nbhkdz.com冰点文库

浙江省台州市书生中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)

时间:2016-07-25


浙江省台州市书生中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题: 1. (3 分)下列直线中倾斜角为 45°的是() A.y=x B.y=﹣x C.x=1

D.y=1

2. (3 分)点 P 在直线 x+y﹣4=0 上,O 为原点,则|OP|的最小值是() A.2 B. C. 2 D. 3. (3 分)圆的方程是(x﹣1) (x+2)+(y﹣2) (y+4)=0,则圆心的坐标是() A.(1,﹣1) B.( ,﹣1) C.(﹣1,2) D.(﹣ ,﹣1)

4. (3 分)已知直线 l1: (k﹣3)x+(4﹣k)y+1=0 与 l2:2(k﹣3)x﹣2y+3=0 平行,则 k 的 值是() A.1 或 3 B. 1 或 5 C. 3 或 5 D.1 或 2 5. (3 分)圆(x+2) +y =4 与圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的位置关系为() A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 6. (3 分)对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7. (3 分)过原点的直线与圆 x +y +4x+3=0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是() A.y= B.y=﹣ C. D.
2 2 2 2 2 2 2 2

8. (3 分)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()

A.3

B. 2

C.

D.

9. (3 分)P 是双曲线
2 2



=1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5) +y =4 和(x﹣5)

2

2

+y =1 上的点,则|PM|﹣|PN|的最大值为() A.6 B. 7 C. 8

D.9

10. (3 分)过双曲线



=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0)作圆(x﹣c) +y =c

2

2

2

的切线,切点为 E,且该切线与双曲线的右支交于点 A.若 离心率为() A. B. C. +1

= (

+

) ,则该双曲线的

D.2

二、填空题 11. (3 分)过点 P(4,﹣1) ,且与直线 3x﹣4y+6=0 垂直的直线方程是.

12. (3 分)若双曲线



=1(b>0)的渐近线方程式为 y=

,则 b 等于.

13. (3 分)如果实数 x,y 满足等式(x﹣2) +y =3,那么 的最大值是.

2

2

14. (3 分)直线 x+2y﹣3=0 与直线 ax+4y+b=0 关于点 A(1,0)对称,则 b=.

15. (3 分)若椭圆

的离心率为 ,则 k 的值为.

16. (3 分)过双曲线 的直线有条.

的右焦点作直线交双曲线于 A,B 两点,且|AB|=4,则这样

17. (3 分)已知 P 是椭圆

上不同于左顶点 A、右顶点 B 的任意一点,记直线 PA,

PB 的斜率分别为 k1,k2,则 k1?k2 的值为.

三、解答题:

18.根据下列条件求直线方程 (1)过点(2,1)且倾斜角为 的直线方程;

(2)过点(﹣3,2)且在两坐标轴截距相等的直线方程. 19.已知三角形 AOB 的顶点的坐标分别是 A(4,0) ,B(0,3) ,O(0,0) ,求三角形 AOB 外接圆的方程. 20.已知点 P(2,0) ,及⊙C:x +y ﹣6x+4y+4=0. (1)当直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1 时,求直线 l 的方程; (2)设过点 P 的直线与⊙C 交于 A、B 两点,当|AB|=4,求以线段 AB 为直径的圆的方程.
2 2

21.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0) ,离心率为

,直线 y=k(x

﹣1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N, (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当△ AMN 的面积为 时,求 k 的值.
2 2

22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C:2x ﹣y =1. (1)设 F 是 C 的左焦点,M 是 C 右支上一点,若 ,求点 M 的坐标; (2)过 C 的左焦点作 C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3)设斜率为 k( OP⊥OQ. )的直线 l 交 C 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x +y =1 相切,求证:
2 2

浙江省台州市书生中学 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: 1. (3 分)下列直线中倾斜角为 45°的是() A.y=x B.y=﹣x C.x=1

D.y=1

考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得,直线斜率为 1,结合所给的选项,只有 A 满足条件,从而得出结论. 解答: 解:由于直线的倾斜角为 45°,故直线斜率为 1,结合所给的选项,只有 A 满足条件, 故选:A. 点评: 本题主要考查直线的斜率和倾斜角,属于基础题.

2. (3 分)点 P 在直线 x+y﹣4=0 上,O 为原点,则|OP|的最小值是() A.2 B. C. 2 D. 考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 直接由点到直线的距离公式求|OP|的最小值. 解答: 解:由点到直线的距离公式得:|OP|的最小值= .

故选:C. 点评: 本题考查了得到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是基础的计算题. 3. (3 分)圆的方程是(x﹣1) (x+2)+(y﹣2) (y+4)=0,则圆心的坐标是() A.(1,﹣1) B.( ,﹣1) C.(﹣1,2) D.(﹣ ,﹣1)

考点: 专题: 分析: 解答:

圆的标准方程. 计算题;直线与圆. 将圆的方程,化为标准方程,即可得到圆心坐标. 解:圆的方程是(x﹣1) (x+2)+(y﹣2) (y+4)=0,化为标准方程为 =

∴圆的圆心的坐标是(﹣ ,﹣1) 故选 D. 点评: 本题考查圆的方程,考查圆心坐标,考查学生的计算能力,属于基础题. 4. (3 分)已知直线 l1: (k﹣3)x+(4﹣k)y+1=0 与 l2:2(k﹣3)x﹣2y+3=0 平行,则 k 的 值是() A.1 或 3 B. 1 或 5 C. 3 或 5 D.1 或 2 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 分类讨论. 分析: 当 k﹣3=0 时,求出两直线的方程,检验是否平行;当 k﹣3≠0 时,由一次项系数之 比相等且不等于常数项之比,求出 k 的值. 解答: 解:由两直线平行得,当 k﹣3=0 时,两直线的方程分别为 y=﹣1 和 y= ,显然两 直线平行. 当 k﹣3≠0 时,由 = ≠ ,可得 k=5.综上,k 的值是 3 或 5,

故选 C. 点评: 本题考查由直线的一般方程求两直线平行时的性质,体现了分类讨论的数学思想.

5. (3 分)圆(x+2) +y =4 与圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的位置关系为() A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 求出两圆的圆心和半径,计算两圆的圆心距,将圆心距和两圆的半径之和或半径之 差作对比,判断两圆的位置关系. 解答: 解:圆(x+2) +y =4 的圆心 C1(﹣2,0) ,半径 r=2. 2 2 圆(x﹣2) +(y﹣1) =9 的圆心 C2(2,1) ,半径 R=3, 两圆的圆心距 d= = ,
2 2

2

2

2

2

R+r=5,R﹣r=1, R+r>d>R﹣r, 所以两圆相交, 故选 B. 点评: 本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法,关键 是求圆心距和两圆的半径. 6. (3 分)对于常数 m、n,“mn>0”是“方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 常规题型. 2 2 分析: 先根据 mn>0 看能否得出方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆;这里可以利用举出特值的 2 2 方法来验证,再看方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆,根据椭圆的方程的定义 ,可以得出 mn>0, 即可得到结论. 2 2 解答: 解:当 mn>0 时,方程 mx +ny =1 的曲线不一定是椭圆, 2 2 例如:当 m=n=1 时,方程 mx +ny =1 的曲线不是椭圆而是圆;或者是 m,n 都是负数,曲线 表示的也不是椭圆; 故前者不是后者的充分条件; 当方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆时,应有 m,n 都大于 0,且两个量不相等,得到 mn>0; 2 2 由上可得:“mn>0”是“方程 mx +ny =1 的曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选 B. 点评: 本题主要考查充分必要条件,考查椭圆的方程,注意对于椭圆的方程中,系数要满 足大于 0 且不相等,本题是一个基础题. 7. (3 分)过原点的直线与圆 x +y +4x+3=0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是() A.y= B.y=﹣ C. D.
2 2 2 2 2 2

考点: 直线和圆的方程的应用. 分析: 画出 图形,利用三角函数可以求直线的斜率,求出直线方程. 2 2 2 解答: 解:如图,圆方程为(x+2) +y =1 , 圆心为 A(﹣2,0) ,半径为 1,

. 故选 C.

点评: 本题考查直线和方程的应用,数形结合的数学思想,是基础题. 8. (3 分)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()

A.3

B. 2

C.

D.

考点: 圆锥曲线的共同特征. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据 M,N 是双曲线的两顶点,M,O,N 将椭圆长轴四等分,可得椭圆的长轴长是 双曲线实轴长的 2 倍, 利用双曲线与椭圆有公共焦点, 即可求得双曲线与椭圆的离心率的比值. 解答: 解:∵M,N 是双曲线的两顶点,M,O,N 将椭圆长轴四等分 ∴椭圆的长轴长是双曲线实轴长的 2 倍 ∵双曲线与椭圆有公共焦点, ∴双曲线与椭圆的离心率的比值是 2 故选 B. 点评: 本题考查椭圆、双曲线的几何性质,解题的关键是确定椭圆的长轴长是双曲线实轴 长的 2 倍.

9. (3 分)P 是双曲线
2 2



=1 的右支上一点,M、N 分别是圆(x+5) +y =4 和(x﹣5)

2

2

+y =1 上的点,则|PM|﹣|PN|的最大值为() A.6 B. 7 C. 8

D.9

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;数形结合;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题设通过双曲线的定义推出|PF1|﹣|PF2|=6,利用|MP |≤|PF1|+|MF1|,|PN|≥|PF2|﹣ |NF2|,推出|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|﹣|NF2|,求出最大值.

解答: 解:双曲线



=1 中,如图:

∵a=3,b=4,c=5, ∴F1(﹣5,0) ,F2(5,0) , ∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6, ∴|MP|≤|PF1|+|MF1|,|PN|≥|PF2|﹣|NF2|, ∴﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|, 所以,|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|+|NF2| =6+1+2 =9. 故选 D.

点评: 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线 与双曲线的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.

10. (3 分)过双曲线



=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0)作圆(x﹣c) +y =c

2

2

2

的切线,切点为 E,且该切线与双曲线的右支交于点 A.若 离心率为() A. B. C. +1

= (

+

) ,则该双曲线的

D.2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 分析: FE 是圆 F′: (x﹣c) +y =c 的切线,可得 F′E⊥EF,利用勾股定理可得 EF= = c.由于 = ( + ) ,可得点 E 是线段 AF 的中点,于是

|AF|=2 c,|AF′|=|FF′|=2c.再利用双曲线的定义即可得出. 解答: 解:如图所示, 2 2 2 ∵FE 是圆 F′: (x﹣c) +y =c 的 切线,

∴F′E⊥EF, ∴EF= ∵ = ( + ) , = c.

∴点 E 是线段 AF 的中点, ∴|AF|=2 c,|AF′|=|FF′|=2c. ∵|AF|﹣|AF′|=2a, ∴ ∴ = 故选:C. =2a, +1.

点评: 本题考查了双曲线的定义及其性质、直线与圆相切的性质、勾股定理、等腰三角形 的性质,考查了推理能力与计算能力. 二、填空题 11. (3 分)过点 P(4,﹣1) ,且与直线 3x﹣4y+6=0 垂直的直线方程是 4x+3y﹣13=0. 考点: 直线的点斜式方程. 专题: 计算题. 分析: 由已知直线的斜率, 根据 两直线垂直时斜率的乘积为﹣1 求出所求直线的斜率, 由所 求直线过 P 点,所以由 P 的坐标和求出的斜率写出直线方程即可. 解答: 解:由方程 3x﹣4y+6=0,得到其斜率为 , 所以所求直线方程的斜率为﹣ ,又所求直线过 P(4,﹣1) , 则所求直线的方程为:y+1=﹣ (x﹣4) ,即 4x+3y﹣13=0. 故答案为:4x+3y﹣13=0

点评: 此题考查了直线的点斜式方程,要求学生掌握两直线垂直时斜率满足的关系,会根 据一点和斜率写出直线的点斜式方程.

12. (3 分)若双曲线



=1(b>0)的渐近线方程式为 y=

,则 b 等于 1.

考点: 双曲线的简单性质;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 分析: 根据双曲线的性质求得渐近线方程的表达式求得 b. 解答: 解:由双曲线方程可得渐近线方程为 y=± ,又双曲线的渐近线方程式为 y= ∴ ,解得 b=1. ,

故答案为 1 点评: 本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法,属基础题.
2 2

13. (3 分)如果实数 x,y 满足等式(x﹣2) +y =3,那么 的最大值是



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 设 , 的最大值就等 于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值,由数形结合

法的方式,易得答案. 解答: 解:设 ,则 y=kx 表示经过原点的直线,k 为直线的斜率.

所以求 的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值. 从图中可知,斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切, 此时的斜率就是其倾斜角∠EOC 的正切值. 易得 于是可得到 故答案为: ,可由勾股定理求得|OE|=1, ,即为 的最大值.

点评: 本题考查直线与圆的位置关系,数形结合是解决问题的关键,属中档题. 14. (3 分)直线 x+2y﹣3=0 与直线 ax+4y+b=0 关于点 A(1,0)对称,则 b=2.

考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 在直线 x+2y﹣3=0 上取一点 B (2, ) , 求出关于 A 的对称点 C (m. n) 在 ax+4y+b=0 上,利用中点坐标公式,求出 m,n,然后求出 b 即可. 解答: 解:在 x+2y﹣3=0 上取一点,比如 B(2, ) 关于 A 的对称点 C(m.n)在 ax+4y+b=0 上 则 BC 中 点是 A , ,

解得:m=0,n=﹣ C(0,﹣ ) 所以 0﹣2+b=0 b=2 故答案为:2 点评: 本题考查与直线关于点、直线对称的直线方程,考查转化思想,计算能力,是基础 题.

15. (3 分)若椭圆

的离心率为 ,则 k 的值为 k=4 或



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 若焦点在 x 轴上,则 求出答案. 解答: 解:若焦点在 x 轴上, 则 , ,若焦点在 y 轴上,则 ,由此能

解得 k=4. 若焦点在 y 轴上, 则 解得 k=﹣ . ,

故答案为:4 或﹣ . 点评: 本题考查椭圆的性质和应用,解题时要注意焦点的位置,避免丢解.

16. (3 分)过双曲线 的直线有 3 条.

的右焦点作直线交双曲线于 A,B 两点,且|AB|=4,则这样

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题. 分析: 右焦点为( ,0) ,当 AB 的斜率不存在时,经检验满足条件,当 AB 的斜率存在 时,设直线 AB 方程为 y﹣0=k (x﹣ ) ,代入双曲线化简,求出 x1+x2 和 x1?x2 的值,由 |AB|=4= ,

解得 k=±1,得到满足条件的斜率存在的直线有两条,故总共有 3 条. 解答: 解:右焦点为( ,0) ,当 AB 的斜率不存在时,直线 AB 方程为 x= 代入双曲线



的方程可得 y=±2, 即 A, B 两点的纵坐标分别为 2 和﹣2, 满足|AB|=4.

当 AB 的斜率存在时,设直线 AB 方程为 y﹣0=k(x﹣ 简可得 (2﹣k ) x ﹣2 ∴|AB|=4=
2 2 2

) ,代入双曲线

的方程化

k x+3k ﹣2=0,∴x1+x2=

2

2

,x1?x2=
4


2

,平方化简可得 (3k +6) (k ﹣1)=0,
2

∴k=±1,都能满足判别式△ =12﹣4(2﹣k ) (3k ﹣2)>0. 所以,满足条件的且斜率存在的直线有 2 条. 综上,所有满足条件的直线共有 3 条, 故答案为 3. 点评: 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,体 现了分类讨论的数学思想,求出满足条件的直线的斜率,是解题的关键和难点.

17. (3 分)已知 P 是椭圆

上不同于左顶点 A、右顶点 B 的任意一点,记直线 PA, .

PB 的斜率分别为 k1,k2,则 k1?k2 的值为

考点: 椭圆的简单性质.

专题: 计算题;证明题. 分析: 设 P (x0, y0) , 利用斜率公式及 P 在椭圆上求得 k1 和 k2 的解析式, 从而计算出 k1?k2 的值. 解答: 解:由题意得,a=2,b= . 设 P(x0,y0) (y0≠0) ,A(﹣2,0) ,B(2,0) , , 则 ,即 ,









∴k1?k2 为定值 故答案为: .



点评: 本题考查椭圆的标准方程,以及椭圆的简单性质的应用,解答关键是利用直线的斜 率求出表达式后化简得到定值. 三、解答题: 18.根据下列条件求直线方程 (1)过点(2,1)且倾斜角为 的直线方程;

(2)过点(﹣3,2)且在两坐标轴截距相等的直线方程. 考点: 直线的点斜式方程;直线的截距式方程. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意可得直线的斜率为 ,由点斜式可写方程,化为一般式即可; (2)注意 分直线过原点和不过原点两类,由截距的概念分别求解,即得答案. 解答: 解: (1)由题意可得直线的斜率为 tan 由点斜式方程可得:y﹣1= (x﹣2) , = ,

化为一般式可得: (4 分) (2)若直线过原点,则可设方程为 y=kx, 代入点(﹣3,2) ,可得 k= 化为一般式可得:2x+3y=0; 若直线不过原点,可设方程为 代入点(﹣3,2) ,可得 a=﹣1, 故所求直线的方程为:x+y+1=0, , ,故直线为 ,

故所求直线的方程为:2x+3y=0 或 x+y+1=0 (每一个方程 3 分) 点评: 本题考查直线方程的求解,注意最终化为一般式,属基础题. 19.已知三角形 AOB 的顶点的坐标分别是 A(4,0) ,B(0,3) ,O(0,0) ,求三角形 AOB 外接圆的方程. 考点: 圆的一般方程. 专题: 直线与圆. 2 2 分析: 设三角形 AOB 的外接圆的方程为:x +y +Dx+Ey+F=0,把 A(4,0) ,B(0,3) ,O (0,0)三点代入能求出圆的方程. 解答: 解:设三角形 AOB 的外接圆的方程为: x +y +Dx+Ey+F=0, 把 A(4,0) ,B(0,3) ,O(0,0)三点代入,得: , 解得 D=﹣4,E=﹣3,F=0, ∴三角形 AOB 外接圆的方程为 x +y ﹣4x﹣3y=0. 点评: 本题考查圆的方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意待定系数法的合理 运用. 20.已知点 P(2,0) ,及⊙C:x +y ﹣6x+4y+4=0. (1)当直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1 时,求直线 l 的方程; (2)设过点 P 的直线与⊙C 交于 A、B 两点,当|AB|=4,求以线段 AB 为直径的圆的方程. 考点: 圆的标准方程;直线的一般式方程. 专题: 综合题;分类讨论. 分析: (1) 把圆的方程变为标准方程后, 分两种情况①斜率 k 存在时, 因为直线经过点 P, 设出直线的方程,利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离 d,让 d 等于 1 列出 关于 k 的方程, 求出方程的解即可得到 k 的值, 根据 k 的值和 P 的坐标写出直线 l 的方程即可; ②当斜率不存在时显然得到直线 l 的方程为 x=2; ( 2) 利用弦|AB|的长和圆的半径, 根据垂径定理可求出弦心距|CP|的长, 然后设出直线 l 的方程, 利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离 d,让 d 等于|CP|列出关于 k 的方程,求出 方程的解即可得到 k 的值,写出直线 l 的方程,把直线 l 的方程与已知圆的方程联立消去 x 得 到关于 y 的一元二次方程,利用韦达定理即可求出线段 AB 中点的纵坐标, 把纵坐标代入到直 线 l 的方程中即可求出横坐标,即可得线段 AB 的中点坐标即为线段 AB 为直径的圆的圆心坐 标,圆的半径为|AB|的一半,根据圆心和半径写出所求圆的标准方程即可. 2 2 解答: 解: (1)由题意知,圆的标准方程为: (x﹣3) +(y+2) =9, ①设直线 l 的斜率为 k(k 存在) 则方程为 y﹣0=k(x﹣2)即 kx﹣y﹣2k=0 又⊙C 的圆心为(3,﹣2) ,r=3, 由
2 2 2 2 2 2

所以直线方程为

即 3x+4y﹣6=0;

②当 k 不存在时,直线 l 的方程为 x=2. 综上,直线 l 的方程为 3x+4y﹣6=0 或 x=2;

(2)由弦心距

,即|CP|=



设直线 l 的方程为 y﹣0=k(x﹣2)即 kx﹣y﹣2k=0 则圆心(3,﹣2)到直线 l 的距离 d= = ,

解得 k= ,所以直线 l 的方程为 x﹣2y﹣2=0 联立直线 l 与圆的方程得

, 消去 x 得 5y2﹣4=0,则 P 的纵坐标为 0,把 y=0 代入到直线 l 中得到 x=2, 则线段 AB 的中点 P 坐标为(2,0) ,所求圆的半径为: |AB|=2, 故以线段 AB 为直径的圆的方程为: (x﹣2) +y =4. 点评: 此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值,灵活运用垂径定理及韦达定 理化简求值,会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程,是一道中档题.
2 2

21.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0) ,离心率为

,直线 y=k(x

﹣1)与椭圆 C 交于不同的 两点 M,N, (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当△ AMN 的面积为 时,求 k 的值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)根据椭圆一个顶点为 A (2,0) ,离心率为 圆 C 的方程;
2 2 2 2

,可建立方程组,从而可求椭

(Ⅱ)直线 y=k(x﹣1)与椭圆 C 联立

,消元可得(1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣

4=0,从而可求|MN|,A(2,0)到直线 y=k(x﹣1)的距离,利用△ AMN 的面积为 求 k 的值.

,可

解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆一个顶点为 A (2,0) ,离心率为





∴b= ∴椭圆 C 的方程为 ;

(Ⅱ)直线 y=k(x﹣1)与椭圆 C 联立

,消元可得(1+2k )x ﹣4k x+2k ﹣

2

2

2

2

4=0 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 x1+x2= ,

∴|MN|=

=

∵A(2,0)到直线 y=k(x﹣1)的距离为

∴△AMN 的面积 S=

∵△AMN 的面积为



∴ ∴k=±1. 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算, 解题的关键是正确求出|MN|. 22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C:2x ﹣y =1. (1)设 F 是 C 的左焦点,M 是 C 右支上一点,若 ,求点 M 的坐标; (2)过 C 的左焦点作 C 的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积; (3)设斜率为 k( OP⊥OQ. )的直线 l 交 C 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x +y =1 相切,求证:
2 2 2 2

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;直线与圆的位置关系;双曲线的简单性质.

专题: 计算题;综合题;压轴题;转化思想. 分析: (1)求出双曲线的左焦点 F 的坐标,设 M(x,y) ,利用|MF| =(x+
2

) +y ,求

2

2

出 x 的范围,推出 M 的坐标. (2)求出双曲线的渐近线方程,求出直线与另一条渐近线的交点,然后求出平行四边形的面 积. (3)设直线 PQ 的方程为 y=kx+b,通过 直线 PQ 与已知圆相切,得到 b =k +1,通过求解 =0.证明 PO⊥OQ. 解答: 解: (1)双曲线 C1: 的左焦点 F(﹣ ) ,
2 2

设 M(x,y) ,则|MF| =(x+

2

) +y , , ,

2

2

由 M 点是右支上的一点,可知 x≥ 所以|MF|= 所以 M( (2)左焦点 F(﹣ 渐近线方程为:y=± 过 F 与渐近线 y= x. =2 ) . ) , ,得 x=

x 平行的直线方程为 y=

(x+

) ,即 y=



所以

,解得



所以所求平行四边形的面积为 S= (3)设直线 PQ 的方程为 y=kx+b, 因直线 PQ 与已知圆相切,故 ,



即 b =k +1…①,由

2

2

,得(2﹣k )x ﹣2bkx﹣b ﹣1=0,

2

2

2

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则



又 y1y2=(kx1+b) (kx2+b) .

所以 =

=x1x2+y1y2=(1+k )x1x2+kb(x1+x2)+b

2

2

=



由①式可知



故 PO⊥OQ. 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,圆锥曲线的综合,向量的数量积的应用,设 而不求的解题方法,点到直线的距离的应用,考查分析问题解决问题的能力,考查计算能力.


浙江省台州市书生中学2014-2015学年高二上学期期中数学....doc

浙江省台州市书生中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)一、选择题: 1. (3 分)下列直线中倾斜角为 45°的是() A.y=x B.y=x C.x=1 ...

浙江省台州市书生中学2014-2015学年高二上学期期中数学....doc

浙江省台州市书生中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)一、选择题: 1. (3 分)下列直线中倾斜角为 45°的是() A.y=x B.y=x C.x=1 ...

2014-2015学年浙江省台州市书生中学高二(上)数学期中试....doc

2014-2015 学年浙江省台州市书生中学高二(上)期中数学试卷 (文科)

2015年浙江省台州市书生中学高二上学期数学期中试卷与....doc

2015年浙江省台州市书生中学高二上学期数学期中试卷与解析(文科) - 2014-2015 学年浙江省台州市书生中学高二(上)期中数学试卷 (文科) 一、选择题: 1. (3 分...

...年浙江省台州市书生中学高二上学期期中数学试卷带解....doc

【精品】2015年浙江省台州市书生中学高二上学期期中数学试卷带解析答案(文科) - 2014-2015 学年浙江省台州市书生中学高二(上)期中数学试卷 (文科) 一、选择题: ...

2014-2015年浙江省台州市书生中学高二(上)期中数学试卷....doc

2014-2015 学年浙江省台州市书生中学高二(上)期中数学试卷 (文科)

2014-2015学年浙江省台州市三门二中高二上学期期中数学....doc

2014-2015学年浙江省台州市三门二中高二上学期期中数学试卷与解析(文科) - 2014-2015 学年浙江省台州市三门二中高二(上)期中数学试卷 (文科) 一、选择题(共 ...

2014-2015年浙江省台州市三门二中高二(上)期中数学试卷....doc

2014-2015 学年浙江省台州市三门二中高二(上)期中数学试卷 (文科)

2015年浙江省台州市三门二中高二上学期数学期中试卷与....doc

2015年浙江省台州市三门二中高二上学期数学期中试卷与解析(文科) - 2014-2015 学年浙江省台州市三门二中高二(上)期中数学试卷 (文科) 一、选择题(共 14 小题...

浙江省台州市书生中学2014-2015学年高一上学期期中数学....doc

浙江省台州市书生中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解

2014-2015年浙江省台州市书生中学高一上学期期中数学试....pdf

2014-2015年浙江省台州市书生中学高一上学期期中数学试卷带答案 - 2014-2015 学年浙江省台州市书生中学高一(上)期中数学试卷 一、选择题(每小题 3 分,共 39 ...

浙江省台州市2015-2016学年高二数学上学期期中试题_图文.doc

浙江省台州市2015-2016学年高二数学上学期期中试题 - 浙江省台州市书生中学 2015-2016 学年高二数学上学期期中试题 (满分:150 分 考试时间: 120 分钟) ()一、...

...2015学年广东省深圳高中高二上学期期中数学试卷和解....doc

【精品】2015学年广东省深圳高中高二上学期期中数学试卷和解析(文科)_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年广东省深圳高中高二(上)期中数学试卷(文科) 一、...

浙江省台州市书生中学2015-2016学年高二上学期期中考试....doc

浙江省台州市书生中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷 - 台州市书生中学 2015 学年 第一学期 期中考高二数学试卷 解题人:李亮 2015. 11 命题人:王光...

2015年四川省成都七中高二上学期数学期中试卷和解析(文科).doc

2015年四川省成都七中高二上学期数学期中试卷和解析(文科) - 2014-2015 学年四川省成都七中高二(上)期中数学试卷(文科) 一、选择题: (本大题共 10 小题,每...

2015年浙江省台州市书生中学七年级上学期数学期中试卷....doc

2015年浙江省台州市书生中学七年级上学期数学期中试卷和解析答案 - 2014-2015 学年浙江省台州市书生中学七年级(上)期中数学试 卷一、选择题(20 分) 1. (2 ...

2014-2015年浙江省台州市书生中学高一上学期数学期中试....doc

2014-2015年浙江省台州市书生中学高一上学期数学期中试卷带答案 - 2014-2015 学年浙江省台州市书生中学高一(上)期中数学试卷 一、选择题(每小题 3 分,共 39 ...

2014-2015年浙江省台州市椒江区书生中学八年级上学期期....doc

2014-2015年浙江省台州市椒江区书生中学八年级上学期期中数学试卷及参考答案 - 2014-2015 学年浙江省台州市椒江区书生中学八年级(上)期中 数学试卷 一、选择题(...

浙江省台州市书生中学2014-2015学年高二上学期第一次月....doc

浙江省台州市书生中学2014-2015学年高二上学期第一次月考英语试题 - 高二英语试卷 6. ___ the nurses want a pay increase, they want ...

2014-2015学年浙江省台州市书生中学高一(上)期中数学试....doc

2014-2015学年浙江省台州市书生中学高一(上)期中数学试卷(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2014-2015 学年浙江省台州市书生中学高一(上)期中数学试卷 一、选择...