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2016届黑龙江省大庆实验中学高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

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2015-2016 学年黑龙江省大庆实验中学高三(上)期末数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设集合 A={x||x﹣2|≤2,x∈R},B={y|y=﹣x2,﹣1≤x≤2},则 A∩B 等于( ) A.R B.{0} C.{x|x∈R,x≠0} D.? 2.化简 的结果是( )

A.2+i B.﹣2+i C.2﹣i D.﹣2﹣i 3.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积是(



A.32

B.

C.48 ,

D. .若点 D 满足 C. D. ,则 =( )

4.在△ABC 中, A. B.

5.若点 P(2,0)到双曲线 ( )

的一条渐近线的距离为

,则双曲线的离心率为

A.

B.

C.

D.

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6.函数 f(x)=sin(ωx) (ω>0)在区间 调递减,则 ω 为( A.1 B.2 C. ) D.

上单调递增,在区间

上单

7.已知 f(x)=ax2+bx+1 是定义在[﹣2a,a2﹣3]上的偶函数,那么 a+b 的值是( A.3 B.﹣1 C.﹣1 或 3 D.1 8.已知不等式 ax2﹣bx﹣1>0 的解集是 解集是( ) D.



,则不等式 x2﹣bx﹣a≥0 的

A.{x|2<x<3} B.{x|x≤2 或 x≥3} C.

9.已知变量 x、y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+y 仅在点(3,0)处取到

最大值,则实数 a 的取值范围( A. ( ,+∞) B. (﹣∞, )

) C. ( ,+∞) D. ( ,+∞)

10.将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 CBD,则三棱锥 C ﹣ABD 的外接球表面积为( ) A.16π B.12π C.8π D.4π 11.已知数列{cn}的前 n 项和为 Tn,若数列{cn}满足各项均为正项,并且以(cn,Tn) (n∈ N*) 为坐标的点都在曲线 上运动, 则称数列{cn}为“抛物

数列”.已知数列{bn}为“抛物数列”,则( ) A.{bn}一定为等比数列 B.{bn}一定为等差数列 C.{bn}只从第二项起为等比数列 D.{bn}只从第二项起为等差数列 12. 已知函数 f (x) 在 (0, A. B. C. D. )上处处可导, 若[f (x)﹣f′(x) ]tanx﹣f(x) <0,则 ( )

一定小于 一定大于 可能大于 可能等于

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上.) 13.已知圆 C 与圆(x﹣1)2+y2=1 关于直线 y=﹣x 对称,则圆 C 的方程为 . 14. cos β= 已知 tan α=﹣ , α∈ , ( π) β∈ , , (0, = ) , 则 tan (α+β) .

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15.已知函数 f(x)=x2+ax+20(a∈R) ,若对于任意 x>0,f(x)≥4 恒成立,则 a 的取值 范围是 . 16.在平面直角坐标系中,设 M、N、T 是圆 C: (x﹣1)2+y2=4 上不同三点,若存在正实 数 a,b,使 =a +b ,则 的取值范围为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤.) 17.在△ABC 中, .

(1)求 tanA; (2)若 BC=1,求 AC?AB 的最大值,并求此时角 B 的大小. 18.已知直线 l: (3+t)x﹣(t+1)y﹣4=0(t 为参数)和圆 C:x2+y2﹣6x﹣8y+16=0: (1)t∈R 时,证明直线 l 与圆 C 总相交: (2)直线 l 被圆 C 截得弦长最短,求此弦长并求此时 t 的值. 19.已知四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形,AA1⊥AC,M、N 分别为棱 AA1、CC1 的中点. (1)求证:直线 MN⊥平面 B1BD; (2)已知 AA1=AB,AA1⊥AB,取线段 C1D1 的中点 Q,求二面角 Q﹣MD﹣N 的余弦值.

20.设数列{an}满足 a1+a2+…+an+2n= (an+1+1) ,n∈N*,且 a1=1,求证: (1)数列{an+2n}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 21.已知椭圆 C 与椭圆 E: 共焦点,并且经过点 ,

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)在椭圆 C 上任取两点 P、Q,设 PQ 所在直线与 x 轴交于点 M(m,0) ,点 P1 为点 P 关于轴 x 的对称点,QP1 所在直线与 x 轴交于点 N(n,0) ,探求 mn 是否为定值?若是, 求出该定值;若不是,请说明理由. 22.已知函数 f(x)=ex+be﹣x, (b∈R) ,函数 g(x)=2asinx, (a∈R) . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 b=﹣1,f(x)>g(x) ,x∈(0,π) ,求 a 取值范围.

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2015-2016 学年黑龙江省大庆实验中学高三(上)期末数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设集合 A={x||x﹣2|≤2,x∈R},B={y|y=﹣x2,﹣1≤x≤2},则 A∩B 等于( ) A.R B.{0} C.{x|x∈R,x≠0} D.? 【考点】交集及其运算. 【分析】由集合 A={x||x﹣2|≤2,x∈R}={x|0≤x≤4,x∈R},B={y|y=﹣x2,﹣1≤x≤ 2}={y|﹣4≤y≤0},求出 A∩B 即可. 【解答】解:∵集合 A={x||x﹣2|≤2,x∈R}={x|0≤x≤4,x∈R}, B={y|y=﹣x2,﹣1≤x≤2}={y|﹣4≤y≤0}, ∴A∩B={0}; 故选:B.

2.化简

的结果是(



A.2+i B.﹣2+i C.2﹣i D.﹣2﹣i 【考点】复数代数形式的混合运算. 【分析】先化简分母,然后分子、分母同乘分母的共轭复数,化为 a+bi(a、b∈R) . 【解答】解: 故选 C 3.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积是( ) = ,

A.32

B.

C.48

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据四棱锥的三视图,得出该四棱锥是正四棱锥,结合图中数据求出它的体积. 【解答】解:根据四棱锥的三视图,得 该四棱锥是底面为正方形,高为 2 的正四棱锥;
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所以该四棱锥的体积是 ×42×2= 故选:B.



4.在△ABC 中, A. B.



.若点 D 满足 C. D.

,则

=(



【考点】向量加减混合运算及其几何意义. 【分析】把向量用一组向量来表示,做法是从要求向量的起点出发,尽量沿着已知向量,走 到要求向量的终点,把整个过程写下来,即为所求.本题也可以根据 D 点把 BC 分成一比 二的两部分入手. 【解答】解:∵由 ∴ ∴ 故选 A . , ,

5.若点 P(2,0)到双曲线 ( )

的一条渐近线的距离为

,则双曲线的离心率为

A.

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】先设过一、三象限的渐近线倾斜角,根据点 P(2,0)到此渐近线的距离为 , 可求出倾斜角 α 的值,进而得到 a,b 的关系,再由双曲线的基本性质 c2=a2+b2 得到 a 与 c 的关系,得到答案. 【解答】解:设过一、三象限的渐近线倾斜角为 α 所以 因此 故选 A.
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? a=b, ,

6.函数 f(x)=sin(ωx) (ω>0)在区间 调递减,则 ω 为( A.1 B.2 C. ) D.

上单调递增,在区间

上单

【考点】正弦函数的图象. 【分析】由单调区间可知 f( 【解答】解:∵f(x)在区间 ∴fmax(x)=f( ∴sin 故选 B. 7.已知 f(x)=ax2+bx+1 是定义在[﹣2a,a2﹣3]上的偶函数,那么 a+b 的值是( A.3 B.﹣1 C.﹣1 或 3 D.1 ) =1, )=1,且( = )=1. 上单调递增,在区间 上单调递减,

,1)为 f(x)在第一象限内的第一个最高点,

,∴ω=2.

【考点】二次函数的性质. 【分析】由定义域关于原点对称求出 a 的值,再由 f(﹣x)=f(x)求得 b 的值,则答案可 求. 【解答】解:由 f(x)=ax2+bx 是定义在[﹣2a,a2﹣3]上的偶函数, 得 a2﹣2a﹣3=0,解得:a=﹣1(舍)或 a=3. 再由 f(﹣x)=f(x) ,得 a(﹣x)2﹣bx=ax2+bx,即 bx=0,∴b=0. 则 a+b=3+0=3. 故选:A. 8.已知不等式 ax2﹣bx﹣1>0 的解集是 解集是( ) D. ,则不等式 x2﹣bx﹣a≥0 的

A.{x|2<x<3} B.{x|x≤2 或 x≥3} C. 【考点】一元二次不等式的解法.

【分析】由已知可知,ax2﹣bx﹣1=0 的两根为﹣ ,﹣ ;根据一元二次方程根与系数的关 系可求 a,b,进一步解方程. 【解答】解:由题意 ax2﹣bx﹣1=0 的两根为﹣ ,﹣ , ∴﹣ +(﹣ )= ,﹣ ×(﹣ )=﹣ , 解得 a=﹣6,b=5, ∴x2﹣bx﹣a≥0 为 x2﹣5x+6≥0,其解集为 x≤2 或 x≥3, 故不等式的解集为{x|x≤2 或 x≥3},
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故选:B.

9.已知变量 x、y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+y 仅在点(3,0)处取到

最大值,则实数 a 的取值范围( A. ( ,+∞) B. (﹣∞, )

) C. ( ,+∞) D. ( ,+∞)

【考点】简单线性规划. 0) 【分析】 由题意作出其平面区域, 由目标函数 z=ax+y 仅在点 ( 3, 处取到最大值, 将 z=ax+y 化为 y=﹣a(x﹣3)+z,z 相当于直线 y=﹣a(x﹣3)+z 的纵截距,则﹣a 【解答】解:由题意作出其平面区域, .

由目标函数 z=ax+y 仅在点(3,0)处取到最大值, 将 z=ax+y 化为 y=﹣a(x﹣3)+z, z 相当于直线 y=﹣a(x﹣3)+z 的纵截距, 则﹣a 则a , ,

故选 C. 10.将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 CBD,则三棱锥 C ﹣ABD 的外接球表面积为( ) A.16π B.12π C.8π D.4π 【考点】球内接多面体;球的体积和表面积. 【分析】根据题意,画出图形,结合图形得出三棱锥 C﹣ABD 的外接球直径,从而求出外 接球的表面积. 【解答】解:将边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,得到三棱锥 C﹣ABD, 如图所示:

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则 BC⊥CD,BA⊥AD; 三棱锥 C﹣ABD 的外接球直径为 BD=2 外接球的表面积为 4πR2= 故选:C. π=8π.



11.已知数列{cn}的前 n 项和为 Tn,若数列{cn}满足各项均为正项,并且以(cn,Tn) (n∈ N*) 为坐标的点都在曲线 上运动, 则称数列{cn}为“抛物

数列”.已知数列{bn}为“抛物数列”,则( ) A.{bn}一定为等比数列 B.{bn}一定为等差数列 C.{bn}只从第二项起为等比数列 D.{bn}只从第二项起为等差数列 【考点】数列的函数特性. 【分析】以(cn,Tn) (n∈N*)为坐标的点都在曲线 运动,可得 Tn= + 上

+ .当 n≥2 时,cn=Tn﹣Tn﹣1,化为: (cn+cn﹣1) (cn﹣cn﹣1﹣1)

=0,由于数列{cn}满足各项均为正项,可得 cn﹣cn﹣1=1,即可得出. Tn) 【解答】 解: ∵以 (cn, (n∈N*) 为坐标的点都在曲线 上运动, ∴aTn= + cn+b,即 Tn= + + .

当 n=1 时,ac1=

+ ac1+b,化为

﹣c1+

=0,解得 c1=



c1=



当 n≥2 时,cn=Tn﹣Tn﹣1=

+

+ ﹣

,化为: (cn+cn﹣1) (cn

﹣cn﹣1﹣1)=0, ∵数列{cn}满足各项均为正项, ∴cn﹣cn﹣1=1, ∴数列{bn}为等差数列,公差为 1,首项为 c1. 故选:B.

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12. 已知函数 f (x) 在 (0, A. B. C. D.

)上处处可导, 若[f (x)﹣f′(x) ]tanx﹣f(x) <0,则 (



一定小于 一定大于 可能大于 可能等于

【考点】导数的运算. 【分析】构造 g(x)=f(x)sinx,根据已知条件判断 g(x)与 g′(x)的关系,再构造 h(x) = ,判断 h(x)的单调性,利用单调性得出结论.

【解答】解:∵[f(x)﹣f′(x)]tanx﹣f(x)<0,∴f(x)sinx<f′(x)sinx+f(x)cosx. 令 g(x)=f(x)sinx,则 g′(x)=f′(x)sinx+f(x)cosx>f(x)sinx=g(x) .∴g′(x)﹣ g(x)>0. 令 h(x)= ,则 h′(x)= >0.∴h(x)是增函数.

∴h(ln )<h(ln ) ,即



,化简得 f(ln )

sin(ln )<0.6f(ln )sin(ln ) . 故选:A. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上.) 2 2 2 13. =1 . 已知圆 C 与圆 (x﹣1) +y =1 关于直线 y=﹣x 对称, 则圆 C 的方程为 x2+ (y+1) 【考点】关于点、直线对称的圆的方程. 【分析】设圆心 A(1,0)关于直线 y=﹣x 对称点 C(m,n) ,根据垂直、和中点在对称轴 上这两个条件求出 m,n 的值,即得对称圆的圆心,再由半径等于 1,求出圆 C 的标准方程. 【解答】解:圆 A(x﹣1)2+y2=1 的圆心 A(1,0) ,半径等于 1,设圆心 A(1,0)关于 直线 y=﹣x 对称点 C(m,n) , 则有 =﹣1,且 =﹣ ,解得 m=0,n=﹣1,故点 C( 0,﹣1) .

由于对称圆 C 的半径和圆 A(x﹣1)2+y2=1 的半径相等, 故圆 C 的方程为 x2+(y+1)2=1, 故答案为 x2+(y+1)2=1.

14.已知 tan α=﹣ ,cos β=

,α∈(

,π ) ,β∈(0,

) ,则 tan(α+β)= 1 .

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【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得 tanβ,再利用两角差的正切公式求得 tan (α+β)的值. 【解答】解:∵tanα=﹣ ,cosβ= = ,tanβ= =2, ,α∈( ,π) ,β∈(0, ) ,∴sinβ=

∴tan(α+β)=

=

=1,

故答案为:1. 15.已知函数 f(x)=x2+ax+20(a∈R) ,若对于任意 x>0,f(x)≥4 恒成立,则 a 的取值 范围是 [﹣8,+∞) . 【考点】函数恒成立问题;二次函数的性质. 【分析】由题意可得﹣a≤x+ (x>0)的最小值,运用基本不等式,可得右边函数的最小

值,解不等式即可得到 a 的范围. 【解答】解:对于任意 x>0,f(x)≥4 恒成立, 即为﹣a≤x+ 由 x+ ≥2 (x>0)的最小值, =8,当且仅当 x=4 取得最小值 8,

即有﹣a≤8,解得 a≥﹣8. 故答案为:[﹣8,+∞) . 16.在平面直角坐标系中,设 M、N、T 是圆 C: (x﹣1)2+y2=4 上不同三点,若存在正实 数 a,b,使 =a +b ,则 的取值范围为 (2,+∞) .

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】由题意,圆的位置不影响向量的大小,可设 =(2cosθ,2sinθ) , =(2cosα, 2sinα) 2sinβ) sinθ=asinα+bsinβ, , = (2cosβ, , 利用 =a +b , 可得 cosθ=acosα+bcosβ, 3 2 2 2 平方相加,可 35 得 a+b>1,利用 a +ab =a(a +b )=a[1﹣2abcos(α﹣β)]>a(1﹣2ab) , 即可得出结论. 【解答】解:由题意,圆的位置不影响向量的大小, 可设 =(2cosθ,2sinθ) , =(2cosα,2sinα) , =(2cosβ,2sinβ) , ∵ =a +b , ∴cosθ=acosα+bcosβ,sinθ=asinα+bsinβ, 平方相加,可得 1=a2+b2+2abcos(α﹣β)<(a+b)2, ∴a+b>1, ∴a3+ab2=a(a2+b2)=a[1﹣2abcos(α﹣β)]>a(1﹣2ab) , ∴ > > >2,
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∴ 故答案为: (2,+∞) .

的取值范围为(2,+∞) .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤.) 17.在△ABC 中, .

(1)求 tanA; (2)若 BC=1,求 AC?AB 的最大值,并求此时角 B 的大小. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【分析】 (1)由正弦定理化简已知可得 换的应用进一步化简可得 ,利用三角函数恒等变

,结合范围 0<A<π,即可得解.

(2)由已知及余弦定理可得 1=AC2+AB2﹣AC?AB,利用基本不等式解得 AC?AB≤1,从 而得解. 【解答】解: (1)由正弦定理知 即 ∴ ∴ , , , ,

∵0<A<π, ∴ .

(2)在△ABC 中,BC2=AC2+AB2﹣2AC?ABcosA,且 BC=1, ∴1=AC2+AB2﹣AC?AB, ∵AC2+AB2≥2AC?AB, ∴1≥2AC?AB﹣AC?AB, 即 AC?AB≤1,当且仅当 AC=AB=1 时,AC?AB 取得最大值 1, 此时 .

18.已知直线 l: (3+t)x﹣(t+1)y﹣4=0(t 为参数)和圆 C:x2+y2﹣6x﹣8y+16=0: (1)t∈R 时,证明直线 l 与圆 C 总相交: (2)直线 l 被圆 C 截得弦长最短,求此弦长并求此时 t 的值. 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】 (1)直线 l: (3+t)x﹣(t+1)y﹣4=0 可化为 t(x﹣y)+(3x﹣y﹣4)=0,解方程 组 ,可得直线 l 恒过定点,即可得出结论;

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(2)直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小时,弦心距最大,此时 CA⊥l,求出 CA 的斜率,可 得 l 的斜率,从而可求 t 的值,求出弦心距,可得直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值. 【解答】 (1)证明:直线 l: (3+t)x﹣(t+1)y﹣4=0 可化为 t(x﹣y)+(3x﹣y﹣4)=0 令 ,解得 x=y=2

∴直线 l 恒过定点 A(2,2) , 2 2 (2,2) ,代入可得 2 +2 ﹣12﹣16+16<0, ∴t∈R 时,证明直线 l 与圆 C 总相交 (2)解:直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小时,弦心距最大,此时 CA⊥l ∵圆 C: (x﹣3)2+(y﹣4)2=9,圆心 C(3,4) ,半径为 3 ∴CA 的斜率为 2, ∴l 的斜率为﹣ ∵直线 l: (3+t)x﹣(t+1)y﹣4=0 的斜率为 ∴ ∴t=﹣ ∵|CA|= = =4. =﹣

∴直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值为 2

19.已知四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形,AA1⊥AC,M、N 分别为棱 AA1、CC1 的中点. (1)求证:直线 MN⊥平面 B1BD; (2)已知 AA1=AB,AA1⊥AB,取线段 C1D1 的中点 Q,求二面角 Q﹣MD﹣N 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (1)根据线面垂直的判定定理即可证明. (2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可. 【解答】 (1)证明:∵四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形,AA1⊥AC, ∵M、N 分别为棱 AA1、CC1 的中点, ∴MN∥AC, ∵在正方形 ABCD 中,AC⊥BD, ∴MN⊥BD,
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∵BB1⊥AC, ∴MN⊥BB1, ∵BB1∩BD=B, ∴MN⊥平面 BB1D. (2)∵AA1⊥AB, ∴四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 为正方体, 以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,如图建立直角坐标系, 设棱长为 2, 则 M(2,0,1) ,D(0,0,0) ,N(0,2,1) ,Q(0,1,2) , 易求得面 MDN 的一个法向量为 则面 QMD 的一个法向量为 则 , . , ,

所以二面角 Q﹣MD﹣N 的余弦值为

20.设数列{an}满足 a1+a2+…+an+2n= (an+1+1) ,n∈N*,且 a1=1,求证: (1)数列{an+2n}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 【考点】数列的求和;等比关系的确定. 【分析】 (1)利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出; (2)利用等比数列的前 n 项和公式即可得出. 【解答】 (1)证明:∵a1+a2+…+an+2n= (an+1+1) , ∴当 n≥2 时,a1+a2+…+an﹣1+2n﹣1= (an+1) , ∴an+2n﹣1= 化为 an+1=3an+2n, 变形为:an+1+2n+1=3 ,
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∴数列{an+2n}是等比数列,首项为 3,公比为 3. (2)解:由(1)可得:an+2n=3n, ∴an=3n﹣2n, ∴数列{an}的前 n 项和 Sn= ﹣ = ﹣2n+1+ .

21.已知椭圆 C 与椭圆 E:

共焦点,并且经过点



(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)在椭圆 C 上任取两点 P、Q,设 PQ 所在直线与 x 轴交于点 M(m,0) ,点 P1 为点 P 关于轴 x 的对称点,QP1 所在直线与 x 轴交于点 N(n,0) ,探求 mn 是否为定值?若是, 求出该定值;若不是,请说明理由. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 【分析】 (1) 设椭圆 C 的方程为 + =1 (a>b>0) , 可得 c= = , 点

代入椭圆方程,解方程即可得到所求方程; (2)当 PQ 斜率不存在时,不合题意.故设 PQ 为 y=kx+b, (k≠0,b≠0) ,代入椭圆方程, 运用韦达定理,以及直线方程的运用,即可得到定值. 【解答】解: (1)椭圆 E: 的焦点为(± ,0) ,

设椭圆 C 的方程为

+

=1(a>b>0) ,

可得 c= 点 解得 a=2,b=

=

, + =1,

代入椭圆方程,可得 , ;

即有椭圆 C 的方程为

(2)当 PQ 斜率不存在时,不合题意. 故设 PQ 为 y=kx+b, (k≠0,b≠0) ,则 设点 P(x1,y1) ,则 P1(x1,﹣y1) , 设 Q(x2,y2) ,则 P1Q 方程为 令 y=0, , ,

第 14 页(共 17 页)



, 得(1+2k2)x2+4kbx+2b2﹣4=0,





.则





,所以 mn=4.所以 mn 是定值,定值为 4.

22.已知函数 f(x)=ex+be﹣x, (b∈R) ,函数 g(x)=2asinx, (a∈R) . 1 f x ( )求函数 ( )的单调区间; (2)若 b=﹣1,f(x)>g(x) ,x∈(0,π) ,求 a 取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 b 的范围,求出函数的单调区间即可; (2)构造函数 h(x)=ex﹣e﹣x﹣2asinx,x∈(0,π) ,通过讨论 a 的范围确定函数的单调 性,从而求出 a 的范围. 【解答】解: (1) ①当 b≤0 时,f'(x)≥0,所以 f(x)的增区间为(﹣∞,+∞) ; ②当 b>0 时,减区间为 ,增区间为 .

(2)由题意得 ex﹣e﹣x﹣2asinx>0,x∈(0,π)恒成立, 构造函数 h(x)=ex﹣e﹣x﹣2asinx,x∈(0,π) 显然 a≤0 时,ex﹣e﹣x﹣2asinx>0,x∈(0,π)恒成立, 下面考虑 a>0 时的情况:h(0)=0,h′(x)=ex+e﹣x﹣2acosx,h′(0)=2﹣2a, 当 0<a≤1 时,h′(x)≥0,所以 h(x)=ex﹣e﹣x﹣2asinx 在(0,π)为增函数, 所以 h(x)>h(0)=0,即 0<a≤1 满足题意; 当 a>1 时,h′(0)=2﹣2a<0,又 所以一定存在 ,

,h′(x0)=0,且 h′(x)<0,x∈(0,x0) ,

所以 h(x)在(0,x0)单调递减,所以 h(x)<h(0)=0, x∈(0,x0) ,不满足题意. 综上,a 取值范围为(﹣∞,1].
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2016 年 8 月 1 日

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