

或者说,一向量组 ?1 ,? 2 ,?,? s 称为线性无关,如果由

k1?1 ? k 2? 2 ? ? ? k s? s ? 0
可以推出

k1 ? k 2 ? ? ? k s ? 0
由定义有,如果一向量组的一部分线性相关,那么这个向量组就线 性相关.换句话说,如果一向量组线性无关,那么它的任何一个非空的部 分组也线性无关.特别地,由于两个成比例的向量是线性相关的,所以, 线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量. 定义 11′包含了由一个向量组构成的向量组的情形. 单独一个零向 量线性相关,单独一个非零向量线性无关. 不难看出,由 n 维单位向量 ?1 , ? 2 ,?, ? n 组成的向量组是线性无关的. 具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解 方程组的问题.要判断一个向量组

? i ? (ai1 , ai 2 ,?, ain ) i ? 1 , 2 , ?, s
是否线性相关,根据定义 11,就是看方程

(2)

x1?1 ? x2? 2 ? ? ? xs? s ? 0
有无非零解.(3)式按分量写出来就是
?a11 x1 ? a 21 x 2 ? ? ? a s1 x s ? 0 , ?a x ? a x ? ? ? a x ? 0 , ? 12 1 22 2 s2 s ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a1n x1 ? a 2 n x 2 ? ? ? a sn x s ? 0 .

(3)

(4)

因之, 向量组 ?1 ,? 2 ,?,? s 线性无关的充要条件是齐次线性方程组(4)只有 零解. 例1 判断 P 3 的向量 ?1 ? (1,?2,3),? 2 ? (2,1,0),? 3 ? (1,?7,9)

是否线性相关。

二 、课 时 教 学 内 容
44





教 例2







小结

在向量空间 P[ x] 里,对于任意非负整数 n

1, x, x 2 ,?, x n
线性无关. 例 3 若 向 量 组 ?1 , ? 2 , ? 3 线 性 无 关 , 则 向 量 组

2?1 ? ? 2 ,? 2 ? 5? 3 ,4? 3 ? 3?1 也线性无关.
从而,如果向量组(2)线性无关,那么在每一个向量上添一个分量所 得到的 n ? 1 维的向量组

? i ? (ai1 , ai 2 ,?, ain , ai,n?1 ) , i ? 1, 2 ,?, s
也线性无关.

(5)

定理 2 设 ?1 ,? 2 ,?,? r 与 ?1 , ? 2 ,?, ? s 是两个向量组.如果 1)向量组 ?1 ,? 2 ,?,? r 可以经 ?1 , ? 2 ,?, ? s 线性表出, 2) r ? s , 那么向量组 ?1 ,? 2 ,?,? r 必线性相关. 推论 1 如果向量组 ?1 ,? 2 ,?,? r 可以经向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s 线性表 出,且 ?1 ,? 2 ,?,? r 线性无关,那么 r ? s . 推论 2 任意 n ? 1 个 n 维向量必线性相关. 推论 3 两个线性无关的等价的向量组,必含有相同个数的向量. 定理 2 的几何意义是清楚的:在三维向量的情形,如果 s ? 2 ,那么 可以由向量 ?1 , ? 2 线性表出的向量当然都在 ?1 , ? 2 所在的平面上,因而这 些向量是共面的,也就是说,当 r ? 2 时,这些向量线性相关.两个向量组

?1 ,? 2 与 ?1 , ? 2 等价,就意味着它们在同一平面上.
二、极大线性无关组 定义 13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组,如果这

二 、课 时 教 学 内 容
45













小结

个部分组本身是线性无关的,并且从这个向量组中任意添一个向量(如果 还有的话),所得的部分向量组都线性相关. 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身. 极大线性无关组的一个基本性质是,任意一个极大线性无关组都与 向量组本身等价. 例4 看 P 3 的向量组

?1 ? (1,0,0),? 2 ? (0,1,0),? 3 ? (1,1,0)
在这里{ ?1 ,? 2 }线性无关,而 ? 3 ? ?1 ? ? 2 ,所以{ ?1 ,? 2 }是一个极大 线性无关组.另一方面, { ?1 , ? 3 } , { ? 2 ,? 3 }也都是向量组{ ?1 ,? 2 ,? 3 } 的极大线性无关组. 由上面的例子可以看出,向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是 每一个极大线性无关组都与向量组本身等价,因而,一向量组的任意两 个极大线性无关组都是等价的. 定理 3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量. 定理 3 表明,极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的 选择无关,它直接反映了向量组本身的性质.因此有 定义 14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组 的秩. 一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同. 每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知,任 意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以,等价的向量组必有相 同的秩. 含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组,且任一个线性无关 的部分向量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组 没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零. 现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系,给定一个方程组

二 、课 时 教 学 内 容
46












( A1 ) ( A2 ) ( As )

小结

?a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? d1 , ?a x ? a x ? ? ? a x ? d , ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a s1 x1 ? a s 2 x 2 ? ? ? a sn x n ? d s , 各个方程所对应的向量分别是

?1 ? (a11 , a12 ,?, a1n , d1 ),? 2 ? (a21 , a22 ,?, a2n , d 2 ),?,
? s ? (as1 , as 2 ,?, asn , d s ) .设有另一个方程
b1x1 ? b2 x2 ? ?? bn xn ? d , (B)

它对应的向量为 ? ? (b1 , b2 ,?, bn , d ) .则 ? 是 ?1 ,? 2 ,?,? s 的线性组合,

? ? l1?1 ? l2? 2 ? ? ? l s? s 当且仅当 ( B) ? l1 ( A1 ) ? l2 ( A2 ) ? ? ? l s ( As ) ,即方
程(B)是方程 ( A1 ), ( A2 ),?, ( As ) 的线性组合.容易验证,方程组

( A1 ), ( A2 ),?, ( As ) 的解一定满足(B).进一步设方程组
?b11 x1 ? b12 x 2 ? ? ? b1n x n ? c1 , ?b x ? b x ? ? ? b x ? c , ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?br1 x1 ? br 2 x 2 ? ? ? brn x n ? c r , ( B1 ) ( B2 ) ( Br )

它 的 方 程 所 对 应 的 向 量 为 ?1 , ? 2 ,?, ? r . 若 ?1 , ? 2 ,?, ? r 可 经

?1 ,? 2 ,?,? s 线 性 表 出 , 则 方 程 组 ( A1 ), ( A2 ),?, ( As ) 的 解 是 方 程 组
( B1 ), ( B2 ),?, ( Br ) 的解.再进一步,当 ?1 ,? 2 ,?,? s 与 ?1 , ? 2 ,?, ? r 等价时,
两个方程组同解. 例 5 (1)设 ?1 ,? 2 ,? 3 线性无关,证明 ?1 ,?1 ? ? 2 ,?1 ? ? 2 ? ? 3 也线性 无关;对 n 个线性无关向量组 ?1 ,? 2 ,?,? n ,以上命题是否成立? (2)当 ?1 ,? 2 ,? 3 线性无关,证明 ?1 ? ? 2 ,? 2 ? ? 3 ,? 3 ? ?1 也线性无关,当

?1 ,? 2 ,?,? n 线性无关时, ?1 ? ? 2 ,? 2 ? ? 3 ,?,? n?1 ? ? n ,? n ? ?1 是否也线
性无关?.

二 、课 时 教 学 内 容
47













小结

例 6 设在向量组 ?1 ,? 2 ,?,? n 中, ?1 ?? 0 且每个 ? i 都不能表成它的 前 i ? 1 个向量 ?1 ,? 2 ,?,? i ?1 的线性组合,证明 ?1 ,? 2 ,?,? n 线性无关.

一、章(节、目)授课计划
48





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段

§ 4 矩阵的秩

授课 时数

通过本节的学习,使学生会求矩阵的秩、能理解有关矩阵秩的相关理论。

要求学生会求矩阵的秩、能理解有关矩阵秩的相关理论。

矩阵的秩、矩阵秩的求法

矩阵秩的求法

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

二 、课 时 教 学 内 容
49





教 一、矩阵的秩







小结

如果把矩阵的每一行看成一个向量,那么矩阵就可以认为是由这些 向量组成的.同样,如果把每一列看成一个向量,那么矩阵也可以认为是 由列向量组成的. 定义 15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩; 矩阵的列秩就 是矩阵的列向量组的秩. 例如,矩阵

?1 ? ?0 A?? 0 ? ?0 ?
的行向量组是

1 3 2 ?1 0 0 0 0

1? ? 4? 5? ? 0? ?

?1 ? (1 ,1 ,3 ,1) ,? 2 ? (0 ,2 ,?1,4) ,? 3 ? (0 ,0 ,0 ,5) ,? 4 ? (0 ,0 ,0 ,0)
它的秩是 3.它的列向量组是

?1 ? (1,0 ,0 ,0)? , ? 2 ? (1,2 ,0 ,0)? , ? 3 ? (3,?1,0 ,0)? , ? 4 ? (1 ,4 ,5,0)?
它的秩也是 3. 矩阵 A 的行秩等于列秩,这点不是偶然的. 引理 如果齐次线性方程组
? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? 0 , ?a x ? a x ? ? ? a x ? 0 , ? 21 1 22 2 2n n ? ???????? ? ? ? a s1 x1 ? a s 2 x 2 ? ? ? a sn x n ? 0

(1)

的系数矩阵
? ? ? A?? ? ? ? a11 a 21 ? a s1 a12 ? a1n ? ? a 22 ? a 2 n ? ? ? ? ? a s 2 ? a sn ? ?

的行秩 r ? n ,那么它有非零解. 定理 4 矩阵的行秩与列秩相等.

二 、课 时 教 学 内 容
50













小结

因为行秩等于列秩,所以下面就统称为矩阵的秩. 二、矩阵的秩与行列式的联系 定理 5 n ? n 矩阵
? ? ? A?? ? ? ? a11 a 21 ? a n1 a12 ? a1n ? ? a 22 ? a 2 n ? ? ? ? ? a n 2 ? a nn ? ?

的行列式为零的充要条件是 A 的秩小于 n . 推论 齐次线性方程组
? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? 0 , ?a x ? a x ? ? ? a x ? 0 , ? 21 1 22 2 2n n ? ???????? ? ? ? a n1 x1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nn x n ? 0

有非零解的充要条件是它的系数矩阵
? ? ? A?? ? ? ? a11 a 21 ? a n1 a12 ? a1n ? ? a 22 ? a 2 n ? ? ? ? ? a n 2 ? a nn ? ?

的行列式等于零. 定义 16 在一个 s ? n 矩阵 A 中任意选定 k 行和 k 列,位于这些选定的 行和列的交点上的 k 2 个元素按原来的次序所组成的 k 级行列式,称为 A 的一个 k 级子式. 在定义中,当然有 k ? min(s, n) ,这里 min(s, n) 表示 s , n 中较小的一 个. 定理 6 一矩阵的秩是 r 的充要条件为矩阵中有一个 r 级子式不为零, 同时所有 r ? 1 级子式全为零. 从定理的证明可以看出,这个定理实际上包含两部分,一部分是, 矩阵 A 的秩 ? r 的充要条件为有一个 r 级子式不为零;另一部分是,矩阵 的秩 ? r 的充要条件为的所有 r ? 1 级子式全为零.从定理的证明还可以看.

二 、课 时 教 学 内 容
51













小结

出,在秩为 r 的矩阵中,不为零的 r 级子式所在的行正是它行向量组的一 个极大线性无关组,所在的列正是它列向量的一个极大线性无关组 三、矩阵的秩的计算 在前面,作为解线性方程组的一个方法,对矩阵作行的初等变换, 把矩阵化成阶梯形.实际上,这也是计算矩阵的秩的一个方法. 首先,矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组. 等价的向量组有相同的秩,因此,初等行变换不改变矩阵的秩.同样初等 列变换也不改变矩阵的秩. 其次,阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目. 上面的讨论说明,为了计算一个矩阵的秩,只要用初等行变换把它 变成阶梯形,这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩. 以上的讨论还说明,用初等变换化一个线性方程组成阶梯形,最后 留下来的方程的个数与变换的过程无关,因为它就等于增广矩阵的秩. 例 利用初等变换求下面矩阵的秩:

?1 ? ?1 A?? 1 ? ?1 ?

1 2 3 4

2 5 3 7 4 9 5 11

7? ? 10? . 13? ? 16? ?

解: (略)

一、章(节、目)授课计划
52





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段 讲授法

§ 5 线性方程组有解判别定理

授课 时数

通过本节的学习,使学生能熟练掌握线性方程组解的求法

通过本节的学习,要求学生能很熟练的掌握线性方程组解的求法

有解判定定理、线性方程组解的求法。

求解线性方程组。

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

二 、课 时 教 学 内 容
53





教 设线性方程组为







小结

? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? b1 , ?a x ? a x ? ? ? a x ? b , ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ???????? ? ? ? a s1 x1 ? a s 2 x 2 ? ? ? a sn x n ? bs

(1)

引入向量
? a11 ? ? a12 ? ? a1n ? ? b1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a 21 ? ? a 22 ? ? a2n ? ?b ? ? 1 ? ? ? ,? 2 ? ? ? , ? , ? n ? ? ? , ? ? ? 2 ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ?a ? ?a ? ?b ? ? s1 ? ? s2 ? ? sn ? ? s?

(2)

于是线性方程组(1)可以改写成向量方程

x1?1 ? x2? 2 ? ? ? xn? n ? ? .

(3)

显然,线性方程组 (1) 有解的充要条件为向量 ? 可以表成向量组 线性方程组(1)有解的条件可以叙述 ?1 ,? 2 ,?,? n 的线性组合.用秩的概念, 如下: 定理 7(线性方程组有解判别定理) 线性方程组(1)有解的充要条件为 它的系数矩阵
? ? ? A?? ? ? ? a11 a 21 ? a s1 a12 ? a1n ? ? a 22 ? a 2 n ? ? ? ? ? a s 2 ? a sn ? ? a12 ? a1n a 22 ? a 2 n ? ? a s 2 ? a sn b1 ? ? b2 ? ? ? ? bs ? ?

与增广矩阵
? ? ? A ?? ? ? ? a11 a 21 ? a s1

有相同的秩. 应该指出,这个判别条件与以前的消元法是一致的.用消元法解线性方程 组(1)的第一步就是用初等行变换把增广矩阵 A 化成阶梯形. 这个阶梯形 矩阵在适当调动前列的顺序之后可能有两种情形:

二 、课 时 教 学 内 容
54













小结

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
或者

c11 0 ? 0 0 0 ? 0

c12 ? c1r ? 0 0 0 ? 0 ? ? ? ? ? c rr 0 0 ? 0

?

c1n c2n ? c rn 0 0 ? 0

d1

c 22 ? c 2 r ? ? ? ? ?

? ? d2 ? ? ? ? dr ? ? d r ?1 ? 0 ? ? ? ? 0 ? ? d1 ? ? d2 ? ? ? ? dr ? ? 0? 0? ? ? ? 0? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

c11 0 ? 0 0 0 ? 0

c12 ? c1r ? 0 0 0 ? 0 ? ? ? ? ? c rr 0 0 ? 0

?

c1n c2n ? c rn 0 0 ? 0

c 22 ? c 2 r ? ? ? ? ?

其中 cii ? 0 , i ? 1, 2 ,?, r , d r ?1 ? 0 .在前一种情形,原方程组无解,而在后 一种情形方程组有解.实际上,把这个阶梯形矩阵最后一列去掉,那就是 线性方程组(1)的系数矩阵 A 经过初等行变换所化成的阶梯形.这就是说, 当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时,方程组有解;当增广矩阵的秩等于 系数矩阵的秩加 1 时,方程组无解. 以上的说明可以认为是判别定理的另一个证明. 根据克拉默法则,也可以给出一般线性方程组的一个解法. 设线性方程组(1)有解,矩阵 A 与 A 的秩都等于 r ,而 D 是矩阵 A 的 一个不为零的 r 级子式(当然它也是 A 的一个不为零的子式),为了方便起 见,不妨设 D 位于 A 的左上角. 显然,在这种情况下, A 的前 r 行就是一个极大线性无关组,第

二 、课 时 教 学 内 容
55













小结

r ? 1,?, s 行都可以经它们线性表出.因此,线性方程组(1)与

? a11 x1 ? ? ? a1r x r ? ? ? a1n x n ? b1 , ?a x ? ? ? a x ? ? ? a x ? b , ? 21 1 2r r 2n n 2 ? ???????? ? ? ? a r1 x1 ? ? ? a rr x r ? ? ? a rn x n ? br

(4)

同解. 当 r ? n 时,由克拉默法则,线性方程组(4)有唯一解,也就是线性方 程组(1)有唯一解. 当 r ? n 时,将线性方程组(4)改写为
? a11 x1 ? ? ? a1r x r ? b1 ? a1,r ?1 x r ?1 ? ? ? a1n x n , ?a x ? ? ? a x ? b ? a x ? ? ? a x , ? 21 1 2r r 2 2 , r ?1 r ?1 2n n ? ???????? ? ? ? a r1 x1 ? ? ? a rr x r ? br ? a r ,r ?1 x r ?1 ? ? ? a rn x n .

(5)

(5) 作为 x1 ,?, xr 的一个方程组,它的系数行列式 . 由克拉默法则,对于

xr ?1 ,?, xn 的任意一组值,线性方程组(5),也就是线性方程组(1),都有唯
一的解. xr ?1 ,?, xn 就是线性方程组 (1)的一组自由未知量 . 对(5)用克拉默 法则,可以解出 x1 ,?, xr :
?,r ?1 x r ?1 ? ? ? c1 ?n x n , ? x1 ? d1? ? c1 ? x ? d ? ? c? x ? ? ? c? x , ? 2 2 2 , r ?1 r ?1 2n n ? ???????? ? ? ? ,r ?1 x r ?1 ? ? ? c rn ? xn . ? x r ? d r? ? c r

(6)

(6)就是线性方程组(1)的一般解. 例 ? 取怎样的数值时,线性方程组
? ?x1 ? x 2 ? x3 ? 1 , ? ? x1 ? ?x 2 ? x3 ? ? , ? x ? x ? ?x ? ?2 , 2 3 ? 1

有唯一解,没有解,有无穷多解? 解: (略)

一、章(节、目)授课计划
56





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段

§ 6 线性方程组解的结构

授课 时数

通过本节的学习,使学生掌握这两类方程组解的结构。

通过本节的学习,要求学生掌握这两类方程组解的结构。

齐次线性方程组解的结构、非齐次线性方程组解的结构。

线性方程组解结构的理解

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

二 、课 时 教 学 内 容
57













小结

在解决线性方程组有解的判别条件之后,进一步来讨论线性方程组 解的结构.所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题. 一、齐次线性方程组的解的结构 设
? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? 0 , ?a x ? a x ? ? ? a x ? 0 , ? 21 1 22 2 2n n ? ???????? ? ? ? a s1 x1 ? a s 2 x 2 ? ? ? a sn x n ? 0

(1)

是一齐次线性方程组,它的解所成的集合具有下面两个重要性质: 1. 两个解的和还是方程组的解. 2. 一个解的倍数还是方程组的解. 从几何上看, 这两个性质是清楚的.在 n ? 3 时, 每个齐次方程表示一 个过得点的平面.于是方程组的解,也就是这些平面的交点,如果不只是 原点的话,就是一条过原点的直线或一个过原点的平面.以原点为起点, 而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质. 对于齐次线性方程组,综合以上两点即得,解的线性组合还是方程 组的解.这个性质说明了,如果方程组有几个解,那么这些解的所有可能 的线性组合就给出了很多的解.基于这个事实,我们要问:齐次线性方程 组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出? 定义 17 齐次线性方程组(1)的一组解 ?1 ,?2 ,?,?t 称为(1)的一个基 础解系,如果 1)(1)的任一个解都能表成 ?1 ,?2 ,?,?t 的线性组合; 2) ?1 ,?2 ,?,?t 线性无关. 应该注意,定义中的条件 2)是为了保证基础解系中没有多余的解. 定理 8 在齐次线性方程组有非零解的情况下,它有基础解系,并且基础 解系所含解的个数等于 n ? r ,这里 r 表示系数矩阵的秩 ( 以下将看到, n ? r 也就是自由未知量的个数). 定理的证明事实上就是一个具体找基础解系的方法.

二 、课 时 教 学 内 容
58













小结

由定义容易看出,任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向 量组都是基础解系. 二、一般线性方程组的解的结构 如果把一般线性方程组
? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? b1 , ?a x ? a x ? ? ? a x ? b , ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ???????? ? ? ? a s1 x1 ? a s 2 x 2 ? ? ? a sn x n ? bs

(9)

的常数项换成 0, 就得到齐次线性方程组(1). 齐次线性方程组(1)称为方 程组 (9) 的导出组 . 方程组 (9) 的解与它的导出组 (1) 的之间有密切的关 系: 1. 线性方程组(9)的两个解的差是它的导出组(1)的解. 2. 线性方程组 (9) 的一个解与它的导出组 (1) 的一个解之和还是这 个线性方程组的一个解. 定理 9 如果 ? 0 是线性方程组(9)的一个特解,那么线性方程组(9)的 任一个解 ? 都可以表成

? ? ? 0 ??
其中 ? 是导出组 (1)的一个解 . 因此,对于线性方程组 (9) 的任一个特解

? 0 ,当 ? 取遍它的导出组的全部解时,(10)就给出(9)的全部解.
定理 9 说明了,为了找出一线性方程组的全部解,只要找出它的一个特 殊的解以及它的导出组的全部解就行了.导出组是一个齐次线性方程组, 在上面已经看到,一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表 示.因此,根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般线性方程组 的一般解;如果 ? 0 是线性方程组(9)的一个特解,?1 ,? 2 ,?,?n?r 是其导出 组的一个基础解系,那么(9)的任一个解 ? 都可以表成

二 、课 时 教 学 内 容
59













小结

? ? ? 0 ? k1?1 ? k 2?2 ? ? ? k n?r?n?r
推论 在线性方程组(9)有解的条件下,解是唯一的充要条件是它的 导出组(1)只有零解. 线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关 系.来看线性方程组

?a11 x1 ? a12 x2 ? a13 x3 ? b1 , ? ?a 21 x1 ? a 22 x2 ? a 23 x3 ? b 2 .

(11)

(11)中每一个方程表示一个平面,线性方程组 (11)有没有解的问题就相 当于这两个平面有没有交点的问题.我们知道,两个平面只有在平行而不 重合的情形没有交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是

? a11 A?? ?a ? 21

a12 a 22

a13 ? ? a11 ? ? 与 A ? ?a a 23 ? ? ? 21

a12 a22

a13 a23

b1 ? ?, b2 ? ?

它们的秩可能是 1 或者 2.有三个可能的情形: 1. 秩 A =秩 A =1.这就是的两行成比例,因而这两个平面平行.又因 为 A 的两行也成比例,所以这两个平面重合.方程组有解. 2. 秩 A =1,秩 A =2.这就是说,这两个平面平行而不重合. 方程组 无解. 3. 秩 A =2.这时 A 的秩一定也是 2. 在几何上就是这两个平面不平 行,因而一定相交. 方程组有解. 下面再来看看线性方程组的解的几何意义.设矩阵 A 的秩为 2,这时 一般解中有一个自由未知量,譬如说是 x3 ,一般解的形式为

? x1 ? d1 ? c1 x 3 , ? ? x 2 ? d 2 ? c 2 x3 .

(12)

从几何上看,两个不平行的平面相交在一条直线.把(12)改写一下就 是直线的点向式方程

二 、课 时 教 学 内 容
60













小结

x1 ? d1 x2 ? d 2 ? ? x3 . c1 c2
如果引入参数 t ,令 x3 ? t ,(12)就成为
? x1 ? d1 ? c1t , ? ? x2 ? d 2 ? c2t , ?x ? t . ? 3

(13)

这就是直线的参数方程. (11)的导出方程组是

?a11 x1 ? a12 x 2 ? a13 x3 ? 0 , ? ?a 21 x1 ? a 22 x 2 ? a 23 x3 ? 0 .

(14)

从几何上看,这是两个分别与(11)中平面平行的且过原点的平面,因而 它们的交线过原点且与直线(12)平行.既然与直线(12)平行,也就是有相 同的方向,所以这条直线的参数方程就是
? x1 ? c1t , ? ? x2 ? c2t , ?x ? t . ? 3

(15)

(13)与(15)说明了线性方程组(11)与它的导出组(14)的解之间的关系. 例 1 求线性方程组

? x1 ? x2 ? 5 x3 ? x4 ? 0, ? x ? x ? 2 x ? 3x ? 0, 1 2 3 4 ? 的一个基础解系. ? ? 3x1 ? x2 ? 8 x3 ? x4 ? 0, ? ? x1 ? 3x2 ? 9 x3 ? 7 x4 ? 0
例2 设线性方程组

? x1 ? 3 x 2 ? x3 ? 2 x 4 ? x5 ? ? 4 , ? 3x ? x ? 2 x ? 5 x ? 4 x ? ? 1, 1 2 3 4 5 ? ? ? 2 x1 ? 3 x 2 ? x3 ? x 4 ? x5 ? 4 , ? ? ? 4 x1 ? 16x 2 ? x3 ? 3x 4 ? 9 x5 ? ?21. 用它的导出齐次方程组的基础解系表示它的全部解.

一、章(节、目)授课计划
61





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段 讲授法

第四章

矩阵

§1 矩阵的概念

授课 时数

使学生了解引进矩阵的意义,理解矩阵的概念

要求学生了解引进矩阵的意义,理解矩阵的概念

矩阵的概念

矩阵概念的理解

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

二 、课 时 教 学 内 容
62













小结

在线性方程组的讨论中,我们看到,线性方程组的一些重要性质反 映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上,并且解线性方程组的过程也表 现为变换这些矩阵的过程.除了线性方程组之外,还有大量的各种各样的 问题也都提出矩阵的概念,并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的 某些方面的研究,甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的 问题,归结成矩阵问题以后却是相同的.这使矩阵成为数学中一个极其重 要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个 主要研究对象. 1. 在解析几何中考虑坐标变换时, 如果只考虑坐标系的转轴(反时针 方向转轴),那么平面直角坐标变换的公式为

?x ? x? cos? ? y ? sin ? , ? ? y ? x? sin ? ? y ? cos? ,

(1)

其中 ? 为 x 轴与 x ? 轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系,完全通过公式中 系数所排成的 2 ? 2 矩阵

? cos? ? ? sin ? ?

? sin ? ? ? cos? ? ?

(2)

表示出来.通常, 矩阵(2)称为坐标变换(1)的矩阵.在空间的情形, 保持原点 不动的仿射坐标系的变换有公式
? x ? a11 x ? ? a12 y ? ? a13 z ? , ? ? y ? a 21 x ? ? a 22 y ? ? a 23 z ? , ? z ? a x ? ? a y ? ? a z ?. 31 32 33 ?

(3)

同样,矩阵
? a11 ? ? a 21 ?a ? 31 a12 a 22 a32 a13 ? ? a 23 ? a33 ? ?

(4)

就称为坐标变换(3)的矩阵. 2. 二次曲线的一般方程为

ax2 ? 2bxy ? cy 2 ? 2dx ? 2ey ? f ? 0 .

(5) 第
63

二 、课 时 教 学 内 容



教 (5)的左端可以简单地用矩阵






d? ? e? f? ?

小结

?a b ? ?b c ?d e ?

(6)

来表示.通常, (6)称为二次曲线(5)的矩阵.以后我们会看到, 这种表示法不 只是形式的. 3. 在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵.例如,假设在某一 地 区 , 某一种物资, 比如说煤,有 s 个产地 A1 , A2 ,?, As , n 个销 地

B1 , B2 ,?, Bn ,那么一个调动方案就可以用一个矩阵
? ? ? ? ? ? ? a11 a 21 ? a s1 a12 ? a1n ? ? a 22 ? a 2 n ? ? ? ? ? a s 2 ? a sn ? ?

来表示,其中 aij 表示由产地 Ai 运到销地 B j 的数量. 4. n 维向量也可以看成矩阵的特殊情形. n 维行向量就是 1 ? n 矩阵,

n 维列向量就是 n ? 1 矩阵.
以后用大写的拉丁字母 A, B,? ,或者

?a ?, ?b ?,?
ij ij

来表示矩阵. 有时候,为了指明所讨论的矩阵的级数,可以把 s ? n 矩阵写成

Asn , Bsn ,?,或者

?a ? , ?b ?
ij sn

ij sn

,?

(注意矩阵符号与行列式的符号的区别). 设

A ? ?aij ?mn , ?bij ?lk

, 如 果 m ? l, n ? k

, 且 aij ? bij

, 对

i ? 1 ,2 ,?,m; j ? 1,2 ,?, n 都成立,我们就说 A ? B .即只有完全一样的矩阵

才叫做相等.

一、章(节、目)授课计划
64





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段

§ 2 矩阵的运算

授课 时数

通过本节的学习,使学生能熟练掌握矩阵的几种运算。

通过本节的学习,要求学生能熟练掌握矩阵的几种运算。

矩阵的几种运算

矩阵的乘法运算的定义、法则以及进行乘法运算的前提条件。

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

二 、课 时 教 学 内 容
65













小结

现在来定义矩阵的运算,它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关 系.下面要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置. 为了确定起见,我们取定一个数域,以下所讨论的矩阵全是由数域 中的数组成的. 1. 加法 定义 1 设
A ? ?aij ?sn ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? a11 a 21 ? a s1 b11 b21 ? bs1 a12 ? a1n ? ? a 22 ? a 2 n ? , ? ? ? ? a s 2 ? a sn ? ? b12 ? b1n ? ? b22 ? b2 n ? ? ? ? ? bs 2 ? bsn ? ? a12 ? b12 ? a1n ? b1n ? ? a 22 ? b22 ? a 2 n ? b2 n ? ? ? ? ? a s 2 ? bs 2 ? a sn ? bsn ? ?

B ? ?bij ?sn

是两个 s ? n 矩阵,则矩阵
C ? ?cij ?sn ? ?aij ? bij ?sn ? a11 ? b11 ? ? a ? b21 ? ? 21 ? ? ? a ?b s1 ? s1

称为 A 和 B 的和,记为
C ? A? B.

矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然,相加的矩阵必须要有相 同的行数和列数.由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法,也就是数的 加法,所以不难验证,它有 结合律: A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? C ; 交换律: A ? B ? B ? A . 元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为 Osn ,在不致引起含混的时候, 可简单地记为 O .显然,对所有的 A ,
A? O ? A.

二 、课 时 教 学 内 容
66





教 矩阵







小结

? ? a11 ? a12 ? ? a1n ? ? ? a 21 ? a 22 ? ? a 2 n ? ? ? ? ? ? ?a ? a s 2 ? ? a sn s1 ? 称为矩阵 A 的负矩阵,记为 ? A .显然有
A ? (? A) ? O

? ? ? ? ? ? ?

矩阵的减法定义为
A ? B ? A ? ( ? B)

例如 在§1 我们看到,某一种物资如果有 s 个产地,n 个销地,那么 一个调动方案就可表示为一个 s ? n 矩阵.矩阵中的元素 aij 表示由产地 Ai 要运到销地 B j 的这个物资的数量,比如说吨数.如果从这些产地还有另一 个物资要运到这些销地,那么,这种物资的调动方案也可以表示为一个 矩阵.于是从产地到销地的总的运输量也可以表示为一个 s ? n 矩阵.显然, 这个矩阵就等于上面两个矩阵的和. 根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质,很容易看出: 秩( A + B )≤ 秩( A )+秩( B ) 2. 乘法 在给出乘法定义之前,先看一个引出矩阵问题. 设 x1 , x2 , x3 , x4 和 y1 , y 2 , y3 是两组变量,它们之间的关系为
? x1 ? a11 y1 ? a12 y 2 ? a13 y 3 , ?x ? a y ? a y ? a y , ? 2 21 1 22 2 23 3 ? ? x3 ? a 31 y1 ? a 32 y 2 ? a 33 y 3 , ? ? x 4 ? a 41 y1 ? a 42 y 2 ? a 43 y 3 .

(1)

又如 z1 , z 2 是第三组变量,它们与 y1 , y 2 , y3 的关系为

二 、课 时 教 学 内 容
67













小结

? y1 ? b11 z1 ? b12 z 2 , ? ? y 2 ? b21 z1 ? b22 z 2 , ?y ? b z ? b z . 31 1 32 2 ? 3

(2)

由(1)与(2)不难看出 x1 , x2 , x3 , x4 与 z1 , z 2 的关系:

xi ? ? aik y k ? ? aik (? bkj z j ) ? ?? aik bkj z j
k ?1 2 k ?1 j ?1 k ?1 j ?1

3

3

2

3

2

? ?? aik bkj z j ? ? (? aik bkj )z j
j ?1 k ?1 j ?1 k ?1

3

2

3

. (3)

(i ? 1, 2 , 3 , 4)

如果我们用

xi ? ? cij z j (i ? 1, 2 , 3, 4)
j ?1

2

(4)

来表示 x1 , x2 , x3 , x4 与 z1 , z 2 的关系,比较(3),(4),就有
cij ? ? aik bkj (i ? 1, 2 , 3, 4 ; j ? 1, 2) . (5)
k ?1 3

用矩阵的表示法,我们可以说,如果矩阵

A ? ?aik ?43 , B ? ?bkj ?32
分别表示变量 x1 , x2 , x3 , x4 与 y1 , y 2 , y3 以及 y1 , y 2 , y3 与 z1 , z 2 之间的关系, 那么表示 x1 , x2 , x3 , x4 与 z1 , z 2 之间的关系的矩阵

C ? ?cij ?42
就由公式(5)决定.矩阵 C 称为矩阵 A 与 B 的乘积,记为 C ? AB 一般地,我们有: 定义 2 设

A ? ?aik ?sn , B ? ?bkj ?nm , C ? ?cij ?sm ,

那么矩阵

其中

二 、课 时 教 学 内 容
68





教 其中







小结

cij ? ai1b1 j ? ai 2 b2 j ? ? ? ainbnj ? ? aik bkj , (6)
k ?1

n

称为矩阵 A 与 B 的乘积,记为
C ? AB .

由矩阵乘法的定义可以看出,矩阵 A 与 B 的乘积 C 的第 i 行第 j 列的 元素等于第一个矩阵 A 的第 i 行与第二个矩阵 B 的第 j 列的对应元素的 乘积的和.当然,在乘积的定义中,我们要求第二个矩阵的行数与第一个 矩阵的列数相等. 例1 设

? 1 ? A ? ? ?1 ? 0 ?
那么

0 1 5

?1 3 ?1

? 0 ? 2? ? ? 1 0? , B ?? 3 ? 4? ? ? ?1 ?

3 4? ? 2 1? , 1 ?1 ? ? 2 1 ? ?

? 1 ? AB ? ? ? 1 ? 0 ?
例 2 如果

0 1 5

?1 3 ?1

? 0 2 ?? ?? 1 0 ?? 3 4? ?? ? ?1 ?

3 4? ? ??5 6 7 ? ? 2 1? ? ? ? 10 2 ? 6 ? ? 1 ?1 ? ? ? 2 17 10 ? ? ? ? 2 1 ?

A ? ?aij ?sn
? x1 ? ? b1 ? ? ? ? ? ? x2 ? ?b ? X ?? ? , B ?? 2? ? ? ? ? ? ? ?x ? ?b ? ? n? ? s?

是一线性方程组的系数矩阵,而

分别是未知量和常数项所成的 n ? 1 和 s ? 1 矩阵,那么线性方程组就可以 写成矩阵的等式
AX ? B .

例 3 在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系 ( x1 , y1 , z1 ) 到 ( x2 , y2 , z 2 )

二 、课 时 教 学 内 容
69





教 的坐标变换的矩阵为







小结

? a11 ? A ? ? a 21 ?a ? 31

a12 a 22 a 32

a13 ? ? a 23 ? a 33 ? ?

如果令
? x1 ? ? x2 ? ? ? ? ? X 1 ? ? y1 ? , X 2 ? ? y 2 ? , ?z ? ?z ? ? 1? ? 2?

那么坐标变换的公式可以写成

X 1 ? AX 2 .
如果再作一次坐标系的转轴, 设由第二个坐标系 ( x2 , y2 , z 2 ) 到第三个坐标 系 ( x3 , y3 , z3 ) 的坐标变换公式为

X 2 ? BX 3 ,
其中
? b11 ? B ? ? b21 ?b ? 31 b12 b22 b32 b13 ? ? x3 ? ? ? ? b23 ? , X 3 ? ? y 3 ? . ?z ? b33 ? ? ? 3?

那么不难看出,由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为
C ? AB .

矩阵的乘法适合结合律.设

A ? ?aij ?sn , B ? ?b jk ?nm , C ? ?ckl ?mr

( AB)C ? A( BC) .

但是矩阵的乘法不适合交换律,即一般说来
AB ? BA .

?1 1? ? 1 ? 1? ? ? 例如,设 A ? ? , B ? ? ? 1 ? 1? ? ?1 1 ? ? ? ? ? ?

二 、课 时 教 学 内 容
70













小结

? 1 1 ?? 1 ? 1? ? 0 0 ? ? ? AB ? ? ? ? 1 ? 1? ?? ? ??? ? ?, ? ?? ? 1 1 ? ? 0 0 ?


2 ? ? 1 ? 1?? 1 1 ? ? 2 BA ? ? ? ?1 1 ? ?? ? ? 1 ? 1? ??? ? ? 2 ? 2? ?. ? ?? ? ? ?
由这个例子我们还可看出,两个不为零的矩阵的乘积可以是零,这 是矩阵乘法的一个特点 . 由此还可得出矩阵消去律不成立 .即当 AB ? AC 时,不一定有 B ? C . 定义 3 主对角线上的元素全是 1,其余元素全是 0 的 n ? n 矩阵

?1 ? ?0 ?? ? ?0 ?

0 ? 0? ? 1 ? 0? ? ?? ? 0 ? 1? ?

称为 n 级单位矩阵,记为 E n ,或者在不致引起含混的时候简单写为 E .显 然有

Asn En ? Asn ,
Es Asn ? Asn .
矩阵的乘法和加法还适合分配律,即
A( B ? C ) ? AB ? AC , ( B ? C ) A ? BA ? BC .

(9) (10)

应该指出, 由于矩阵的适合交换律, 所以(9)与(10)是两条不同的规律. 我们还可以定义矩阵的方幂.设 A 是一 n ? n 矩阵,定义
1 ? ?A ? A , ? k ?1 k ? ?A ? A A.

换句话说,A k 就是 k 个 A 连乘.当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义. 由乘法的结合律,不难证明
A k A l ? A k ?l ,

二 、课 时 教 学 内 容
71













小结

( Ak ) l ? Akl .
这里 k , l 是任意正整数.因为矩阵乘法不适合交换律,所以 ( AB) k 与 A k B k 一般不相等. 3. 数量乘法 . 定义 4 矩阵
? ka11 ? ? ka21 ? ? ? ? ka ? s1 ka12 ? ka1n ? ? ka22 ? ka2 n ? ? ? ? ? kas 2 ? kasn ? ?

称为矩阵 A ? aij

? ?

sn

与数 k 的数量乘积,记为 kA .换句话说,用数 k 乘矩阵

就是把矩阵的每个元素都乘上 k . 数量乘积适合以下的规律:
(k ? l ) A ? kA ? lA , k ( A ? B) ? kA ? kB , k (lA) ? (kl) A ,
1A ? A ,

(11) (12) (13) (14) (15)

k ( AB) ? (kA) B ? A(kB) .

矩阵

? k 0 ? 0? ? ? ? 0 k ? 0? kE ? ? ? ? ?? ? ? ?0 0 ? k? ? ?
通常称为数量矩阵.作为(15)的特殊情形,如果 A 是一 n ? n 矩阵,那么有
kA ? (kE) A ? A(kE) .

这个式子说明,数量矩阵与所有的 n ? n 矩阵作乘法是可交换的.可以证 明:如果一个 n 级矩阵与所有 n 级矩阵作乘法是可交换的,那么这个矩阵

二 、课 时 教 学 内 容
72





教 一定是数量矩阵.再有







小结

kE ? lE ? (k ? l ) E , (kE)(lE ) ? (kl) E ,

这就是说,数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法. 4. 转置 把一矩阵 A 的行列互换,所得到的矩阵称为 A 的转置,记为 A? .可确 切地定义如下: 定义 5 设
? ? ? A?? ? ? ? 所谓的转置就是指矩阵 a11 a 21 ? a s1 a11 a12 ? a1n a12 ? a1n ? ? a 22 ? a 2 n ? , ? ? ? ? a s 2 ? a sn ? ? a 21 ? a s1 ? ? a 22 ? a s 2 ? . ? ? ? ? a 2 n ? a sn ? ?

? ? ? A? ? ? ? ? ?

显然, s ? n 矩阵的转置是 n ? s 矩阵. 矩阵的转置适合以下的规律:
( A?)? ? A ,

(16) (17) (18) (19)

( A ? B)? ? A? ? B? , ( AB)? ? B?A? , (kA)? ? kA? .

(16)表示两次转置就还原,这是显然的.
? 2 ? 1 0? ? ? 例 4 设 A ? ?1 ? 1 2 ? , B ? ? 1 1 3 ? ? 4 2 1? ? ?

求 ( AB)? , B?A? .

一、章(节、目)授课计划
73





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段

§ 3 矩阵乘积的行列式与秩

授课 时数

使学习能掌握矩阵乘积的行列式与秩

要求学习能掌握本节的相关理论

矩阵乘积的行列式与秩的相关理论

矩阵乘积秩的相关结论的论证

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

二 、课 时 教 学 内 容
74













小结

定理 1 设 A, B 是数域 P 上的两个 n ? n 矩阵,那么
| AB |?| A || B | ,

(1)

即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积. 用数学归纳法,定理 1 可以推广到多个因子的情形,即有 推论 1 设 A1 , A2 ,?, Am 是数域 P 上的 n ? n 矩阵,于是

| A1 A2 ? Am |?| A1 || A2 | ? | Am |
定义 6 数域 P 上的 n ? n 矩阵 A 称为非退化的,如果 | A |? 0 ,否则称 为退化的. 显然一 n ? n 矩阵是非退化的充要条件是它的秩等于 n . 推论 2 设 A, B 是数域 P 上 n ? n 矩阵,矩阵 AB 为退化的充要条件是
A, B 中至少有一个是退化的.

定理 2 设 A 是数域 P 上 n ? m 矩阵, B 是数域 P 上 m ? s 矩阵,于是

秩( AB) ? min[秩( A), 秩( B)] ,
即乘积的秩不超过各因子的秩.

(2)

用数学归纳法,定理 2 可以推广到多个因子的情形,即有 推论 3 如果 A ? A1 A2 ? At ,那么
秩( A) ? min (秩A j ) .
1? j ?t

一、章(节、目)授课计划
75





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段

§ 4 矩阵的逆

授课 时数

使学生会判断矩阵的可逆性,并求其逆矩阵。

要求学生会判断一个矩阵是否可逆,并进一步求其逆矩阵。

可逆矩阵的性质

逆矩阵的计算

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

二 、课 时 教 学 内 容
76





教 一、可逆矩阵的概念







小结

在§2 我们看到,矩阵与复数相仿,有加、减、乘三种运算.矩阵的 乘法是否也和复数一样有逆运算呢?这就是本节所要讨论的问题. 这一节矩阵,如不特别声明,都是 n ? n 矩阵. 对于任意的级方阵 A 都有
AE ? EA ? A

这里 E 是 n 级单位矩阵.因之,从乘法的角度来看, n 级单位矩阵在级方 阵中的地位类似于 1 在复数中的地位.一个复数 a ? 0 的倒数可以用等式
aa?1 ? 1

来刻划,相仿地,我们引入 定义 7 n 级方阵 A 称为可逆的,如果有 n 级方阵 B ,使得
AB ? BA ? E ,

(1)

这里 E 是 n 级单位矩阵. 首先我们指出,由于矩阵的乘法规则,只有方阵才能满足(1).其次, 对于任意的矩阵 A ,适合等式(1)的矩阵 B 是唯一的(如果有的话). 定义 8 如果矩阵 B 适合(1),那么 B 就称为 A 的逆矩阵,记为 A ?1 . 二、可逆矩阵的逆矩阵的求法 下面要解决的问题是:在什么条件下矩阵 A 是可逆的?如果 A 可逆, 怎样求 A ?1 ? 定义 9 设 Aij 是矩阵
? ? ? A?? ? ? ? a11 a 21 ? a n1 a12 ? a1n ? ? a 22 ? a 2 n ? ? ? ? ? a n 2 ? a nn ? ?

中元素 aij 的代数余子式,矩阵

二 、课 时 教 学 内 容
77













小结

? A11 ? ? A A* ? ? 12 ? ? ? A ? 1n

A21 ? An1 ? ? A22 ? An 2 ? ? ? ? ? A2 n ? Ann ? ?

称为矩阵 A 的伴随矩阵. 由行列式按一行(列)展开的公式立即得出:

?d 0 ? ? ?0 d ? * * AA ? A A ? ? ? ? ? ?0 0 ? ?
其中 d ?| A | . 如果 d ?| A |? 0 ,那么由(2)得

0? ? 0? ? dE , ?? ? d? ?

(2)

1 * 1 A ) ? ( A* ) A ? E . d d 定理 3 矩阵 A 可逆的充要条件是 A 非退化的,而 1 A ?1 ? A* (d ?| A |? 0) d A(

(3)

根据定理 3 容易看出,对于 n 级方阵 A, B ,如果
AB ? E

那么 A, B 就都是可逆的并且它们互为逆矩阵. 定理 3 不但给出了一矩阵可逆的条件,同时也给出了求逆矩阵的公 式(4).按这个公式来求逆矩阵, 计算量一般是非常大的.在以后我们将给出 另一种求法. 由(5)可以看出,如果 | A |? d ? 0 ,那么

| A?1 |? d ?1
推论 如果矩阵 A, B 可逆,那么 A? 与 AB 也可逆,且

( A?) ?1 ? ( A?1 )?

二 、课 时 教 学 内 容
78













小结

( AB) ?1 ? B ?1 A?1 .
利用矩阵的逆,可以给出克拉默法则的另一种推导法.线性方程组
? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? b1 , ?a x ? a x ? ? ? a x ? b , ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ???????? ? ? ? a n1 x1 ? a n 2 x 2 ? ? ? a nn x n ? bn

可以写成
AX ? B .

(6)

如果 | A |? 0 ,那么 A 可逆.用
X ? A ?1 B

代入(6),得恒等式 A( A?1 B) ? B ,这就是说 A ?1 B 是一个解. 如果
X ?C

是(6)的一个解,那么由
AC ? B



A?1 ( AC) ? A?1 B ,

C ? A ?1 B .

这就是说,解 X ? A ?1 B 是唯一的.用 A ?1 的公式(4)代入,乘出来就是克拉 默法则中给出的公式. 定理 4 A 是一个 s ? n 矩阵,如果 P 是 s ? s 可逆矩阵, Q 是 n ? n 可逆 矩阵,那么 秩( A )=秩( PA )=秩( AQ ).

一、章(节、目)授课计划
79





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段 讲授法 启发式

§ 5 矩阵的分块

授课 时数

使学生掌握分块矩阵的乘积与分块矩阵的应用

要求学生掌握分块矩阵的乘积与分块矩阵的应用

分块矩阵的乘积、分块矩阵的应用。

分块矩阵的应用

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

二 、课 时 教 学 内 容
80













小结

在这一节,我们来介绍一个处理级数较高的矩阵时常用的方法,即 矩阵的分块.有时候,我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的,就 如矩阵是由数组成的一样.特别在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处 理.这就是所谓矩阵的分块. 为了说明这个方法,下面看一个例子.在矩阵

?1 ? ?0 A?? ?1 ? ?1 ?
中, E 2 表示级单位矩阵,而

0 1 2 1

0 0 1 0

0? ? 0 ? ? E2 ?? A 0? ? ? ? 1 ? 1?

O? ? E2 ? ?

? ? 1 2? ? 0 0? A1 ? ? ? 1 1? ? , O?? ? 0 0? ?. ? ? ? ?
在矩阵

?1 0 ? ? ?1 2 B?? 1 0 ? ? ?1 ?1 ?
中,

3 0 4 2

2? ? 1 ? ? B11 ?? B 1? ? ? ? 21 ? 0?

B12 ? ? B22 ? ?

? 1 0? ? 3 2? ?1 0? ? 4 1? B11 ? ? ? ? 1 2? ? , B12 ? ? ? 0 1? ? , B21 ? ? ? ? 1 ? 1? ? , B22 ? ? ? 2 0? ?. ? ? ? ? ? ? ? ?
在计算 AB 时,把 A, B 都看成是由这些小矩阵组成的,即按 2 级矩阵来运 算.于是

? E2 AB ? ? ?A ? 1
其中

O ?? B11 ?? ? E2 ? ?? B21

B12 ? ? B11 ? ?? ? ? B22 ? ? A1 B11 ? B21

? ?, A1 B12 ? B22 ? ? B12

? ? 1 2 ?? 1 0 ? ? 1 0 ? ? ? 2 4 ? ? ? ? A1 B11 ? B21 ? ? ? 1 1? ?? ? ??? ? ??? ? ?, ? ?? ? 1 2 ? ? ? 1 ? 1? ? ? 1 1 ? ? ? 1 2 ?? 3 2 ? ? 4 1 ? ? 1 1? ? ? ? A1 B12 ? B22 ? ? ? 1 1? ?? ? ??? ? ??? ? ?. ? ?? 0 1 ? ? 2 0 ? ? 5 3?

二 、课 时 教 学 内 容
81





教 因之







小结

? 1 ? ? ?1 AB ? ? ?2 ? ? ?1 ?
一般,设 A ? ?aik ?sn , B ? bkj
n1 s1 ? A11 ? s 2 ? A21 A? ? ? ? ? st ? ? At1 m1 n1 ? B11 ? n2 ? B21 B? ? ? ? ? nl ? ? Bl1

0 2 4 1

3 0 1 5

2? ? 1? . 1? ? 3? ?

不难验证,直接按 4 级矩阵乘积的定义来作,结果是一样的.

? ?

nm

,把 A, B 分成一些小矩阵
n2 ? nl ? A1l ? ? ? A2l ? , ? ? ? ? Atl ? ? ? mr ? B1r ? ? ? B2 r ? , ? ? ? ? Blr ? ?

A12 A22 ? At 2 m2 B12 B22 ? Bl 2

(1)

(2)

其中每个 Aij 是 si ? n j 小矩阵,每个 Bij 是 ni ? m j 小矩阵,于是有
m1 s1 ? C11 ? s 2 ? C 21 C ? AB ? ? ? ? ? st ? ? C t1 m2 C12 C 22 ? Ct 2
l

? mr ? C1r ? ? ? C2r ? , ? ? ? ? C tr ? ?

(3)

其中
C pq ? Ap1 B1q ? Ap 2 B2 q ? ? ? Apl Blq ? ? Apk Bkq ( p ? 1, 2 ,?, t; q ? 1,2 ,?, r ) .
k ?1

(4) 这个结果是由矩阵乘积的定义直接验证即得. 应该注意,在分块(1),(2)中矩阵的列的分法必须与矩阵的行的分法一致. 以下会看到,分块乘法有许多方便之处.常常在分块之后,矩阵间相互 的关系看得更清楚. 实际上,在证明关于矩阵乘积的秩的定理时,已经用了矩阵分块的想法.在

二 、课 时 教 学 内 容
82













小结

那里,用 B1 , B2 ,?, Bm 表示 B 的行向量,于是
? B1 ? ? ? ?B ? B ? ? 2 ?, ? ? ? ?B ? ? m?

这就是 B 的一种分块.按分块相乘,就有
? a11 B1 ? a12 B2 ? ? ? a1m Bm ? ? ? ? a 21 B1 ? a 22 B2 ? ? ? a 2 m Bm ? AB ? ? ?. ?????? ? ? ?a B ? a B ??? a B ? n2 2 nm m ? ? n1 1

用这个式子很容易看出 AB 的行向量是 B 的行向量的线性组合;将 AB 进 行另一种分块乘法, 从结果中可以看出 AB 的列向量是 A 的列向量的线性 组合. 作为一个例子,我们来求矩阵

? ? ? ? D?? ? ? ? ? ?

a11 ? a k1 c11 ? c r1

? ? ? ?

a1k ? a kk c1k ? c rk

0 ? 0 b11 ? br1

? ? ? ?

0 ? ? ? ? 0 ? ? A O? ??? ? ? b1r ? ? ?C B ? ? ? ? brr ? ?

的逆矩阵,其中 A, B 分别是 k 级和 r 级的可逆矩阵,C 是 r ? k 矩阵,O 是
k ? r 零矩阵. 首先,因为

| D |?| A || B | ,

所以当 A, B 可逆时, D 也可逆.设

? X 11 D ?1 ? ? ?X ? 21

X 12 ? ?, X 22 ? ?

二 、课 时 教 学 内 容
83





教 于是







小结

? A O ?? X 11 ? ?C B ? ?? ? ? ?? X 21

X 12 ? ? Ek ??? ? X 22 ? ? ?O

O? ?, Er ? ?

这里 Ek , Er 分别表示 k 级和 r 级单位矩阵.乘出来并比较等式两边,得
? AX 11 ? E k , ? AX ? O , ? 12 ? ?CX 11 ? BX 21 ? O , ? ?CX 12 ? BX 22 ? E r .

由第一、二式得

X 11 ? A?1 , X 12 ? A?1O ? O ,
代入第四式,得

X 22 ? B ?1 ,
代入第三式,得

BX 21 ? ?CX 11 ? ?CA?1 , X 21 ? ?B ?1CA?1 .
因此

? A ?1 D ?1 ? ? ? ? B ?1CA ?1 ?
特别地,当 C ? O 时,有
? A O? ? ?O B ? ? ? ?
?1

O ? ?. B ?1 ? ?
O ? ?. B ?1 ? ?

? A ?1 ?? ? O ?

形式为
? a1 ? ?0 ?? ? ?0 ? 0 a2 ? 0 0? ? ? 0? ?? ? ? al ? ? ?

的矩阵,其中 a i 是数 (i ? 1, 2 ,?, l ) ,通常称为对角矩阵,而形式为
O? ? A1 ? ? A2 ? ? ? ? ? ? ? ? O ? A l ? ?

二 、课 时 教 学 内 容
84













小结

的矩阵,其中 Ai 是 ni ? ni 矩阵 (i ? 1, 2 ,?, l ) ,通常称为准对角矩阵.当然, 准对角矩阵包括对角矩阵作为特殊情形. 对于两个有相同分块的准对角矩阵
O? O? ? A1 ? B1 ? ? ? ? A2 B2 ? ? ? ? A?? ,B ?? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? O ? O Al ? Bl ? ? ? ? ? 如果它们相应的分块是同级的,那么显然有 O ? A1 B1 ? A2 B2 ? AB ? ? ? ? ? O Al Bl ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

O ? A1 ? B1 ? A2 ? B2 ? A? B ? ? ? ? ? O Al ? Bl ? 它们还是准对角矩阵.

其次,如果 A1 , A2 ,?, Al 都是可逆矩阵,那么

O? ? A1 ? ? A2 ? ? ? ? ? ? ? ? O Al ? ? ?

?1

? A1?1 O ? ? ? ?1 ? ? A2 ?? ?. ? ? ? ?1 ? ? O Al ? ?

一、章(节、目)授课计划
85





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段

§ 6 初等矩阵

授课 时数

通过本节的学习,使学生掌握初等矩阵与初等变换、矩阵等价的概念 及判断、并能熟练掌握利用初等变换求逆矩阵。

通过本节的学习,要求学生掌握初等矩阵与初等变换、矩阵等价的概 念及判断、并能熟练掌握利用初等变换求逆矩阵。

初等矩阵与初等变换、矩阵等价的概念及判断、逆矩阵的求法。

有关初等矩阵与初等变换的的理论、逆矩阵的求法。

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

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小结

这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系,并在这个基 础上,给出用初等变换求逆矩阵的方法. 一、初等矩阵 定义 10 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 显然,初等矩阵都是方阵,每个初等矩阵都有一个与之相应的初等 矩阵.互换矩阵 E 的 i 行与 j 行的位置,得

?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 0 ? 1 ? ? i行 ? ? 1 ? ?, ? P (i, j ) ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? j行 ? ? 1 ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? 用数域 P 中非零数 c 乘 E 的 i 行,有
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? P(i (c)) ? ? c ? i行 , ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 1? ?

把矩阵 E 的 j 行的 k 倍加到 i 行,有

二 、课 时 教 学 内 容
87













小结

i列 ?1 ? ? ? ? 1 ? P(i, j (k )) ? ? ? ? ? ? ?

j列 ? ? ? ? ? k ? i行 ? ? ? , ? j行 1 ? ? ? ? 1?

同样可以得到与列变换相应的初等矩阵.应该指出,对单位矩阵作一 次初等列变换所得的矩阵也包括在上面所列举的这三类矩阵之中 . 譬如 说,把 E 的 i 列的 k 倍加到 j 列,我们仍然得到 P(i, j (k )) .因之,这三类矩 阵就是全部的初等矩阵. 引理 对一个 s ? n 矩阵 A 作一初等行变换就相当于在 A 的左边乘上 相应的 s ? s 初等矩阵;对 A 作一初等列变换就相当于在 A 的右边乘上相 应的 n ? n 的初等矩阵. 不难看出,初等矩阵都是可逆的,它们的逆矩阵还是初等矩阵.事实 上

P(i, j) ?1 ? P(i, j) , P(i(c))?1 ? P(i(c ?1 )) , P(i , j(k ))?1 ? P(i , j(?k )) .
在第二章§5 我们看到,用初等行变换可以化简矩阵.如果同时用行 与列的初等变换,那么矩阵还可以进一步化简.
二、可逆矩阵及其逆矩阵的求法

定义 11 矩阵 A 与 B 称为等价的, 如果 B 可以由 A 经过一系列初等变 换得到. 等价是矩阵间的一种关系.不难证明,它具有反身性、对称性与传递 性. 定理 5 任意一个 s ? n 矩阵 A 都与一形式为

二 、课 时 教 学 内 容
88






? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 ? 0 ? 0 0 1 ? 0 ? 0







小结

0? ? ? 0 ? 0? ? ? ? ? ? 1 ? 0? ? ? ? ? ? 0 ? 0? ? ? 0 ?

的矩阵等价,它称为矩阵 A 的标准形,1 的个数等于 A 的秩(1 的个数可 以是零). 例 1 用初等变换将下列矩阵化为标准形,

?1 ? ?1 A?? 2 ? ?2 ?

1 3 2 4

3 2 6 5

1? ? 5? 7? ? 6? ?

根据引理,对一矩阵作初等变换就相当于用相应的初等矩阵去乘这 个矩阵.因之,矩阵 A , B 等价的充要条件是有初等矩阵 P 1 ,?, P l , Q1 ,?, Qt 使

A? P 1P 2 ?P l BQ 1Q2 ?Qt .

(1)

n 级可逆矩阵的秩为 n ,所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵;反过来
显然也是对的. 定理 6 n 级矩阵 A 为可逆的充要条件是它能表成一些初等矩阵的乘 积:

A ? Q1Q2 ?Qm .

(2)

推论 1 两个 s ? n 矩阵 A , B 等价的充要条件为,存在可逆的 s 级矩阵
P 与可逆的 n 级矩阵 Q 使

A ? PAQ .

把(2)改写一下,有
?1 ?1 ?1 Qm ?Q2 Q1 A ? E .

(3)

因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵,同时在矩阵 A 的左边乘初等矩阵

二 、课 时 教 学 内 容
89













小结

就相当于对 A 作初等行变换,所以(3)说明了 推论 2 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵. 以上的讨论提供了一个求逆矩阵的方法.设 A 是一 n 级可逆矩阵.由推 论 2,有一系列初等矩阵 P1 ,?, Pm 使

Pm ? P 1 A ? E , (4)
由(4)即得

A?1 ? Pm ?P 1 ? P m ?P 1 E .(5)
(4),(5)两个式子说明,如果用一系列初等行变换把可逆矩阵 A 化成单位 矩阵,那么同样地用这一系列初等行变换去化单位矩阵,就得到 A ?1 . 把 A , E 这两个 n ? n 矩阵凑在一起,作成一个 n ? 2n 矩阵
( A E) ,

按矩阵的分块乘法,(4),(5)可以合并写成

Pm ?P E) ? (Pm ?P 1(A 1A

Pm ?P 1 E) ? ( E

A?1 ) .(6)

(6)式提供了一个具体求逆矩阵的方法.作 n ? 2n 矩阵 ( A E ) ,用初等 行变换把它的左边一半化成 E ,这时,右边的一半就是 A ?1 . 例2 设
? 0 1 2? ? ? A ? ? 1 1 4? ? 2 ?1 0? ? ?

求 A ?1 . 当然,同样可以证明,可逆矩阵也能用初等列变换化成单位矩阵, 这就给出了用初等列变换求逆矩阵的方法.

一、章(节、目)授课计划
90





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§ 7 分块乘法的初等变换及应用举例

授课 时数

通过本节的学习,使学生了解分块乘法的初等变换及其应用。

通过本节的学习,要求学生了解分块乘法的初等变换及其应用。

以自学为主

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记

二 、课 时 教 学 内 容
91













小结

将分块乘法与初等变换结合就成为矩阵运算中极端重要的手段. 现设某个单位矩阵如下进行分块:
? Em ? ?O ? O? ?. En ? ?

对它进行两行(列)对换;某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵 P ;一行(列) 加上另一行(列)的 P (矩阵)倍数,就可得到如下类型的一些矩阵:

?O ? ?E ? m


En ? ? P O ? ? Em ? ,? ? ? ? ? ,? O? ? ? O En ? ? O

O ? ? Em ? ,? ? P? ? ?O

P ? ? Em ? ,? ? En ? ? ? P

O? ?. En ? ?

和初等矩阵与初等变换的关系一样,用这些矩阵左乘任一个分块矩

? A B? ? ?C D? ?, ? ?
只要分块乘法能够进行,其结果就是对它进行相应的变换:

?O ? ?E ? n

E m ?? A B ? ? C D ? ?? ?C D? ??? ? A B? ?, O? ? ? ? ? ?

(1)

? P O ?? A B ? ? PA PB? ? ??? ?, ? ? ?O E ? ?? D? D? n ?? C ? ?C ? ? ? Em ? ? P ?

(2)

O ?? A B ? ? A B ? ? ? ? ? . (3) ?? ? ? ? ? En ?? C D ? ? C ? PA D ? PB? ?

同样,用它们右乘任一矩阵,进行分块乘法时也有相应的结果. 在(3)中, 适当选择 P , 可使 C ? PA ? O .例如 A 可逆时, 选 P ? ?CA ?1 , 则 C ? PA ? O .于是(3)的右端成为

B ?A ? ? ? O D ? CA ?1 B ? ? ? ?
这种形状的矩阵在求行列式、逆矩阵和解决其它问题时是比较方便的, 因此(3)中的运算非常有用.

二 、课 时 教 学 内 容
92





教 例1 设







小结

? A O? T ?? ?C D? ?, ? ?
A , D 可逆,求 T ?1 .

例2设

? A B? T1 ? ? ?C D? ?, ? ?
其中 T1 , D 可逆,试证 ( A ? BD?1C) ?1 存在,并求 T1?1 . 例 3 证明行列式的乘积公式 | AB |?| A || B | . 例 4 设 A ? aij

? ?

n?n

,且
a11 ? a1k ? ? ? 0 ,1 ? k ? n , a k 1 ? a kk

则有下三角形矩阵 Bn?n 使
BA =上三角形矩阵.

一、章(节、目)授课计划
93





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第五章

二次型 §1 二次型的矩阵表示

授课 时数

通过本节的学习,使学生掌握二次型及二次型矩阵表示、熟练掌握替 换前后二次型矩阵的关系。

要求学生掌握二次型及二次型矩阵表示、熟练掌握替换前后二次型矩 阵的关系。

二次型及二次型矩阵表示、替换前后二次型矩阵的关系。

二次型及二次型矩阵表示、替换前后二次型矩阵的关系。

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

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教 一、二次型及其矩阵表示







小结

设 P 是一个数域,一个系数在数域 P 中的 x1 ,?, xn 的二次齐次多项式

f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? a11 x12 ? 2a12 x1 x2 ? ? ? 2a1n x1 xn
2 2 ? a22 x2 ? ? ? 2a2 n x2 xn ? ? ? ann xn

(1)

称为数域 P 上的一个 n 元二次型,简称二次型. 定义 1 设 x1 ,?, xn ; y1 ,?, yn 是两组文字,系数在数域 P 中的一组关 系式
? x1 ? c11 y1 ? c12 y 2 ? ? ? c1n y n , ?x ? c y ? c y ? ? ? c y , ? 2 21 1 22 2 2n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x n ? c n1 y1 ? c n 2 y 2 ? ? ? c nn y n

(2)

称为由 x1 ,?, xn 到 y1 ,?, y n 的一个线性替换, 或简称线性替换.如果系数行 列式 c ij ? 0 ,那么线性替换(2)就称为非退化的. 线性替换把二次型变成二次型. 令 aij ? a ji , i ? j . 由于 xi x j ? x j xi , 所以二次型(1)可写成

f ( x1 , x2 , ?, xn ) ? a11 x12 ? a12 x1 x2 ? ? ? a1n x1 xn
2 ? a21 x2 x1 ? a22 x2 ? ? ? a 2 n x 2 xn

? ????
2 ? an1 xn x1 ? an 2 xn x2 ? ? ? ann xn

? ?? aij xi x j
i ?1 j ?1

n

n

(3)

把(3)的系数排成一个 n ? n 矩阵
? a11 ? ?a A ? ? 21 ? ? ?a ? n1 a12 a 22 ? an2 ? a1n ? ? ? a2n ? , ? ?? ? ? a nn ? ?

(4)

它称为二次型(3)的矩阵.因为 aij ? a ji , i, j ? 1,2,?, n, 所以
A? ? A

二 、课 时 教 学 内 容
95













小结

把这样的矩阵称为对称矩阵,因此,二次型的矩阵都是对称的.令
? a11 ? ?a X ?AX ? ? x1 , x 2 , ? , x n ?? 21 ? ? ?a ? n1 a12 a 22 ? an2 ? a1n ?? x1 ? ?? ? ? a 2 n ?? x 2 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? a nn ? ?? x n ?

? a11 x1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ? ? ? ? a 21 x1 ? a 22 x 2 ? ? ? a 2 n x n ? ? ?x1 , x 2 , ? , x n ?? ???????? ? ? ? ?a x ? a x ??? a x ? n2 2 nn n ? ? n1 1 ? ?? aij xi x j
i ?1 j ?1 n n



f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? X ? AX
应该看到二次型 (1) 的矩阵 A 的元素 , 当 i ? j 时 aij

? a ji 正是它的

xi x j 项的系数的一半,而 aii 是 xi2 项的系数,因此二次型和它的矩阵是相
互唯一决定的.由此可得,若二次型

f ( x1, x2 ,?, xn ) ? X ?AX ? X ? BX
且 A? ? 令
? c11 ? ?c C ? ? 21 ? ? ?c ? n1 ? c1n ? ? y1 ? ? ? ? c 22 ? c 2 n ? ?y ? ,Y ? ? 2 ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c n 2 ? c nn ? ? yn ? c12 ? c1n ? ? y1 ? ?? ? c 22 ? c 2 n ? ? y 2 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? c n 2 ? c nn ? ? ? yn ? c12
X ? CY .

A, B? ? B ,则 A ? B .

于是线性替换(4)可以写成
? x1 ? ? c11 ? ? ? ? x 2 ? ? c 21 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? x ? ?c ? n ? ? n1

或者

二 、课 时 教 学 内 容
96













小结

经过一个非退化的线性替换,二次型还是变成二次型,替换后的二 次型与原来的二次型之间有什么关系,即找出替换后的二次型的矩阵与 原二次型的矩阵之间的关系. 设

f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? X ? AX , A ? A?
是一个二次型,作非退化线性替换
X ? CY

(7)

(8)

得到一个 y1 , y 2 ,?, y n 的二次型
Y ?BY



二、矩阵的合同关系 现在来看矩阵 A 与 B 的关系. 把(8)代入(7) ,有
f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? X ?AX ? (CY )? A(CY ) ? Y ?C ?ACY ? Y ?(C ?AC)Y ? Y ?BY.

易看出,矩阵 C ?AC 也是对称的,由此即得

B ? C ?AC .
这是前后两个二次型的矩阵的关系。 定义 2 数域 P 上两个 n 阶矩阵 A , B 称为合同的,如果有数域 P 上 可逆的 n ? n 矩阵 C ,使得
B ? C ?AC .

合同是矩阵之间的一个关系,具有以下性质: 1) 自反性:任意矩阵 A 都与自身合同. 2) 对称性:如果 B 与 A 合同,那么 A 与 B 合同. 3) 传递性:如果 B 与 A 合同, C 与 B 合同,那么 C 与 A 合同. 因此,经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是 合同的。这样把二次型的变换通过矩阵表示出来,为以下的讨论提供了

二 、课 时 教 学 内 容
97





教 有力的工具。







小结

最后指出,在变换二次型时,总是要求所作的线性替换是非退化的。 从几何上看,这一点是自然的因为坐标变换一定是非退化的。一般地, 当线性替换
X ? CY

是非退化时,由上面的关系即得
Y ? C ?1 X .

这也是一个线性替换,它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次 型的性质可以推知原来二次型的一些性质.

一、章(节、目)授课计划
98





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段

§ 2 标准形

授课 时数

通过本节的学习,使学生掌握二次型化成标准形的相关理论以及相应 的矩阵语言的叙述,熟练掌握化二次型为标准形的方法(配方法与合同变 换法) 。

要求学生掌握二次型化成标准形的相关理论以及相应的矩阵语言的叙 述,熟练掌握化二次型为标准形的方法(配方法与合同变换法) 。

二次型的标准形、求标准形的方法。

化二次型为标准形

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
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二 、课 时 教 学 内 容
99





教 一、二次型的标准型







小结

二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型
2 2 . d1x12 ? d2 x2 ? ?? dn xn

(1)

定理 1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方 和(1)的形式. 易知,二次型(1)的矩阵是对角矩阵,
2 2 d1 x12 ? d 2 x2 ? ? ? d n xn

? d1 0 ? ? 0 d2 ? ?x1 , x2 ,?, xn ?? ? ? ? ?0 0 ?

? 0 ?? x1 ? ?? ? ? 0 ?? x2 ? . ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? dn ? ?? xn ?

反过来,矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论,经过 非退化的线性替换,二次型的矩阵变到一个合同的矩阵,因此用矩阵的 语言,定理 1 可以叙述为: 定理 2 在数域 P 上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理 2 也就是说,对于任意一个对称矩阵 A 都可以找到一个可逆矩 阵C 使
C ?AC

成对角矩阵. 二次型 f ( x1, x2 ,?, xn ) 经过非退化线性替换所变成的平方和称为

f ( x1, x2 ,?, xn ) 的标准形.
例 化二次型

f ( x1, x2 ,?, xn ) ? 2x1x2 ? 2x1x3 ? 6x2 x3
为标准形. 二、配方法 1. a11 ? 0, 这时的变量替换为

二 、课 时 教 学 内 容
100













小结

n ? ?1 x ? y ? a11 a1 j y j , ? 1 ? 1 j ?2 ? ? ? x2 ? y 2 , ?????? ? ? ? xn ? y n .


?1 ? 1 ? a11 a12 ? 1 ?0 C1 ? ? ? ?? ?0 0 ? 则上述变量替换相应于合同变换 ?1 ? ? a11 a1n ? ? ? 0 ? , ? ? ? ? ? 1 ? ?

? A ? C1 AC 1

为计算 C1? AC 1 ,可令
? a 22 ? a 2 n ? ? ? ? ? ?a12 , ? , a1n ? , A1 ? ? ? ? ? ?. ?a ? ? n 2 ? a nn ?

于是 A 和 C1 可写成分块矩阵

? a11 A?? ??? ?

??

?1 ? 1 ? a11 ?? ?, ? , C1 ? ? ? ? ? A1 ? ? O En ?1 ?

这里 ? ? 为 ? 的转置, En?1 为 n ? 1 级单位矩阵.这样

O ?? a11 ? 1 ? C1 AC1 ? ? ? ? ? ? a ?1? ? E ? ?? n ?1 ?? ? ? 11 ? a11 ?? ?O ?

? E n ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? a11 ?? 1 ? a11 ? ??? ? ?1 ? ? ? A1 ? a11 ? ?? ?? ? O E n ?1 ? ? O

?1 ? ?? 1 ? a11 ?

?? ? A1 ? ?? O

? ?. A1 ? a ? ?? ? ? O
?1 11

?1 矩阵 A1 ? a11 ? ?? 是一个 (n ? 1) ? (n ? 1) 对称矩阵,由归纳法假定,有

(n ? 1) ? (n ? 1) 可逆矩阵 G 使
?1 G?( A1 ? a11 ? ?? )G ? D

二 、课 时 教 学 内 容
101





教 为对角形,令







小结

? 1 O? C2 ? ? ?O G? ?, ? ?

于是

? 1 O ?? a11 ? ? C 2 C1 AC1C 2 ? ? ? O G?? ?? ? ? ?? O

?? 1 O ? ? a11 ?? ? ?1 ? ??? ? A1 ? a11 ? ?? ? ?? O G ? ? O O

O? ?, D? ?

这是一个对角矩阵,我们所要的可逆矩阵就是

C ? C1C2 .
2. a11 ? 0 但只有一个 aii ? 0 . 这时,只要把 A 的第一行与第 i 行互换,再把第一列与第 i 列互换, 就归结成上面的情形,根据初等矩阵与初等变换的关系,取

?0 ? ?0 ? ? ?0 C1 ? P(1, i ) ? ? ?1 ?0 ? ? ?0 ?
显然

0?0 1?0 ? 0 ?1 0 ?0 0 ?0

1 0 ? 0? ? 0 0 ? 0? ? ? 0 0 ? 0? i 0 0? 0? ? 行 0 1 ? 0 ? ? ? ? 0?0 0 0 ?1 ? ? i列

P(1, i)? ? P(1, i) .

矩阵
? C1 AC1 ? P(1, i ) AP (1, i ) ? 就是把 A 的第一行与第 i 行互换,再把第一列与第 i 列互换.因此, C1 AC 1

左上角第一个元素就是 aii ,这样就归结到第一种情形. 3. aii ? 0, i ? 1,2,?, n, 但有一 a1 j ? 0, j ? 1. 与上一情形类似,作合同变换

二 、课 时 教 学 内 容
102













小结

P(2, j )? AP(2, j )

可以把 a1 j 搬到第一行第二列的位置,这样就变成了配方法中的第二种情 形.与那里的变量替换相对应,取 ?1 1 0 ? 0 ? ? ? ?1 ? 1 0 ? 0 ? C1 ? ? 0 0 1 ? 0 ? , ? ? ???????? ?0 0 0 ? 1 ? ? ?
? 于是 C1 AC 1 的左上角就是

? 2a12 ? ? 0 ?
也就归结到第一种情形. 4. a1 j ? 0, j ? 1,2,?, n.

? ?, ? 2a12 ? ? 0

由对称性, a j1 , j ? 1,2,?, n. 也全为零.于是
?0 A?? ?O ? O? ?, A1 ? ?

A1 是 n ? 1 级对称矩阵.由归纳法假定,有 (n ? 1) ? (n ? 1) 可逆矩阵 G 使
G?A1G ? D
成对角形.取

? 1 O? C ?? ?O G? ?, ? ?
C ? AC 就成对角形.

例 化二次型

f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2x1 x2 ? 2x1 x3 ? 6x2 x3
成标准形.

一、章(节、目)授课计划
103





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段 讲授法

§ 3 唯一性

授课 时数

使学生能熟练掌握实数域与复数域上化二次型为规范形

要求学生能熟练掌握实数域与复数域上化二次型为规范形

二次型的秩、实二次型的规范形、复二次型的规范形。

实数域与复数域上化二次型为规范形及其规范性的唯一性

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

二 、课 时 教 学 内 容
104













小结

经过非退化线性替换,二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第 四章§4 定理 4,合同的矩阵有相同的秩,这就是说,经过非退化线性替 换后,二次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵,而对角矩阵 的秩就等于它对角线上不为零的平方项的个数.因之,在一个二次型的标 准形中,系数不为零的平方项的个数是唯一确定的,与所作的非退化线 性替换无关,二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩. 至于标准形中的系数,就不是唯一确定的.在一般数域内,二次型的 标准形不是唯一的,而与所作的非退化线性替换有关. 下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题. 设 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 是一个复系数的二次型,由本章定理 1,经过一适 当的非退化线性替换后, f ( x1 , x2 ,?, xn ) 变成标准形,不妨假定化的标准 形是
2 d1 y12 ? d 2 y2 ?? ? d r yr2 , d i ? 0, i ? 1,2,?, r .(1)

易知 r 就是 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 的矩阵的秩.因为复数总可以开平方,再作一非 退化线性替换

1 ? ? y1 ? d z1 , 1 ? ?????? ? ?y ? 1 z , r ? r dr ? ?y ? z , r ?1 ? r ?1 ?????? ?y ? z , n ? n
(1)就变成
2 z12 ? z 2 ? ? ? z r2

(2)

(3)

(3)就称为复二次型 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 的规范形.显然,规范形完全被原 二次型矩阵的秩所决定,因此有

二 、课 时 教 学 内 容
105













小结

定理 3 任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换可以 变成规范形,且规范形是唯一的. 定理 3 换个说法就是,任一复数的对称矩阵合同于一个形式为
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 0? ? ?

的对角矩阵.从而有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等. 设 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 是一实系数的二次型.由本章定理 1,经过某一个非 退化线性替换,再适当排列文字的次序,可使 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 变成标准形
2 2 2 d1 y12 ? d 2 y2 ??? d p y 2 p ? d p?1 y p ?1 ? ? ? d r yr , (4)

其中 d i ? 0, i ? 1,2,?, r; r 是 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 的矩阵的秩.因为在实数域中, 正实数总可以开平方,所以再作一非退化线性替换

1 ? y ? z1 , 1 ? d 1 ? ?????? ? ?y ? 1 z , r ? r dr ? ?y ? z , r ?1 ? r ?1 ?????? ?y ? z , n ? n
(4) 就变成
2 2 2 z12 ? z2 ??? z 2 p ? z p?1 ? ? ? z r ,

(5)

(6)

(6)就称为实二次型 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 的规范形 .显然规范形完全被 r , p 这两 个数所决定.

二 、课 时 教 学 内 容
106













小结

定理 4 任意一个实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替换 可以变成规范形,且规范形是唯一的. 这个定理通常称为惯性定理. 定义 3 在实二次型 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 的规范形中, 正平方项的个数 p 称 为 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 的 正 惯 性 指 数 ; 负 平 方 项 的 个 数 r ? p 称 为

f ( x1 , x2 ,?, xn ) 的 负 惯 性 指 数 ; 它 们 的 差 p ? (r ? p) ? 2 p ? r 称 为 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 的符号差.
应该指出,虽然实二次型的标准形不是唯一的,但是由上面化成规 范形的过程可以看出,标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正 平方项的个数是一致的,因此,惯性定理也可以叙述为:实二次型的标 准形中系数为正的平方项的个数是唯一的,它等于正惯性指数,而系数 为负的平方项的个数就等于负惯性指数. 定理 5 (1)任一复对称矩阵 A 都合同于一个下述形式的对角矩阵:
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?I O? . 1 ? ??? r ? ? 0 ? ? ? ?O O? ? ? ? ? ? ? 0? ? ?

其中对角线上 1 的个数等于 A 的秩. (2)任一实对称矩阵 A 都合同于一个下述形式的对角矩阵:

?Ip ? ?0 ? ?0

0 ? I r? p 0

0? ? 0?, ? 0?

其中对角线上 1 的个数 p 及-1 的个数 r ? p ( r 等于 A 的秩)都是唯一确 定的,分别称为 A 的正、负惯性指数,它们的差 2 p ? r 称为 A 的符号差.

一、章(节、目)授课计划
107





授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与 手段

§ 4 正定二次型

授课 时数

通过本节的学习,使学生掌握正定二次型及其性质、并能熟练掌握正 定性以及与正定性平行的几个类型的判别。

通过本节的学习,要求学生掌握正定二次型及其性质、并能熟练掌握 正定性以及与正定性平行的几个类型的判别。

正定二次型及其性质、正定性的判别、与正定二次型平行的几个类型。

正定性以及与正定性平行的几个类型的判别

讲授法

启发式

作业与 思考题 阅读 书目或 参考 资料 教 学 后 记
1.张禾瑞,郝炳新编: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 2.王萼芳: 《高等代数》 ,高等教育出版社。 3.田孝贵等: 《高等代数》 ,高等教育出版社

二 、课 时 教 学 内 容
108





教 一、正定二次型







小结

定义 4 实二次型 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 称为正定的,如果对于任意一组不全 为零的实数 c1 , c2 ,?, cn 都有 f (c1 , c2 ,?, cn ) ? 0 . 实二次型
2 2 f ( x1 , x2 , ?, xn ) ? d1 x12 ? d 2 x2 ? ?? d n x n

是正定的当且仅当 d i ? 0 , i ? 1,2,?, n . 设实二次型

f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? ?? aij xi x j , aij ? a ji ,
i ?1 j ?1

n

n

(1)

是正定的,经过非退化实线性替换
X ? CY

(2)

变成二次型

g ( y1 , y2 ,?, yn ) ? ?? bij yi y j , bij ? b ji ,
i ?1 j ?1

n

n

(3)

则 y1 , y2 ,?, yn 的二次型 g ( y1 , y2 ,?, yn ) 也是正定的,或者说,对于任意 一组不全为零的实数 k1 , k 2 ,?, k n 都有 g (k1 , k 2 ,?, k n ) ? 0 . 因为二次型(3)也可以经非退化实线性替换
X ? C ?1Y

变到二次型(1) ,所以按同样理由,当(3)正定时(1)也正定.这就是 说,非退化实线性替换保持正定性不变. 二、正定二次型的判别 定理 6 实数域上二次型 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 是正定的 数等于 n . 定理 6 说明,正定二次型 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 的规范形为

? 它的正惯性指

二 、课 时 教 学 内 容
109






2 2 y12 ? y 2 ? ? ? yn





容 (5)

小结

定义 5

实对称矩阵 A 称为正定的,如果二次型
X ?AX

正定. 因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵 E,所以一个实对称矩阵是正定 的 ? 它与单位矩阵合同. 推论 正定矩阵的行列式大于零. 定义 6 子式

a11 Pi ? a21

a12 ? a1i a22 ? a2i (i ? 1,2, ? , n)

??????? ai1 ai 2 ? aii

称为矩阵 A ? (aij ) nn 的顺序主子式. 定理 7 实二次型

f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? ?? aij xi x j ? X ?AX
i ?1 j ?1

n

n

是正定的 ? 矩阵 A 的顺序主子式全大于零. 例 判定二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 5x12 ? x2 ? 5x3 ? 4x1 x2 ? 8x1 x3 ? 4x2 x3

是否正定. 定义 7 设 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 是一实二次型,如果对于任意一组不全为零的实 数 c1 , c2 ,?, cn 都有 f (c1 , c2 ,?, cn ) ? 0 ,那么 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 称为负定的;如 果都有 f (c1 , c2 ,?, cn ) ? 0 ,那么 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 称为半正定的;如果都有
f (c1 , c2 ,?, cn ) ? 0 ,那么 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 称为半负定的;如果它既不是半正

定又不是半负定,那么

二 、课 时 教 学 内 容
110






f ( x1 , x2 ,?, xn ) 就称为不定的.







小结

由定理 7 不难看出负定二次型的判别条件.这是因为当 f ( x1 , x2 ,?, xn ) 是负定时, ? f ( x1 , x2 , ?, xn ) 就是正定的. 定理 8 对于实二次型 f ( x1 , x2 , ?, xn ) ? X ?AX ,其中 A 是实对称的,下 列条件等价: (1) f ( x1 , x2 ,?, xn ) 是半正定的; (2)它的正惯性指数与秩相等; (3)有可逆实矩阵 C ,使
? d1 ? ? ? d2 ? ? C ?AC ? ? ? ? ? ? ? dn ? ? ?

其中 d i ? 0 , i ? 1,2,?, n ; (4)有实矩阵 C 使
A ? C ?C .

(5) A 的所有主子式皆大于或等于零; 注意,在(5)中,仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定 性的.比如
? 0 0 ?? x1 ? 2 f ( x1 , x 2 ) ? ? x 2 ? ( x1 , x 2 )? ? 0 ? 1? ?? ? ? ? ? ?? x 2 ?

就是一个反例. 证明 Th8, (5) ? (1) 设 A 的主子式全大于或等于零, Am 是 A 的 m

级顺序主子式, Am 是对应的矩阵

二 、课 时 教 学 内 容
111













小结

? ? a11 ?E m ? Am ?
a 21 ? a m1

a12 ? ? a 22 ? am2

? a1m ? a2m ? ? ? ? ? a mm

? ?m ? P1?m ?1 ? ? ? Pm?1? ? Pm
其中 Pi 是 Am 中一切 i 级主子式之和,由题设 Pi ? 0 ,故当 ? ? 0 时,

?Em ? Am ? 0 , ?E ? A 是正定矩阵.
? ? ?b1 b2 ? b n ? , 若 A 不是半正定矩阵,则存在一个非零向量 X 0
使

? AX 0 ? ?C(C ? 0) X0


??

C C ? 2 ?0 2 2 ? X 0 b1 ? b2 ? ? ? bn X0

? (?E ? A) X 0 ? X 0 ? ?EX 0 ? X 0 ? AX 0 ? C ? C ? 0 X0
与 ? ? 0 时 ?E ? A 是正定矩阵矛盾,故 A 是半正定矩阵. Th8 (1) ? (5) 记 A 的行指标和列指标为 i1 , i2 ,?, ik 的 k 级主子式为

Ak , 对 应 矩 阵 是 Ak , 对 任 意 Y0 ? bi1 , bi2 ,?, bik ? 0 , 有
X 0 ? ?c1 , c2 ,?, cn ? ? 0 ,其中
?b j , j ? i1 , i 2 , ? , i k ; cj ? ? ?0 , j ? i1 , i 2 , ? , i k ,

?

?

? AX 0 ? 0 . 又 A 是半正定矩阵,从而 Y0?Ak Y0 ? X 0
若 Ak ? 0 ,则 P234,12T,存在 Y ? 0 使 Y ?Ak Y ? 0 与 Y ?Ak Y ? 0 矛盾, 所以 Ak ? 0 . ◇设 A 为 n 级实矩阵,且 A ? 0 ,则 A?A, AA? 都是正定矩阵. ◇设 A 为 n ? m 实矩阵,则 A?A, AA? 都是半正定矩阵.

二 、课 时 教 学 内 容
112













小结

证明 A?A 是实对称矩阵, ?X ? R n 令 U ? AX ,则 U 是 m 维实向量
? U ? ?u1 , u 2 , ?, u m ?

?
? A?A

2 2 X ?( A?A) X ? ( X ? A?)(AX ) ? U ?U ? u12 ? u2 ? ? ? um ?0

是半正定矩阵,同理可证 AA? 是半正定矩阵.

◇设 A 是 n 级正定矩阵,则 k ? 0 时, A?1 , kA, A* . An 都是正定矩阵. 证明 由于 A 正定,存在可逆矩阵 C ,使 C ?AC ? E ,

?

C ?1 A?1 (C ?) ?1 ? E ,从而 A ?1 为正定矩阵. ?0 ? X ? R n , X ? AX ? 0 , ? X ?(kA) X ? 0 (k ? 0)
? kA 正定

又 A 正定, A ? 0 , A ?1 正定, A* ? A A?1 正定.
A k ? A ? 0 , A k 对称
k

当 m ? 2k 时, Am ? A2k ? ( Ak )?EAk ,从而 A m 正定. 当 m ? 2k ? 1 时, Am ? A2k ?1 ? ( Ak )? A( Ak ) 所以 A m 与 A 合同,因而 A m 正定.

113


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