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2-3函数的奇偶性

时间:2016-07-20


课时作业(六) 1.已知 f(x)=ax +bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( A.- 1 3 1 B. 3 1 C. 2 D.- 1 2 )
2

)

2.若 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则 g(x)=ax3+bx2+cx 是( A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数

3.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( A.|f(x)|-g(x)是奇函数 B.|f(x)|+g(x)是偶函数

)

C.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.f(x)+|g(x)|是偶函数 )

4.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=( A.-3 B.-1 C.1 D.3

5.已知 f(x)(x∈R)为奇函数,f(2)=1,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(3)等于( A. 1 2 B.1 3 C. 2 D.2

)

6. f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数, 且 f(2)=0, 则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数至少是( A.1 B.4 C.3 D.2 ) 1 - D. (ex-e x) 2

)

7.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex,则 g(x)=( A.ex-e
-x

1 - B. (ex+e x) 2

1 - C. (e x-ex) 2

8.函数 f(x)在定义域 R 上不是常数函数,且 f(x)满足条件:对任意 x∈R,都有 f(2+x)=f(2-x),f(1+x) =-f(x),则 f(x)是( ) A.奇函数但非偶函数 D.是非奇非偶函数 ) C.y=cos2x D.y=sinx+cosx ) D.x(1+x) ) B.偶函数但非奇函数

C.既是奇函数又是偶函数 9.下列函数中,不具有奇偶性的函数是( A.y=ex-e
-x

1+x B.y=lg 1-x

10.已知 f(x)为奇函数,当 x>0,f(x)=x(1+x),那么 x<0,f(x)等于( A.-x(1-x) B.x(1-x) C.-x(1+x)

11.若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)等于( A.-1 B.1 C.-2 D.2

f?x?-f?-x? 12.若函数 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(3)-2f(-3)=0,则 <0 的解集为( 2x A.(-∞,-3)∪(0,3) C.(-3,0)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,0)∪(3,+∞)

)

13.定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 α、β∈R,总有 f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2011,则下列说法正确的是 ( ) A.f(x)-1 是奇函数 B.f(x)+1 是偶函数 C.f(x)-2011 是偶函数 D.f(x)+2011 是奇函数 )

14.在 R 上定义的函数 f(x)是偶函数,且 f(x)=f(2-x).若 f(x)在区间[1,2]上是减函数,则 f(x)( A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数

3 3 15.已知定义域为 R 的函数 f(x)既是奇函数,又是周期为 3 的周期函数,当 x∈(0, )时,f(x)=sinπx,f( ) 2 2 =0,则函数 f(x)在区间[0,6]上的零点个数是( ) A.3 B.5 C.7 D.9

1

1+x 16.设 f(x)= ,又记 f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x)),k=1,2,?,则 f2011(x)=( 1-x A.- 1 x B.x x-1 C. x+1 ) 1+x D. 1-x

)

17.设偶函数 f(x)满足 f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4}

C.{x|x<0 或 x>6}

D.{x|x<-2 或 x>2}

18. 函数 y=f(x)与 y=g(x)有相同的定义域, 且都不是常数函数, 对定义域中任意 x, 有 f(x)+f(-x)=0, g(x)g(- x)=1,且 x≠0,g(x)≠1,则 F(x)= A.是奇函数但不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 2f?x? +f(x)( g?x?-1 )

B.是偶函数但不是奇函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 )

1 - 6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1-2 x,则不等式 f(x)<- 的解集是( 2 A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)

19.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且{x|f(x)>0}={x|1<x<3},则 f(π)+f(-2)与 0 的大小关系是( A.f(π)+f(-2)>0
5 3

)

B.f(π)+f(-2)=0

C.f(π)+f(-2)<0

D.不确定

20.设 f(x)=ax +bx +cx+7(其中 a,b,c 为常数,x∈R),若 f(-2011)=-17,则 f(2011)=________. 21.函数 f(x)=x3+sinx+1 的图像关于________点对称. 22. 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+5)=-f(x)+2, 且当 x∈(0,5)时, f(x)=x, 则 f(2012)的值为________. 23.设 g(x)是定义在 R 上,以 1 为周期的函数,若函数 f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则 f(x) 在区间[0,3]上的值域为________. 24.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数;②f(x)关于直线 x=1 对称;③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数;⑤f(2)=f(0).其中正确的序号是________. 25.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,总有 f(x+2)=-f(x)成立,则 f(19)=________. 26.定义在(-∞,+∞)上的函数 y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且函数 y=f(x+2)为偶函数,则 f(-1), 1 f(4),f(5 )的大小关系是__________. 2 27.设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时,f(x)是单调函数,则满足 f(x)=f( 28.已知定义域为 R 的函数 f(x)= -2x+b 是奇函数. + 2x 1+a x+3 )的所有 x 之和为________. x+4

(1)求 a,b 的值;

(2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

29.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2011).

2

1.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( A.- 1 3 1 B. 3 1 C. 2 D.- 1 2

)

答案

B 解析

?a=1 ?a-1=-2a 3 依题意得? ,∴? ?b=0 ?b=0
C.非奇非偶函数

1 1 ,∴a+b= +0= . 3 3 )

2.若 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则 g(x)=ax3+bx2+cx 是( A.奇函数 答案 B.偶函数 D.既奇又偶函数

A 解析

由 f(x)是偶函数知 b=0,∴g(x)=ax3+cx 是奇函数. )

3.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( A.|f(x)|-g(x)是奇函数 答案 B.|f(x)|+g(x)是偶函数

C.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.f(x)+|g(x)|是偶函数

D 解析 设 F(x)=f(x)+|g(x)|,由 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,得 F(-x)=f(-x)

+|g(-x)|=f(x)+|g(x)|=F(x),∴f(x)+|g(x)|是偶函数,又可判断其他选项不恒成立. 4.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=( A.-3 答案 A 解析 B.-1 C.1 D.3 )

解法一:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x)=2x2-x,

∴f(1)=-f(-1)=-2×(-1)2+(-1)=-3,故选 A. 解法二:设 x>0,则-x<0,∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x)=2x2-x, ∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,又 f(-x)=-f(x),∴f(x)=-2x2-x,∴f(1)=-2×12-1=-3,故选 A. 5.已知 f(x)(x∈R)为奇函数,f(2)=1,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(3)等于( A. 1 2 C 解析 B.1 3 C. 2 D.2 )

答案

令 x=-1,则 f(-1+2)=f(-1)+f(2),

1 1 3 即 f(1)=-f(1)+f(2),∴f(1)= .∴f(3)=f(1)+f(2)= +1= . 2 2 2 6. f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数, 且 f(2)=0, 则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数至少是( A.1 答案 B 解析 B.4 C.3 D.2 )

由 f(2)=0,得 f(5)=0,∴f(-2)=0,f(-5)=0.∴f(-2)=f(-2+3)=f(1)=0,

f(-5)=f(-5+9)=f(4)=0,故 f(x)=0 在区间(0,6)内的解至少有 1,2,4,5 四个解. 点评 本题的易错点是,易忽略条件 f(x)是偶函数,而且还易出现漏根的情况. ) 1 - D. (ex-e x) 2

7.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=ex,则 g(x)=( A.ex-e 答案
- -x

1 - B. (ex+e x) 2

1 - C. (e x-ex) 2


D 解析

由 f(x)+g(x)=ex 可得 f(-x)+g(-x)=e x,又 f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,可得 f(x) ex-e x ,选 D. 2


-g(x)=e x,则两式相减可得 g(x)=

8.函数 f(x)在定义域 R 上不是常数函数,且 f(x)满足条件:对任意 x∈R,都有 f(2+x)=f(2-x),f(1+x) =-f(x),则 f(x)是( ) A.奇函数但非偶函数 D.是非奇非偶函数 B.偶函数但非奇函数

C.既是奇函数又是偶函数 答案 B 解析

依题意得,f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数 f(x)是以 2 为周期的函数,所以 f(-x+2)

=f(-x).又 f(2+x)=f(2-x),因此有 f(-x)=f(x),即 f(x)是偶函数;若 f(x)是奇函数,则有 f(-x)=-f(x) =f(x),得 f(x)=0,这与“f(x)不是常数函数”相矛盾,因此 f(x)是偶函数但不是奇函数,选 B.

3

9.下列函数中,不具有奇偶性的函数是( A.y=ex-e
-x

) C.y=cos2x D.y=sinx+cosx ) D.x(1+x) 答案 D

B.y=lg

1+x 1-x

10.已知 f(x)为奇函数,当 x>0,f(x)=x(1+x),那么 x<0,f(x)等于( A.-x(1-x) 答案 B 解析 B.x(1-x) C.-x(1+x)

当 x<0 时,则-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x).又 f(-x)=-f(x),∴f(x)=x(1-x). )

11.若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)等于( A.-1 答案 A 解析 B.1 C.-2 D.2

∵函数周期 T=5,且为奇函数,∴f(1)=f(1-5)=f(-4)=-f(4)=1.

∴f(4)=-1.又∵f(2)=f(2-5)=f(-3)=-f(3)=2,∴f(3)=-2. ∴f(3)-f(4)=-2-(-1)=-1. f?x?-f?-x? 12.若函数 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(3)-2f(-3)=0,则 <0 的解集为( 2x A.(-∞,-3)∪(0,3) C.(-3,0)∪(0,3) 答案 C B.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,0)∪(3,+∞) )

解析 因为函数 f(x)为奇函数, 所以 f(-x)=-f(x), 所以 f(-3)=-f(3), 由 f(3)-2f(-3)=0,

得 3f(3)=0, f(3)=0.又因为 f(x)在(0, +∞)内是增函数, 所以当 x>3 或-3<x<0 时, f(x)>0; 当 x<-3 或 0<x<3 时,f(x)<0.由 f?x?-f?-x? f?x? <0,即 <0,可知-3<x<0 或 0<x<3,故选 C. 2x x

13.定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 α、β∈R,总有 f(α+β)-[f(α)+f(β)]=2011,则下列说法正确的是 ( ) A.f(x)-1 是奇函数 B.f(x)+1 是偶函数 D.f(x)+2011 是奇函数

C.f(x)-2011 是偶函数 答案 D

解析 令 α=β=0,则得 f(0+0)-[f(0)+f(0)]=2011,

解得 f(0)=-2011,显然 f(0)+2011=0.又令 α=x,β=-x,则有 f(0)-[f(x)+f(-x)]=2011,所以-[f(x)+2011]=f(-x)+2011. 设 g(x)=f(x)+2011,故有 g(-x)=-g(x),所以函数 f(x)+2011 是奇函数.故选 D. 14.在 R 上定义的函数 f(x)是偶函数,且 f(x)=f(2-x).若 f(x)在区间[1,2]上是减函数,则 f(x)( A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数 思路 根据函数是偶函数和关系式 f(x)=f(2-x),可得函数图像的两条对称轴,只要结合这个对称性就 )

可以逐次作出这个函数的图像,结合图像对问题作出结论. 答案 B 解析 解法一:由函数是偶函数,知函数的图像关于 y 轴对称,函数在区间[-2,-1]上的单

调性与在区间[1,2]上的单调性相反,为增函数; 由 f(x)=f(2-x)知函数的图像关于直线 x=1 对称,故函数 在区间[3,4]上的单调性与在区间[-2,-1]上的单调性相反,为减函数.故选 B. 解法二:求解本题的难点在于函数的抽象性,化解难点的基本思想是充分利用函数的性质进行推理, 如根据函数是偶函数可得 f(-x)=f(x),再根据 f(x)=f(2-x),把其中的 x 换成-x 可得 f(-x)=f(2+x),即 f(x)=f(x+2),即函数是周期为 2 的偶函数,再根据 f(x)=f(2-x)推知函数图像关于直线 x=1 对称.

4

3 3 15.已知定义域为 R 的函数 f(x)既是奇函数,又是周期为 3 的周期函数,当 x∈(0, )时,f(x)=sinπx,f( ) 2 2 =0,则函数 f(x)在区间[0,6]上的零点个数是( A.3 答案 D 解析 B.5 ) C.7 D.9

对 R 上的奇函数 f(x),有 f(0)=0;又 f(1)=sinπ=0;再由 T=3,∴f(3)=f(0+3)=f(0)=0;

f(6)=f(3+3)=f(3)=0;f(4)=f(1+3)=f(1)=0;f(-2)=f(-2+3)=f(1)=0,f(2)=-f(-2)=0;f(5)=f(2+ 3 9 3 3 3)=f(2)=0.因为 f( )=0,所以 f( )=f( +3)=f( )=0. 2 2 2 2 3 9 综上可知 f(x)在区间[0,6]上的零点为 0,1, ,2,3,4, ,5,6 共 9 个,故选 D. 2 2 1+x 16.设 f(x)= ,又记 f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x)),k=1,2,?,则 f2011(x)=( 1-x A.- 答案 1 x C 解析 B.x x-1 C. x+1 1+x D. 1-x )

1+ x x-1 1+ x 1 1 x-1 由题得 f2(x)=f( )=- ,f3(x)=f(- )= ,f (x)=f( )=x,f5(x)= =f (x), x x x+1 4 1- x x+1 1- x 1 x-1 . x+1 ) D.{x|x<-2 或 x>2}

其周期为 4,所以 f2011(x)=f3(x)=

17.设偶函数 f(x)满足 f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( A.{x|x<-2 或 x>4} 答案 B 解析 B.{x|x<0 或 x>4}

C.{x|x<0 或 x>6}

当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=(-x)3-8=-x3-8,又 f(x)是偶函数,

3 3 ?x -8,x≥0 ??x-2? -8,x≥2 ∴f(x)=f(-x)=-x3-8,∴f(x)=? 3 .∴f(x-2)=? , 3 ?-x -8,x<0 ?-?x-2? -8,x<2

?x≥0 ?x<0 ? 或? ,解得 x>4 或 x<0.故选 B. 3 3 ?-?x-2? -8>0 ??x-2? -8>0 18. 函数 y=f(x)与 y=g(x)有相同的定义域, 且都不是常数函数, 对定义域中任意 x, 有 f(x)+f(-x)=0, g(x)g(- x)=1,且 x≠0,g(x)≠1,则 F(x)= A.是奇函数但不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 答案 B 解析 2f?x? +f(x)( g?x?-1 )

B.是偶函数但不是奇函数 D.既不是奇函数也不是偶函数

1 由条件知 f(-x)=-f(x),g(-x)= , g?x?

∴F(-x)=

2f?-x? -2f?x? -f?x?· g?x?-f?x? f?x?g?x?+f?x? +f(-x)= -f(x)= = =F(x). 1 g?-x?-1 1-g?x? g?x?-1 -1 g?x? )

1 - 6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1-2 x,则不等式 f(x)<- 的解集是( 2 A.(-∞,-1) 答案 A 解析 B.(-∞,-1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)

1 - 当 x>0 时,1-2 x=1- x>0 与题意不符, 2

当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=1-2x,又∵f(x)为 R 上的奇函数, 1 ∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=1-2x,∴f(x)=2x-1,∴f(x)=2x-1<- , 2 1 1 ∴2x< ,∴x<-1,∴不等式 f(x)<- 的解集是(-∞,-1). 2 2

5

19.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且{x|f(x)>0}={x|1<x<3},则 f(π)+f(-2)与 0 的大小关系是( A.f(π)+f(-2)>0 答案 C 解析 B.f(π)+f(-2)=0 C.f(π)+f(-2)<0 D.不确定

)

由已知得 f(π)<0,f(-2)=-f(2)<0,因此 f(π)+f(-2)<0.

20.设 f(x)=ax5+bx3+cx+7(其中 a,b,c 为常数,x∈R),若 f(-2011)=-17,则 f(2011)=________. 答案 31 解析 f(2011)=a· 20115+b· 20113+c· 2011+7,

f(-2011)=a(-2011)5+b(-2011)3+c(-2011)+7, ∴f(2011)+f(-2011)=14,∴f(2011)=14+17=31. 21.函数 f(x)=x3+sinx+1 的图像关于________点对称. 答案(0,1)解析 f(x)的图像是由 y=x3+sin x 的图像向上平移一个单位得到的.

22. 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+5)=-f(x)+2, 且当 x∈(0,5)时, f(x)=x, 则 f(2012)的值为________. 答案 2 解析 ∵f(x+10)=f[(x+5)+5]=-f(x+5)+2=-[-f(x)+2]+2=f(x).

∴f(x)的一个周期为 10.∴f(2012)=f(10×201+2)=f(2)=2. 23.设 g(x)是定义在 R 上,以 1 为周期的函数,若函数 f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则 f(x) 在区间[0,3]上的值域为________. 答案 [-2,7]

24.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于 f(x)的判断: ①f(x)是周期函数;②f(x)关于直线 x=1 对称;③f(x)在[0,1]上是增函数; ④f(x)在[1,2]上是减函数;⑤f(2)=f(0).其中正确的序号是________. 答案 ①②⑤解析 由 f(x+1)=-f(x)得 f(x+2)=-f(x+1)=f(x),

∴f(x)是周期为 2 的函数,①正确,f(x)关于直线 x=1 对称,②正确, f(x)为偶函数,在[-1,0]上是增函数, ∴f(x)在[0,1]上是减函数,[1,2]上为增函数,f(2)=f(0).因此③、④错误,⑤正确.综上,①②⑤正确. 25.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R,总有 f(x+2)=-f(x)成立,则 f(19)=________. 答案 0 解析 依题意得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即 f(x)是以 4 为周期的函数,因此有 f(19)=f(4×5

-1)=f(-1)=f(1),且 f(-1+2)=-f(-1),即 f(1)=-f(1),f(1)=0,因此 f(19)=0. 26.定义在(-∞,+∞)上的函数 y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且函数 y=f(x+2)为偶函数,则 f(-1), 1 f(4),f(5 )的大小关系是__________. 2 1 答案 f(5 )<f(-1)<f(4) 2 解析 ∵y=f(x+2)为偶函数,∴y=f(x)关于 x=2 对称,

1 又 y=f(x)在(-∞,2)上为增函数,∴y=f(x)在(2,+∞)上为减函数,而 f(-1)=f(5),∴f(5 )<f(-1)<f(4). 2 27.设 f(x)是连续的偶函数,且当 x>0 时,f(x)是单调函数,则满足 f(x)=f( x+3 )的所有 x 之和为________. x+4

x+3 思路 由函数联想图像,若 x, 都在 y 轴一侧,则这两个式子相等,在 y 轴两侧,则其互为相反数,直 x+4 接求解.答案 x+3 x+3 -8 解析 依题意,当满足 f(x)=f( )时,有 x= 时,得 x2+3x-3=0,此时 x1+x2 x+4 x+4

x+3 =-3.又 f(x)是连续的偶函数,∴f(-x)=f(x).∴另一种情形是 f(-x)=f( ), x+4 有-x= x+3 x+3 ,得 x2+5x+3=0.∴x3+x4=-5.∴满足 f(x)=f( )的所有 x 之和为-3+(-5)=-8. x+4 x+4

6

28.已知定义域为 R 的函数 f(x)= (1)求 a,b 的值;

-2x+b 是奇函数. + 2x 1+a

(2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 答案 1 (1)a=2,b=1 (2)k<- 解析 3 (1)因为 f(x)是奇函数,

1 1- 2 b-1 1-2x 1-2 ∴f(0)=0,即 =0?b=1,∴f(x)= =- ?a=2. + ,又由 f(1)=-f(-1)知 a+2 a+2x 1 a+4 a+1 (2)解法一 由(1)知 f(x)= 1-2x + ,易知 f(x)在(-∞,+ ∞)上为减函数.又因 f(x)是奇函数,从而不等 2+2x 1

式:f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因 f(x)为减函数,由上式推得: 1 t2-2t>k-2t2.即对一切 t∈R 有:3t2-2t-k>0,从而判别式 Δ=4+12k<0?k<- . 3 解法二 即:(22t 由(1)知 f(x)=
2-k+1

1-2x 1-2t 2t 1-22 t k + 2 2- + <0, x+1.又由题设条件得: - + 2+2 2+2 t 2t 1 2+22 t k 1
2-2t

2-

2-

+2)(1-2 t

)+(2 t

2-2t+1

+2)(1-22 t

2-k

)<0,

整理得 2

3t2-2t-k

>1,因底数 2>1,故:3t2-2t-k>0

1 上式对一切 t∈R 均成立,从而判别式 Δ=4+12k<0?k<- . 3 29.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x).当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数;(2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2011). 思路 (1)只需证明 f(x+T)=f(x),即可说明 f(x)是周期函数;

(2)由 f(x)在[0,2]上的解析式求得 f(x)在[-2,0]的解析式,进而求 f(x)在[2,4]上的解析式; (3)由周期性求和的值. (1)证明 ∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)解 ∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8,又 f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8,即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3)解 ∵f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=?=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2011)=0.

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