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【步步高】2013年高考物理大一轮 第八章 第3课时 带电粒子在匀强磁场中的运动 新人教版选修3-1

时间:2014-12-12


第 3 课时

带电粒子在匀强磁场中的运动

考点一 带电粒子在磁场运动的临界与极值问题 考点解读 解决此类问题的关键是:找准临界点. 找临界点的方法是: 以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口,借助半径 R 和速度

v(或磁场 B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析,确定轨迹圆和边界的关系,找出临
界点,然后利用数学方法求解极值,常用结论如下: (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切. (2)当速度 v 一定时,弧长(或弦长)越长,圆周角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的 时间越长. (3)当速率 v 变化时,圆周角越大,运动时间越长. 典例剖析 1.磁感应强度的极值问题 例 1 如图 1 所示,一带正电的质子以速度 v0 从 O 点垂直射入,两个 板间存在垂直纸面向里的匀强磁场.已知两板之间距离为 d,板长 为 d,O 点是板的正中间,为使质子能从两板间射出,试求磁感应 强度应满足的条件(已知质子的带电荷量为 e,质量为 m). 2.偏角的极值问题 例 2 在真空中,半径 r=3×10
6 -2

图1

m 的圆形区域内有匀强磁场,方向

如图 2 所示,磁感应强度 B=0.2 T,一个带正电的粒子以初速度 =1×10 m/s 从磁场边界上直径 ab 的一端 a 射入磁场,已知该粒 子的比荷 =1×10 C/kg,不计粒子重力. 图2 (1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径;

v0

q m

8

(2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角,求入射时 v0 与 ab 的夹角 θ 及粒子的最大偏转 角. 3.时间的极值问题 例 3 如图 3 所示,M、N 为两块带等量异种电荷的平行金属板, 两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值.静止的带 电粒子带电荷量为+q,质量为 m(不计重力),从点 P 经电场加 速后,从小孔 Q 进入 N 板右侧的匀强磁场区域,磁感应强度大 小为 B,方向垂直于纸面向外,CD 为磁场边界上的一绝缘 板,它与 N 板的夹角为 θ =45°,孔 Q 到板的下端 C 的距离为 图3

L,
当 M、N 两板间电压取最大值时,粒子恰垂直打在 CD 板上,求:
1

(1)两板间电压的最大值 Um; (2)CD 板上可能被粒子打中的区域的长度 x; (3)粒子在磁场中运动的最长时间 tm. 4.面积的极值问题 例 4 如图 4 所示,质量为 m,电荷量为 e 的电子从坐标原点 O 处沿

xOy 平面射入第一象限内,射入时的速度方向不同,但大小均为 v0.
现在某一区域内加一方向向外且垂直于 xOy 平面的匀强磁场,磁感 应强度大小为 B,若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与 y 轴平 行的荧光屏 MN 上,求: (1)电子从 y 轴穿过的范围; (2)荧光屏上光斑的长度; (3)所加磁场范围的最小面积. 考点二 带电粒子在磁场中运动的多解问题 考点解读 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,由于多种因素的影响,使问题形成多解,多 解形成原因一般包含下述几个方面. 1.带电粒子电性不确定 受洛伦兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电,当粒子具有相同速度时,正、 负粒子在磁场中运动轨迹不同,导致多解. 如图 5 所示,带电粒子以速率 v 垂直进入匀强磁场,若带正电,其轨迹为 a,若带负电, 其轨迹为 b. 2.磁场方向不确定形成多解 磁感应强度是矢量,如果题述条件只给出磁感应强度大小,而未说明磁感应强度方向, 则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解. 如图 6 所示,带正电粒子以速率 v 垂直进入匀强磁场,若 B 垂直纸面向里,其轨迹为 a, 若 B 垂直纸面向外,其轨迹为 b. 图4

图5 3.临界状态不惟一形成多解

图6

带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此,它可 能穿过去了,也可能转过 180°从入射面边界反向飞出,如图 7 所示,于是形成了多解. 4.运动的往复性形成多解 带电粒子在部分是电场,部分是磁场的空间运动时,运动往往具有往复性,从而形成多 解.如图 8 所示.

2

图7 典例剖析 1.带电粒子性质的不确定形成多解

图8

例 5 如图 9 所示,直线边界 MN 上方有垂直纸面向里的匀强磁场, 磁感应强度为 B,磁场区域足够大.今有一质量为 m,带电荷量为 的带电粒子,从边界 MN 上某点垂直磁场方向射入,射入时的速度 大小为 v,方向与边界 MN 的夹角为 θ ,求带电粒子在磁场中的运动时间.图 9 2.磁场方向不确定形成多解 例 6 某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动, 磁场方 向垂直于它的运动平面, 电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的 3 倍. 若电子电荷量为

q

e、质量为 m,磁感应强度为 B,不计重力,则电子运动的角速度可能是 4Be 3Be 2Be Be A. B. C. D. m m m m
3.运动方向不确定形成多解 例 7 如图 10 所示,绝缘摆线长为 L,摆球带正电(电荷量为 q,质量为 m) 悬于 O 点,当它在磁感应强度为 B 的匀强磁场中来回摆动经过最低点 C 时速率为 v,则摆线的拉力为多大? 4.运动的往复性形成多解 例 8 如图 11 所示,在 NOQ 范围内有垂直于纸面向里的匀强 磁场Ⅰ,在 MOQ 范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ,

(

)

图 10

M、O、N 在一条直线上,∠MOQ=60°,这两个区域磁场的
磁感应强度大小均为 B.离子源中的离子带电荷量为+q,质 量为 m,通过小孔 O1 进入两板间电压为 U 的加速电场区域(可认 为初速度为零),离子经电场 加速后由小孔 O2 射出,再从 O 点进入磁场区域Ⅰ,此时速度方向沿纸面垂直于磁场边界 图 11

MN,不计离子的重力.
(1)若加速电场两板间电压 U=U0,求离子进入磁场后做圆周运动的半径 R0; (2)在 OQ 上有一点 P,P 点到 O 点距离为 L,若离子能通过 P 点,求加速电压 U 和从 O 点 到 P 点的运动时间. 思维突破 多解问题的审题 正确解答多解问题的前提和关键是审题,只有细致、周密、准确的审题,才能体会出题目 中条件的不确定因素, 从而把题目定性为多解问题而进行讨论分析. 审题时应克服习惯性 思维或先入为主的思维模式, 想当然地认为带电粒子就是带正电, 粒子运动就是向一个方 向运动,这样多解题就变成了单解题,答案不全面或解答错误.本题型的四个例题,就是 从形成多解的四个不确定条件出发,讨论了形成多解的不同结果.
3

A 组 临界与极值问题 1. 如图 12 所示,边界 OA 与 OC 之间分布有垂直纸面向里的 匀强磁场,边界 OA 上有一粒子源 S.某一时刻,从 S 平行于 纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的 重力及粒子间的相互作用),所有粒子的初速度大小相同, 经过一段时间有大量粒子从边界 OC 射出磁场.已知∠AOC =60°,从边界 OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间等 于 T/2(T 为粒子在磁场中运动的周期),则从边界 OC 射出的粒子在磁场中运动的 图 12 时间可能为 A. 3 ( B. 4 )

T

T

C. 6

T

D. 8

T

2.如图 13 所示,半径为 r=0.1 m 的圆形匀强磁场区域边界跟 y 轴相切于 坐标原点 O,磁感应强度 B=0.332 T,方向垂直纸面向里.在 O 处有 一放射源, 可沿纸面向各个方向射出速率均为 v=3.2×10 m/s 的 α 粒 子.已知 α 粒子质量 m=6.64×10
-27 6

kg,电荷量 q=3.2×10

-19

C,不 图 13

计 α 粒子的重力.求 α 粒子在磁场中运动的最长时间. B 组 多解问题 3. 垂直于纸面的匀强磁场区域宽度为 d,一个电子以速度 v 沿图 14 所 方向垂直磁场方向及磁场边界射入该区域, 恰好不能飞过场区, 采取 如下哪些方法,可能使该电子飞到场区右侧 A.增大磁感应强度 C.减小 d B.改变 v 的方向 D.将磁场反向 ( )



4.如图 15 所示,垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形 abcd 区 域内,O 点是 cd 边的中点.一个带正电的粒子仅在磁场力的作 用下,从 O 点沿纸面以垂直于 cd 边的速度射入正方形内,经过 时间 t0 刚好从 c 点射出磁场. 现设法使该带电粒子从 O 点沿纸面 以与 Od 成 30°的方向,以大小不同的速率射入正方形内,那么下 列说法中正确的是 A.若该带电粒子从 ab 边射出,它经历的时间可能为 t0 5 B.若该带电粒子从 bc 边射出,它经历的时间可能为 t0 3 5 C.若该带电粒子从 cd 边射出,它经历的时间为 t0 3 D.若该带电粒子从 ad 边射出,它经历的时间可能为

图 14

图 15 ( )

t0
3
4

课时规范训练 (限时:60 分钟) 一、选择题 1. 一个质子和一个 α 粒子沿垂直于磁感线方向从同一点射入一个匀 强磁场中,若它们在磁场中的运动轨迹是重合的,如图 1 所示, 则它们在磁场中 A.运动的时间相等 B.加速度的大小相等 C.速度的大小相等 D.动能的大小相等 2. 初速度为 v0 的电子,沿平行于通电长直导线的方向射出,直导线中电流 向与电子的初速度方向如图 2 所示,则 A.电子将向右偏转,速率不变 B.电子将向左偏转,速率改变 C.电子将向左偏转,速率不变 D.电子将向右偏转,速率改变 3. 如图 3 所示,在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上,有两个电荷量绝 对值相同、质量相同的正、负粒子(不计重力),从 A 点以相同的速度 先后射入磁场中,入射方向与边界成 θ 角,则正、负粒子在磁场中( A.运动时间相同 B.运动轨迹的半径相同 C.重新回到边界时速度大小和方向相同 D.重新回到边界时与 A 点的距离相等 4.如图 4 所示,一个质量为 m、电荷量为+q 的带电粒子,不计重 力,在 a 点以某一初速度水平向左射入磁场区域Ⅰ,沿曲线 )图 3 图2 ( ) 方 ( ) 图1

abcd 运动,ab、bc、cd 都是半径为 R 的圆弧.粒子在每段圆弧
上运动的时间都为 t.规定垂直纸面向外的磁感应强度方向为 正,则磁场区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分的磁感应强度 B 随 x 变化的 关系可能是图中的 图4 ( )

5

5.如图 5 所示,L1 和 L2 为两条平行的虚线,L1 上方和 L2 下方 都是垂直纸面向外的磁感应强度相同的匀强磁场,A、B 两点 都在 L1 上. 带电粒子从 A 点以初速 v 斜向下与 L1 成 45°角射 出,经过偏转后正好过 B 点,经过 B 点时速度方向也斜向下,且方 向与 A 点方向相同.不计重力影响,下列说法中正确的是 A.该粒子一定带正电 B.该粒子一定带负电 C.若将带电粒子在 A 点时初速度变大(方向不变),它仍能经过 B 点 D.若将带电粒子在 A 点时初速度变小(方向不变),它不能经过 B 点 6. 一电子以垂直于匀强磁场的速度 vA,从 A 处进入长为 d、宽为 h 的 磁场区域如图 6 所示, 发生偏移而从 B 处离开磁场, 若电荷量为 e, 磁感应强度为 B,圆弧 AB 的长为 L,则 A.电子在磁场中运动的时间为 t= B.电子在磁场中运动的时间为 t= C.洛伦兹力对电子做功是 BevA·h D.电子在 A、B 两处的速度相同 7. 如图 7 所示,在 x 轴上方的空间存在着垂直于纸面向里的匀强 场,磁感应强度的大小为 B.许多相同的离子,以相同的速率 v, 由 O 点沿纸面向各个方向(y>0)射入磁场区域. 不计离子所受重 力,不计离子间的相互影响.图中曲线表示离子运动的区域边 图7 磁 ( ) 图6 图5 ( )

d vA L vA

界,其中边界与 y 轴交点为 M ,边界与 x 轴交点为 N ,且 OM = ON = L. 由此可判断 ( )

A.这些离子是带负电的 B.这些离子运动的轨道半径为 L C.这些离子的比荷为 =

q v m LB

D.当离子沿 y 轴正方向射入磁场时会经过 N 点 8. 如图 8 所示,直角三角形 ABC 中存在一匀强磁场,比荷相同的两个粒
6

子沿 AB 方向自 A 点射入磁场, 分别从 AC 边上的 P、 Q 两点射出, 则 A.从 P 射出的粒子速度大 B.从 Q 射出的粒子速度大 C.从 P 射出的粒子,在磁场中运动的时间长 D.两粒子在磁场中运动的时间一样长 二、非选择题 9.不计重力的带正电粒子,质量为 m,电荷量为 q,以与 y 轴成 30°角 的速度 v0 从 y 轴上的 a 点射入图 9 中第一象限所在区域. 为了使该带 电粒子能从 x 轴上的 b 点以与 x 轴成 60°角的速度射出,可在适当 地方加一个垂直于 xOy 平面、磁感强度为 B 的匀强磁场,若此磁场 分布在一个圆形区域内,试求这个圆形磁场区域的最小面积. 图9 图8

(

)



10.如图 10 甲所示,M、N 为竖直放置且彼此平行的两块平板,板间距离为 d,两板中央各 有一个小孔 O、O′且正对,在两板间有垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度随时间的 变化如图乙所示.有一束正离子在 t=0 时垂直于 M 板从小孔 O 射入磁场.已知正离子 质量为 m,带电荷量为 q,正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的 周期都为 T0,不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响,不计离子所受重力.求:

图 10 (1)磁感应强度 B0 的大小; (2)要使正离子从 O′孔垂直于 N 板射出磁场,正离子射入磁场时的速度 v0 的可能值. 11.如图 11 所示,一足够长的矩形区域 abcd 内充满方向垂直纸面 向里的、磁感应强度为 B 的匀强磁场,在 ad 边中点 O,垂直于 磁场射入一速度方向跟 ad 边夹角 θ =30°、 大小为 v0 的带正电 粒子.已知粒子质量为 m,电荷量为 q,ad 边长为 L,ab 边足够 长,粒子重力不计,求: (1)粒子能从 ab 边上射出磁场的 v0 大小范围; (2)如果带电粒子不受上述 v0 大小范围的限制,求粒子在磁场中运动的最长时间. 复习讲义 课堂探究 4mv0 4mv0 例1 ≤B≤ 5de de 例 2 (1)5×10
-2

图 11

m (2)37° 74°
7

qB2L2 πm (2)(2- 2)L (3) 2m Bq 2mv0 mv0 例 4 (1) (2) Be Be π mv0 2 (3)( +1)( ) 2 Be 2m(π -θ ) 2mθ 例 5 若粒子带正电,则运动时间为 ,若粒子带负电,则运动时间为 qB qB
例 3 (1) 例 6 AC 例 7 见解析 解析 当摆球在最低点向右运动时,摆球受到的洛伦兹力的方向竖直向上,由牛顿第二 2 2 v v 定律得 FT-mg+qvB=m ,则 FT=mg-qvB+m . L L 当摆球在最低点向左运动时,摆球受到的洛伦兹力的方向竖直向下,由牛顿第二定律得 2 2 v v FT-mg-qvB=m ,则 FT=mg+qvB+m . L L 1 例 8 (1) 2U0m

B

q

(2)见解析

解析 (2)离子进入磁场时的运动轨迹如图所示, 设圆周运动的 半径为 R,由几何关系可知 OP′=P′P″=R 要保证离子通过 P 点,则 L=nR 2 2 BLq 解得 U= 2 ,其中 n=1,2,3,? 2mn 2π m 离子在磁场中运动的周期 T= qB T π π nm t=n· · = ,其中 n=1,2,3,? 2π 3 3qB 分组训练 1.ABC 2.6.5×10 3.BC 4.C 课时规范训练 1.D 2.A 3.BCD 4.C 5.C 6.B 7.D 8.BD 3 mv0 2 9. π ( ) 4 qB
8
-8

s

2π m πd 10.(1) (2) (n=1,2,3?) qT0 2nT0 qBL qBL 5π m 11.(1) <v0≤ (2) 3m m 3qB

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