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【优化探究】高考数学(人教A版·文科)总复习配套课件6-5 合情推理与演绎推理_图文

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第五节 [最新考纲展示] 合情推理与演绎推理 1 .了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理, 了解合情推理在数学发现中的作用. 2.了解演绎推理的重要性,掌 3.了解 握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理. 合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 合情推理 1.归纳推理与类比推理 2.合情推理的作用 合情推理得出的结论具有猜测性,不一定正确,但是,在数学研 究中,得到一个新结论之前,合情推理能帮助猜测和发现结论;证明 一个数学结论之前,合情推理能提供证明的思路和方向. ____________________[通关方略]____________________ 1 .合情推理是合乎情理的推理,它包括归纳推理和类比推理, 它们都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归 纳、类比,然后提出猜想的推理. 2 .在进行类比推理时,要尽量从本质上去类比,不要被表面现 象所迷惑,否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比,就会犯机械 类比的错误. 1.平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1;外 接圆面积为S2,则 S1 1 = ,推广到空间可以得到类似结论;已知正四面 S2 4 ) V1 体P-ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则 =( V2 1 A. 8 1 B. 9 1 C. 64 1 D. 27 V1 1 解析:正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3,故 = . V2 27 答案:D 2.数列{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,…}的首项是1,随后两项都是2,接 下来3项都是3,再接下来4项都是4 ,…,依此类推,若an -1=20 ,an =21,则n=________. 20×?1+20? 解析:由解题探究可知:n-1=1+2+3+…+20= = 2 210,∴n=211. 答案:211 演绎推理 1.定义:从 一般性的原理 出发,推出 某个特殊情况 下 的 结 论,我们把这种推理称为演绎推理; 2.特点:演绎推理是由 一般到特殊 的推理; 3.模式:三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ____________________[通关方略]____________________ 在数学中,通常由已知条件归纳出一个结论,或运用类比推理给 出某个结论,再运用演绎推理进行严格证明.也就是说,合情推理的 结论需要演绎推理的验证,而演绎推理的内容一般是通过合情推理获 得的.在前提和推理形式都正确的情况下,通过演绎推理所推出的结 论一定是正确的. 3 .命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整 数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( A.使用了归纳推理 ) B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”,但推理形式错误 D.使用了“三段论”,但小前提错误 解析:由条件知,使用了三段论,但推理形式是错误的. 答案:C 归纳推理 【例1】 (2013年高考陕西卷)观察下列等式 12= 1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 …… 照此规律,第n个等式可为____________. [解析] 观察等号左边可知,左边的项数依次加1,故第n个等式左 边有n项,每项所含的底数也增加1,依次为1,2,3, …,n,指数都是2, 符号正负交替出现,可以用(-1)n+ 1表示;等号的右边数的绝对值是左 边项的底数的和,故等式的右边可以表示为(-1) n+1 n?n+1? · ,所以第n 2 n?n+1? 个式子可为:12-22+32-42+ …+(-1)n+ 1n2=(-1)n+ 1· . 2 [答案] 1 -2 +3 -4 +…+(-1) 2 2 2 2 n+1 2 n =(-1) n+1 n?n+1? · 2 解析:由条件知 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 反思总结 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类 (1)数的归纳包括数学归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细 心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知 识,如等差数列、等比数列等. (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳. 变式训练 1.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示: 按照上面的规律,第n条“金鱼”需要火柴棒的根数为 ________. 解析: 由图形间的关系可以看出,第一个图中有 8 根火柴棒,第 二个图中有8+6根火柴棒,第三个图中有8+2×6根火柴棒,以此类推 第n个“金鱼”需要火柴棒的根数是8+6(n-1),即6n+2. 答案:6n+2 类比推理 【例2】 * 已知数列{an}为等差数列,若am=a,an=b(n-m≥1, nb-ma m,n∈N ),则am+n= .类比等差数列{an}的上述结论,对于等比 n-m 数列{bn}(bn>0,n∈N*),若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可 以得到bm+n=________. an-am b-a [解析] 解法一 设数列{an}的公差为d1,则d1= = . n-m n-m b-a bn-am 所以am+n=am+ nd1=a+n· = . n-m n-m 类比推导方法可知:设数列{bn}的公比为q,由bn=bmqn- m可知d= n-m d n-m ?d? n-m dn ? ? n= cqn- m,所以q= ,所以bm+ n=bmqn= c· . c cm ? c? 解法二 (直接类比)设数列{an}的公差为d1,数列{bn}的公比为q, 因为等差数列中an=a1+ (n-1)d1,等比数列中bn=b1qn- 1,因为am+ n-m dn nb-ma ,所以bm+n= . n= cm n-m n-m dn [答案]

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