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高一数学集合与简易逻辑综合知识精讲

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高一数学集合与简易逻辑综合
【本讲主要内容】
集合与简易逻辑综合 集合、子集、交集、并集、补集等概念,绝对值不等式、一元二次不等式的解法,简易 逻辑。

【知识掌握】 【知识点精析】
1. 集合:一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合; 2. 子集:一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何 一个元素都是集合 B 的元素, .. 我们就说集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合; 3. 交集:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集; 4. 并集:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并 集; 5. 补集:一般地,设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A ? S ) ,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) ; 6. x ? a(a ? 0) 的解集是。 ?x | ?x ? x ? a? ; | x |? a (a ? 0) 的解集是 ?x | x ? a或x ? ?a?; 7. 一元二次不等式的解法; 8. 简易逻辑: 命题:可以判断真假的语句叫做命题。 逻辑联结词: “或” 、 “且” 、 “非”这些词叫做逻辑联结词。 简单命题和复合命题 不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。 简单命题是不含其他命题作为其组成部分 (在结 构上不能再分解成其他命题)的命题。 由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。 四种命题及它们的关系

【解题方法指导】
不大于20的质数?,A,B 是 U 的两个子集,且满足 A ? C U B ? ?3,5? , 例 1. 已知全集 U?
B ? C U A ? ?7,19? , ( C U A) ? ( C U B)= ?2,17? 。求集合 A 和 B。
解法一: (直接解法)依题意, A ? C U B ? ?3,5? ,则 ?3,5? ? A ,且 ?3,5? ? C U B 。 从而知 3,5 ? A ,且 ?B。 同理,由 C U A ? B ?7,19? ,知 7,19 ,且 7,19 ?A

由( C U A ) ? ( C U B) ?2,17? ,知 2,17 ?A,且 2,17 ?B 因为 U?2,3,5,7,11,13,17,19?,观察 11 和 13 这两个元素,不外乎下面几种情况:

①若 11 矛盾;

, 11

, 则

且 CUA ,

这与 ( C U A )?( C U B) = ?2,17? C U B,

②若 11 ? A,11 ? B ,则 ③若 11 ?A,11 ? B,则

C U B,这与 A ? C U B= ?3,5? 矛盾;
C U A ,这与 B ? C U A = ?7,19? 矛盾;

④若 11 ? A,11 ? B,则 11 ? (A ? B ) 。 ? B 同理,13 ? (A ) 。 于是我们可以把这些数字填入集合 A,B,得

A?3,5,11,13?

B?7,19,11,13? 。

A ? C U B= ?3,5? , 解法二: (利用图) 由图, 知 U?2,3,5,7,11,13,17,19?, B ? C U A= ?7,19? ,
( C U A) ? ( C U B)= ?2,17? 。可直接将 U 中元素一一填入图中各自的集合。

所以, A?3,5,11,13? ,

B?7,19,11,13? 。

解法一充分利用已知条件,将肯定属于或肯定不属于集合 A,B 的元素确定下来,再逐 一验证其他的元素分别属于哪个集合。这种方法比较抽象。 解法二数形结合,一目了然。 二种方法能培养我们不同的思维品质,都是学好数学不可缺少的。

例 2. 用反证法证明:如果 a ? b ? 0 ,那么 a ? b 。 剖析:运用反证法证明这道题时,怎样进行反设? 证明:假设 当 在 在

a ? b 的反面是否仅有 a? b

a ? b?

a 不小于

b ,则或者

a ? b ,或者 a ? 0, b ? 0

a ? b ,因为 a ? 0, b ? 0 ,所以 a ? b 的两边都乘以 a ? b 的两边都乘以

a 得 a ? a ? a ? b , a ? ab b 得 b ? a ? b ? b , ab ? b

所以 a ? b 这与假设 a ? b 矛盾,所以

a ? b 不成立



a ? b 时可得到 a? b

,这与假设 a ? b 矛盾

综上所述,所以

设计意图:通过对例题的剖析,使学生掌握如何在反证法中反设和归谬。

例 3. 设关于 范围。

的一元二次不等式,

对一切实数均成立,求

的取值

解:一元二次不等式

,对一切

恒成立

二次函数

的图像全在 注:这里“

轴上方 ”就是“二次不等式

。 对一切实

的取值范围:

数。 都成立”的充要条件。

【考点突破】
【考点指要】 近年来,高考中关于集合和简易逻辑的试题可分为两大类,一类是集合、条件、命题本 身的基本题,这类题多为选择、填空题;另一类是集合、条件、命题与其它知识的综合题。 03 年全国卷在最后一题中出现了集合。高考所占比重约 15—20 分。

【典型例题分析】
例 4. (2000 上海春,17)已知 R 为全集,A={x|log 1 (3-x)≥-2},B={x|
2

5 ≥ x?2

1},求 C R A ? B 。 解:由已知 log 1 (3-x)≥log 1 4,因为 y=log 1 x 为减函数,所以 3-x≤4
2 2 2

?3 ? x ? 4 由? ,解得-1≤x<3.所以 A={x|-1≤x<3} ?3 ? x ? 0


5 5 ? (x ? 2) 3? x ≥1 可化为 ?0? ?2 x?2 x?2 x?2

?(x ? 3)( x ? 2) ? 0 解得-2<x≤3,所以 B={x|-2<x≤3} ? ?x ? 2 ? 0
于是 C R A ={x|x<-1 或 x≥3} 故 C R A ? B ={x|-2<x<1 或 x=3} 评述:本题主要考查集合、对数性质、不等式等知识,以及综合运用知识能力和运算能 力。

例 5. (’04 潍坊市统考)已知函数 f(x)= x +(a+1)x+lg︱a+2︱ (A∈R,且 a≠-2) (1)设 f(x)能表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x)的和,求 g(x)和 h (x)的解析式; 2 (2)命题 P:函数 f(x)在区间[(a+1) ,+∞]上是增函数;命题 Q:函数 g(x)是 减函数。如果命题 P、Q 有且仅有一个是真命题,求 a 的取值范围。 2 解: (1)因为 f(x)= x +(a+1)x+lg︱a+2︱= g(x)+ h(x) 而 g(x)是奇函数,满足 g(-x)=- g(x) h(x)是偶函数,满足 h(-x)= h(x) 2 所以 g(x)=(a+1)x, h(x)= x +lg︱a+2︱ 若命题 P 为真,则命题 Q 假,有

2

? a ?1 ? (a ? 1) 2 ?? ? 2 ? ?a ? 1 ? 0 ? a ?1 ? (a ? 1) 2 ?? ? 2 ? ?a ? 1 ? 0
综上得: a ? ?

解得 a ? ?1

若命题 Q 为真,则命题 P 假,有 解得 ?

3 ? a ? ?1 2

3 2

评述:任何一个非奇非偶函数都能表示成一个奇函数和一个偶函数的和。

【综合测试】
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1. (2002 北京,1)满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2. (1999 全国,1)如图 1,I 是全集,M、P、S 是 I 的 3 个子集,则阴影部分所表示 的集合是( )

图1 A. (M∩P)∩S B. (M∩P)∪S C. (M∩P)∩CIS D. (M∩P)∪CIS 3. (1996 上海,1)已知集合 M={ (x,y)|x+y=2} ,N={ (x,y)|x-y=4} , 那么集合 M∩N 为( ) A. x=3,y=-1 B. (3,-1) C. {3,-1} D. {(3,-1)}

4. 一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( ) A. 真命题的个数一定是奇数 B. 真命题的个数一定是偶数 C. 真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D. 上述判断都不正确 5. (1996 上海文,6)若 y=f(x)是定义在 R 上的函数,则 y=f(x)为奇函数的一个 充要条件为( ) A. f(x)=0 B. 对任意 x∈R,f(x)=0 都成立 C. 存在某点 x0∈R,使得 f(x0)+f(-x0)=0 D. 对任意的 x∈R,f(x)+f(-x)=0 都成立 2 2 6. (1995 上海,9) “ab<0”是“方程 ax +by =c 表示双曲线”的( ) A. 必要条件但不是充分条件 B. 充分条件但不是必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不是充分条件又不是必要条件 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 7. 设 T={(x,y)|ax+y-3=0},S={(x,y)|x-y-b=0}。若 S∩T={(2,1)},则 a=_______,b=_______。 8. (2002 上海春,3)若全集 I=R,f(x) 、g(x)均为 x 的二次函数,P={x|f(x)< 0=,Q={x|g(x)≥0},则不等式组 ?

? f ( x) ? 0 的解集可用 P、Q 表示为_____。 ? g ( x) ? 0

9. (2000 上海春,12)设 I 是全集,非空集合 P、Q 满足 P Q I。若含 P、Q 的一个集合 运算表达式,使运算结果为空集 ? ,则这个运算表达式可以是 (只要写出一个 表达式) 。

图2 10. (1999 全国,18)α、β是两个不同的平面,m、n 是平面α及β之外的两条不同直 线,给出四个论断: ①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α 以其中三个论断作为条件, 余下一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个 命题: _____。 .. 三、解答题(本大题共 4 题,共 50 分) 2 2 2 2 11. 已知 A={x|x -ax+a -19=0}, B={x|x -5x+8=2}, C={x|x +2x-8=0}。 若 ? A∩B, 且 A∩C= ? ,求 a 的值。 (13 分) 12. 解不等式 13. 解关于 14. 已知 的不等式 。 (12 分) ( ,且 ) 。 (12 分) ,



) ,求实数 p 的取值范围。 (13 分)

参考答案 www.dearedu.com
一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1. C 提示:M={2,3}或 M={1,2,3} 2. C 提示:由图知阴影部分表示的集合是 M∩P 的子集且是 CIS 的子集,故答案为C。 3. D

?x ? y ? 2, ? x ? 3 提示:方法一:解方程组 ? 得? 故 M∩N={ (3,-1) } ,所以选 D。 ?x ? y ? 4, ? y ? ?1
方法二:因所求 M∩N 为两个点集的交集,故结果仍为点集,显然只有 D 正确。 4. B 提示:一个命题与它的逆否命题同真同假。 5. D 提示:由奇函数定义可知:若 f(x)为奇函数,则对定义域内任意一个 x,都有 f(- x)=-f(x) ,即 f(-x)+f(x)=0,反之,若有 f(x)+f(-x)=0,即 f(-x)= -f(x) ,由奇函数的定义可知 f(x)为奇函数。 6. A

x 2 y2 c c ? ? 1 表示双曲线,因此有 ? ? 0 , c c a b a b 即 ab<0。这就是说“ab<0”是必要条件;若 ab<0,c 可以为 0,此时,方程不表示双曲线, 即 ab<0 不是充分条件。
提示:如果方程 ax +by =c 表示双曲线,即
2 2

二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 7. 答案:1 ,1。 解析:由 S∩T={(2,1)},可知 ? 8. 答案:P∩CIQ

?x ? 2

?ax ? y ? 3 ? 0 ?a ? 1, 为方程组 ? 的解,解得 ? ?x ? y ? b ? 0 ?b ? 1。 ?y ? 1

?f ( x ) ? 0 解析:∵g(x)≥0 的解集为 Q,所以 g(x)<0 的解集为 CIQ,因此 ? 的解集为 ?g( x ) ? 0
P∩CIQ。 9. 答案:P∩CIQ 解析:阴影部分为 CIQ(如下图)

显然,所求表达式为 CIQ∩P= ? , 或 CIQ∩(Q∩P)或 CIQ∩(Q∪P)= ? 。

10. 答案:②③④ ? ① 三、解答题(本大题共 4 题,共 50 分) 11. 解:∵B={x|(x-3) (x-2)=0}={3,2}, C={x|(x+4) (x-2)=0}={-4,2}, 又∵ ? A∩B, ∴A∩B≠ ? 又∵A∩C= ? , ∴可知-4 ? A,2 ? A,3∈A 2 ∴由 9-3a+a -19=0, 解得 a=5 或 a=-2 ①当 a=5 时,A={2,3},此时 A∩C={2}≠ ? ,矛盾, ∴a≠5; ②当 a=-2 时,A={-5,3},此时 A∩C= ? , A∩B={3}≠ ? ,符合条件 综上①②知 a=-2。 12. 解:解法一 原不等式等价于

(Ⅰ)

或(Ⅱ) 解(Ⅰ) ,得 ,或 。

解(Ⅱ) ,得解集为空集。 所以,原不等式的解集为 13. 解:若 若 ,即 m ? ,即 m ? 。

1 ,则 2

恒不成立,此时原不等式无解; ,所以 1 ? m ? x ? m ;当 m?

1 ,则 2

综上,当 m?

1 时,原不等式的解集为 2

1 时,原不等式解集为 2

。 14. 解:由 (1)若方程无实根: ,得 ; 知,关于 的二次方程 无正根。

(2)若方程有实根 韦达定理



,但无正根;此时由

,得



,而由

, 由 因此 p ? 0 由上述的(1) , (2)得 的取值范围是 p ? ?4 。 知两根均为正或均为负,由条件显然须 , ,于是∴ p ? ?2


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