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2012年高考数学试题分类汇编--平面向量

时间:2012-10-04


2012 年高考真题理科数学解析汇编:平面向量
一、选择题 1 . ( 2012 年 高 考 ( 天 津 理 ) ) 已 知 △ABC 为 等 边 三 角 形 , A B = 2 , 设 点 P,Q 满 足 ???? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ???? ???? 3 A P = ? A B, A Q = (1 ? ? ) A C , ? ? R ,若 B Q ? C P = ? ,则 ? = ( ) 2

A.

1 2

B.

1? 2

2

C.

1? 2

10

D.

?3 ? 2 2 2

2 .(2012 年高考(浙江理))设 a,b 是两个非零向量.





A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ ,使得 a=λ b D.若存在实数 λ ,使得 a=λ b,则|a+b|=|a|-|b|
3 . (2012 年高考 (重庆理) 设 x , y ? R,向量 a ? ? x ,1 ?, b ? ?1, y ?, c ? ? 2 , ? 4 ? ,且 a ? c , b // c , )

则 a ? b ? _______ A. 5 B. 1 0 C. 2 5 D.10





? ? ? a 4 .(2012 年高考(四川理))设 a 、 b 都是非零向量,下列四个条件中,使 ? ? |a|

? b ? 成立的 |b |

充分条件是 A. a ? ? b
? ? ? ?

( B. a // b C. a ? 2 b
? ?


?

D. a // b 且 | a |? | b |

?

?

?

5 .(2012 年高考(辽宁理))已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a ? b|,则下面结论正确的

是 A.a∥b C.{0,1,3}

( B.a⊥b D.a+b=a ? b



??? ???? ? 6 .(2012 年高考(湖南理))在△ABC 中,AB=2,AC=3, A B ?B C = 1 则 B C ? ___ . (



A. 3

B. 7

C. 2 2

D. 2 3
? ?? ? ??

7 .(2012 年高考(广东理))对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ? ?
? ?

,若平

面 向 量 a 、 b 满 足 a ? b ? 0 , a 与 b 的 夹 角 ? ? ? 0,
?n ? ? n ? Z ? 中,则 a ? b ? 2 ? ?

? ?

? ,且 a ? b 和 b ? a 都在集合 4 ?


3 2 5 2



A.

1 2

B.1

C.
??? ?

D.
??? ?

8 .(2012 年高考(广东理))(向量)若向量 B A ? ? 2, 3 ? , C A ? ? 4, 7 ? ,则 B C ?

????





A. ? ? 2, ? 4 ?
9

B. ? 2 , 4 ?

C. ? 6 ,1 0 ?

D. ? ? 6, ? 1 0 ?

. ( 2012 年 高 考 ( 大 纲 理 ) ) ? A B C 中 , A B 边 上 的 高 为 C D , 若 ???? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? C B ? a , C A ? b , a ? b ? 0, | a |? 1, | b |? 2 ,则 A D ? ( )

4 ? 4 ? a? b 3 5 5 5 ??? ? 10.(2012 年高考(安徽理))在平面直角坐标系中, O (0, 0 ), P (6, 8) ,将向量 O P 按逆时针

A. a ?

1 ?

1? b 3

B.

2 ? 2 ? a? b 3 3

C. a ?

3 ?

3? b 5

D.

旋转

3? 4

后,得向量 O Q ,则点 Q 的坐标是 B. ( ? 7 2 , 2 )

????



) D. ( ? 4 6 , 2 )

A. ( ? 7 2 , ? 2 )
二、填空题

C. ( ? 4 6 , ? 2 )

? ? ? ? ? ? 11.(2012 年高考(新课标理)) 已知向量 a , b 夹角为 4 5 ,且 a ? 1, 2 a ? b ? ? b ? _____

1 0 ;则

12 . ( 2012 年 高 考 ( 浙 江 理 ) ) 在 ? ABC 中 ,M 是 BC 的 中 点 ,AM=3,BC=10, 则
??? ???? ? AB ? AC

=______________.
? 3

13.(2012 年高考(上海理))在平行四边形 ABCD 中,∠A=
| BM | | BC |

, 边 AB、AD 的长分别为 2、 ,则 AM ? AN 的取值范围是

1. 若 M、N 分别是边 BC、CD 上的点,且满足 _________ .

?

| CN | | CD |

14.(2012 年高考(江苏))如图,在矩形 A B C D 中, A B ?

2 ,B C ? 2 , 点 E 为 B C 的

中点,点 F 在边 C D 上,若 A B ? A F ?

??? ?

????

??? ??? ? ? 2 ,则 A E ? B F 的值是____.

15.(2012 年高考(北京理))已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 ???? ??? ? D E ? C B 的值为________;
???? ???? D E ? D C 的最大值为________.

? ? ? ? ? ? 16.(2012 年高考(安徽理))若平面向量 a , b 满足: 2 a ? b ? 3 ;则 a ?b 的最小值是 _____

2012 年高考真题理科数学解析汇编:平面向量参考答案 一、选择题 1.

【答案】A 【命题意图】 本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量 基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用. 【 解 析 】 ∵ B Q = A Q ? A B = (1 ? ? ) A C ? A B , C P = A P ? A C = ? A B ? A C ,
???? ??? ? 3 BQ ?CP = ? 又 ∵ , 且 2 ??? ???? ? ??? ???? ? ??? ???? ??? ???? ? ? 0 0 | A B |= | A C |= 2 , < A B , A C > = 6 0 , A B ? A C = | A B ?|| A C | co s 6 0 = 2 ,∴ ???? ??? ? ??? ???? ? 3 [(1 ? ? ) A C ? A B ]( ? A B ? A C )= ? 2 ??? ? ??? ???? ? ???? 3 2 2 2 ? | A B | + ( ? ? ? ? 1) A B ? A C + (1 ? ? )| A C | = 2 3 1 2 4? +? ? 2 ? ? ( ? 1 ,解得 ? = ?. ) 2 2
???? ???? ??? ? ???? ??? ?

??? ??? ? ?

????

??? ?

????

B

P C Q A

, ,
+


4


( 1 ) =

【答案】C 【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则 a,b 共线,即存在实 数 λ ,使得 a=λ b.如选项 A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b 可为异向的共线向量;选项 B:若 a⊥b, 由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项 D:若存在实数 λ ,使得 a=λ b,a,b 可为同向的共 线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立. 3. 【答案】B
2.

【解析】由 a ? c ? a ? c ? 0 ? 2 x ? 4 ? 0 ? x ? 2 ,由 b / / c ? ? 4 ? 2 y ? y ? ? 2 , 故 | a ? b |?
?
? ? ( 2 ? 1) ? (1 ? 2 ) ?
2 2

?

?

? ?

?

?

10 .

【考点定位】 本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键 在于根据 a ? c 、b / / c ,得到 x , y 的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标 形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算. [答案]D
? ? a b [解析]若使 ? ? ? 成立,则 a与 b方向相同, 选项中只有 D 能保证,故选 D. |a | |b |

?

?

?

4.

[点评]本题考查的是向量相等条件 ? 模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考 易错零向量,其模为 0 且方向任意. 5. 【答案】B 【解析一】由|a+b|=|a ? b|,平方可得 a ? b=0, 所以 a⊥b,故选 B 【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|a ? b|分别为以向量 a,b 为邻 边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a+b|=|a ? b|,所以该平行四边形为矩形,所以 a⊥b,故选 B 【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.

解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解. 6. 【答案】A 【 解 析 】 由 下 图 知
??? ???? ? A B ?B C =
??? ??? ? ? ??? ? A B B C co s( ? ? B ) ? 2 ? B C ? ( ? co s B ) ? 1 .

A

? co s B ?

1 ?2 BC

.又由余弦定理知 co s B ?

AB ? BC ? AC
2 2

2

2 AB ? BC

,解得

B

C

BC ?

3 .

【点评】 本题考查平面向量的数量积运算、 余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结 合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意 A B , B C 的夹角为 ? B 的外角.
7.
? ? ? ? ? ? ? b?a |b | ? ? 【 解 析 】 C; 因 为 b ? a ? ? ? ? ? co s ? ? co s ? ? 1 , 且 a ? b 和 b ? a 都 在 集 合 a ?a |a| ? ? ? ? |a| ? ? 1 1 |b | ?n ? 2 ,所以 a ? b ? ? co s ? ? 2 co s ? ? 2 ,且 ? | n ? Z ? 中,所以 b ? a ? , ? ? 2 | a | 2 co s ? ?2 ? |b |

??? ???? ?

? ? ? ? ? ? 3 2 a ? b ? 2 co s ? ? 1 ,所以 1 ? a ? b ? 2 ,故有 a ? b ? ,选 C. 2 ? ? ? ? |a| ? ? |b | k k k k 2 【另解】C; a ? b ? ? co s ? ? 1 , b ? a ? ? co s ? ? 2 ,两式相乘得 co s ? ? 1 2 , 2 2 4 |b | |a|

因为 ? ? ? 0 ,
?

?

? ?

2 ? co s ? ? ? , k 1 , k 2 均为正整数,于是 4 ? 2
? ?

k1 k 2 2

? 1 ,所以 2 ? k 1 k 2 ? 4 ,

所以 k 1 k 2 ? 3 ,而 a ? b ? 0 ,所以 k 1 ? 3, k 2 ? 1 ,于是 a ? b ?
8. 9.

?

?

3 2

,选 C.

解析:A. B C ? B A ? C A ? ? ? 2, ? 4 ? . 答案 D 【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角 形求解点 D 的位置的运用. 【解析】 a ? b ? 0 可得 ? A C B ? 9 0 ? ,故 A B ? 由
????

????

??? ?

??? ?

? ?

5 ,用等面积法求得 C D ?

2 5 5

,所以

AD ?

4 5 5

,故 A D ?

? 4 ??? ??? ? ? 4 ??? 4 ? 4? A B ? ( C B ? C A ) ? a ? b ,故选答案 D 5 5 5 5

10. 【解析】选 A

【方法一】设 O P ? (1 0 co s ? ,1 0 sin ? ) ? co s ? ?

??? ?

3 5

, sin ? ?

4 5

则 O Q ? (1 0 co s(? ?

)) ? ( ? 7 2 , ? 2 ) 4 4 ??? ? ???? ? 3? 【方法二】将向量 O P ? (6, 8) 按逆时针旋转 后得 O M ? (8, ? 6 ) 2

????

3?

),1 0 sin (? ?

3?

则OQ ? ?
二、填空题

????

1 2

??? ???? ? ? (O P ? O M ) ? ( ? 7 2 , ? 2 )

? 11. 【解析】 b ? 3 2

? ? 2a ? b ?

? ? ? 2 10 ? (2a ? b) ? 10 ? 4 ? b

2

? ? ? ? 4 b co s 4 5 ? 1 0 ? b ? 3 2

12. 【答案】 ? 1 6

【解析】此题最适合的方法是特例法. 假设 ? ABC 是以 AB=AC 的等腰三角形,如图, AM=3,BC=10,AB=AC= 3 4 . cos∠BAC=
34 ? 34 ? 100 2 ? 34 ? ? 8 17
3 2

. AB ? AC =

??? ???? ?

??? ???? ? A B ? A C co s ? B A C ? ? 1 6

13. [解析] 如图建系,则 A(0,0),B(2,0),D( 1 , 2

),C( 5 , 2

3 2

).
y



| BM | | BC |

?

| CN | | CD |
3t 2

? t ?[0,1],则 | BM | ? t , | CN | ? 2 t ,

D

N

C M

t 所以 M(2+ 2 ,

),N( 5 -2t, 2

3 2

),
3t 2

A

B

x

t 故 AM ? AN =(2+ 2 )( 5 -2t)+ 2

?

3 2

= ? t ? 2 t ? 5 ? ? ( t ? 1) ? 6 ? f ( t ) ,
2 2

因为 t?[0,1],所以 f (t)递减,( AM ? AN )max= f (0)=5,( AM ? AN )min= f (1)=2. [评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M 在 B(N 在 C)和 M 在 C(N 在 D),而本 案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!
14. 【答案】 2 .

【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义.
? 【 解 析 】 由 A B? A F
???? A F ?co s ? F A B = D F .

? ? ??

? ? ?? ??? ? ???? 2 , 得 A B ? A F ?co s ? F A B ?

2 ,由矩形的性质,得

∵ AB ?
??? ?

2 ,∴

2 ?D F ?

2 ,∴ D F ? 1 .∴ C F ?

2 ?1.

记 A E 和 B F 之间的夹角为 ? , ? A E B ? ? , ? F B C ? ? ,则 ? ? ? ? ? . 又∵ B C ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,∴ B E ? 1 . ∴

??? ?

??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? A E ? B F = A E ? B F ?co s ? = A E ? B F ?co s ? ? ? ? ? = A E ? B F ?? co s ? co s ? ? sin ? sin ?

?

???? ??? ? ???? ??? ? = A E cos ? ? B F ?cos ? ? A E sin ? ? B F sin ? = B E ?B C ? A B ?C F ? 1 ? 2 ?

2

?

2 ?1 ?

?

2 .

本题也可建立以 A B , A D 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解.
15. 【答案】 1 ; 1
| 【 解 析 】 根 据 平 面 向 量 的 点 乘 公 式 D E ? C B ? D E? D A? ? ? ?? ? ? ?? | D E | c o s ? |D A | ? ? D ? |
????
2

? ? ?? ? ? ??

? ? ?? ? ? ??

? ? ?? ? ? ?? D |E ?| D |Ac o? , 可 知 s

,
? ???? ???? ???? ???? ? ????


? ????


? D

D ? | ?| B ; E E ? D C ? | D| E | ? | D C Ccos ? ? | D E 1? cos ? ,而 | D E | co s ? 就
???? ????

是向量 D E 在 D C 边上的射影,要想让 D E ? D C 最大,即让射影最大,此时 E 点与 B 点 重合,射影为 | D C | ,所以长度为 1 【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含 动点问题,考查学生最值的求法.
? ? 9 16. 【解析】 a ?b 的最小值是 ? 8 ? ? ?2 ?2 ? ? 2 a ? b ? 3 ? 4 a ? b ? 9 ? 4 a ?b
?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 4 a ? b ? 4 a b ? ? 4 a ?b ? 9 ? 4 a ?b ? ? 4 a ?b ? a ?b ? ? 8

????

????


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