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【复习方略】2014高考数学(人教A版,理)课件(山东专供)第二章 第五节对 数 函 数_图文

时间:2015-01-17

第五节 对 数 函 数

1.对数的定义 (1)对数的定义

①请根据下图的提示填写与对数有关的概念:
指数 幂 对数 真数

底数

a>0,且a≠1 ②其中a的取值范围是:____________.

(2)两种常见对数

对数形式 常用对数 自然对数









10 底数为___

lgN ____

e 底数为__

lnN ____

2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)性质

0 ①loga1=__;
1 ②logaa=__; N 其中a>0,且a≠1. ③ a log N =__.
a

(2)换底公式

log c b ①基本公式:logab=______(a,c 均大于0且不等于1,b>0). log c a

②推广公式:logab=

1 , log b a

logab·logbc·logcd=logad,
log a m b n ? n log a b (a,b,c均大于0且不等于1,d>0). m

(3)运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: logaM+logaN ①loga(M·N)=___________; ② log a
M logaM-logaN =___________; N

nlogaM(n∈R) ③logaMn= ____________.

3.对数函数的定义、图象与性质 定 义 y=logax 函数_______(a>0, 且a≠1)叫做对数函数 a>1 0<a<1

图 象

(0,+∞) 定义域: ________
R 值域:__

(1,0) 当x=1时,y=0,即过定点______
性 质 当0<x<1时,y<0; 当0<x<1时,y>0;

y>0 当x>1时,____ 增函数 在(0,+∞)上是_______

y<0 当x>1时,____ 减函数 在(0,+∞)上是_______

4.反函数 y=logax 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数_______(a>0, 且a≠1)

y=x 对称. 互为反函数,它们的图象关于直线____

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数y=lg[(x+3)(x-3)]与y=lg(x+3)+lg(x-3)的定义域相 同.( ) ) )

(2)log2x2=2log2x.( (3)当x>1时,logax>0.(

(4)当x>1时,若logax>logbx,则a<b.(

)

【解析】(1)错误.函数y=lg[(x+3)(x-3)]的定义域为(-≦, -3)∪(3,+≦),而函数y=lg(x+3)+lg(x-3)的定义域为(3,+≦). (2)错误.当x<0时,log2x2=2log2(-x). (3)错误.当a>1时,logax>0,当0<a<1时,logax<0. (4)错误.当a>1,0<b<1时,logax>logbx,但a>b. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×

1.计算:2log510+log50.25=(
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4

)

【解析】选C.2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2.

2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1, 则f(x)等于( (A)
1 2x

) (B)2x-2 (C) log 1 x
2

(D)log2x

【解析】选D.由题意知f(x)=logax,又f(2)=1, ?loga2=1,?a=2,?f(x)=log2x.

3.如果 log 1 x<log 1 y <0,那么(
2 2

)

(A)y<x<1 (C)1<x<y

(B)x<y<1 (D)1<y<x

【解析】选D.≧y= log 1 x 是(0,+≦)上的减函数,?x>y>1.
2

4.计算:log23·log34+
【解析】原式=log24+ 3 答案:4

? 3?
1 log3 4 2

log3 4

=______.
3

=2+ 3log 2 =2+2=4.

考向 1

对数的运算

2 ( 1 ? log 3 ) ? log 6 2 ? log 618 6 【典例1】(1)计算: . log 6 4

(2)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n. 【思路点拨】(1)根据乘法公式和对数的运算性质进行计算. (2)将对数式化为指数式或直接代入求解.

【规范解答】(1)原式
6 2 1 ? 2log 6 3 ? ? log 6 3? ? log 6 ? log 6 ? 6 ? 3? 3 ? log 6 4 ? 1 ? 2log 6 3 ? ? log 6 3? ? ?1 ? log 6 3??1 ? log 6 3 ?
2

log 6 4

? ? ?

1 ? 2log 6 3 ? ? log 6 3? ? 1 ? ? log 6 3?
2

2

2 ?1 ? log 6 3? 2log 6 2 log 6 2 ? 1. log 6 2

log 6 4 ? log 6 6 ? log 6 3 log 6 2

(2)方法一:≧loga2=m,loga3=n, ?am=2,an=3, ?a2m+n=(am)2·an=22×3=12.

方法二:≧loga2=m,loga3=n,
2 ?a2m+n=(am)2·an=(a log 2) ? a log 3 =22×3=12.
a a

【拓展提升】对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂

的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.
(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算 ,然后逆用对

数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算 .
【提醒】在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化 .

【变式训练】(1)(2013·宝鸡模拟)计算:(lg2)2+lg2·lg5+
lg5= .

【解析】原式=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+lg5=1. 答案:1

(2)(2013·大连模拟)设2a=5b=m,且 1 ? 1 =2,则m=______.
a b

【解析】≧2a=5b=m,?a=log2m,b=log5m,
1 1 1 1 ? ? ? ? a b log 2 m log5m

=logm2+logm5=logm10=2, ?m2=10,m= 10 . 答案: 10

考向 2

对数函数的图象及其应用
a

【典例2】(1)(2013·长沙模拟)函数y=ax2+bx与y= log b x (ab≠0,|a|≠b)在同一直角坐标系中的图象可能是( )

? lg x , 0 ? x ? 10, (2)已知函数f(x)= ? 若a,b,c互不相等,且 ? 1 ?? x ? 6, x ? 10, ? 2

f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是(

)

(A)(1,10)
(C)(10,12)

(B)(5,6)
(D)(20,24)
a

【思路点拨】(1)根据函数y=ax2+bx与x轴的交点确定 | b | 的范围.
(2)画出f(x)的图象,确定abc的范围.

【规范解答】(1)选D.令ax2+bx=0得x=0或x=- b .对于A,B项,
由抛物线知0<| |<1,此时对数函数的图象不符合要求,故 A,B项不正确;对于C项,由抛物线知| b |>1,此时对数函数
a b a a

的图象不符合要求,故C不正确;对于D项,由抛物线知0< | b |<1,此时对数函数的图象符合要求,故选D.
a

(2)选C.作出f(x)的大致图象.不妨设a<b<c,因为a,b,c互不 相等,且f(a)=f(b)=f(c),由函数的图象可知10<c<12, 且|lg a|=|lg b|,因为a≠b, 所以lg a=-lg b,可得ab=1, 所以abc=c∈(10,12),故选C.

【拓展提升】应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数 ,在 求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形 结合思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问 题,利用数形结合法求解.

【变式训练】(1)已知函数f(x)=lnx,g(x)=lgx,h(x)=log5x,直
线y=a(a<0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1,x2,x3, 则x1,x2,x3的大小关系是( (A)x2<x3<x1 (C)x1<x2<x3 )

(B)x1<x3<x2 (D)x2<x1<x3

【解析】选A.在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线 y=a(a<0),易知x1>x3>x2,故选A.

(2)函数y=log2|x+1|的单调递减区间为 间为 .

,单调递增区

【解析】作出函数y=log2x的图象,再将其 关于y轴对称,两支共同组成函数y=log2|x| 的图象,再将图象向左平移1个单位长度就 能得到函数y=log2|x+1|的图象(如图所示).由图知,函数 y=log2|x+1|的单调递减区间为(-≦,-1),单调递增区间为 (-1,+≦). 答案:(-≦,-1) (-1,+≦)

考向 3 对数函数的性质及应用 【典例3】已知函数f(x)= log 2 x ? 2a ? 1 .
x ? 3a ? 1

(1)求函数f(x)的定义域.
(2)若函数f(x)的定义域关于坐标原点对称,试讨论它的奇偶性

和单调性.
【思路点拨】(1)利用真数大于0构建不等式,但要注意分类讨

论.(2)先由条件求出a的值,再讨论函数的奇偶性和单调性.

【规范解答】(1) x ? 2a ? 1 >0?[x-(3a-1)][x-(-2a-1)]>0,
x ? 3a ? 1

所以,当3a-1≥-2a-1,即a≥0时,定义域为(-≦,-2a-1)∪ (3a-1,+≦); 当3a-1<-2a-1,即a<0时, 定义域为(-≦,3a-1)∪(-2a-1,+≦).

(2)函数f(x)的定义域关于坐标原点对称,当且仅当-2a-1= -(3a-1)?a=2,此时,f(x)= log 2 x ? 5 .
x ?5

对于定义域D=(-≦,-5)∪(5,+≦)内任意x,-x∈D, f(-x)= log 2 ? x ? 5 ? log 2 x ? 5 ? ?log 2 x ? 5 =-f(x),
?x ? 5 x ?5 x ?5

所以f(x)为奇函数; 当x∈(5,+≦)时,对任意5<x1<x2,
x1 ? 5 ?? x 2 ? 5 ? ? 有f(x1)-f(x2)= log 2 , ? x1 ? 5?? x 2 ? 5?

而(x1+5)(x2-5)-(x1-5)(x2+5) =10(x2-x1)>0,

?

(x1 ? 5)(x 2 ? 5) > 1, (x1 ? 5)(x 2 ? 5)

?f(x1)-f(x2)>0,
?f(x)在(5,+≦)内单调递减;

由于f(x)为奇函数,所以f(x)在(-≦,-5)内单调递减.

【互动探究】将本例中函数改为“f(x)= log 2 x ? 1 ”,求f(x)
x ?1

的定义域和值域. 【解析】≧ x ? 1 >0,?(x+1)(x-1)>0,
x ?1

?x>1或x<-1,
?f(x)的定义域为(-≦,-1)∪(1,+≦).

≧f(-x)= log 2 ? x ? 1 ? log 2 x ? 1 ? ?log 2 x ? 1 =-f(x),
?x ? 1 x ?1 x ?1

?函数f(x)是奇函数.

当x>1时,x ? 1 ? 1 ? 2 >1,
x ?1 x ?1

又y=log2x在(0,+≦)上为增函数, ?f(x)= log 2 x ? 1 >log21=0,
x ?1

即当x>1时,f(x)>0, 由函数f(x)是奇函数知,当x<-1时,f(x)<0, 因此函数f(x)的值域是(-≦,0)∪(0,+≦).

【拓展提升】 1.比较对数值大小的三种情况 (1)同底数对数值的大小比较可直接利用其单调性进行判断 . (2)既不同底数,又不同真数的对数值的比较,先引入中间量(如 -1,0,1等),再利用对数函数的性质进行比较. (3)底数不同,真数相同的对数值的比较大小,可利用函数图象 或比较其倒数大小来进行.

2.求解对数型函数问题的三个关注点

解决对数型函数问题要注意的三方面:一是定义域;二是底数与
1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函

数复合而成的.

【变式备选】已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1). (1)求f(x)的定义域. (2)求函数f(x)的单调性. 【解析】(1)由ax-1>0,得ax>1, 当a>1时,x>0; 当0<a<1时,x<0. 所以当a>1时,f(x)的定义域为(0,+≦);

当0<a<1时,f(x)的定义域为(-≦,0).

(2)当a>1时,设0<x1<x2,
则1< a x <a x ,故0< a x ? 1<a x ? 1 ,
1 2 1 2

? log a a x1 ? 1 <log a a x2 ? 1 ,

?

?

?

?

?f(x1)<f(x2). 故当a>1时,f(x)在(0,+≦)上是增函数,同理,当0<a<1 时,f(x)在(-≦,0)上也是增函数.

【创新体验】数形结合解决恒成立问题 【典例】(2012·新课标全国卷)当0<x≤ 1 时,4x<logax,
2

则a的取值范围是( (A)(0, 2 )
2 (C)(1, 2 )

)
2 ,1) 2 (D)( 2 ,2)

(B)(

【思路点拨】 找 准 创 新 点 寻 找 突 破 口

1 当0<x≤ 2 时,4x<logax

(1)根据0<x≤ 时,logax>0知0<a<1
(2)画出函数y=4x与y=logax的图象
1 1 (3)观察图象可知, log a >4 2 2

1 2

【规范解答】选B.由0<x≤ 1 且logax>4x>0知0<a<1. 在同一坐标系中画出函数y=4x(0<x≤ 1 )和y=logax(0<a< 1,0<x≤ 1 )的图象,
2 2 2

如图所示. 由图象知,要使当0<x≤ 1 时, 4x<logax,只需 loga 1>4 ,
2
1 即log a >log a a 2, 2 1 2 2 ? a > ,又 0<a<, 1 ? <a< 1. 2 2
1 2

2

【思考点评】
1.方法感悟:本题充分体现了数形结合思想和函数思想在解题 中的应用,即通过函数图象的关系得到两函数值之间的关系 . 2.技巧提升:此类不等式恒成立问题无法分离参数 ,此时常用数 形结合的方法求解.解题的关键是正确画出函数在给定区间上 的图象,使之符合要求,然后根据图象找出不等关系.

1.(2012·安徽高考)log29·log34=( (A) 1
4

)

(B) 1

lg 9 lg 4 2lg 3 2lg 2 ? ? ? 【解析】选D.log29×log34= lg 2 lg 3 lg 2 lg 3

2

(C)2

(D)4

=4.

2.(2012·天津高考)已知a=212,b=( 1 )-0.5,c=2log52,则a,
2

b,c的大小关系为(

)

(A)c<b<a
(C)b<a<c

(B)c<a<b
(D)b<c<a

【解析】选A.≧a=212,b= 2 ,c=log54,
?1<b<2,0<c<1,

?a>b>c,所以选A.

3.(2012·北京高考)已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则
f(a2)+f(b2)= .

【解析】f(ab)=lg(ab)=1,?ab=10, f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=lg(a2b2)=lg100=2. 答案:2

4.(2012·江苏高考)函数f(x)= 1 ? 2log 6 x 的定义域为______.
【解析】因为 1 ? 2log6 x ≥0,?log6x≤ 1 ,
2

?0<x≤ 6 ,故定义域为(0, 6 ]. 答案:(0, 6 ]

1.为了得到函数y= 1 log2(x-1)的图象,可将函数y=log2x的图
2

象上所有的点的(

)
1 倍,横坐标不变,再向右平移1个单 2

(A)纵坐标缩短到原来的 位长度

(B)纵坐标缩短到原来的 1 倍,横坐标不变,再向左平移1个单
2

位长度

(C)横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向右平移1个单 位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再向左平移1个单 位长度
1 log x 向右平移 纵坐标缩短 【解析】选A.y=log2x ???? y= 2 ???? ? ? 1 1个单位
到原来的 2

2

y= 1 log2(x-1),故选A.
2

2.已知a>0,且a≠1,若函数f(x)= a lg(x ?2x ?3) 有最大值,则不等
2

式loga(x2-5x+7)>0的解集为_______. 【解析】≧x2-2x+3=(x-1)2+2≥2, ?lg(x2-2x+3)≥lg 2.

由函数f(x)= a lg(x ?2x ?3) 有最大值知,0<a<1,
2

2 ? x ? 5x ? 7>0, ? ?由loga(x2-5x+7)>0得 ? 2 x 1 ? ? ? 5x ? 7<,

解得2<x<3. 答案:{x|2<x<3}


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