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高中数学一轮复习微专题第15季空间点线面的位置关系:第2节 空间两条直线的位置关系

时间:2017-04-20


第 2 节 空间两条直线的位置关系 【基础知识】
?平行 ?共面直线? ? ?相交 直线与直线的位置关系的分类? ? ?异面直线:不同在任何一个平面内

直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
[

【规律技巧】

空间中直线位置关系的判定,主要是异面和垂直的判定.对于异面直线,可采用定理或反证 法,对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质说明.

【典例讲解】 【例 1】 如图是正四面体的平面展开图,G,H,M, N 分别为 DE,BE,EF,EC 的中点,在这个正四面体中, ①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60° 角; ④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________.

【变式探究】 (1)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的中 点,则下列说法错误的是( )

A.MN 与 CC1 垂直 B.MN 与 AC 垂直 C.MN 与 BD 平行 D.MN 与 A1B1 平行

(2)在图中,G,H,M,N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH, MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).

答案 (1)D (2)②④

【针对训练】 1、对于直线 m、n 和平面 α,下列命题中的真命题是( A.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n∥α B.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n 与 α 相交 C.如果 m?α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n D.如果 m?α,n∥α,m、n 共面,那么 m 与 n 相交 【答案】C 【解析】对于选项 A,n 可以与平面 α 相交,对于选项 B,n 可以与平面 α 平行,故选项 A、 B 均错; )

由于 m?α, n∥α, 则 m、 n 无公共点, 又 m、 n 共面, 所以 m∥n, 选项 C 正确, 选项 D 错. 故 选 C. 2、已知 a,b,c 是直线,α,β 是平面,给出下列命题: ①若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c;②若 a∥b,b⊥c,则 a⊥c;③a∥α,b?α,则 a∥b;④ 若 a,b 异面,且 a∥β,则 b 与 β 相交;⑤若 a,b 异面,则至多有一条直线与 a,b 都垂直. 其中真命题的个数为( A.1 【答案】A 【解析】仅②为真命题. 3、如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N 分别为 DE,BE,EF,EC 的中点,在这 个正四面体中, B.2 ) C.3 D.4

①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60°角; ④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 【答案】 ②③④ [解析] 把正四面体的平面展开图还原.如图所示,GH 与 EF 为异 面直线,BD 与 MN 为异面直线, GH 与 MN 成 60°角,DE⊥MN.

4、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的中点,则在空间中与三条直 线 A1D1,EF,CD 都相交的直线( A.不存在 C.有且只有三条 【答案】D ) B.有且只有两条 D.有无数条

5、如右图所示正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由.

(2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由.

【解析】(1)不是异面直线.理由:∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点.∴MN∥A1C1. 又∵A1A / / D1D,而 D1D / / C1C,∴A1A / / C1C, ∴A1ACC1 为平行四边形.∴A1C1∥AC,得到 MN∥AC, ∴A、M、N、C 在同一个平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线. (2)是异面直线.证明如下: 假设 D1B 与 CC1 在同一个平面 D1CC1 内,则 B∈平面 CC1D1,C∈平面 CC1D1.∴BC?平 面 CC1D1,∴B∈面 CC1D1D,这与 ABCD-A1B1C1D1 是正方体相矛盾. ∴假设不成立,故 D1B 与 CC1 是异面直线.
6、若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是( A.平行 【答案】D 【解析】当平行、异面或相交时,均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现,故选 D. 7、 一个正方体的展开图如图所示, A、 B、 C、 D 为原正方体的顶点, 则在原来的正方体中( A.AB∥CD 的角为 60° B.AB 与 CD 相交 C.AB⊥CD ). B.异面 C.相交 ) D.平行、异面或相交

D.AB 与 CD 所成

【答案】D

8、如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 C1D1、C1C 的中点,有以下四个 结论: ①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线;

④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填上).

【答案】③④

9、在图中,G,H,M,N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH,MN 是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).

【答案】

②④

【练习巩固】 1.若空间三条直线 a,b,c 满足 a⊥b,b⊥c,则直线 a 与 c A.一定平行 B.一定相交 C.一定是异面直线 D.平行、相交、是异面直线都有可能 解析 当 a,b,c 共面时,a∥c;当 a,b,c 不共面时,a 与 c 可能异面也可能相交. 答案 D 2.已知直线 a 和平面 α,β ,α ∩β =l,a?α ,a?β ,且 a 在 α,β 内的射影分别为 直线 b 和 c,则直线 b 和 c 的位置关系是 ( A.相交或平行 C.平行或异面 ) ( )

B.相交或异面 D.相交、平行或异面

解析 依题意,直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面,选 D.

答案 D 3.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 ( )

4.在空间四边形 ABCD 中,AB=CD,AD=BC,AB≠AD,M,N 分别是对角线 AC 与 BD 的中点,则 MN 与 A.AC,BD 之一垂直 C.AC,BD 都不垂直 ( )

B.AC,BD 都垂直 D.AC,BD 不一定垂直

解析 连接 AN,CN,∵AD=BC,AB=CD,BD=BD, ∴△ABD≌△CDB,则 AN=CN,在等腰△ANC 中,由 M 为 AC 的中点知 MN⊥AC.同 理可证 MN⊥BD.故选 B. 答案 B 5.两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是 A.两条相交直线 C.两个点 B.两条平行直线 D.一条直线和直线外一点 ( )

答案 C 6.一个正方体的展开图如图所示,A,B,C,D 为原正方体的顶点,则在原来的正方体 中( )

A.AB∥CD B.AB 与 CD 相交 C.AB⊥CD D.AB 与 CD 所成的角为 60°

答案 D 7.如图所示,在空间四边形 ABCD 中,点 E,H 分别是边 AB,AD 的中点,点 F,G CF CG 2 分别是边 BC,CD 上的点,且 = = ,则 CB CD 3 ( )

A.EF 与 GH 平行 B.EF 与 GH 异面 C.EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上,也可能不在直线 AC 上 D.EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上


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