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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2第一章精要课件 导数及其应用 习题课

时间:2013-11-11


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【学习要求】
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1.理解用导数研究函数的逼近思想和以直代曲思想. 2.会利用导数讨论函数的单调性、 极值、 最值(多项式次数 不超过三次).

试一试· 双基题目、基础更牢固

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1.函数 f(x)=2x-cos x 在(-∞,+∞)上
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( A )

A.单调递增 C.有最大值
解析

B.单调递减 D.有最小值

f′(x)=2+sin x>0 恒成立,所以 f(x)在(-∞,+∞)

上单调递增.

试一试· 双基题目、基础更牢固

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2.若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且 f(a)≥0,则在(a,b) 内有 A.f(x)>0
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( A ) B.f(x)<0 D.不能确定

C.f(x)=0

解析 因为 f(x)在(a, b)上为增函数, 所以 f(x)>f(a)≥0.

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3.设函数 g(x)=x(x2-1),则 g(x)在区间[0,1]上的最小 ( 2 3 3 A.-1 B.0 C.- D. 9 3 解析 g(x)=x3-x,由 g′(x)=3x2-1=0,
3 3 解得 x1= 3 ,x2=- 3 (舍去). 当 x 变化时,g′(x)与 g(x)的变化状态如下表:

值为

)

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3 所以当 x= 时, 3 ? 3? 2 3 ? ? g(x)有最小值 g? ?=- 9 . ? 3 ?

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4. 设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的 图象如图所示,则导函数 y=f′(x)的图 象可能为
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(

)

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解析

应用函数的单调性与其导函数的正负

关系来判断导函数的图象.
答案 D

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5.若 f(x)在(a,b)内存在导数,则“f′(x)<0”是“f(x)
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充分不必要 在(a,b)内单调递减”的________________条件.
解析 对于导数存在的函数 f(x), 若 f′(x)<0,则 f(x)在区间(a,b)内单调递减,反过来,
函数 f(x)在(a,b)内单调递减,不一定恒有 f′(x)<0,如 f(x)=-x3 在 R 上是单调递减的,但 f′(x)≤0.

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题型一
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函数与其导函数之间的关系

例 1 已知函数 y=xf′(x)的图象如图所 示(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数), 则 y=f(x)的图象大致是 ( )

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解析

当 0<x<1 时,xf′(x)<0,

∴f′(x)<0,故 y=f(x)在(0,1)上为减函数, 排除A、B选项.
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当 1<x<2 时,xf′(x)>0,∴f′(x)>0,
故 y=f(x)在(1,2)上为增函数,因此排除 D.

答案 C

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小结
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研究一个函数的图象与其导函数图象之间

的关系时, 注意抓住各自的关键要素, 对于原函数, 要重点考查其图象在哪个区间内单调递增,在哪个 区间内单调递减;而对于导函数,则应考查其函数 值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并 考查这些区间与原函数的单调区间是否一致.

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跟踪训练 1 已知 R 上可导函数 y=f(x)的图象如图所示, 则不等式(x2-2x-3)f′(x)>0 的解集为 ( D )

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A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,2) C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)

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题型二

利用导数研究函数的单调性、极值、最值

例 2 设函数 f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数 f′(x) 1 =x,g(x)=f(x)+f′(x).
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(1)求 g(x)的单调区间和最小值. 1 (2)讨论 g(x)与 g(x)的大小关系.
1 解 (1)由题设易知 f(x)=ln x,g(x)=ln x+ x, ∴g(x)的定义域为(0,+∞), x-1 ∴g′(x)= 2 .令 g′(x)=0,得 x=1. x 当x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调减区间,

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当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,故(1,+∞)是 g(x)的单调 增区间,∴x=1 是 g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从 而也是最小值点,∴最小值为 g(1)=1.
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?1? (2)g? x?=-ln ? ?

x+x,



?1? h(x)=g(x)-g? x?=2ln ? ?

1 x-x+ , x

?x-1?2 则 h′(x)=- x2 .
当 x=1 时,h(1)=0,即

?1? g(x)=g? x?, ? ?

当 x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h′(x)<0,h′(1)=0, ∴h(x)在(0,+∞)内单调递减,

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?1? g(x)>g?x?; ? ?

∴当 0<x<1 时,h(x)>h(1)=0,即

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?1? 当 x>1 时,h(x)<h(1)=0,即 g(x)<g?x ?. ? ? ?1? 综上知,当 0<x<1 时,g(x)>g? x?; ? ?

当 当

?1? x=1 时,g(x)=g?x ?; ? ? ?1? x>1 时,g(x)<g?x ?. ? ?

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小结 义域.
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(1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定

(2)求闭区间上可导函数的最值时, 对函数极值是极 大值还是极小值可不再作判断, 只需要直接与端点 的函数值比较即可获得. (3)当连续函数的极值点只有一个时, 相应的极值点 必为函数的最值点. (4)利用函数单调性可以判定函数值的大小关系.

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跟踪训练 2 设 a 为实数, 函数 f(x)=ex-2x+2a, x∈R. (1)求 f(x)的单调区间与极值; (2)求证:当 a>ln 2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1.
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(1)解

由 f(x)=ex-2x+2a, x∈R 知 f′(x)=ex-2, x∈R.

令 f′(x)=0,得 x=ln 2.

于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化状态如下表:

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故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是 (ln 2, +∞), f(x)在 x=ln 2 处取得极小值, 极小值为 f(ln 2) =eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a).

(2)证明 设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,
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于是 g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(1)知当 a>ln 2-1 时, g′(x)取最小值 g′(ln 2)=2(1-ln 2+ a)>0. 于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0, 所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln 2-1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>g(0).

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而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>0.

即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1.

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题型三

导数的综合应用

例 3 已知函数 f(x)=x3-ax-1. (1)若 f(x)在实数集 R 上单调递增,求 a 的取值范围;
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(2)是否存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减,若存在,求 出 a 的取值范围,若不存在,请说明理由.
解 (1)f′(x)=3x2-a,

因为 f(x)在 R 上是增函数,所以 f′(x)≥0 在 R 上恒成立. 即 3x2-a≥0 在 R 上恒成立. 即 a≤3x2,而 3x2≥0,所以 a≤0. 当 a=0 时,f(x)=x3-1 在 R 上单调递增,符合题意. 所以 a 的取值范围是(-∞,0].

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(2)假设存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减,
则 f′(x)≤0 在(-1,1)上恒成立. 即 3x2-a≤0 在(-1,1)上恒成立,即 a≥3x2,
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又因为在(-1,1)上,0≤3x2<3,所以 a≥3. 当 a=3 时,f′(x)=3x2-3,在(-1,1)上,f′(x)<0,
所以 f(x)在(-1,1)上单调递减,即 a=3 符合题意,
所以存在实数 a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减,且 a 的取值范围是[3,+∞).

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小结

由已知函数 f(x)是增函数(或减函数)求

参 数 的 取 值 范 围 时 , 应 令 f′(x)≥0( 或
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f′(x)≤0)恒成立,解出参数的取值范围(一般 可用不等式恒成立理论求解), 然后检验参数的 取值能否使 f′(x)恒等于 0,若能恒等于 0,则 参数的这个值应舍去;若 f′(x)不能恒等于 0, 则由 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立解出的参 数的取值范围来确定.

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跟踪训练 3

(1)若函数 f(x)=4x3-ax+3 的单调递 ? 1 1? 减区间是?-2,2?,则实数 a 的值是多少? ? ? ? 1 1? 3 (2)若函数 f(x)=4x -ax+3 在?-2,2?上是单调 ? ? 函数,则实数 a 的取值范围为多少?

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解 (1)f′(x)=12x2-a,
? 1 1? ∵f(x)的单调递减区间为?-2,2?, ? ?

1 ∴x=± 为 f′(x)=0 的两个根, 2 ∴a=3.

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(2)若

? 1 1? f(x)在?-2,2?上为单调增函数, ? ?
? 1 1? 在?-2,2?上恒成立, ? ? ? 1 1? 在?-2,2?上恒成立, ? ?

则 f′(x)≥0
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2

即 12x -a≥0 ∴a≤12x
2

? 1 1? 在?-2,2?上恒成立, ? ?

∴a≤(12x2)min=0.

当 a=0 时,f′(x)=12x2≥0 恒成立(只有 x=0 时 f′(x)=0). ∴a=0 符合题意.

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? 1 1? f(x)在?-2,2?上为单调减函数, ? ?

则 f′(x)≤0
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2

? 1 1? 在?-2,2?上恒成立, ? ? ? 1 1? 在?-2,2?上恒成立, ? ?

即 12x -a≤0 ∴a≥12x
2

? 1 1? 在?-2,2?上恒成立, ? ?

∴a≥(12x2)max=3.
当 a=3 时, f′(x)=12x2-3=3(4x2-1)≤0 恒成 1 立(且只有 x=± 时 f′(x)=0). 2
因此,a 的取值范围为 a≤0 或 a≥3.

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1.函数 f(x)=x2-2ln x 的单调递减区间是
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( A )

A.(0,1] C.(-∞,-1],(0,1)

B.[1,+∞) D.[-1,0),(0,1]

2 2?x+1??x-1? 解析 f′(x)=2x- = , x x

由 f′(x)≤0 结合 x>0 得 0<x≤1.

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2.若函数 y=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数,则 实数 m 的取值范围是 ?1 ? ? 1? A.?3,+∞? B.?-∞,3? ? ? ? ? ?1 ? ? 1? C.?3,+∞? D.?-∞,3? ? ? ? ? ( C )

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解析 若函数 y=x3+x2+mx+1 是 R 上的单调函数, 只需 y′=3x2+2x+m≥0 恒成立,即 Δ=4-12m≤0, 1 ∴m≥ . 3

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3. f′(x)是函数 f(x)的导函数, y=f(x)和 y=f′(x) 设 将 的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是 ( D )
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解析 若函数在给定区间上是增函数,则 y=f′(x)>0, 若函数在给定区间上是减函数,则 y=f′(x)<0.

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4.设 f(x)、g(x)是定义在 R 上的恒大于 0 的可导函数, 且 f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时有( C ) A.f(x)g(x)>f(b)g(b) B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
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C.f(x)g(b)>f(b)g(x)
解析

D.f(x)g(x)>f(a)g(a)

? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? ? 由条件,得? ′= <0. g?x?? g2?x? ? ?

f?x? ∴ 在(a,b)上是减函数. g?x? f?b? f?x? f?a? ∴ < < , g?b? g?x? g?a? ∴f(x)g(b)>f(b)g(x).

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3

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1 2 5. 函数 f(x)=x - x -2x+5, 若对于任意 x∈[-1,2], 2 (7,+∞) 都有 f(x)<m,则实数 m 的取值范围是__________.
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解析 f′(x)=3x2-x-2,令 f′(x)=0, 2 得 x=-3或 x=1.

可判断求得 f(x)max=f(2)=7. ∴f(x)<m 恒成立时,m>7.

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导数作为一种重要的工具,在研究函数中具有重要
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的作用,例如函数的单调性、极值与最值等问题, 都可以通过导数得以解决.不但如此,利用导数研 究得到函数的性质后,还可以进一步研究方程、不 等式等诸多代数问题,所以一定要熟练掌握利用导 数来研究函数的各种方法.


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