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2015年东城区高三二模数学理科试题及答案

时间:2015-05-11


北京市东城区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(二) 高三数学 (理科)
本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题
23? )? 6

共 40 分)

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) (1) sin(?

(A) ?

3 2

(B) ?

1 2
4

(C)

1 2

(D)

3 2

(2)设 a ? log 4 ? , b ? log 1 ? , c ? ? ,则 a , b , c 的大小关系是
4

(A) a ? c ? b

(B) b ? c ? a

(C) c ? b ? a

(D) c ? a ? b

(3)已知 {an } 为各项都是正数的等比数列,若 a4 ? a8 ? 4 ,则 a5 ? a6 ? a7 ? (A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 64

(4)甲、乙两名同学 8 次数学测验成绩如茎叶图所示, x1 , x2 分别表示甲、乙两名同学 8 次数学测验成绩 的平均数, s1 , s2 分别表示甲、乙两名同学 8 次数学测验成绩的标准差,则有 (A) x1 ? x2 , s1 ? s2 (B) x1 ? x2 , s1 ? s2 (C) x1 ? x2 , s1 ? s2 (D) x1 ? x2 , s1 ? s2
甲 乙

8 9 4 5 5 6 1 2

7 8 9

7 8 3 5 5 7 2 3

(5)已知 p , q 是简单命题,那么“ p ? q 是真命题”是“ ? p 是真命题”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? (6)若实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 | x | ? y 的取值范围是 ? y ? ?1, ?
(A) [?1,3] (B) [1,11] (C) [1,3] (D) [?1,11]

(7)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) .当 x ? [?3,?1) 时, f ( x) ? ?( x ? 2) 2 ,当 x ? [?1,3) 时, f ( x) ? x ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? (A) 336 (B) 355

? f (2015) ?
(D) 2015

(C) 1676

(8)为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定

原信息为 a0 a1a2 ,其中 ai ?{0,1}( i ? 0,1, 2 ) ,传输信息为 h0 a0 a1a2 h1 ,h0 ? a0 ? a1 ,h1 ? h0 ? a2 ,

? 运算规则为: 0 ? 0 ? 0 , 0 ? 1 ? 1 , 1 ? 0 ? 1 , 1 ? 1 ? 0 .例如原信息为 111 ,则传输信息为

01111 .传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列信息一定有误的是
(A) 11010 (B) 01100 (C) 10111 (D) 00011

第二部分(非选择题
二、 填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

共 110 分)

(9)若 ( x ? ) 的二项展开式中各项的二项式系数的和是 64 ,则 n ?
n

1 x

,展开式中的常数项



. (用数字作答) .

(10)已知正数 x , y 满足 x ? y ? xy ,那么 x ? y 的最小值为 (11)若直线 ? 则a ? (12) 若双曲线

? x ? ?1 ? 2t, ? x ? 4 ? a cos ?, (t 为参数 ) 与曲线 ? (? 为参数, a ? 0 ) 有且只有一个公共点, ? y ? 3 ? 2t ? y ? a sin ?


x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 截抛物线 y 2 ? 4x 的准线所得线段长为 b , 则a ? 2 a b




(13)已知非零向量 a , b 满足 | b |? 1 , a 与 b ? a 的夹角为 120 ,则 | a | 的取值范围是

(14)如图,平面中两条直线 l1 和 l2 相交于点 O ,对于平面上任意一点 M ,若 p, q 分别是 M 到直线 l1 和

l2 的距离,则称有序非负实数对 ( p, q) 是点 M 的“距离坐标”.
给出下列四个命题: ① 若 p ? q ? 0 ,则“距离坐标”为 (0, 0) 的点有且仅有 1 个. ② 若 pq ? 0 ,且 p ? q ? 0 ,则“距离坐标”为 ( p, q) 的点有且仅有 2 个. ③ 若 pq ? 0 ,则“距离坐标”为 ( p, q) 的点有且仅有 4 个. ④ 若 p ? q ,则点 M 的轨迹是一条过 O 点的直线. 其中所有正确命题的序号为 .

l2

l1 M(p,q) O

三、解答题(共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)

sin 2 x ? 2sin 2 x (15) (本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? . sin x
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域及其最大值; (Ⅱ)求 f ( x) 在 (0, ?? 上的单调递增区间.

(16) (本小题共 13 分)某校高一年级开设 A , B , C , D , E 五门选修课,每位同学须彼此独立地选

三门课程,其中甲同学必选 A 课程,不选 B 课程,另从其余课程中随机任选两门课程.乙、丙两名同学从 五门课程中随机任选三门课程. (Ⅰ)求甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率; (Ⅱ)用 X 表示甲、乙、丙选中 C 课程的人数之和,求 X 的分布列和数学期望.

(17) (本小题共 14 分) 如图,三棱柱 ABC ? DEF 的侧面 BEFC 是边长为1 的正方形,侧面 BEFC ? 侧面 ADEB , AB ? 4 , ?DEB ? 60 , G 是 DE 的中点. (Ⅰ)求证: CE ∥平面 AGF ; (Ⅱ)求证: GB ? 平面 BEFC ; (Ⅲ)在线段 BC 上是否存在一点 P ,使二面角 P ? GE ? B 为 45 ,若存在,求 BP 的长;若不存在,说 明理由.
C F

B

E

G A D

(18) (本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ? e

?x



(Ⅰ)当 a ? e 时,求 f ( x) 在区间 [1,3] 上的最小值; (Ⅱ)求证:存在实数 x0 ?[?3,3] ,有 f ( x0 ) ? a .
2

(19) (本小题共 13 分)已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 两个焦点的距离之和为 4 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

3 ,且椭圆 C 上的点到 2

(Ⅱ)设 A 为椭圆 C 的左顶点,过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 M ,与 y 轴交于点 N ,过原点与 l 平行的 直线与椭圆交于点 P .证明: | AM | ? | AN |? 2 | OP |2 .

(20) (本小题共 14 分)

已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 a1 ? a(a ? 3) , an?1 ? S n ? 3n ,设 bn ? S n ? 3n , n ? N? . (Ⅰ)求证:数列 {bn } 是等比数列; (Ⅱ)若 an?1 ? an , n ? N? ,求实数 a 的最小值; (Ⅲ) 当 a ? 4 时, 给出一个新数列 {en } , 其中 en ? ?

?3 , n ? 1, 设这个新数列的前 n 项和为 C n , 若 Cn 可 ?bn , n ? 2.

以写成 t p ( t , p ? N? 且 t ? 1, p ? 1 )的形式,则称 C n 为“指数型和”.问 {Cn } 中的项是否存在“指 数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.

北京市东城区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(二) 高三数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)D (2)D (6)D (3)B (7)A (4)B (8)C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 6 (11) 2

15

(10) 4 (12)

2 5 5

(13) (0,

2 3 ] 3

(14) (1) (2) (3)

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由 sin x ? 0 ,得 x ? k ?? k ? Z? . 所以 f ( x) 的定义域为 {x ? R | x ? k ?? k ? Z} . ???????2 分 因为 f ( x) ?

sin 2 x ? 2sin 2 x , sin x

? 2 cos x ? 2sin x

? ? 2 2 cos( x ? ) , 4
所以 f ( x) 的最大值为 2 2 .

???????6 分 ???????7 分

(Ⅱ)函数 y ? cos x 的单调递增区间为 [2k ? ? ?? 2k ? ? ??? ( k ? Z ) 由 2k ? ? ? ? x ?

? ? 2k ? ? ?? , x ? k ?? k ? Z? ,且 x ? (0, ?? , 4

所以 f ( x) 在 (0, ?? 上的单调递增区间为 [ (16) (共 13 分)

3? , ?? . 4

??13 分

解: (Ⅰ)设事件 A 为“甲同学选中 C 课程” ,事件 B 为“乙同学选中 C 课程” .

C1 C2 2 3 2 4 则 P( A) ? 2 ? , P( B) ? 3 ? . C3 3 C5 5
因为事件 A 与 B 相互独立, 所以甲同学选中 C 课程且乙同学未选中 C 课程的概率为

2 2 4 P( AB) ? P( A) P( B) ? P( A)[1 ? P( B)] ? ? ? . ???????4 分 3 5 15
(Ⅱ)设事件 C 为“丙同学选中 C 课程” . 则 P(C ) ?

C2 3 4 ? . 3 C5 5

X 的可能取值为: 0,1, 2,3 .

1 2 2 4 P( X ? 0) ? P ( ABC ) ? ? ? ? . 3 5 5 75

P( X ? 1) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)
2 2 2 1 3 2 1 2 3 20 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75

P( X ? 2) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)
2 3 2 2 2 3 1 3 3 33 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 2 3 3 18 P( X ? 3) ? P( ABC ) ? ? ? ? . 3 5 5 75
X 为分布列为: X

0

1

2

3

P

4 75

20 75

33 75

18 75

E( X ) ? 0 ?
(17) (共 14 分)

4 20 33 18 140 28 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? .???13 分 75 75 75 75 75 15

(Ⅰ)证明:连接 CD 与 AF 相交于 H ,则 H 为 CD 的中点,连接 HG . 因为 G 为 DE 的中点, 所以 HG ∥ CE .

因为 CE ? 平面 AGF , HG ? 平面 AGF , 所以 CE ∥平面 AGF . ???4 分

(Ⅱ)证明: BE ? 1 , GE ? 2 ,在△ GEB 中, ?GEB ? 60 , BG ? 3 . 因为 BG ? BE ? GE ,
2 2 2

所以 GB ? BE . 因为侧面 BEFC ? 侧面 ADEB , 侧面 BEFC 侧面 ADEB ? BE ,

GB ? 平面 ADEB ,
所以 GB ? 平面 BEFC . ???8 分 (Ⅲ)解: BG, BE , BC 两两互相垂直,建立空间直角坐标系 B ? xyz .
z
C P H B E G A F

y

x
D

假设在线段 BC 上存在一点 P ,使二面角 P ? GE ? B 为 45 . 平面 BGE 的法向量 m ? (0,0,1) ,设 P(0,0, ? ), ? ?[0,1] .

G( 3,0,0), E (0,1, 0) .
所以 GP ? (? 3,0, ? ) , GE ? (? 3,1,0) . 设平面 PGE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 ?

? ?n ? GP ? 0, ? ?n ? GE ? 0.

所以 ?

? ?? 3x ? ? z ? 0, ? ?? 3x ? y ? 0.

令 z ? 1 ,得 y ? ? , x ?

?
3



所以 PGE 的法向量为 n ? ( 因为 m ? n ? 1 , 所以 1?

?
3

, ? ,1) .

?2
3

? ? 2 ?1 ?

3 3 2 ? ? 0,1? ,故 BP ? . ? 1 ,解得 ? ? 2 2 2

因此在线段 BC 上存在一点 P ,使二面角 P ? GE ? B 为 45 , 且 BP ? (18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? e2 时, f ( x) ? x ? e 因为 f '( x) ? 1 ? e 2? x , 由 f ?( x) ? 0 , x ? 2 . 则 x , f ?( x ) , f ( x) 关系如下:
2? x

3 . 2
, x ? [1,3] .

???14 分

x
f ?( x )

(1,2)
?


2

(2,3)

0
极小值

?


f ( x)

所以当 x ? 2 时, f ( x) 有最小值为 3 .

???5 分

(Ⅱ) “存在实数 x0 ?[?3,3] ,有 f ( x) ? a ”等价于 f ( x) 的最大值大于 a . 因为 f '( x) ? 1 ? ae ? x , 所以当 a ? 0 时, x ? [?3,3] , f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (?3,3) 上单调递增, 所以 f ( x) 的最大值为 f (3) ? f (0) ? a . 所以当 a ? 0 时命题成立. 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ln a . 则 x ? R 时, x , f ?( x ) , f ( x) 关系如下:

x
f ?( x ) f ( x)
3

(??, ln a)
?


ln a 0
极小值

(ln a,??)

?


(1)当 a ? e 时 , ln a ? 3 , f ( x) 在 (?3,3) 上单调递减, 所以 f ( x) 的最大值 f (?3) ? f (0) ? a . 所以当 a ? e 时命题成立.
3

(2)当 e

?3

? a ? e3 时, ? 3 ? ln a ? 3 ,

所以 f ( x) 在 (?3, ln a ) 上单调递减,在 (ln a,3) 上单调递增. 所以 f ( x) 的最大值为 f (?3) 或 f (3) . 且 f (?3) ? f (0) ? a 与 f (3) ? f (0) ? a 必有一成立,

所以当 e?3 ? a ? e3 时命题成立. (3) 当 0 ? a ? e?3 时 , ln a ? ?3 , 所以 f ( x) 在 (?3,3) 上单调递增, 所以 f ( x) 的最大值为 f (3) ? f (0) ? a . 所以当 0 ? a ? e?3 时命题成立. 综上:对任意实数 a 都存在 x ? [?3,3] 使 f ( x) ? a 成立. ??13 分 (19) (共 13 分) 解:(Ⅰ)设椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? 3 ?c 由题意知 ? ? 解得 a ? 2 , b ? 1 . , a 2 ? ?2a ? 4, ?
所以椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1.???????????5 分 4

(Ⅱ)设直线 AM 的方程为: y ? k ( x ? 2) ,则 N (0, 2k ) . 由 ?

? y ? k ( x ? 2), ? x ? 4 y ? 4,
2 2

得 (1+4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 (*) .

设 A(?2, 0) , M ( x1 , y1 ) ,则 ?2 , x1 是方程(*)的两个根, 所以 x1 ? 所以 M (

2 ? 8k 2 . 1 ? 4k 2

2 ? 8k 2 4k , ). 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
2 ? 8k 2 ? 2 ? 8k 2 2 4k 2 16 ? 16k 2 4 1 ? k 2 . ) ? ( ) ? ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 (1 ? 4k 2 )2 1 ? 4k 2

| AM |? (

| AN |? 4 ? 4k 2 ? 2 1 ? k 2 .
| AM || AN |? 4 1 ? k 2 ? 2 1 ? k 2 8(1 ? k 2 ) . ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

设直线 OP 的方程为: y ? kx . 由 ?

? y ? kx, ? x ? 4 y ? 4,
2 2

得 (1 ? 4k ) x ? 4 ? 0 .
2 2

设 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ?
2

4 4k 2 2 y ? , . 0 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以 | OP | ?
2

4 ? 4k 2 8 ? 8k 2 2 2 | OP | ? , . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
?????13 分

所以 | AM | ? | AN |? 2 | OP |2 . (20) (共 14 分) 解:(Ⅰ) 因为 bn?1 ? Sn?1 ? 3
n?1

? 2Sn ? 3n ? 3n?1 ? 2bn , n ? N? ,且 a ? 3 ,

所以 {bn } 是首项为 a ? 3 ,公比为 2 等比数列. 所以 bn ? (a ? 3) ? 2 n?1 . (Ⅱ) 由(Ⅰ)可得 S n ? 3n ? (a ? 3) ? 2 n?1 , ???4 分

an ? Sn ? Sn?1 , n ? 2, n ? N? .

a, n ?1 ? an ? ? n ?1 n?2 ?2 ? 3 ? (a ? 3) ? 2 , n ? 2
因为 an?1 ?a n , 所以 a ? ?9 ,且 a ? 3 . 所以 a 的最小值为 ?9 . (Ⅲ)由(Ⅰ)当 a ? 4 时, bn ? 2 n?1 当 n ? 2 时, Cn ? 3 ? 2 ? 4 ? ???9 分

? 2n?1 ? 2 n ? 1 , C1 ? 3 ,

所以对正整数 n 都有 Cn ? 2 n ? 1 . 由 t p ? 2 n ? 1 , t p ? 1 ? 2 n ,( t , p ? N? 且 t ? 1, p ? 1 ), t 只能是不小于 3 的奇数.
p p

① 当

p 为偶数时, t p ? 1 ? (t 2 ? 1)(t 2 ? 1) ? 2 n ,
p 2

因为 t

? 1 和 t ? 1 都是大于 1 的正整数,
p 2

p 2

所以存在正整数 g , h ,使得 t

? 1 ? 2 , t ? 1 ? 2h ,
g

p 2

2 g ? 2 h ? 2 , 2 h (2 g ?h ? 1) ? 2 ,所以 2 h ? 2 且 2 g ?h ? 1 ? 1 ? h ? 1, g ? 2 ,
相应的 n ? 3 ,即有 C3 ? 32 , C3 为“指数型和”; ② 当

p 为奇数时, t p ? 1 ? (t ? 1)(1 ? t ? t 2 ? ? ? t p?1 ) ,
p 个奇数之和,仍为奇数,又 t ? 1 为正偶数,

由于 1 ? t ? t 2 ? ? ? t p ?1 是

所以 (t ? 1)(1 ? t ? t 2 ? ? ? t p?1 ) ? 2 n 不成立, 此时没有“指数型和”. ???14 分


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