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2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5学业分层测评5 绝对值不等式的解法

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学业分层测评(五) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.不等式 1<|x+1|<3 的解集为( A.(0,2) C.(-4,0) 【解析】 由 1<|x+1|<3,得 ) B.(-2,0)∪(2,4) D.(-4,-2)∪(0,2) 1<x+1<3 或-3<x+1<-1, ∴0<x<2 或-4<x<-2, ∴不等式的解集为(-4,-2)∪(0,2). 【答案】 D ) B.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(2,+∞) ?x-2? x-2 ?> 2.不等式? 的解集是( ? x ? x A.(0,2) C.(2,+∞) 【解析】 解得 0<x<2. 【答案】 A x-2 ?x-2? x-2 ?> 由绝对值的意义知,? 等价于 x <0,即 x(x-2)<0, x x ? ? 3.若不等式|ax+2|<6 的解集为(-1,2),则实数 a 的取值为( A.8 C.-4 【解析】 B.2 D.-8 原不等式化为-6<ax+2<6, ) 即-8<ax<4. 又∵-1<x<2,∴验证选项易知 a=-4 适合. 【答案】 C ) 4.若不等式|x+1|+|x-2|≥a 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是( A.a≥3 C.a>3 B.a≤3 D.a<3 【解析】 令 t=|x+1|+|x-2|,由题意知 只要 tmin≥a 即可, 因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,所以 tmin=3,∴a≤3. 即实数 a 的取值范围是(-∞,3],故选 B. 【答案】 B 5.设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R},若 A?B,则实 数 a,b 必满足( A.|a+b|≤3 C.|a-b|≤3 【解析】 ) B.|a+b|≥3 D.|a-b|≥3 由|x-a|<1,得 a-1<x<a+1. 由|x-b|>2,得 x<b-2 或 x>b+2. ∵A?B,∴a-1≥b+2 或 a+1≤b-2, 即 a-b≥3 或 a-b≤-3,∴|a-b|≥3. 【答案】 二、填空题 6.不等式|x-5|-|x+3|≥4 的解集为________. 【导学号:32750023】 【解析】 当 x<-3 时,原不等式为 8≥4 恒成立;当-3≤x≤5 时,原不 D 等式为(5-x)-(x+3)≥4,解得 x≤-1,所以-3≤x≤-1;当 x>5 时,原不等 式为(x-5)-(x+3)≥4, 无解. 综上可知, 不等式|x-5|-|x+3|≥4 的解集为{x|x≤ -1}. 【答案】 {x|x≤-1} ? ? ? 5 ? 1? 7.若关于 x 的不等式|ax-2|<3 的解集为?x?-3 <x<3?,则 a=________. ? ? ? ? ? 【解析】 ∵|ax-2|<3,∴-1<ax<5. 1 5 当 a>0 时,-a<x<a,与已知条件不符; 当 a=0 时,x∈R,与已知条件不符; ? ? 5 ? ? 5 1 1? 当 a<0 时,a<x<-a.又不等式的解集为?x?-3 <x<3?,故 a=-3. ? ? ? ? ? 【答案】 -3 8.若关于 x 的不等式 |x+2|+ |x-1|< a 的解集为 ? ,则 a 的取值范围为 ________. 【解析】 法一: 由|x+2|+|x-1|=|x+2|+|1-x|≥|x+2+1-x|=3, 知 a≤3 时,原不等式无解. 法二:数轴上任一点到-2 与 1 的距离之和最小值为 3. 所以当 a≤3 时,原不等式的解集为?. 【答案】 三、解答题 9.已知关于 x 的不等式|x|>ax+1 的解集为{x|x≤0}的子集,求 a 的取值范 围. 【解】 设 y1=|x|,y2=ax+1. (-∞,3] ?x,x≥0, 则 y1=? ?-x,x<0. 在同一直角坐标系中作出两函数图象,如图所示. |x|>ax+1,只需考虑函数 y1=|x|的图象位于 y2=ax+1 的图象上方的部分, 可知 a≥1,即 a 的取值范围是[1,+∞). 10.已知函数 f(x)=|x-3|+|x-2|+k. (1)若 f(x)≥3 恒成立,求 k 的取值范围; (2)当 k=1 时,求不等式 f(x)<3x 的解集. 【解】 (1)|x-3|+|x-2|+k≥3, 对任意 x∈R 恒成立, 即(|x-3|+|x-2|)min≥3 -k. 又|x-3|+|x-2|≥|x-3-x+2|=1,(|x-3|+|x-2|)min=1≥3-k,解得 k≥2. 6 6 (2)当 x≤2 时,5x>6,解得 x>5,∴5<x≤2. 2 当 2<x<3 时,3x>2,解得 x>3,∴2<x<3. 当 x≥3 时,x>-4,∴x≥3. ?6 ? 综上,解集为?5,+∞?. ? ? [能力提升] 1.如果关于 x 的不等式|x-a|+|x+4|≥1 的解集是全体实数,则实数 a 的取 值范围是( ) A.(-∞,3]∪[5,+∞) B.[-5,-3] C.[3,5] D.(-∞,-5]∪[-3,+∞) 【解析】 【答案】 在数轴上,结合绝对值的几何意义可知 a≤-5 或 a≥-3. D ) 2.若关于 x 的不等式|x+1|≥kx 恒成立,则实数 k 的取值范围是( A.(-∞,0] C.[0,1] 【解析】 B.[-1,0] D.[0,+∞) 作出 y=|x+1|与 y=kx 的图象,如图,当 k<0 时,直线一定经 过第二、四象限,从图看出明显不恒成立;当 k=0 时,直线为 x 轴,符合题意; 当 k>0 时,要使|x+1|≥kx 恒成立,只需 k≤1. 综上可知 k∈[0,1]. 【答案】 C 3.若关于 x 的不等式|x-1|+|x-a|≥a 的解集为 R(其中 R 是实数集),则实 数 a 的取值范围是________. 【解析】 不等式|x-1|+|x-a|≥a 恒成立,

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