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数学竞赛专题之数列

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高中数学竞赛专题之数列 一、数列的性质 等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列,也是各年高考、竞赛的重点,现将它们的 主要性质及内容对照讨论如下: 性质 1:若 a1 , a 2 , ?, a n , ?是等差(等比)数列,那么 ai , ai ? j , ?, ai ? kj , ?仍是等差(等 比)数列。 性质 2:若 {a n } 为等差数列,且 ? il ?? jl ,那么 ? ail ?? a jl (脚标和相同则对应的 l ?1 l ?1 l ?1 l ?1 k k k k 项的和相同) ;若 {a n } 为等比数列,且 应的项的积相同) 。 性质 3:若 {a n } 为等差数列,记 S1 ? ? il ?? jl ,那么 ? ail ? ? a jl (脚标和相同则对 l ?1 l ?1 k k k k l ?1 l ?1 ?a ,S i ?1 i k 2 ? ? ai ? k , ?, S m ? ? ai ? ( m ?1) k , ? ,那么 i ?1 i ?1 k k 记P {S m } 仍为等差数列,{a n } 为等比数列, 1 ? ? ai , P 2 ? ? ai ? k , ?, P m ? ? ai ? ( m?1) k , ? , l ?1 l ?1 l ?1 k k k 那么 {Pm } 仍为等比数列。 性质 4:若 {a n } 为等比数列,公比为 q,且|q|〈1,则 lim S n ? n ?? a1 。 1? q 例 1、若 {a n } 、 {bn } 为等差数列,其前 n 项和分别为 S n , Tn ,若 Sn 2n , ? Tn 3n ? 1 4 9 ) 则 lim an ?( n ?? b n )A.1 B. 6 3 C. 2 3 D. 例 2、等差数列 {a n } 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项的和为( A.130 B. 170 C. 210 D.260 例 3、 {a n } 、 {bn } 为等差数列,其前 n 项和分别为 S n , Tn ,若 S n 3n ? 31 ? Tn 31n ? 3 (1)求 b b28 的值, (2)求使 n 为整数的所有正整数 n。 an a 28 例 4、在等差数列 {a n } 中,若 a10 ? 0 ,则有等式 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a19?n , (n ? 19, n ? N ) 成立,类比上述性质,相应地: 在等比数列 {bn } 中,若 b9 ? 1 ,则有等式 成立。 例 5、一个正数,其小数部分、整数部分和其本身成等比数列,则该数为 。 例 6、 设 M n ? {(十进制) Tn n位纯小数 0.a1a2 ?an | ai 只取0或1 ,i ? 1,2,?n, an ? 1}, 是 M n 的元素个数, S n 是所有元素的和,则 lim Sn ? n ?? T n 。 例 7、设 A={1,2,…n}, S n 是 A 的所有非空真子集元素的和, Bn 表示 A 的子集个数,求 n ?? lim Sn n 2 Bn 的值。 例 8 、 设 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n ? 2a n ? 1, (n ? 1,2, ?) , 数 列 {bn } 满 足 b1 ? 3, bk ?1 ? ak ? bk , (k ?

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