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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的位置关系课件 文_图文

时间:2016-04-24

第九章 平面解析几何

§9.2 两条直线的位置关系

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 思想与方法系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理

1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行: (ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2,若其斜率分别为k1、k2,则有l1∥l2? k1=k2 (k1,k2均存在). (ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.

答案

②两条直线垂直:

k1· k2=-1 (ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在,设为k1、k2,则有l1⊥l2?__________
(k1,k2均存在).

(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1⊥l2.
(2)两条直线的交点

直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是 ? ?A1x+B1y+C1=0, 方程组 ? 的解. ? ?A2x+B2y+C2=0

答案

2.几种距离 (1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=

?x2-x1?2+?y2-y1?2
|Ax0+By0+C|

.

(2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=

A2+B2

.

(3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)间的距离

|C1-C2|
d=

A2+B2 .
答案

知识拓展
1.一般地,与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0; 与之垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0. 2.过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程 为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 (λ∈R),但不包括l2. 3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件: (1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式. (2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且 x,y的系数对应 相等.

思考辨析

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2?l1∥l2.( × ) (2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( × ) (3)已知直线l1 :A1x+B1y+C1=0 ,l2 :A2x+ B2y+ C2 = 0(A1 、B1 、C1 、 A2、B2、C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.( √ )

答案

|kx0+b| (4)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 .( × ) 2 1+k
(5) 直 线 外 一 点 与 直 线 上 一 点 的 距 离 的 最 小 值 就 是 点 到 直 线 的 距 离.( √ )
1 (6)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于- , k 且线段AB的中点在直线l上.( √ )

答案

2

考点自测

1.设a∈R,则 “a =1” 是 “直线l1 :ax+2y-1=0 与直线l2 :x+(a+1)y 充分不必要条件. +4=0平行”的__________ 解析 (1)充分性:当a=1时, 直线l1:x+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0平行; (2)必要性:当直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行时 有a=-2或1. 所以“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平 行”的充分不必要条件.
1 2 3 4 5
解析答案

2.(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a= 2-1 .

解析

|a-2+3| 依题意得 =1. 1+1

解得 a=-1+ 2或 a=-1- 2.
∵a>0,∴a=-1+ 2.

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解析答案

3.已知直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8平行,则实数 -7 m的值为________. 3+m 5-3m 解析 l1 的斜率为- 4 ,在 y 轴上的截距为 4 , 2 8 l2 的斜率为- ,在 y 轴上的截距为 . 5+m 5+m 3+m 2 又∵l1∥l2,由- 4 =- 得,m2+8m+7=0, 5+m 得m=-1或-7. 5-3m 8 m=-1 时, 4 = =2,l1 与 l2 重合,故不符合题意; 5+m 5-3m 13 8 m=-7 时, 4 = 2 ≠ =-4,符合题意. 5+m
1 2 3 4 5
解析答案

4.(2014· 福建改编)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+ x-y+3=0 1=0垂直,则l的方程是___________. 解析 圆x2+(y-3)2=4的圆心为点(0,3),

又因为直线l与直线x+y+1=0垂直,
所以直线l的斜率k=1.

由点斜式得直线l:y-3=x-0,化简得x-y+3=0.

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解析答案

5.(教材改编)若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0 0或1 垂直,则a=________. 解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0, 解得a=0或a=1.

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题型分类 深度剖析

题型一

两条直线的平行与垂直
(1)已知两条直线l1:(a-1)· x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0平行, 若a=0,两直线方程为-x+2y+1=0和x=-3,此时两直线相交,

例1 解析

-1或2 则a=________. 不平行,所以a≠0.

a-1 2 1 当 a≠0 时,若两直线平行,则有 1 =a≠3,
解得a=-1或a=2.

解析答案

(2)已知两直线方程分别为 l1:x+y=1,l2:ax+2y=0,若l1⊥l2,则a= -2 ________. 解析 方法一 ∵l1⊥l2, ∴k1k2=-1,

a 即2=-1,
解得a=-2. 方法二 ∵l1⊥l2, ∴a+2=0,a=-2.

思维升华

解析答案

跟踪训练1
已知两直线l1:x+ysin α-1=0和l2:2x· sin α+y+1=0,求α的值,使得:

(1)l1∥l2;

解析答案

(2)l1⊥l2. 解 因为A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件, 所以2sin α+sin α=0,即sin α=0,所以α=kπ,k∈Z. 故当α=kπ,k∈Z时,l1⊥l2.

解析答案

题型二

两条直线的交点与距离问题

解析答案

(2)直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的 方程为__________________________.

解析答案

跟踪训练2
(1) 如图,设一直线过点( -1,1) ,它被两平行直线 l1 :x
+ 2y - 1 = 0 , l2 : x + 2y - 3 = 0 所截的线段的中点在直 线l3:x-y-1=0上,求其方程.



与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x+2y-2=0.

设所求直线方程为(x+2y-2)+λ(x-y-1)=0,

即(1+λ)x+(2-λ)y-2-λ=0.又直线过(-1,1),
∴(1+λ)(-1)+(2-λ)· 1-2-λ=0.

1 解得 λ=-3.∴所求直线方程为 2x+7y-5=0.
解析答案

(2)正方形的中心为点C(-1,0),一条边所在的直线方程是x+3y-5=0, 求其他三边所在直线的方程.

解析答案

题型三

对称问题

命题点1 点关于点中心对称
例3 解析 过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10= 设l1与l的交点为A(a,8-2a),
x+4y-4=0 0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________________. 则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上, 代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0, 解得a=4, 即点A(4,0)在直线l上, 所以直线l的方程为x+4y-4=0.
解析答案

命题点2 点关于直线对称
已知直线 l:2x-3y+1 = 0 ,点A( -1 ,-2) ,则点A关于直线l的对 ? 33 4 ? ? ? , ? ?- 13 13? 称点A′的坐标为____________. ? ?y+2 2 ? × =-1, ?x+1 3 解析 设 A′(x,y),由已知得? ? x-1 y-2 ?2× - 3 × + 1 = 0 , 2 2 ? ? ?x=-33, ? ? 13 33 4 ? ? ? ? - , 故 A ′ 解得 ? ?. 13 13 ? ? 4 ? y=13, ? ? 例4
解析答案

命题点3 直线关于直线的对称问题
例5 已知直线l :2x-3y+1 =0,求直线 m:3x-2y-6 =0关于直线l 的 对称直线m′的方程.

思维升华

解析答案

跟踪训练3
在等腰直角三角形 ABC 中, AB= AC = 4 ,点 P 是边 AB上 异于A,B的一点,光线从点P出发,经BC,CA发射后又 回到原点P(如图).若光线QR经过△ABC的重心,则AP= ________.

解析答案

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思想与方法系列

思想与方法系列

18.妙用直线系求直线方程

一、平行直线系
由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线

平行时,它们的一次项系数与常数项有必然的联系.
典例 求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程. 因为所求直线与 3x+ 4y+ 1 =0 平行,因此,可设该直线

思维点拨

方程为3x+4y+c=0(c≠1).

思维点拨

解析答案

温馨提醒

二、垂直直线系

由于直线 A1x + B1y + C1 = 0 与 A2x + B2y + C2 = 0 垂直的充要条件为 A1A2 +
B1B2=0.因此,当两直线垂直时,它们的一次项系数有必要的关系,可以 考虑用直线系方程求解. 典例 求经过A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.

思维点拨 依据两直线垂直的特征设出方程,再由待定系数法求解.

思维点拨

解析答案

温馨提醒

三、过直线交点的直线系 典例 求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直

线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.

思维点拨 可分别求出直线 l1 与l2的交点及直线 l的斜率k ,直接写出方
程;也可以利用过交点的直线系方程设直线方程,再用待定系数法求解.

思维点拨

解析答案

温馨提醒

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思想方法 感悟提高

方法与技巧

1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合 的两条直线l1、l2,l1∥l2?k1=k2;l1⊥l2?k1· k2=-1.若有一条直线的斜

率不存在,那么另一条直线的斜率一定要特别注意.
2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法.

失误与防范

1.在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.若两 条直线都有斜率,可根据判定定理判断,若直线无斜率,要单独考虑. 2.在运用两平行直线间的距离公式d=
|C1-C2| A +B
2 2

时,一定要注意将两方程

中x,y的系数化为相同的形式.

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练出高分

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解析 求导得 f′(x)=sin x+xcos x,故
?π? ? ? f′?2?=1, ? ?

a 所以直线的斜率 k=-3=-1,得 a=3.

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2.设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对边的边长,则直线sin A· x-ay -c=0与bx+sin B· y+sin C=0的位置关系是________.

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解析
? ? k 2k-1? ?kx-y=k-1, ? ? ? , 解方程组 得两直线的交点坐标为? , ? ? ?k-1 k-1 ? ?ky-x=2k

2k-1 1 k 因为 0<k<2,所以 <0, >0,故交点在第二象限. k-1 k-1

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4. 若直线 l1 : y = k(x - 4) 与直线 l2 关于点 (2,1) 对称,则直线 l2 经过定点 (0,2) ________. 解析 直线l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2), 又直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称, 故直线l2经过定点(0,2).

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5.从点(2,3)射出的光线沿与向量a=(8,4)平行的直线射到y轴上,则反射 x+2y-4=0 光线所在的直线方程为____________.
1 解析 由直线与向量 a=(8,4)平行知:过点(2,3)的直线的斜率 k=2, 1 所以直线的方程为 y-3=2(x-2),

其与y轴的交点坐标为(0,2),
又点(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3), 所以反射光线过点(-2,3)与(0,2), 由两点式得直线方程为x+2y-4=0.
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6.(教材改编)与直线l1:3x+2y-6=0和直线l2:6x+4y-3=0等距离的直
线方程是______________.

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7.已知两直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,若l1∥l2,且坐标 8 0或 原点到这两条直线的距离相等,则a+b=________. 3

解析

?a+b?a-1?=0, ? 4 |b| 由题意得? . ? 2 2= 2 ?a-1? +1 ? a +?-b?

? 2 ? ?a= , ?a=2, 解得? 或? 3 ? ?b=2 ?b=-2 ?

经检验,两种情况均符合题意,

8 ∴a+b 的值为 0 或3.
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-1

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若 l1∥l2, 则 a=-1, l1: x-y+1=0, 两平行直线间的距离 d= =2 2.

|1-?-3?| 1+1

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9.已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为 2x-y-5 =0,AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,求直线BC的方程.

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10.已知直线l经过直线l1:2x+y-5=0与l2:x-2y=0的交点.

(1)若点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;

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(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.



? ?2x+y-5=0, 由? ? ?x-2y=0,

解得交点 P(2,1) ,如图,过 P 作任一直线 l ,设 d 为点A到l的距离,则d≤PA(当l⊥PA时等号成立).

∴dmax=PA= ?5-2?2+?0-1?2= 10.

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11.若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是________. 4
解析 因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上, 所以4m+3n-10=0.

欲求 m2+n2 的最小值可先求 ?m-0?2+?n-0?2的最小值,

而 ?m-0?2+?n-0?2
表示4m+3n-10=0上的点(m,n)到原点的距离,如图. 当过原点的直线与直线4m+3n-10=0垂直时,原点到点 (m,n)的距离最小为2.所以m2+n2的最小值为4.
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12.如图,已知直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的定点,点A到l1, l2之间的距离分别为3和2,点B是l2上的一动点,作AC⊥AB, 且AC与l1交于点C,则△ABC的面积的最小值为________.

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13.在平面直角坐标系内,到点A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距离
之和最小的点的坐标是________.

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设 Q(x0 , y0) , 由 于 PQ⊥l , 且 PQ 中 点 在 l 上 , 有
? ?x =29, ? 0 5 解得? 8 ? y0=-5, ? ?

?y0-4 ? =-2, ?x0-3 ? ?y0+4 1 x0+3 ? =2· 2 -1, ? 2
?29 8? ? ? ∴Q? 5 ,-5?. ? ?

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(2)求l关于点(2,3)对称的直线方程. 解 在l上任取一点,如M(0,-1), 则M关于点(2,3)对称的点为N(4,7). ∵当对称点不在直线上时,关于点对称的两直线必平行, ∴所求直线过点N且与l平行, 1 ∴所求方程为 y-7=2(x-4),即为 x-2y+10=0.

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