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2013年深圳市高三年级第一次调研考试数学答案及评分标准

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2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学答案及评分标准 说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部 分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 50 分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D DAB B C CAD 二、填空题:本大题每小题 5 分;第 14、15 两小题中选做一题,如果两题都做,以第 14 题的得分为最后得分),满分 20 分. 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 中, , ( ) ,且 . (1)求点 的坐标; (2)若角 的顶点都为坐标原点且始边都与 轴的非负半轴重合,终边分别经过点 ,求 的 值. 解:(1) ???????.2 分 解得 , 所以 , ???????.6 分 (2)由(1)可知 , , ????????????.10 分

????????????.12 分 【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式,以 及向量的有关知识.考查了运算能力. 17. (本小题满分 12 分) 一次考试中,五名学生的数学、物理成绩如下表所示: 学生

(1) 要从 名学生中选 人参加一项活动, 求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 分的 概率;

(2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图,并求这些数据的线性回归方程 . 解: 从 名学生中任取 名学生的所有情况为: 、 、 、 、 、 、 、 、 、 共种情 况.??? (1) 3分 其中至少有一人物理成绩高于 分的情况有: 、 、 、 、 、 、 共 种情况, 故上述抽取的 人中选 人,选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于 分的概 率 . ????????????????5 分 (2)散点图如右所示. ?????????????????6 分

可求得: == , = = , ?????????????????8 分 = =40, =0.75, , ?????????????????11 分 故 关于 的线性回归方程是: . ?????????????????12 分 【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识,考查了学生的数据处理能力和 应用意识. 18. (本小题满分 14 分) 如图甲, 的直径 ,圆上两点 在直径 的两侧,使 , .沿直径 折起,使两个半圆所在的 平面互相垂直(如图乙) 为 的中点, 为 的中点.根据图乙解答下列各题: , (1)求三棱锥 的体积; (2)求证: ; (3)在 上是否存在一点 ,使得 平面 ?若存在,试确定点 的位置;若不存在,请说明理 由.

解:(1) 为圆周上一点,且 为直径, ∵ 为 中点, , . ∵两个半圆所在平面 与平面 互相垂直且其交线为 , ∴ 平面 , 平面 . ∴ 就是点 到平面 的距离, 在 中, , . ???????????????4 分 (2)在 中, 为正三角形, 又 为 的中点, , ∵两个半圆所在平面 与平面 互相垂直且其交线为 ,

平面 . ∴ . ???????????????9 分 (3)存在, 为 的中点.证明如下: 连接 , ∴ , ∵ 为⊙ 的直径, ∴ ∴ , 平面 , 平面 , ∴ 平面 . 在 中, 分别为 的中点, , 平面 , 平面 , ∴平面 平面 , 又 平面 , 平面 .???????????????14 分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理 能力. 19. (本题满分 14 分) 设 是公比大于 1 的等比数列, 为数列 的前 项和.已知 ,且 是 和 的等差中项. (1)求数列 的通项公式; (2)设 ,数列 的前 项和为 ,求证: . 解: (1)由已知,得 ???????????????3 分 解得 . 设数列 的公比为 ,则 , ∴ . 由 ,可知 , ∴ , 解得 . 由题意,得 . ???????????????????5 分 ∴ . 故数列 的通项为 . ???????????????????7 分 (2)∵ , ????11 分 ∴ .?????????????????14 分 【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质,考查了数列求和的“裂项相消法” ; 考查了学生的运算能力和思维能力. 20. (本题满分 14 分) 已知椭圆 的中心为原点 ,焦点在 轴上,离心率为 ,且点 在该椭圆上. (1)求椭圆 的方程; (2)如图,椭圆 的长轴为 ,设 是椭圆上异于 、 的任意一点, 轴, 为垂足,点 满足 ,

直线 与过点 且垂直于 轴的直线交于点 , .求证: 为锐角.

20.解: (1)设椭圆 C 的方程为 ,由题意可得 , 又 ,∴ . ????????????????2 分 ∵椭圆 C 经过 ,代入椭圆方程有 , 解得 . ????????????????5 分 ∴ , 故椭圆 C 的方程为 . ????????????????6 分 (2)设 , ????????????????7 分 ∵ , ∵ , ∴ , ∴直线 的方程为 . ????????????????9 分 令 ,得 . ∵ , , ∴ . 又 、 、 不在同一条直线, ∴ 为锐角. ???????????????????14 分 【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识,考查学生运算能力、推理论证 以及分析问题、解决问题的能力. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 , 是自然对数的底数. (1)试判断函数 在区间 上的单调性; (2)当 , 时,求整数 的值,使得函数 在区间 上存在零点; (3)若存在 ,使得 ,试求 的取值范围. 解: (1) ??????????1 分 由于 ,故当 时, ,所以 ,????2 分 故函数 在 上单调递增 . ????????????????3 分 (2) , , , ??????????????4 分 当 时, , ,故 是 上的增函数; 同理, 是 上的减函数. ?????????????5 分 ,当 , , 故当 时,函数 的零点在 内, 满足条件; ,当 , , 故当 时,函数 的零点在 内, 满足条件. 综上所述 或 . ???????????????7 分 (3) , 因为存在 ,使得 ,所以当 时, ??????????8 分 , ①当 时,由 ,可知 , ,∴ ; ②当 时,由 ,可知 , ,∴ ;

③当 时, . ∴ 在 上递减,在 上递增,?????????????11 分 ∴当 时, , 而 , 设 ,因为 (当 时取等号) , ∴ 在 上单调递增,而 , ∴当 时, , ∴当 时, , ∴ , ∴ , ∴ ,即 , 设 ,则 . ∴函数 在 上为增函数, ∴ . 即 的取值范围是 ??????????????14 分 【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不 等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力,同时也考查函数与方程思想、化归 与转化思想.


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