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排列组合问题解法总结

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二十种排列组合问题的解法
排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,首先要认真审题, 弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题;其次要抓住问题的本质特征,采用合理恰当的方 法来处理. 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理. 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题.提高学生解决问题分析问 题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事, n 类办法, 有 在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法, 在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法, …, 在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有: N = m1 + m2 + ? + mn 种不同的方法. 2.分步计数原理(乘法原理) 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1 种不同的方法,做第 2 步有 m2 种不同的方法,…,做 第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有: N = m1 × m2 × ? × mn 种不同的方法. 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立,任何一种方法都可以独立地完成这件事. 分步计数原理各步相互依存,每步中的方法完成事件的一个阶段,不能完成整个事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类. 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 1.由 例 1. 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位,从 1,3,5 三个数中任选一个共有 C3 排法; 然后排首位,从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有 C4 种排法; 最后排中间三个数,从剩余四个数中任选3个的排列数共有 A4 种排法; ∴由分步计数原理得 C4C3 A4 = 288
1 1 3 3 1 1

C4

1

A4

3

C3

1

练习题: 练习题: 7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里, 种法? 种法? 不同种法, 不同种法, 解:先种两种不同的葵花在不受限限制的四个花盒中共有 A4 不同种法,再其它葵花有 A5 不同种法,所以 种不同的种法. 共有不同种法 A4 A5 = 12 × 120 = 1440 种不同的种法.
2 5 2 5

二.相邻元素捆绑策略 例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进 行排列,同时对相邻元素内部进行自排.由分步计数原理可得共有 A5 A2 A2 = 480 种不同的排法.
5 2 2

甲 乙

丙 丁

练习题: 练习题: 某人射击 8 枪,命中 4 枪,4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20 2 命中的三枪捆绑成一枪,与命中的另一枪插入未命中的四枪的空位, 种不的情形. 解:命中的三枪捆绑成一枪,与命中的另一枪插入未命中的四枪的空位,共有 A5 = 20 种不的情形.
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三.不相邻问题插空策略 3.一晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种? 例 3. 解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有 A 5 种,第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的 6 个元素中间 包含首尾两个空位共有种 A 6 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 A 5 A 6
4 5 4 5

练习题: 练习题: 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原 节目单中,且两个新节目不相邻 不相邻, 节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 4.7 例 4. 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总

A77 排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是: 3 A3
(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A 7 种方法,其余的三个位置甲乙丙共有 1 种坐法,则共有 A 7 种方法. (七个空位坐了四人,剩下3个空位按一定顺序坐下甲,乙,丙)
4 4

思考:可以先让甲乙丙就坐吗? 思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
(插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次插入共有 C7 A4 方法. 先选三个座位坐 (
下甲,乙,丙共有 C7 种选法,余下四个空位排其它四人共有
3 4 3 4 A4 种排法,所以共有 C7 A4 种方法. ) 3 4

练习题: 练习题: 5 人身高各不相等,排成前后排, 要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? 10 人身高各不相等,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? C10 五.重排问题求幂策略 例 5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依 此类推,由分步计数原理共有 7 种不同的排法 练习题: 练习题: 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目 节目. 1. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单, 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原 节目单中, 节目单中,那么不同插法的种数为 42 名乘客人,他们到各自的一层下电梯, 2. 某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法 7
8 6

六.环排问题直排策略 环排问题直排策略 如果在圆周上 m 个不同的位置编上不同的号码,那么从 n 个不同的元素的中选取 m 个不同的元素排 在圆周上不同的位置,这种排列和直线排列是相同的;如果从 n 个不同的元素的中选取 m 个不同的元素排 列在圆周上,位置没有编号,元素间的相对位置没有改变,不计顺逆方向,这种排列和直线排列是不同的, 这就是环形排列的问题.一个 m 个元素的环形排列,相当于一个有 m 个顶点的多边形,沿相邻两个点的 弧线剪断,再拉直就是形成一个直线排列,即一个 m 个元素的环形排列对应着 m 个直线排列,设从 n 个 元素中取出 m 个元素组成的环形排列数为 N 个,则对应的直线排列数为 mN 个,又因为从 n 个元素中取 出 m 个元素的排成一排的排列数为 An 个,所以 mN = An ,所以 N =
m m

m An . m

即从 n 个元素中取出 m 个元素组成的环形排列数为 N =
n An n ! n 个元素的环形排列数为 N = = = (n ? 1)! n n

m An . m

例 6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法? 解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人 A 4 并从此位置把圆形展 成直线其余 7 人共有 (8 ? 1)! = 7! 种排法,即 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 840 种
4

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C D E F B A A B C D E F G H A H G 练习题:6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈 120 练习题: 颗颜色不同的钻石, 120 七.多排问题直排策略 例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.先排前4个位置,2个特殊元素有

A 2 种排法,再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 A 1 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有 A 5 种, 4 4 5
(排好后,按前4个为前排,后4人为后排分成两排即可) 则共有 A 4 A 4 A 5 种排法. 练习题: 个座位, 个座位 个座位不能坐, 练习题:有两排座位, 有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座规定前排中间的 3 个座位不能坐, 人不左右相邻, 并且这 2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是 346 由于甲乙二人不能相邻, 1,4,8,11 四个位置和后排第1 12位置是排甲乙中的一个时 位置是排甲乙中的一个时, 解:由于甲乙二人不能相邻,所以前排第 1,4,8,11 四个位置和后排第1,12位置是排甲乙中的一个时, 1 1 1 1 与它相邻的位置只能排除一个,而其它位置要排除3 与它相邻的位置只能排除一个,而其它位置要排除3个,所以共有排列 C6C18 + C14C17 = 108 + 238 = 346 八.排列组合混合问题先选后排策略 例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有 C5 种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装入 4 个不同的盒内有 A 4 种方法,根据分步计数原理装球的方法共有 C5 A 4 练习题: 名战士, 人完成四种不同的任务,每人完成一种任务, 练习题:一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一种任务, 人参加, 且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法有 192 种 九.小集团问题先整体后局部策略 例 9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在 1,5在两个奇数之间,这样的五位数有 多少个?(注:两个偶数2,4在两个奇数1,5之间,这是题意,说这个结构不能被打破,故3只能排这个结构
的外围,也就是说要把这个结构看成一个整体与3进行排列) .
4 2 4 2 2 1 5

解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有 A 2 种排法,再排小集团内部共有 A 2 A 2 种排法,由 分步计数原理共有 A 2 A 2 A 2 种排法. 练习题: 练习题: 幅不同的画, 幅水彩画, 幅油画, 幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连 1.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连 2 5 4 在一起,并且水彩画不在两端, 在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈列方式的种数为 A 2 A 5 A 4 男生和5女生站成一排照像,男生相邻, 2. 5 男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有 A 2 A 5 A 5 种 十.元素相同问题隔板策略 例 10.有 10 个运动员名额,分给 7 个班,每班至少一个,有多少种分配方案? 解:因为 10 个名额没有差别,把它们排成一排.相邻名额之间形成9个空隙.在9个空档中选6个位 置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有 C9 种 分法. 注:这和投信问题是不同的,投信问题的关键是信不同,邮筒也不同,而这里的问题是邮筒不同,但信是 相同的.即班级不同,但名额都是一样的.
6 2 5 5 2 2 2

2

2

2

一 班

二 班

三 班

四 班

五 班

六 班

七 班

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练习题: 练习题: 10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法? 个盒中,每盒至少一有多少装法? 2. x + y + z + w = 100 求这个方程组的自然数解的组数

C94
3 C103

十一. 十一.正难则反总体淘汰策略 例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数,使其和为不小于 10 的偶数,不同的 取法有多少种? 解: 这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法. 这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇 数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有 C5 ,只含有 1 个偶数的取法有 C5C5 ,和为偶数的取法共有
1 1 C5C52 + C53 .再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种,符合条件的取法共有 C5C52 + C53 ? 9 3 1 2

练习题: 位同学, 副班长、 练习题:我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种? 抽法有多少种? 十二. 十二.平均分组问题除法策略 例 12. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法? 解: 分三步取书得 C6 C4 C2 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF,若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该分法记为(AB,CD,EF),则 C6 C4 C2 中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有 A 3 种取法 ,而这些分法仅是
2 C62C4 C22 (AB,CD,EF)一种分法,故共有 种分法. A3 3
3 2 2 2 2 2 2

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 A n ( n 为均分的 组数)避免重复计数。 练习题: 练习题: 个队, 个队, 有多少分法?( 1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法?(
5 C13C84C44 ) A2 2

n

人但正副班长不能分在同一组 正副班长不能分在同一组, 2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 (1540) 1540) 3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安 3.某校高二年级共有六个班级, 名学生, 某校高二年级共有六个班级 排 2 名,则不同的安排方案种数为______( 则不同的安排方案种数为______( ______
2 2 C42C2 A 6 = 90 ) A2 2

十三. 十三. 合理分类与分步策略 例 13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节 目,有多少选派方法 解:10 演员中有 5 人只会唱歌,2 人只会跳舞 3 人为全能演员.选上唱歌人员为标准进行研究 只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 C3 C3 种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员
1 1 2 C5C3C4 种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有 C52C52 种,由分类计数原理共有 1 1 C32C32 + C5C3C42 + C52C52 种. 2 2

解含有约束条件的排列组合问题, 可按元素的性质进行分类, 按事件发生的连续过程分步, 做到标准明确。 分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。 本题还有如下分类标准 还有如下分类标准: 本题还有如下分类标准: 个全能演员是否选上唱歌人员为标准; * 个全能演员是否选上跳舞人员为标准; * ○以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准;○以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准; 人是否选上跳舞人员为标准; * ○以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准;都可经得到正确结果
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练习题: 练习题: 1.从 人参加某个座谈会, 人中必须既有男生又有女生, 1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生,则不同的选法 共有 34 小孩乘船游玩,1 2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船, 人共有多少乘船方法 有多少乘船方法. 27) 只船,但小孩不能单独乘一只船, 这 3 人共有多少乘船方法. (27) 十四. 十四.构造模型策略 例 14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种? 解:把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有 C5 种 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等, 一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可 使问题直观解决 练习题: 个座位, 人就坐,每人左右两边都有空位 那么不同的坐法有多少种?(120) 右两边都有空位, ?(120 练习题:某排共有 10 个座位,若 4 人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多少种?(120)
3

十五. 十五.实际操作穷举策略 例 15.设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每 个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法 解:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 C5 种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应,利用实际操作法,如果剩 下 3,4,5 号球, 3,4,5 号盒,3 号球只能装入 4 号或 5 号盒,共两种装法,当 3 号球装 4 号盒时,则 4,5 号球只有 1 种装法, 同理 3 号球装 5 号盒时,4,5 号球有也只有 1 种装法,由分步计数原理有 2C5 种 . 练习题: 练习题: 1.同一寝室 每人写一张贺年卡集中起来, 1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张 别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种? (9) 别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有多少种? 2.给图中区域涂色 给图中区域涂色, 域不同色, 种可选颜色, 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色, 则不同的着色方法有 72 种 十六. 十六. 分解与合成策略 例 16. 30030 能被多少个不同的偶数整除 分析:先把 30030 分解成质因数的乘积形式 30030=2×3×5 × 7 ×11×13 依题意可知偶因数必先取 2,再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积, 所有的偶因数为: C5 + C5 + C5 + C5 + C5
1 2 3 4 5 2 2

1 3 2 5 4

练习: 个顶点可连成多少对异面直线. 是连成异面直线,所以包括对角线) 连成多少对异面直线 练习:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线.(是连成异面直线,所以包括对角线) 4 解:我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共 C8 ? 12 = 58 ,每个四面体有 对异面直线, 3 对异面直线,正方体中的 8 个顶点可连成 3 × 58 = 174 对异面直线 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然 把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略 把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决 然 后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成 用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 每个比较复 后依据问题分解后的结构 用分类计数原理和分步计数原理将问题合成 从而得到问题的答案 ,每个比较复 杂的问题都要用到这种解题策略 十七. 十七.化归策略 例 17. 25 人排成 5×5 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种? 解:将这个问题退化成 9 人排成 3×3 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,有多 少选法.这样每行必有 1 人从其中的一行中选取 1 人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下 去.从 3×3 方队中选 3 人的方法有 C3C2C1 种. 再从 5×5 方阵选出 3×3 方阵便可解决问题.从 5 ×5 方队中选取 3 行 3 列有 C5 C5 选法所以从 5×5 方阵选不在同一行也不在同一列的 3 人有
1 1 C53C53C3C2C11 选法.从 3 × 3 方阵中任取 3 个人时,因这三人不在同一行同一列, 个人时 因这三人不在同一行同一列, 从 3 3 1 1 1

所以每行必有一人,据此, 所以每行必有一人,据此,从每行任了

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B

A
练习题: 个全等的矩形区组成,其中实线表示马路, 练习题:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成,其中实线表示马路, 的最短路径有多少种 有多少种? 从 A 走到 B 的最短路径有多少种?( C7 = 35 )
3

十八.数字排序问题查字典策略 十八. 例 18.由 0,1,2,3,4,5 六个数字可以组成多少个 没有重复的比 324105 大的数? 解: N = 2 A5 + 2 A4 + A3 + A2 + A1 = 297
5 4 3 2 1

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计 数原理求出其总数。 练习: 这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第 71 个数是 到大排列起来, 练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的 到大排列起来 3140 3140 十九. 十九.树图策略 例 19. 3 人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5 次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传 球方式有______ N = 10 对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算, 对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,树图会收到意想不到的结果 练习: 号码的人与椅, 号椅( 练习: 分别编有 1,2,3,4,5 号码的人与椅,其中 i 号人不坐 i 号椅( i = 1, 2,3, 4,5 )的不同坐法有多 少种? 少种? N = 44 二十. 二十.复杂分类问题表格策略 例 20.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、C、D、E 五个字母,现从中取 5 只,要求各字母均有且 三色齐备,则共有多少种不同的取法 解:

红 黄 兰

1 1 3

1 2 2

1 3 1

2 1 2

2 2 1

3 1 1

取法

1 1 C5C 4

1 2 C5 C 4

1 3 C5 C 4

1 C 52 C 3

C 52 C 32

3 1 C5 C 2

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多 无从入手,经常出现重复遗漏的情况 用表格法,则分类明确 经常出现重复遗漏的情况,用表格法 则分类明确, 一些复杂的分类选取题 要满足的条件比较多, 无从入手 经常出现重复遗漏的情况 用表格法 则分类明确 要满足的条件比较多 能保证题中须满足的条件,能达到好的效 能达到好的效果. 能保证题中须满足的条件 能达到好的效 小结 本节课,我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固.排列组合历来是学习中的难点,通过 我们平时做的练习题,不难发现排列组合题的特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特,数字庞 大,难以验证.同学们只有对基本的解题策略熟练掌握.根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来 解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化,举一反三, 触类旁通,进而为后续学习打下坚实的基础.

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