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考点:49 坐标系与参数方程(教师)

时间:2018-05-16


考点 坐标系与参数方程
一、备考基础 必备知识(考什么) 1.极坐标系与极坐标; 2.极坐标与直角坐标的互化 极坐标与直角坐标的互化公式如下表: 点M 互化 公式
(▲将直角坐标化为极坐标求极角 θ 时,特别注意点所在的象限(角 θ 终边位置).

直角坐标(x,y)

极坐标(ρ,θ)

3.常见曲线的极坐标方程 曲线 圆心在极点,半径为 r 的圆 圆心为(r,0),半径为 r 的圆 π? 圆心为? ?r,2?,半径为 r 的圆 过极点,倾斜角为 α 的直线 图形 极坐标方程

过点(a,0),与极轴垂直的直线

π? 过点? ?a,2?,与极轴平行的直线 4.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 直线 圆 椭圆 普通方程 y-y0=tan α(x-x0) x2+y2=r2 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 参数方程

(注意:1.直线 t 的几何意义,α 则是直线的倾斜角.2.方程互化时,注意互化前后的等价性. )

5.参数方程化为普通方程的方法:消去参数方程中的参数, 就可把参数方程化为普通方程, 常用方法 有:①代入消元法;②加减消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法. 二、考点突破 (怎么考)
1

1.极坐标方程与直角坐标方程的互化 例 ⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4 cos? , ? ? ?4 sin ? . (I)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (II)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标方程.

变式:1.在极坐标系中,点 A 在圆ρ -2ρcosθ-4ρsinθ+4=0 上,点 P 的坐标为(1,0),则|AP|的最小值 为 . 2.在极坐标系下, 已知圆 O : ? ? cos? ? sin ? 和直线 l :

2

? 2 。 (1)求圆 O 和直线 l 的 ? sin(? ? ) ?
4 2

直角坐标方程;(2)当 ? ? (0, ? ) 时,求直线 l 于圆 O 公共点的极坐标.

2.参数方程的问题

? x ? ?8 ? t ? 例 . 在平面坐标系 xOy 中, 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数 ),曲线 C 的参数方程为 t y? ? ? 2
2 ? ? x ? 2s , (s 为参数).设 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值. ? ? ? y ? 2 2s

变式:1. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3cos ? (θ为参数),直线 l 的参数方程为 ? y ? sin ?

2

? x ? a ? 4t (t 为参数). (1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标. ? ? y ? 1? t
(2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ,求 a.

2. 在 直角坐 标系 xOy 中 , 直线 l1 的参数 方程为 ?

?x ? 2 ? t (t 为参数 ), 直线 l2 的参数 方程为 ? y ? kt

? x ? ?2 ? m ? (m 为参数).设 l1 与 l2 的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C. m ? y? ? k ?
(1)写出 C 的普通方程. (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,

设 l3:ρ(cos θ+sin θ)- 2 =0,M 为 l3 与 C 的交点,求 M 的极径.

综合问题: (极径的几何意义应用)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲 线 C1 的极坐标方程为ρcosθ=4. (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足|OM|·|OP|=16,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程. (2)设点 A 的极坐标为 ? 2, ? ,点 B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积的最大值.

? ?

??
3?

(利用曲线参数设点)在直角坐标系 原点

中,曲线

的参数 的极坐标方程为

方程为 (

为参数) ,以

为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线

3

.(1)求曲线

的普通方程与曲线

的直角坐标方程;

(2)设

为曲线

上的动点,求点



上点的距离的最小值,并求此时点

的坐标.

(利用直线参数的几何意义) )在平面直角坐标系 标系, 已知曲线 的极坐标方程为 , 两点.

中, 以

为极点,

轴非负半轴为极轴建立极坐

, 直线 l 的参数方程为: ( 为参数) , 两曲线相

交于

(Ⅰ)写曲线

直角坐标方程和直线 普通方程;(Ⅱ)若

, 求

的值.

巩固: 1.在直角坐标系 xOy 中, 以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线?

?x=-t, ?y= 3t

(t 为参数,t∈R)与曲线 C1:ρ=4sin θ 异于点 O 的交点为 A,与曲线 C2:ρ=2sin θ 异于点 O 的交点为 B,则|AB|=________.

2. 已知曲线

(t 为参数) ,

( 为参数)

(Ⅰ)化 ,

的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;

(Ⅱ)过曲线

的左顶点且倾斜角为 的直线 交曲绒 于 A,B 两点,求

.

4


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