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2019年浙江省嘉兴市高三4月第二次模拟考试数学(理)试题及答案

时间:

高考数学精品复习资料

2019.5

浙江省嘉兴市 20xx 届高三 4 月第二次模拟考试

数学理试题

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的.

? ? 1.已知集合 A ? x x ? 2?, B ? x x2 ? 4x? ,则 A ?RB ?

()

A. ???,0?

B. ???,0?

C. ? ?1,1?

D. ?0,2?

2.已知 a,b ??0, ??? ,则“ ab ? 2 ”是“ log2 a ? log2 b ? 0 ”的

()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.如图,这是计算 1 ? 1 ? 1 ? ??? ? 1 的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是( )

246

20

A. i ?19?

B. i ? 20?

C. i ? 20?

D. i ? 21?

4.下列函数中既有奇函数,又在区间??1,1? 上单调递增的是( )

A. f ? x? ? sin 2x B. f ? x? ? x ? tan x

C. f ? x? ? x3 ? x

D. f ? x? ? 2x ? 2?x

5.甲、乙、丙、丁、戊共 5 人站成一排,其中甲、乙两人中间恰有 1 人的

站法种数是

()

A.18

B.24 C.36

D.48

6.设

F1



F2

分别为双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,若双曲线上存在点

P,使得

?PF1F2 ? 30 ,?PF2F1 ? 120 ,则双曲线的离心率为

()

A.2

B. 3

C. 3 ?1 2

D. 3 ?1 2

?2x ? 3, x ?1

7.已知函数

f

?x? ?

??x ?1,0 ? x ?1,若数列?an? 的前
??2x ?1, x ? 0

n

项和为

Sn,且 a1

?

1 3

,

an?1

?

f

? ?an ,则 S2014

=

A.895

B.896

C.897

8.函数 f ? x? 的图像如图,则 f ? x? 的解析式可能是 ( )

() D.898

A. f ? x? ? cos 2x

B.

f

?

x?

?

? sin

? ??

x

?

? 4

? ??

C.

f

?

x?

?

cos ???

3 2

x

?

? 8

? ??

D.

f

?

x?

?

sin

? ??

5 3

x

?

? 4

? ??

9.如图,梯形 ABCD 中,AD//BC,∠ABC= 90 ,AD:BC:AB=2:3:4,E、F 分别是 AB、CD 的中点,

将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折.给出四个结论:

①DF⊥BC;②BD⊥FC;③平面 DBF⊥平面 BFC;④平面 DCF⊥平面 BFC.在

翻折过程中,可能成立的结论是

()

A.①③

B.②③

C.②④

D.③④

? y ?1 10.若直线 ax ? by ?1与不等式组 ??2x ? y ?1 ? 0 表示的平面区域无公共点,
??2x ? y ?1 ? 0

则 2a ? 3b 的取值范围是

()

A. ??7, ?1?

B. ??3,5?

C. ??7,3?

D.R

二、 填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.
11.已知复数 z 满足 ? z ? 2?i ? 1? i (i 是虚数单位),则 z ? __________. 12.等比数列?an? 前 n 项的乘积为 Tn ,且 2a3 ? a42 ,则 T9 =__________. 13.若 ?2x ?1?8 ? ?2x ?1?8 ? a0 ? a1x ? ??? ? a8x8 ,则 a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? a8 =__________.

14.已知某几何体的三视图如图,则该几何体的体积是_________.

15.如图在等腰直角三角形 ABC 中,AB=AC=2,D、E 是线段 BC 上的两点,且 DE ? 1 BC ,则 AD AE? 3
的取值范围是___________.

16.焦点为 F 的抛物线 y2 ? 4x 上有三点 A、B、C 满足:①△ABC 的重心是 F;②|FA|、|FB|、|FC|

成等差数列.则直线 AC 的方程是________________________.

17 . 已 知 集 合

A

?

?? ?

f

??

? x, y? ? 0

f

? x, y? ? ? x ? a?2

? ? y ? a?2

?

a2 2

,a

? ?1,?2,?3?



? A ? g ? x, y? ? 0 g ? x, y? ? x ? y ? b,b ? ?1,?2,?3? ,则 A 中方程的曲线与 B 中方程的曲线的交点个数

是_________.

三. 解答题: 本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18. (本题满分 14 分)

在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 b ? sin 2C a sin A

(Ⅰ)若 C ? 5 ? ,求角 B 的大小; 12

(Ⅱ)若 b

?

? 2,

?C

??

,求△ABC

面积的最小值.

3

2

19. (本题满分 14 分)

如图,四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AD//BC,PA=AB=AD=2BC=2,∠BAD=? ,E 是

棱 PD 的中点.

(Ⅰ)若? ? 60 ,求证:AE⊥平面 PCD; (Ⅱ)求? 的值,使二面角 P—CD—A 的平面角最小.

P

?E

A D

B

C

(第 19 题)

20. (本题满分 14 分) 有 A、B、C 三个盒子,每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个,所有的球仅有颜色上的区

别. (Ⅰ)从每个盒子中任意取出一个球,记事件 S 为“取得红色的三个球”,事件 T 为“取得颜色互不相 同的三个球”,求 P(S)和 P(T); (Ⅱ)先从 A 盒中任取一球放入 B 盒,再从 B 盒中任取一球放入 C 盒,最后从 C 盒中任取一球放入
A 盒,设此时 A 盒中红球的个数为? ,求? 的分布列与数学期望 E? .

21. (本题满分 15 分)

如图,设椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 长轴的右端点为

A,短轴端点分别为

B、C,另有抛物线

y ? x2 ? b .

(Ⅰ)若抛物线上存在点 D,使四边形 ABCD 为菱形,求椭圆的方程;

(Ⅱ)若 a ? 2 ,过点 B 作抛物线的切线,切点为 P,直线 PB 与椭圆相交于另一点Q,求 PQ 的取值 QB

范围.

y

P
D C Q

21. (本题满分 15 分)

O

Ax

已知 a?R ,函数 m? x? ? x2 , n? x? ? a ln ? x ? 2? .

B

(第 21 题)

(Ⅰ)令

f

?

x?

?

??m? x?, x ? 0

? ??

n

?

x?,

x

?

0

,若函数

f

?

x?

的图像上存在两点A、B满足

OA⊥OB(O

为坐标原点),

且线段 AB 的中点在 y 轴上,求 a 的取值范围;

(Ⅱ)若函数 g ? x? ? m? x? ? n? x? 存在两个极值点 x1 、 x2 ,求 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 的取值范围.

20xx 年高三教学测试(二)

理科数学 参考答案

一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分)

1.A;

2.A;

3.D;

4.B;

6.D;

7.A;

8.D;

9.B;

5.C; 10.C.

第 9 题提示:

考虑①:因为 BC // AD , AD 与 DF 相交不垂直,所以 BC 与 DF

不垂直,则①不成立;

A

D

考虑②:设点 D 的在平面 BCF 上的射

影为点 P ,当 BP ? CF 时就有 BD ? FC ,

E

而 AD : BC : AB ? 2 : 3 : 4 可使条件满足,所以②正确; 考虑③:当点 P 落在 BF 上时,DP ? 平面 BDF ,从而平面 BDF ? B

平面 BCF ,所以③正确.

F P
C

考虑④:因为点 D 的射影不可能在 FC 上,所以④不成立.

第 10 题提示:
? y ?1 不 等 式 组 ??2x ? y ? 1 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 是 由
??2x ? y ? 1 ? 0
A(1, 1), B(?1, 1), C(0, ? 1) 围成的三角形区域(包含边
界).
? y ?1 因为直线 ax ? by ? 1 与 ??2x ? y ? 1 ? 0 表示的平面
??2x ? y ? 1 ? 0

b

l1 : a ? b ? 1 ? 0 A1

O
B1

a C1 l3 : b ? -1 l2 :a ? b ? 1 ? 0

?a ? b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 ? 0

区域无公共点, 所以 a, b 满足: ??? a ? b ? 1 ? 0 或 ??? a ? b ? 1 ? 0 .

??? b ? 1 ? 0

??? b ? 1 ? 0

(a, b) 在如图所示的三角形区域(除边界且除原点).所以 2a ? 3b 的取值范围是 (?7, 3) .

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分)

11. 10 ;

12.512;

15. [16 , 8 ]; 93
第 17 题提示:

16. 2x ? y ? 1 ? 0 ;

13. 38 ? 1(或 6562); 17.14.

14. 8 ; 3
y

集合 A 中的方程表示圆心在直线 y ? x 上的六个圆, 由对称性 只 需 考 虑 第 一 象 限 . 记 a ? 1,2,3 对 应 的 圆 分 别 为 ⊙ C1 , ⊙ C2 ,⊙ C3 ,易知⊙ C1 与⊙ C3 外切, ⊙ C2 与⊙ C1 , ⊙ C3 相

l3 l2 l1

C3 C2

O

x

交, 且经过⊙ C1 的圆心. b ? 1,2,3 对应的三条直线 l1, l2 , l3 ,l1 与

⊙ C1 外切,l2 与⊙ C2 外切且与⊙ C1 相交,l3 与⊙ C1 与⊙ C3

的外公切线且与⊙ C2 相交,由图知在第一象限共有 7 个交点,故共有 14 个交点.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分)

18.(本题满分 14 分)

在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 b ? sin 2C .
a sin A

(Ⅰ)若C ? 5 ? ,求角 B 的大小; 12

(Ⅱ)若b ? 2 , ? ? C ? ? ,求△ ABC 面积的最小值.

3

2

18.(Ⅰ)(本小题 7 分)

由正弦定理,得 b ? sin B ? sin 2C . a sin A sin A

∴ sin B ? sin 2C ? sin 5 ? ? 1 . 62

∴ B ? ? ( B ? 5? 舍).

6

6

(Ⅱ)(本小题 7 分)

由(Ⅰ)中 sin B ? sin 2C 可得 B ? 2C 或 B ? 2C ? ? .

又 B ? 2C 时, ? ? C ? ? , B ? 2 ? ,即 B ? C ? ? ,矛盾.

3

2

3

所以 B ? 2C ? ? , ? ? A ? C ? 2C ? ? ,即 A ? C .

所以 S ?ABC

?

1 hb ? tanC 2

?

3,

即当 C

?

? 3

时, S ?ABC

的最小值是

3.

19.(本题满分 15 分)

如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 平 面 ABCD , AD // BC , PA ? AB ? AD ? 2BC ? 2 ,

?BAD ? ? , E 是棱 PD 的中点.

(Ⅰ)若? ? 60? ,求证: AE ? 平面 PCD ;

(Ⅱ)求? 的值,使二面角 P ? CD ? A 的平面角最小.

19.(Ⅰ)(本小题 7 分)

z

当? ? 60? 时,

P

∵ AD // BC , AB ? AD ? 2BC ? 2 .

∴ CD ? AD .

?E

又 PA ? 平面 ABCD ,∴ PA ? CD .

∴ CD ? 平面 PAD . 又 AE ? 平面 PAD ,

A Dy

∴ CD ? AE .

x

又 PA ? AD , E 是棱 PD 的中点,

B

C

(第 19 题)

∴ PD ? AE .

∴ AE ? 平面 PCD .

(Ⅱ)(本小题 8 分)

如图,建立空间直角坐标系 A ? xyz ,则 P(0,0,2) , B(2sin? ,2cos? ,0) ,

C(2sin? ,2cos? ? 1,0) , D(0,2,0) .

∴ DP ? (0,?2,2) 、 DC ? (2sin? ,2cos? ? 1,0) .

设平面 PCD 的法向量为 n ? (x , y , z ) ,



?? ?

n

??n

? ?

DP DC

?? ??
?

2y ? 2z ? 0 (2 sin? )x ?

(2 cos?

?

1) y

?

0

取 y ? 1,得 n ? ( 2cos? ? 1 ,1,1) . 2 sin ?
又易知平面 ABCD 的法向量为 m ? (0,0,1) . 设二面角 P ? CD ? A 的平面角为 ? ,

则 cos? ? | m ? n | ?

1

| m | ? | n | ( 2cos? ? 1)2 ? 2

2 sin ?

要使 ? 最小,则 cos? 最大,即 2 cos? ? 1 ? 0 , 2 sin?

∴ cos? ? 1 ,得? ? ?

2

3

20.(本题满分 14 分)

有 A、B、C 三个盒子,每个盒子中放有红、黄、蓝颜色的球各一个,所有的球仅有颜色上的区

别.

(Ⅰ)从每个盒子中任意取出一个球,记事件 S 为“取得红色的三个球”,事件 T 为“取得颜色 互不相同的三个球”,求 P(S) 和 P(T ) ;

(Ⅱ)先从 A 盒中任取一球放入 B 盒,再从 B 盒中任取一球放入 C 盒,最后从 C 盒中任取一 球放入 A 盒,设此时 A 盒中红球的个数为? ,求 ? 的分布列与数学期望 E? .

20.(Ⅰ)(本小题 6 分)

111 P(S) ? ? ? ?

1



P(T )

?

C

1 3

C

1 2

C

1 1

? 2.

3 3 3 27

C

1 3

C

1 3

C

1 3

9

(Ⅱ)(本小题 8 分)

? 的可能值为 0,1,2 .

①考虑 ? ? 0 的情形,首先 A 盒中必须取一个红球放入 B 盒,相应概率为 1 ,此时 B 盒中有 2 3

红 2 非红;若从 B 盒中取一红球放入 C 盒,相应概率为 1 ,则 C 盒中有 2 红 2 非红,从 C 盒中只能 2

取一个非红球放入 A 盒,相应概率为 1 ;若从 B 盒中取一非红球放入 C 盒,相应概率为 1 ,则 C 盒

2

2

中有 1 红 3 非红,从 C 盒中只能取一个非红球放入 A 盒,相应概率为 3 .故 4

P(?

?

0)

?

1 3

?

?1 ?? 2

?

1 2

?

1 2

?

3? 4 ??

?

5 24



②考虑 ? ? 2 的情形,首先 A 盒中必须取一个非红球放入 B 盒,相应概率为 2 ,此时 B 盒中有 1 3

红 3 非红;若从 B 盒中取一红球放入 C 盒,相应概率为 1 ,则 C 盒中有 2 红 2 非红,从 C 盒中只能 4

取一个红球放入 A 盒,相应概率为 1 ;若从 B 盒中取一非红球放入 C 盒,相应概率为 3 ,则 C 盒中

2

4

有 1 红 3 非红,从 C 盒中只能取一个红球放入 A 盒,相应概率为 1 .故 4

P(?

?

2)

?

2 3

?

?1 ?? 4

?

1 2

?

3 4

?

1? 4 ??

?

5 24



③ P(? ? 1) ? 1 ? 5 ? 5 ? 7 . 24 24 12

所以 ? 的分布列为

?

0

1

2

P

5

7

5

24

12

24

? 的数学期望 E? ? 0 ? 5 ? 1 ? 7 ? 2 ? 5 ? 1 .

24

12

24

21.(本题满分 15 分)

如图,设椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 长轴的右端点为 A

,短轴端点分别为 B 、 C

,另有抛物线

y ?x2 ?b.

(Ⅰ)若抛物线上存在点 D ,使四边形 ABCD 为菱形,求椭圆的方程;

(Ⅱ)若 a ? 2 ,过点 B 作抛物线的切线,切点为 P ,直线 PB 与椭圆相交于另一点Q ,求 | PQ | | QB |

的取值范围.

y

21.(Ⅰ)(本小题 6 分) 由四边形 ABCD 是菱形, 得 D(a, a 2 ? b) ,



? ?

?

a2 a2

?b ?b

? 2b 2 ? 2b

,解得 a

?

3 ,b ? 1 ,

3

3

所以椭圆方程为 3x 2 ? 9 y 2 ? 1 .

P
D C Q

O

Ax

B
(第 21 题)

(Ⅱ)(本小题 9 分) 不妨设 P(t , t 2 ? b) ( t ? 0 ),

因为 y'| x?t ? 2 x | x?t ? 2t ,

所以 PQ 的方程为 y ? 2t (x ? t ) ? t 2 ? b ,即 y ? 2tx ? t 2 ? b .

又因为直线 PQ 过点 B ,所以 ? t 2 ? b ? ?b ,即 b ? t 2 . 2

所以 PQ 的方程为 y

? 2tx

t2 ?



2

联立方程组

? ?? ? ? ??

y ? 2tx ?

x2 4

?

4y 2 t4

t2 2 ?1

,消去

y

,得 (t 2

? 64)x 2

? 32tx

?0.

所以点 Q

的横坐标为 xQ

?

32t , t 2 ? 64

所以 | PQ | ? x P ? xQ ? t 2 ? 1 . | QB | xQ ? x B2 32

又t2

?

2b ? (0 , 4) ,所以 |

PQ |

的取值范围为 (1 ,

9 )



| QB |

8

22.(本题满分 14 分)

已知 a ? R ,函数 m (x ) ? x 2 , n(x ) ? a ln(x ? 2) .

(Ⅰ)令 f

(x

)

?

?m(x ) ,

? ?

n(x

)

,

x x

?0 ?0

,若函数

f

(x

) 的图象上存在两点 A

、B

满足OA

? OB

(O

为坐

标原点),且线段 AB 的中点在 y 轴上,求 a 的取值集合;

(Ⅱ)若函数 g (x ) ? m (x ) ? n(x ) 存在两个极值点 x1 、 x 2 ,求 g (x 1) ? g (x 2 ) 的取值范围.

22.(Ⅰ)(本小题 6 分)

由题意,不妨设 A(t ,a ln(t ? 2)) , B (?t ,t 2 ) ,且t ? 0 , ∴OA ?OB ? 0 ,即 ? t 2 ? at 2 ln(t ? 2) ? 0 ,∴ a ? 1 .
ln(t ? 2) ∵ ln(t ? 2) ? (ln 2,??) ,

∴ a 的取值集合是{x | 0 ? x ? 1 } . ln 2
(Ⅱ)(本小题 8 分) g (x ) ? x 2 ? a ln(x ? 2) , g '(x ) ? 2x 2 ? 4x ? a .
x ?2 要使 g (x ) 存在两个极值点,则
g '(x ) ? 0 即 2x 2 ? 4x ? a ? 0 在 (?2,??) 上存在两不等的实根.

令 p (x ) ? 2x 2 ? 4x ? a ,

∵ p (x ) 的图象的对称轴为 ?1,∴ ? ? 16 ? 8a ? 0 且 p (?2) ? 0 .

∴0?a ? 2.

由上知

??x 1 ? x 2

? ??

x1 ?x2

? ?

?2 a
2





g

(x1)

?

g

(x 2

)

?

x

2 1

?

a

ln(x 1

?

2)

?

x

2 2

?

a

ln(x 2

?

2)

? (x 1 ? x 2 ) 2 ? 2x 1x 2 ? a ln[x 1x 2 ? 2(x 1 ? x 2 ) ? 4]

?

( ?2) 2

?

2?

a

?

a a ln[

?

2

? (?2)

?

4]

2

2

? a ln a ? a ? 4 . 2

令q(x )

?x

x ln

?x

? 4,x

? (0,2) ,

2

∴ q '(x )

x ? ln

? 0 , q (x ) 在 (0,2) 上单调递减,

2

∴ 2 ? a ln a ? a ? 4 ? 4 . 2

故 g (x 1) ? g (x 2 ) 的取值范围是 (2,4) .


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