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高中数学1.3三角函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质同步训练新人教B版必修4

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1.3.2

余弦函数、正切函数的图象与性质

知识点一:余弦函数的图象和性质 5π 1.函数 f(x)=sin( -2x)是 2 A.奇函数 C.非奇非偶函数 B.偶函数 D .既奇又偶函数
拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。

x π x 2.要得到函数 y=cos( - )的图象,只需将 y=sin 的图象 2 4 2 π A.向左平移 2 π C.向左平移 4 π B.向右平移 2 π D.向右平移 4

π 3.函数 f(x)= 3cos(2x- )+1 的最小正周期是__________. 3 4.函数 y= cosx的单调增区间是__________,单调减区间是__________. 5.若函数 y=acosx+b(a、b 为常数)的最大值为 1,最小值为-7,求 y=3+absinx 的最大值.

知识点二:正切函数的图象及性质 π 6.正切函数 y=tan(2x- )的定义域是 4 kπ π A.{x|x∈R 且 x≠ - ,k∈Z} 2 4 kπ 3π B.{x|x∈R 且 x≠ + ,k∈Z} 2 8 kπ π C.{x|x∈R 且 x≠ + ,k∈Z} 2 4 kπ π D.{x|x∈R 且 x≠ + ,k∈Z} 2 8 π 7.函数 y=2tan(3x+ )的一个对称中心是 4

1

π A.( ,0) 2 π C.( ,0) 6

π B.( ,0) 4 D.(π,0)

k π 8 .函数 y = tan( x + )(k>0) 的最小正周期不大于 2 ,则正整数 k 的最小值应是 4 3 __________. 9.比较大小:tan1__________tan4(填“>”或“<”) . 10.给出下列命题: ①正切函数的图象的对称中心是唯一的; π ②y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为 π、 ; 2 ③若 x1>x2,则 sinx1>sinx2; T ④若 f(x)是 R 上的奇函数,它的最小正周期为 T,则 f(- )=0. 2 其中正确命题的序号是__________.

能力点一:函数图象的应用 11.下列图形分别是①y=|tanx|,②y=tanx,③y=tan(-x),④y=tan|x|在 x∈(- 3π 3π , )内的大致图象.那么,由上到下由左到右对应的函数关系式应是 2 2

A.①②③④ C.③②④①

B.①③④② D.①②④③

π π 12.函数 y=lncosx(- <x< )的图象是 2 2

13.若函数 y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,则这 个封闭图形的面积是 A.4 B.8 C.2π D.4π

2

14.已知函数 f(x)=

2sinx 1+cos x-sin x
2 2

.

(1)求函数的定义域; (2)用定义判断 f(x)的奇偶性; (3)在[-π,π]上作出 f(x)的图象. 能力点二:函数性质的应用 15.函数 y= sinx+ tanx的定义域为 π A.{x|2kπ≤x<2kπ+ ,k∈Z} 2 π B.{x|2kπ<x≤2kπ+ ,k∈Z} 2 π C.{x|2kπ≤x<2kπ+ ,k∈Z}∪{x|x=2kπ+π,k∈Z} 2 π D.{x|2kπ≤x<2kπ+ 且 x≠2kπ+π,k∈Z} 2 π 16.已知函数 f(x)=sin(x- )(x∈R),下列结论错误 的是 .. 2 A.函数 f(x)的最小正周期为 2π π B.函数 f(x)在区间[0, ]上是增函数 2 C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 17.一个大风车的半径为 8 m,12 分钟旋转一周,它的最低点离地面 2 m,则风车翼片 的一个端点离地面距离 h(米)与时间 t(分钟)之间(h(0)=2)的函数关系式为__________.

π 18.若 f(x)=tan(x+ ),试比较 f(-1),f(0),f(1),并按从小到大的顺序排列: 4 __________. π 19.(2010 江苏高考,10)设定义在区间(0, )上的函数 y=6cosx 的图象与 y=5tanx 2 的图象交于点 P,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为 P1,直线 PP1 与函数 y=sinx 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为__________. π π 20.有两个函数 f(x)=asin(ωx+ ),g(x)=btan(ωx- )(其中 ω>0).已知它们 3 3 3π π π π π 的周期之和为 ,且 f( )=g( ),f( )=- 3g( )+1,你能确定 a、b、ω 的值吗? 2 2 2 4 4

3

21.求下列函数的最值,并求取得最值时 x 取值的集合: 3-cosx π (1)y= ;(2)y=2cos(x- ). 3+cosx 3

22.已知函数 y=10 (1)分别求出函数的定义域与值域; (2)判断函数是否为周期函数,若是,求出周期; (3)讨论这个函数的单调性.

lg(

3tan2x).

4

答案与解析 基础巩固 1.B x 2.A y=sin 2 3.π π 4. [2kπ- , 2kπ], k∈Z 2 π + ,k∈Z. 2 π 当 2kπ- ≤x≤0 时,函数 y 为增函数, 2 π 当 0≤x≤2kπ+ 时,函数 y 为减函数. 2 5.解:若 a>0,当 cosx=1 时,ymax=a+b; 当 cosx=-1 时,ymin=b-a,
?a+b=1, ? ∴? ? ?-a+b=-7. ?a=4, ? ∴? ? ?b=-3.

1 π π x π x π sin (x+ )=sin[ +( - )]=y=cos( - ) 2 2 2 2 4 2 4

π [2kπ, 2kπ+ ], k∈Z 2

π 由 cosx≥0 得 2kπ- ≤x≤2kπ 2

∴ab=-12<0. ∴当 sinx=-1 时,3-12sinx 取得最大值为 15. 若 a<0,当 cosx=1 时,ymin=a+b, 当 cosx=-1 时,ymax=b-a.
? ?a+b=-7, ∴? ?-a+b=1. ? ? ?a=-4, ∴? ?b=-3. ?

∴ab=12>0, ∴当 sinx=1 时,3+absinx 取最大值为 15. π π kπ 3π 6.B 由 2x- ≠kπ+ 得 x≠ + (k∈Z). 4 2 2 8 kπ 3π ∴定义域为{x|x∈R 且 x≠ + ,k∈Z}. 2 8 π kπ π 7.B 由 3x+ =kπ 得 x= - , 4 3 12 kπ π ∴函数 y 的对称中心为( - ,0),k∈Z. 3 12 π 当 k=1 时,中心为( ,0). 4 8.7

5

π π 9.> ∵tan4=tan(4-π),y=tanx 在(- , )内为增函数,且 1>4-π, 2 2 ∴tan1>tan(4-π)=tan4. T T 10.④ 对于④,因为 f(x)是奇函数,所以 f(- )=-f( ). 2 2 又因为 f(x)的最小正周期为 T, T T 所以 f(- )=f(T- ) 2 2 T =f( ). 2 T T 由此可得-f( )=f( ), 2 2 T 即 f( )=0, 2 T T 所以 f(- )=-f( )=0, 2 2 故④正确. 观察图象知,①②③均错. 能力提升 11.D 12.A 13.D 作出函数 y=2cosx,x∈[0,2π]的图象,函数 y=2cosx,x∈[0,2π]的图象与 直线 y=2 围成的平面图形,如图所示的阴影部分.

利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形 OABC 的面积, 又∵|OA|=2,|OC|=2π, ∴S 平面图形=S 矩形 OABC=2×2π=4π. 14.解:将 f(x)的解析式化简,然后用定义求解. (1)∵f(x)= sinx = , 2cos x |cosx|
2

2sinx

π ∴函数的定义域是{x|x≠kπ+ ,k∈Z}. 2 (2)∵f(-x)= 2 1+cos
2

- - -sin
2



=-

2sinx 1+cos x-sin x
2 2

=-f(x),

6

∴f(x)是奇函数. (3)f(x)= π π tanx, - <x< , ? ? 2 2 ? π π -tanx, -π≤x<- 或 <x≤π. ? ? 2 2 f(x)的图象如图.

15.C 16.D π 17.h(t)=-8cos t+10 首先考虑建立直角坐标系,以最低点的切线作为 x 轴,最 6 低点作为坐标原点,建立如图直角坐标系.

那么,风车上翼片端点所在位置 P 可由函数 x(t)、y(t)来刻画,而且 h(t)=y(t)+2. 所以,只需要考虑 y(t)的解析式.又设 P 的初始位置在最低点即 y(0)=0, 8- 在 Rt△O1PQ 中,cosθ= 而 8 ,y(t)=-8cosθ+8,

2π θ π π π = ,所以 θ= t,y(t)=-8cos t+8,h(t)=-8cos t+10. 12 t 6 6 6

π 3π π 18.f(1)<f(-1)<f(0) 函数 f(x)=tan(x+ )在(- , )上递增,且 T=π, 4 4 4 则有 f(1)=f(1-π). 3π π ∵- <1-π<-1<0< , 4 4 ∴f(1-π)<f(-1)<f(0), 即 f(1)<f(-1)<f(0). 2 19. 3 如图,由题意得:6cosx=5tanx,

7

5sinx 2 即 6cosx= ,6cos x=5sinx, cosx 2 3 2 2 6(1-sin x)=5sinx,6sin x+5sinx-6=0,得 sinx= ,或 sinx=- (舍去). 3 2 2 结合图象得:sinx=P1P2= . 3 2π π 2π π 3π 20.解:∵f(x)的周期为 ,g(x)的周期为 ,∴ + = ,得 ω=2. ω ω ω ω 2 π π ∴函数解析式为 f(x)=asin(2x+ ),g(x)=btan(2x- ). 3 3

? ? 由已知,得方程组? ? ?
3 ? ?- 2 a=- 3b, 即? a ?2=-b+1, ? 1 ∴a=1,b= ,ω=2. 2

π + = 3 π π + =- 3 4 3 π 3 +1,

π - 3

, π - 4

a=1, ? ? 解得? 1 b= , ? ? 2

3-cosx 6 21.解:(1)∵y= =-1+ , 3+cosx 3+cosx ∴当 cosx=-1,即 x=2kπ+π(k∈Z)时,ymax=2; 1 当 cosx=1,即 x=2kπ(k∈Z)时,ymin= . 2 ∴y 取得最大值 2 时,x 取值的集合是{x|x=2kπ+π,k∈Z}; 1 y 取得最小值 时,x 取值的集合是{x|x=2kπ,k∈Z}. 2 π π (2)令 x- =z,则 y=2cosz,当 z=2kπ(k∈Z),即 x=2kπ+ (k∈Z)时,ymax=2; 3 3

8

4π 当 z=2kπ+π(k∈Z),即 x=2kπ+ (k∈Z)时,ymin=-2. 3 π ∴y 取得最大值 2 时,x 取值的集合是{x|x=2kπ+ ,k∈Z}; 3 4π y 取得最小值-2 时,x 取值的集合是{x|x=2kπ+ ,k∈Z}. 3 拓展探究 22.解:(1)由 3tan2x>0,得 kπ kπ π <x< + ,k∈Z. 2 2 4

kπ kπ π 故定义域为{x| <x< + ,k∈Z}. 2 2 4 ∴y=10 = 3tan2x. kπ kπ π 又∵ <x< + ,k∈Z, 2 2 4 ∴y∈(0,+∞). ∴值域为{y|y>0}. π (2)是周期函数,T= . 2
lg( 3tan2x)

9


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