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2014届高三数学(理)一轮复习课后作业(二十八) 平面向量的数量积

时间:2013-12-16


课后作业(二十八)
一、选择题

平面向量的数量积

→ → → → → 1.已知平面上三点 A、B、C 满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB·BC+ → → → → BC·CA+CA·AB的值等于( )

A.25 B.24 C.-25 D.-24 2.(2013· 广州模拟)若向量 a, b,c 满足 a∥b 且 a⊥c,则 c· (a+2b)=( ) A.4 B.3 C.2 D.0 3.(2012· 重庆高考)设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4), 且 a⊥c,b∥c,则|a+b|=( ) A. 5 B. 10 C.2 5 D.10

4.已知三个向量 a、b、c 两两所夹的角都为 120°,且|a|=1,|b|=2,|c| =3,则向量 a+b 与向量 c 的夹角 θ 的值为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 5.(2013· 广州综合测试)已知两个非零向量 a 与 b,定义|a×b|=|a||b|sin θ , 其中 θ 为 a 与 b 的夹角.若 a=(-3,4),b=(0,2),则|a×b|的值为( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 二、填空题 6.(2012· 湖北高考)已知向量 a=(1,0),b=(1,1),则 (1)与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为________; (2)向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为________. 7.已知|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则 a+b 在 a 方向上的投影为 ________. 8.(2013· 湛江模拟)设 i、j 是平面直角坐标系(坐标原点为 O)内分别与 x 轴、 → → y 轴正方向相同的两个单位向量,且OA=-2i+j,OB=4i+3j,则△OAB 的面 积等于________. 三、解答题 9.已知 a=(1,2),b=(1,1),且 a 与 a+λb 的夹角为锐角,求实数 λ 的取 值范围. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,- 1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → → OC → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)· =0,求 t 的值. 11.(2013· 揭阳模拟)已知点 A(1,0),B(0,1),C(2sin θ ,cos θ ).

sin θ +2cos θ → → (1)若|AC|=|BC|,求 的值; sin θ -cos θ → → OC → (2)若(OA+2OB)· =1,其中 O 为坐标原点,求 sin θ ·cos θ 的值.

解析及答案
一、选择题 → → → ∵|AB|2+|BC|2=|CA|2,

1. 【解析】

→ → → → ∴AB⊥BC,即AB·BC=0, → → → → → → → → → ∴AB·BC+BC·CA+CA·AB=CA(BC+AB) → → → =CA·AC=-CA2=-25. 【答案】 C 2. 【解析】 ∵a⊥c,∴a· c=0,又∵a∥b,则设 b=λa, ∴c· (a+2b)=(1+2λ)c· a=0. 【答案】 D 3. 【解析】 ∵a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4), 由 a⊥c 得 a· c=0,即 2x-4=0,∴x=2. 由 b∥c 得 1×(-4)-2y=0,∴y=-2. ∴a=(2,1),b=(1,-2). ∴a+b=(3,-1),∴|a+b|= 32+(-1)2= 10. 【答案】 B

4. 【解析】

∵(a+b)· c=a· c+b· c

9 =1×3×cos 120°+2×3×cos 120°=-2, |a+b|= (a+b)2= a2+2a· 2 b+b = 12+2×1×2×cos 120°+22= 3, 9 -2 (a+b)· c 3 ∴cos θ= = =- 2 , |a+b|· |c| 3×3 ∵0°≤θ≤180°,∴θ=150°. 【答案】 D a· b 8 4 因为 a=(-3,4),b=(0,2),所以 cos θ=|a||b|= =5, 5×2 3 3 且 θ∈[0,π],则 sin θ=5,故|a×b|=|a||b|sin θ=5×2×5=6. 【答案】 C 二、填空题 6. 【解析】 (1)∵2a+b=(3,1), 5. 【解析】 ∴|2a+b|= 32+12= 10. ∴与 2a+b 同向的单位向量 2a+b 3 10 10 =( 10 , 10 ). |2a+b|

(2)∵b-3a=(-2,1),∴|b-3a|= 5,|a|=1, (b-3a)· a=(-2,1)· (1,0)=-2, ∴cos〈b-3a,a〉= 【答案】 (b-3a)· -2 a 2 5 = =- 5 . |b-3a||a| 5

3 10 10 2 5 (1)( 10 , 10 ) (2)- 5 7. 【解析】 (a+b)· 2+a· a=a b=1+1×2×cos 60°=2, (a+b)· a 则 a+b 在 a 方向上的投影为 =2. |a| 【答案】 2 8. 【解析】 → → 由题意知OA=(-2,1),OB=(4,3),

→ → 则|OA|= 5,|OB|=5, → → OA·OB=-2×4+1×3=-5,

→ → OA·OB -5 5 ∴cos∠AOB= = =- 5 , → ||OB| 5 5 → |OA 2 5 ∴sin∠AOB= 5 , 1→ → ∴S△OAB=2|OA||OB|sin∠AOB 1 2 5 =2× 5×5× 5 =5. 【答案】 5 三、解答题 9. 【解】 ∵a 与 a+λb 均为非零向量,且夹角为锐角, ∴a· (a+λb)>0,即(1,2)· (1+λ,2+λ)>0, 5 ∴(1+λ)+2(2+λ)>0,∴λ>-3, 当 a 与 a+λb 共线时,存在实数 m,使 a+λb=ma, 即(1+λ,2+λ)=m(1,2), ?1+λ=m, ∴? ∴λ=0, ?2+λ=2m, 即当 λ=0 时,a 与 a+λb 共线. 5 综上可知,λ>-3且 λ≠0. 10. 【解】 → → (1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则

→ → → → AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4). → → → → 所以|AB+AC|=2 10,|AB-AC|=4 2. 故所求的两条对角线长分别为 4 2,2 10. → → → (2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t). → → OC → 由(AB-tOC)· =0, 得(3+2t,5+t)· (-2,-1)=0, 11 从而 5t=-11,所以 t=- 5 . 11. 【解】 ∵A(1,0),B(0,1),C(2sin θ,cos θ), → → ∴AC=(2sin θ-1,cos θ),BC=(2sin θ,cos θ-1). → → (1)|AC|=|BC|, ∴ (2sin θ-1)2+cos2θ= (2sin θ)2+(cos θ-1)2,

1 化简得 2sin θ=cos θ,所以 tan θ=2, 1 +2 sin θ+2cos θ tan θ+2 2 ∴ = =1 =-5. sin θ-cos θ tan θ-1 2-1 → → → (2)OA=(1,0),OB=(0,1),OC=(2sin θ,cos θ), → → ∴OA+2OB=(1,2), → → OC → ∵(OA+2OB)· =1, 1 ∴2sin θ+2cos θ=1.∴(sin θ+cos θ)2=4, 3 ∴sin θ·cos θ=-8.


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