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高中数学必修一必修四知识点总结

时间:2015-01-31


数 学 知 识 点 总 结

高中数学 必修 1 知识点 第一章 集合与函数概念 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法

N 表示自然数集, N ? 或 N ? 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集.
(3)集合与元素间的关系 对象 a 与集合 M 的关系是 a ? M ,或者 a ? M ,两者必居其一. (4)集合的表示法

①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{ x | x 具有的性质},其中 x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集 .②含有无限个元素的集合叫做无限集 .③不含有任何元素的集合叫做 空集( ? ). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 (1)A ? A A 中的任一元素都 (2) ? ? A (3)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C 属于 B (4)若 A ? B 且 B ? A ,则 A ? B
A(B)
B A

性质

示意图

A? B
子集 (或

B ? A)
A?B
?



A? B, 且 B 中至
少有一元素不属于 A

(1) ?? A (A 为非空子集)
?

真子集

(或 B ? A)
?

(2)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C
? ? ?

B

A

集合 相等

A? B

A 中的任一元素都 (1)A ? B 属于 B,B 中的任 (2)B ? A 一元素都属于 A
n

A(B)

n n n (7)已知集合 A 有 n(n ? 1) 个元素,则它有 2 个子集,它有 2 ? 1 个真子集,它有 2 ? 1 个非空子集,它有 2 ? 2

非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 (1) A A ? A (2) A ? ? ? (3) A B ? A A B?B (1) A A ? A (2) A ? ? A (3) A B ? A A B?B
痧 B) ? ( U A) ( U B) U (A 痧 B) ? ( U A) ( U B) U (A

示意图

交集

A

B

{x | x ? A, 且
x ? B}

A

B

并集

A

B

{x | x ? A, 或
x ? B}

A

B

补集

?U A

{x | x ?U , 且x ? A}

1

A (? U A) ? ?

2 A (?U A) ? U

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式 解集

| x |? a(a ? 0)
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{x | ?a ? x ? a}

| x |? a(a ? 0)

x | x ? ?a 或 x ? a}
把 ax ? b 看 成 一 个 整 体 , 化 成 | x |? a ,

| ax ? b |? c,| ax ? b |? c(c ? 0)
| x |? a(a ? 0) 型不等式来求解
(2)一元二次不等式的解法 判别式

? ? b2 ? 4ac
二次函数

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象 一元二次方程
O

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的根

x1,2 ?

?b ? b2 ? 4ac 2a

x1 ? x2 ? ?

(其中 x1 ? x2 )

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x ? x1 或 x ? x2 }

{x | x ? ?

b } 2a

R

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x1 ? x ? x2}
〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念

?

?

(1)函数的概念 ①设 A 、 B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个数 x ,在集合 B 中都有 唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到

B 的一个函数,记作 f : A ? B .
②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设 a , b 是两个实数,且 a ? b ,满足 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 [ a, b] ;满足 a ? x ? b 的 实数 x 的集合叫做开区间,记做 ( a, b) ;满足 a ? x ? b ,或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,

, 分 别 记 做 [a b

) , x ? ,a ? x , b ?的 x 实b数 x 的 集 合 分 别 记 做 , ( a, b] ; 满 足 x ? a

[a ? , ? )a , (? ? ,

) ?b ,? (

,. ? b ]?, (

,

)

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注意:对于集合 {x | a ? x ? b} 与区间 ( a, b) ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须

a?b, (前者可以不成立,为空集;而后者必须成立) .
(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① f ( x) 是整式时,定义域是全体实数. ② f ( x) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③ f ( x) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1. ⑤ y ? tan x 中, x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) .

⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若 f ( x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义 域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 f ( x) 的定义域为 [ a, b] ,其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域 应由不等式 a ? g ( x) ? b 解出. ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小 (大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度 不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值. ②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或 最值. ③判别式法: 若函数 y ? f ( x) 可以化成一个系数含有 y 的关于 x 的二次方程 a( y) x ? b( y) x ? c( y) ? 0 , 则
2

在 a( y ) ? 0 时,由于 x, y 为实数,故必须有 ? ? b ( y) ? 4a( y) ? c( y) ? 0 ,从而确定函数的值域或最值.
2

④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值. ⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函 数的最值问题. ⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法. 【1.2.2】函数的表示法 (5)函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对 应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念
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①设 A 、 B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中任何一个元素,在集合 B 中都有唯一的 元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f )叫做集合 A 到 B 的映射,记 作 f : A? B. ②给定一个集合 A 到集合 B 的映射,且 a ? A, b ? B .如果元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素 b 叫做元 素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象. 〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值 (1)函数的单调性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、x2,当 x < 1 . . . x 时,都有 f(x )<f(x ) , 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . 那么就说 f(x) 在这个区 间上是增函数 . ... 如果对于属于定义域 I 内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1、 x2, 当x < 1 . . . x 时,都有 f(x )>f(x ) , 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . 那么就说 f(x) 在这个区 间上是减函数 . ... 图象 判定方法 (1)利用定义 (2)利用已知函数 的单调性 (3)利用函数图象 (在某个区间图 象上升为增) (4)利用复合函数 (1)利用定义 (2)利用已知函数 的单调性 (3)利用函数图象 (在某个区间图 象下降为减) (4)利用复合函数

y y=f(X)
f(x1 )

f(x2)

o

x1

x2

x

函数的 单调性

y
f(x )
1

y=f(X)
f(x )
2

o

x1

x2

x

②在公共定义域内, 两个增函数的和是增函数, 两个减函数的和是减函数, 增函数减去一个减函数为增函数, 减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数 y ? f [ g ( x)] ,令 u ? g ( x) ,若 y ? f (u ) 为增, u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为增;若

y ? f (u ) 为减,u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为增;若 y ? f (u ) 为增,u ? g ( x) 为减,则 y ? f [ g ( x)] 为
减;若 y ? f (u ) 为减,u ? g ( x) 为增,则 y ? f [ g ( x)] 为减. (2)打“√”函数 f ( x ) ? x ?

a ( a ? 0) 的图象与性质 x

y

f ( x) 分别在 (??, ? a ] 、 [ a , ??) 上为增函数,分别在

[? a ,0) 、 (0, a ] 上为减函数.
(3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 M
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o
x

满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M .那么,我们称 M 是函数 f ( x) 的最大值,记作 f max ( x) ? M . ②一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数 m 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x ) ? m ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? m .那么,我们称 m 是函数 f ( x) 的最小值,记作 f max ( x) ? m . 【1.3.2】奇偶性 (4)函数的奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 如果对于函数 f(x) 定义 域内任意一个 x ,都有 f( - x)= - f(x) , 那么函数 . . . . . . . . . . . f(x)叫做奇函数 . ... 函数的 奇偶性 图象 判定方法 (1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称) (2)利用图象(图 象关于原点对称) (1)利用定义(要 先判断定义域是否 关于原点对称) (2)利用图象(图 象关于 y 轴对称)

如果对于函数 f(x) 定义 域内任意一个 x ,都有 f( - f(x) ,那么函数 . . .x)= . . . . . . . f(x)叫做偶函数 . ...

②若函数 f ( x) 为奇函数,且在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 . ③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数) ,两个偶函数(或奇函 数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数. 〖补充知识〗函数的图象 (1)作图 利用描点法作图: ①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性) ; ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函 数的图象. ①平移变换
h?0,左移h个单位 k ?0,上移k个单位 y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x ? h) y ? f ( x) ??????? ? y ? f ( x) ? k h?0,右移|h|个单位 k ?0,下移|k|个单位

②伸缩变换
0?? ?1,伸 y ? f ( x) ???? ? y ? f (? x) ? ?1,缩 0? A?1,缩 y ? f ( x) ???? ? y ? Af ( x) A?1,伸

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③对称变换
x轴 y ? f ( x) ?? ? ? y ? ? f ( x)
y轴 y ? f ( x) ??? ? y ? f (? x)

原点 y ? f ( x) ??? ? y ? ? f (?x)

直线y?x y ? f ( x) ???? ? y ? f ?1 ( x)

去掉y轴左边图象 y ? f ( x) ??????????????? ? y ? f (| x |) 保留y轴右边图象,并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象 y ? f ( x) ????????? ? y ?| f ( x) | 将x轴下方图象翻折上去

(2)识图 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值 域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得 问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法. 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果 xn ? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N ? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时, a 的 n 次方根 用符号 n a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 ? n a 表示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根. ②式子 n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为偶数 时, a ? 0 . ③根式的性质: ( n a )n ? a ;当 n 为奇数时, a ? a ;当 n 为偶数时,
n n
n

(a ? 0) ?a . a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)

(2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是: a n ? a m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等于 0.
n m

②正数的负分数指数幂的意义是:a

?

m n

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N ? , 且 n ? 1) .0 的负分数指数幂 a a

没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ① a ?a ? a
r s r r ?s

(a ? 0, r, s ? R)

② (a ) ? a (a ? 0, r, s ? R)
r s rs

③ (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? R)
r r

【2.1.2】指数函数及其性质 (4)指数函数 函数名称 指数函数

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定义

函数 y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax y ? ax

y
图象

y

y?1
(0,1)

y?1

(0,1)

O
定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性

1

x 0
R
(0, ??)

O

1
x 0

图象过定点 (0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 . 非奇非偶 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0)
函数值的 变化情况

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变化对 图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低. 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算

(1)对数的定义 ①若 a ? N (a ? 0, 且a ? 1) , 则 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作 x ? log a N , 其中 a 叫做底数,N 叫做真数.
x

②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x ? loga N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . (2)几个重要的对数恒等式

log a 1 ? 0 , log a a ? 1, log a ab ? b .
(3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 N ;自然对数: ln N ,即 log e N (其中 e ? 2.71828 ?) . (4)对数的运算性质 如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么 ②减法: log a M ? log a N ? log a ④a
log a N

①加法: loga M ? loga N ? loga (MN ) ③数乘: n loga M ? loga M n (n ? R)

M N

?N

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n ⑤ log ab M ?

n log a M (b ? 0, n ? R ) b

⑥换底公式: log a N ?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

【2.2.2】对数函数及其性质 (5)对数函数 函数 名称 定义 对数函数 函数 y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1

y
图象

x?1

y ? loga x

y

x?1

y ? loga x

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)

O

(1, 0) 1 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 . 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对 图象的影响
(6)反函数的概念

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

设函数 y ? f ( x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y ? f ( x) 中解出 x ,得式子 x ? ? ( y ) .如果对于 y 在 通过式子 x ? ? ( y ) ,x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应, 那么式子 x ? ? ( y ) 表示 x 是 y C 中的任何一个值, 的函数,函数 x ? ? ( y ) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数,记作 x ? f (7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 y ? f ( x) 中反解出 x ? f ③将 x ? f
?1 ?1 ?1

( y) ,习惯上改写成 y ? f ?1 ( x) .

( y) ;

( y) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域.
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(8)反函数的性质

①原函数 y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称. ②函数 y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f
' ?1

( x) 的值域、定义域.
?1

③若 P (a, b) 在原函数 y ? f ( x) 的图象上,则 P (b, a) 在反函数 y ? f ④一般地,函数 y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数. 〖2.3〗幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,函数 y ? x 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数.
?

( x) 的图象上.

(2)幂函数的图象

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(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二 象限(图象关于 y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图 象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象在

(0, ??) 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴.
④奇偶性:当 ? 为奇数时,幂函数为奇函数,当 ? 为偶数时,幂函数为偶函数.当 ? ?
q

q (其中 p, q 互质, p p
q

和q?Z ) ,若 p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x p 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x p 是偶函数,若 p 为 偶数 q 为奇数时,则 y ? x 是非奇非偶函数.
? ⑤图象特征:幂函数 y ? x , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方,若 x ? 1 ,其图
q p

象在直线 y ? x 上方,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方. 〖补充知识〗二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式: f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ②顶点式: f ( x) ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ③两根式:
2 2

f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 f ( x) 更方便. (3)二次函数图象的性质 ①二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ?
2

b , 顶点坐标是 2a

(?

b 4ac ? b 2 , ). 2a 4a
b b b ] 上递减,在 [ ? , ?? ) 上递增,当 x ? ? 时, 2a 2a 2a

②当 a ? 0 时,抛物线开口向上,函数在 ( ??, ?

4ac ? b 2 b b b ] 上递增, , ?? ) 上递减, f min ( x) ? ; 当 a ? 0 时, 抛物线开口向下, 函数在 ( ??, ? 在 [? 当x ? ? 2a 2a 2a 4a
时, f max ( x) ?

4ac ? b 2 . 4a
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③二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点

M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M1M 2 |?| x1 ? x2 |?
2

? . |a|

(4)一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统 和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次 函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .令 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,从以下四个 方面来分析此类问题:①开口方向: a ②对称轴位置: x ? ? ①k<x1≤x2
f (k ) ? 0
?

b ③判别式: ? ④端点函数值符号. 2a

?
y
a?0
O

y
x??

b 2a

k x1
x??

k
x2
b 2a

O

x

?

x1

x2 x
a?0

f (k ) ? 0

②x1≤x2<k
a?0

?
y
f (k ) ? 0
?

y
x??
O

b 2a

O

x1

x2

k x
b 2a

k
x2
?

x1
a?0

x

x??

f (k ) ? 0

③x1<k<x2

?
y

af(k)<0

y
a?0
?

f (k ) ? 0 x2 x
a?0

O

k
?

x1

x2

x

x1

O

k

f (k ) ? 0

④k1<x1≤x2<k2

?

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y
? ?

a?0

y

f ( k1 ) ? 0 f ( k ) ? 0 2 x1 x2 k2 x
O

x??

b 2a

O k 1

k1
?

x1

x2

k2
?

x

x??

b 2a

f ( k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0

⑤有且仅有一个根 x(或 x2) 满足 k1<x(或 x2) <k2 1 1 这两种情况是否也符合

?

f(k1)f(k2) ? 0, 并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0

y
?

a?0

y
f ( k1 ) ? 0
?

f ( k1 ) ? 0 x1 k2
?

O k 1

x2

x

O

x1 k 1
a?0

x2

k2

?

x

f (k 2 ) ? 0

f (k 2 ) ? 0

⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2 此结论可直接由⑤推出.
2

?

(5)二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q ] 上的最值 设 f ( x) 在区间 [ p, q ] 上的最大值为 M ,最小值为 m ,令 x0 ? (Ⅰ)当 a ? 0 时(开口向上) ①若 ?

1 ( p ? q) . 2
③若 ?

b ? p ,则 m ? f ( p) 2a
a?0

②若 p ? ?

b b ? q ,则 m ? f ( ? ) 2a 2a

b ? q ,则 m ? f (q ) 2a

yx ? ? b f (q) p
O

2a

a?0

y

x??

f (p) q
x

b 2a

a?0

y

x??

f (q)
O
f (? b ) 2a

f (p) q
x

b 2a

q p
O

f
b ? x0 ,则 M ? f (q) ①若 ? 2a
a?0
b f ((p) ? ) 2a

p

x
b ) 2a

f f (? (q)

yx ? ? b f
x(q) 0 p
O

b ? x0 ,则 M ? f ( p) ②? 2a y b a?0
x??

2a

f (p) x0 p (q) q
O

2a

q f

x

x
b ) 2a

f f (?

b f ((p) ? ) 2a

第 - 13 - 页 共 25 页

(Ⅱ)当 a ? 0 时(开口向下) ①若 ?

b ? p ,则 M ? f ( p) 2a
a?0

②若 p ? ?

b b ? q ,则 M ? f (? ) 2a 2a

③若 ?

b ? q ,则 M ? f (q) 2a
a?0
f (?

f (?

yb
2a

)

a?0

f (?

yb
2a

)

yb f 2a )

f (p)
O

f q (p)
x
O

(q) q p
x
O

p
b x ? ?(q) 2a

p
b x ? ?(q) 2a

q
x?? b 2a

x

f

f (p)

f

①若 ?

b ? x0 ,则 m ? f (q ) 2a
a?0
f (?

②?

b ? x0 ,则 m ? f ( p) . 2a
a?0
f (?

yb
2a

)

f (p)

f 2a )

yb

(q)
x0 O p
b x ? ?(q) 2a

q
x

x0 p
O

q
x?? b 2a

f (p)
高中数学

x

f

必修 4 知识点

第一章 三角函数

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?
第 - 14 - 页 共 25 页

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ? 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度.

?

?
l . r

5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 6、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? 7、若扇形的圆心角为 ?

?
180

,1 ? ?

? 180 ? ? ? 57.3 . ? ? ?

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? , C ? 2r ? l ,
y P T v O M A x

1 1 S ? lr ? ? r 2 . 2 2
8、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点的距 离是 r r ?

?

x 2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 11 、 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 : ?1? sin
2

? ? cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ;

? 2?

sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ? ..(3) 倒数关系: tan ? cot ? ? 1 tan ? ? ?

12、函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? .
?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ? 6 ? sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 13、 ①的图象上所有点向左 (右) 平移 ? 个单位长度, 得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; 再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将

函 数 y ? sin?? x ? ? ? 的 图 象 上 所 有 点 的 纵 坐 标 伸 长 ( 缩 短 ) 到 原 来 的 ? 倍 ( 横 坐 标 不 变 ) ,得到函数

y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象.
第 - 15 - 页 共 25 页

②数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ? x 的 图 象 ; 再 将 函 数 y ? sin ? x 的 图 象 上 所 有 点 向 左 ( 右 ) 平 移

? 个单位长度,得到函数 ?

y ? sin?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横
坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 14、函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? 2?
; 当 x ? x2 时 , 取 得 最 大 值 为 ymax , 则

函 数 y ? ? sin?? x ? ? ? ? ? , 当 x ? x1 时 , 取 得 最 小 值 为 ymin

??

1 ? ym a x ? y 2

min

? , ? ? ? ymax ? ymin ? ,

1 2

? ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数 y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

y=cotx
y

y=cotx
图象
-? ? 2

o

? 2

?

3? 2

2?

x

定义 域

R

R

? ? ?? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ??? x x ? k? ? , k ? ?? 2 2 ? ?? ?

值域 当

??1,1?
x ? 2 k? ?

??1,1?
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

R

R

?
2
时 ; , 当

? k ? ??
最值

ymax ? 1
x ? 2 k? ? ?



当 既无最大值也无最小 ? ?1. 值 既无最大值也无最小 值

ymax ? 1
x ? 2 k? ?

? k ? ? ? 时, ymin

?
2
时 ,
第 - 16 - 页 共 25 页

? k ? ??

ymin ? ?1.
周期 性 奇偶 性 在

2?
奇函数

2?
偶函数

?
奇函数

?
奇函数

? ?? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ? 在

单调 性

? k ? ? ? 上是增函数;


?2k? ? ? , 2k? ?? k ???
上 是 增 函 数 ; 在



? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ? k ? ? ? 上是减函数. ?

?2k? ,2k? ? ? ?

? k ? ??
数.

上是增函

? k ? ? ? 上是减函数.
对 对称 性 称 中 心 对 称 中 心

? k? ,0?? k ???
对 称 轴

















? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ?? ?

x ? k? ?

?
2

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

?k ? ??

第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ?三角形法则的特点:首尾相连. ?平行四边形法则的特点:共起点. ?三角形不等式:a ? b ? a ? b ? a ? b . ?运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ; ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ?坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 18、向量减法运算:
第 - 17 - 页 共 25 页

?

?

?

?

C

a

?
b

?

a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

?三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ?坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 设 ? 、 ? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 ?? ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 19、向量数乘运算: ?实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ①

?a ? ? a ;

②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . ?运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b . ?坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线. 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有 且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底) 22、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ? 1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ? ??2 时, 点 ? 的坐标是 ?

?

?

?

?

?

?

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? 时,就为中点公式。) (当 ? ? 1 , ?. 1? ? ? ? 1? ?

23、平面向量的数量积: ? a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180 .零向量与任一向量的数量积为 0 . ?性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时,

?

?

a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③ a ? b ? a b .
?运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ?坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 . 若 a ? ? x, y ? , 则a
2

2

?

?

? ?

?

?

2 2 ? x2 ? y2 , 或 a ? x ? y . 设 a ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? , 则 a ?b ?xx 1 2? yy1 2 ?

0.


设 a 、b 都是非零向量,a ? ? x1 , y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? ,? 是 a 与 b 的夹角,则 cos ? ?

a ?b a b

?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 x2 ? y2 2 1

知识链接:空间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应用进行总结
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归纳. 1、直线的方向向量和平面的法向量 ?.直线的方向向量: 若 A、B 是直线 l 上的任意两点,则 AB 为直线 l 的一个方向向量;与 AB 平行的任意非零向量也是直线 l 的 方向向量. ?.平面的法向量: 若向量 n 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 n ? ? ,如果 n ? ? ,那么向量 n 叫做 平面 ? 的法向量. ?.平面的法向量的求法(待定系数法) : ①建立适当的坐标系. ②设平面 ? 的法向量为 n ? ( x, y, z) . ③求出平面内两个不共线向量的坐标 a ? (a1, a2 , a3 ), b ? (b1, b2 , b3 ) . ④根据法向量定义建立方程组 ?

? ?n ? a ? 0 ? ?n ? b ? 0

.

⑤解方程组,取其中一组解,即得平面 ? 的法向量. (如图)

1、 用向量方法判定空间中的平行关系 ?线线平行 设直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a 、 b ,则要证明 l1 ∥ l2 ,只需证明 a ∥ b ,即 a ? kb(k ? R) . 即:两直线平行或重合 ?线面平行 两直线的方向向量共线。

①(法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向量是 u ,则要证明 l ∥ ? ,只需证明 a ? u ,即 a ? u ? 0 . 即:直线与平面平行 直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 ②(法二)要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即 可. ?面面平行 若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要证 ? ∥ ? ,只需证 u ∥ v ,即证 u ? ? v . 即:两平面平行或重合 两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ?线线垂直
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设直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a 、 b ,则要证明 l1 ? l2 ,只需证明 a ? b ,即 a ? b ? 0 . 即:两直线垂直 ?线面垂直 两直线的方向向量垂直。

①(法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向量是 u ,则要证明 l ? ? ,只需证明 a ∥ u ,即 a ? ? u . ②(法二)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 内的两个相交向量分别为 m 、 n ,若 ? 即:直线与平面垂直 方向向量都垂直。 ?面面垂直 直线的方向向量与平面的法向量共线

? ?a ? m ? 0 ? ?a ? n ? 0

, 则l ? ? .

直线的方向向量与平面内两条不共线直线的

若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要证 ? ? ? ,只需证 u ? v ,即证 u ? v ? 0 . 即:两平面垂直 两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 ? 求异面直线所成的角 已知 a , b 为两异面直线,A,C 与 B,D 分别是 a , b 上的任意两点, a , b 所成的角为 ? , 则 cos ? ?

AC ? BD AC BD

.

?求直线和平面所成的角 ①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角

王新敞
奎屯

新疆

②求法: 设直线 l 的方向向量为 a , 平面 ? 的法向量为 u , 直线与平面所成的角为 ? ,a 与 u 的夹角为 ? , 则

? 为 ? 的余角或 ? 的补角
的余角.即有:

sin ? ? cos ? ?

a ?u a u

.

?求二面角 ①定义:平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面
王新敞
奎屯 新疆

二面角的平面角是指在二面角 ? ? l ? ? 的棱上任取一点 O,分别在两个半平面内作射线 AO ? l , BO ? l , 则 ?AOB 为二面角 ? ? l ? ? 的平面角. 如图: A

B
O

l B

O

②求法: 设二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面的法向量分别为 m 、 再设 m 、 二面角 ? ? l ? ? 的 n, n 的夹角为 ? ,
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A

平面角为 ? ,则二面角 ? 为 m 、 n 的夹角 ? 或其补角 ? ? ? . 根据具体图形确定 ? 是锐角或是钝角: ◆如果 ? 是锐角,则 cos ? ? cos ? ?

m?n m n



即 ? ? arccos

m?n m n



◆ 如果 ? 是钝角,则 cos ? ? ? cos ? ? ?

m?n m n



即 ? ? arccos ? ?

? ? ?

m?n ? ?. m n? ?

5、利用法向量求空间距离 ? 点 Q 到直线 l 距离 若 Q 为直线 l 外的一点, P 在直线 l 上, a 为直线 l 的方向向量, b = PQ ,则点 Q 到直线 l 距离为

h?

1 (| a || b |) 2 ? (a ? b ) 2 |a|

⑵点 A 到平面 ? 的距离 若点 P 为平面 ? 外一点,点 M 为平面 ? 内任一点, 平面 ? 的法向量为 n ,则 P 到平面 ? 的距离就等于 MP 在法向量 n 方向上的投影的绝对值. 即 d ? MP cos n, MP

? MP ?

n? M P n MP

?

n ? MP n

⑶直线 a 与平面 ? 之间的距离 当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等。由此可知,直线到平面的距离可转化为求直 线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离。

即d ?

n ? MP n

.

⑷两平行平面 ? , ? 之间的距离
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利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。 即d ?

n ? MP n

.

?异面直线间的距离 设向量 n 与两异面直线 a , b 都垂直, M ? a, P ? b, 则两异面直线 a , b 间的距离 d 就是 MP 在向量 n 方向上投 影的绝对值。 即d ?

n ? MP n

.

6、三垂线定理及其逆定理 ?三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直

王新敞
奎屯

新疆

P
O

PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? A ? ? a ? PA a ? ? , a ? OA ? ?

A

?

a

概括为:垂直于射影就垂直于斜线. ?三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂 直
王新敞
奎屯 新疆

PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? A ? ? a ? AO a ? ? , a ? AP ? ?
概括为:垂直于斜线就垂直于射影. 7、三余弦定理 设 AC 是平面 ? 内的任一条直线, AD 是 ? 的一条斜线 AB 在 ? 内的射影, 且 BD⊥AD, 垂足为 D.设 AB 与 ? (AD) 所成的角为 ? 1 , AD 与 AC 所成的角为 ? 2 , AB 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 .

B A ?
?1 ?2 ?

D C

8、 面积射影定理

已知平面 ? 内一个多边形的面积为 S S原 ,它在平面 ? 内的射影图形的面积为 S ? S射 ,平面 ? 与平面 ?
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? ?

? ?

所成的二面角的大小为锐二面角 ? ,则

S ' S射 cos? ? = . S S原
9、一个结论 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为 ?1、? 2、?3 ,则有

l 2 ? l12 ? l22 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1

? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 .

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ? cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;? cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ? tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;

? tan ?? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ? ) .

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ? sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2 ? cos 2? ? cos
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
?
,1 ? cos ? ? 2 sin 2

? 升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2 ? 2 , sin ? ? . ? 降幂公式 cos 2 ? ? 2 2
26、

万能公式: α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ?

27、

半角公式 : α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sinα

? (后两个不用判断符号,更加好用)
28、合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形
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式。 ? sin ? ? ? cos ? ?

?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

? . ?

29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式, 掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍 半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是 ② 15 ? 45 ? 30 ? 60 ? 45 ?
o o o o o

? ? ? 的二倍; 是 的二倍; 2 2 4
; cos

? 30o ? ;问: sin 12 2
?(

?
12

?



③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?
4

??) ;

⑤ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切 为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变 形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂 公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式 1 ? cos? 常

用升幂化为有理式,常用升幂公式有: ; ; (5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

1 ? tan ? 1 ? tan ? ? __________ _____ ; ? __________ ____ ; 1 ? tan ? 1 ? tan ?

tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan? ? __________ _; tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;
2 tan ? ?
; 1 ? tan ? ?
2

; ; ;

tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ? a sin ? ? b cos ? ?
1 ? cos ? ?
= = ; 1 ? cos ? ?

; (其中 tan ? ? ;

; )

(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特 殊角的三角函数互化。
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如: sin 50o (1 ? 3 tan10o ) ?

; 。

tan ? ? cot ? ?

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