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【创新设计】2015届高考数学一轮总复习 培养解题能力精讲系列 专题三 导数及其应用课件 理 苏教版_图文

时间:2014-09-24

y
方法优化 答题模板

灵活运用同角三角函 数的基本关系式求值 三角函数的最值(或 值域)问题 三角函数图象变换时 因自变量系数致误 三角函数求值中变角 问题

o

x
易错辨析 教你审题

1、方法优化

灵活运用同角三角函数的基本关系式求值

【典例 1 】 (2012· 辽宁卷)已知 sin α-cos α= 2, α∈(0, π), 则 tan α=( A ). 典例 1 2 2 A.-1 B.- C. D.1 2 2

?sin α-cos α= 2, [一般解法] 由? 2 ?sin α+cos2α=1,
得:2cos2α+2 2cos α+1=0, 即( 2cos α+1)2=0, ∴cos α=- 2 . 2

3π 又 α∈(0,π),∴α= , 4 3π ∴tan α=tan =-1. 4

1、方法优化

灵活运用同角三角函数的基本关系式求值

【典例 1 】 (2012· 辽宁卷)已知 sin α-cos α= 2, α∈(0, π), 则 tan α=( A ). 典例 1 2 2 A.-1 B.- C. D.1 2 2

[优美解法] 法一 因为 sin α-cos α= 2, π π 所以 2sin?α-4?= 2,所以 sin?α-4?=1. ? ? ? ? 3π 因为 α∈(0,π),所以 α= ,所以 tan α=-1. 4 法二 因为 sin α-cos α= 2, 所以(sin α-cos α)2=2,所以 sin 2α=-1. 因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π), 3π 3π 所以 2α= ,所以 α= , 2 4 所以 tan α=-1. [答案] A

(1)熟记同角三角函数关系 式及诱导公式,特别是要注 意公式中的符号问题; (2)注意公式的变形应用, 如sin2α=1-cosα,cos2α= 1-sin2α,1=sin2α+cos2α 及sinα=tanα· cosα等.这是 解题中常用到的变形,也是 解决问题时简化解题过程 的关键所在.

1、方法优化

灵活运用同角三角函数的基本关系式求值

π 4 【自主体验 1】 (2013· 东北三校模拟)已知 sin θ+cos θ= ?0<θ<4?, 3? ? 则 sin 2 2 1 1 θ-cos θ 的值为( B ). A. B.- C. D.- 3 3 3 3

π ∵0<θ< ,∴cos θ>sin θ, 4 16 2 又(sin θ+cos θ) =1+2sin θcos θ= , 9 7 ∴2sin θcos θ= , 9 7 2 ∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1- = , 9 9 解析 法一 2 ∴sin θ-cos θ=- . 3

倒计时

1、方法优化

灵活运用同角三角函数的基本关系式求值

π 4 【自主体验 1】 (2013· 东北三校模拟)已知 sin θ+cos θ= ?0<θ<4?, 3? ? 则 sin 2 2 1 1 θ-cos θ 的值为( B ). A. B.- C. D.- 3 3 3 3

π? 4 ? 0 , 法二 ∵sin θ+cos θ= ,且 θ∈ 3 ? 4 ?. π π π ∴θ+ ∈?4,2 ?, 4 ? ? π sin θ+cos θ= 2sin ?θ+4?= ? ?

倒计时

?2 2?2=1, 1-? ? ? 3 ? 3

π 2 ∴sin θ-cos =-(cos θ-sin θ)=- 2cos?θ+4?=- . 3 ? ? 答案 B

2、答题模板

三角函数的最值(或值域)问题
? ?

1 2】 (12 分)(2013· 【典例 典例 2 陕西卷)已知向量 a=?cos x,-2?, b=( 3sin x, cos 2x),x∈R,设函数 f(x)=a· b. π? ? (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在 0,2 上的最大值和最小值. ? ?

1? ? cos x ,- [规范解答] f(x)= ( 3sin x,cos 2x) 2? · ? 1 = 3cos xsin x- cos 2x, 2 3 1 = sin 2x- cos 2x 2 2 π? ? 2 x - =sin 6 ?. ? 2π 2π (1)f(x)的最小正周期为 T= = =π, ω 2 即函数 f(x)的最小正周期为 π. (6 分) (4 分) (2 分)

2、答题模板

三角函数的最值(或值域)问题
? ?

1 2】 (12 分)(2013· 【典例 典例 2 陕西卷)已知向量 a=?cos x,-2?, b=( 3sin x, cos 2x),x∈R,设函数 f(x)=a· b. π? ? (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在 0,2 上的最大值和最小值. ? ?
π π π 5π (2)∵0≤x≤ , ∴- ≤2x- ≤ . 2 6 6 6 由正弦函数的性质,得 π π π 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 1. 6 2 3 π π 1 当 2x- =- ,即 x=0 时,f(0)=- , 6 6 2 π 1 π 5π π 当 2x- = ,即 x= 时,f?2?= , 6 6 2 ? ? 2 1 ∴f(x)的最小值为- . 2 π 1 因此,f(x)在?0,2?上最大值是 1,最小值是- . 2 ? ?

(8 分)

(11 分) (12 分)

求函数f(x)=Asin(?x+?)在区间[a, b]上值域的一般步骤: 三角函数式的化简,一般化成形如y=Asin(ωx+ ?) 第一步 +k的形式,或y=Acos(ωx+ ?)+k的形式.

第二步 第三步

由x的取值范围确定ωx+ ?的取值范围,再确定 sin(ωx+ ?),(或cos(ωx+ ?))的取值范围.

求出所求函数的值域(或最值).

求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围,由于三角函 数的周期性,正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的 端点处取得,因此要把这两个最值点弄清楚.如本例中有学生直接把 x=0 π 和 x= 代入求得最值,这显然是错误的. 2

2、答题模板

三角函数的最值(或值域)问题
? ? ? ? ? ?

π π π 【自主体验 2】 已知函数 f(x)=cos?2x-3 ?+2sin?x-4 ?sin?x+4 ?. (1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴; π π? ? (2)求函数 f(x)在区间 -12,2 上的值域. ? ?
解 π π π (1)f(x)=cos?2x-3 ?+2sin?x-4 ?sin?x+4?

?

?

?

?

?

?

1 3 = cos 2x+ sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x) 2 2 1 3 1 3 = cos 2x+ sin 2x+sin2x-cos2x= cos 2x+ sin 2x-cos 2x 2 2 2 2 π 2π =sin?2x-6?. ∴最小正周期 T= =π, 2 ? ? kπ π π π 由 2x- =kπ+ (k∈Z),得 x= + (k∈Z). 6 2 2 3 kπ π ∴函数图象的对称轴为 x= + (k∈Z). 2 3

倒计时

2、答题模板

三角函数的最值(或值域)问题
? ? ? ? ? ?

π π π 【自主体验 2】 已知函数 f(x)=cos?2x-3 ?+2sin?x-4 ?sin?x+4 ?. (1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴; π π (2)求函数 f(x)在区间?-12,2?上的值域. ? ?

π π (2)∵x∈?-12,2 ?, ? ? π ? π 5π? ∴2x- ∈ -3, 6 , 6 ? ? ∴- π 3 ≤sin?2x-6?≤1. 2 ? ?

倒计时

π π ? 3 ? 即函数 f(x)在区间?-12,2?上的值域为?- ,1?. ? ? ? 2 ?

3、易错辨析

三角函数图象平移变换时因自变量系数致误

π π 典例3 3 【典例 】 (2013· 福建卷)将函数 f(x)=sin(2x+θ)(- <θ< )的图象向右平 2 2 移 φ(φ>0)个单位长度后得到函数 g(x)的图象,若 f(x),g(x)的图象都经过 3 5 5 π π 点 P(0, ),则 φ 的值可以是( ). A. π B. π C. D. 2 3 6 2 6
[解析] 依题意 g(x )= sin[2(x -φ)+θ]=sin(2x +θ-2φ), 3 因为 f(x ),g(x )的图象都经过点 P 0, 2 , 3 sin θ = , 2 所以 3 sin(θ -2φ)= , 2

3、易错辨析

三角函数图象平移变换时因自变量系数致误

π π 典例3 3】 (2013· 【典例 福建卷)将函数 f(x)=sin(2x+θ)(- <θ< )的图象向右平 2 2 移 φ(φ>0)个单位长度后得到函数 g(x)的图象,若 f(x),g(x)的图象都经过 3 5 5 π π 点 P(0, ),则 φ 的值可以是( B ). A. π B. π C. D. 2 3 6 2 6
π π π 因为- <θ< ,所以 θ= , 2 2 3 π π π 2π 则 -2φ=2kπ+ 或 -2φ=2kπ+ (k∈Z), 2 3 3 3 π 即 φ=-kπ 或 φ=-kπ- (k∈Z). 6 π 在 φ=-kπ- (k∈Z)中, 6 5π 取 k=-1,即得 φ= . 6 [答案] B

3、易错辨析

三角函数图象平移变换时因自变量系数致误

π π 典例3 3】 (2013· 【典例 福建卷)将函数 f(x)=sin(2x+θ)(- <θ< )的图象向右平 2 2 移 φ(φ>0)个单位长度后得到函数 g(x)的图象,若 f(x),g(x)的图象都经过 3 5 5 π π 点 P(0, ),则 φ 的值可以是( B ). A. π B. π C. D. 2 3 6 2 6

[易错警示] 函数f(x)=sin(2x+θ)的图象向右平移?个单位误写成 g(x)=sin(2x+θ+ ?).
对于三角函数图像的平移变换问题,其平移变换规则是“左加、 右减”,并且在变换过程中只变换其中的自变量 x,如果 x 的系数 不是 1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向.另外, 当两个函数的名称不同时, 首先要将函数名称统一, 其次要把 ωx φ? φ ? x + +φ 变换成 ω ? ω?,最后确定平移的单位并根据ω的符号确定 平移的方向.

3、易错辨析

三角函数图象平移变换时因自变量系数致误

【自主体验 3】 (2014· 湖州二模)将函数 y=sin 2x+cos 2x 的图象向左平 π 移 个单位长度,所得图象对应的函数解析式可以是( B ). 4 A.y=cos 2x+sin 2x B.y=cos 2x-sin 2x C.y=sin 2x-cos 2x D.y=sin xcos x
π? ? 2 x + 解析 y=sin 2x+cos 2x= 2sin 4? ? 向左平移 π? π? ? ? -------→y= 2sin 2 x+4 + π ? 4? ? ? 个单位 4 π π? ? = 2sin 2x+4+2 ? ? π = 2cos?2x+4 ? ? ? =cos 2x-sin 2x. 答案 B
倒计时

4、教你审题

三角函数求值中的变角问题

π? 4 ? α + 【典例 44 】 (2012· 江苏卷)设 α 为锐角,若 cos 典例 ? 6?=5,则 π? ? 2 α + sin 12?的值为________. ?
一审条件:cos ? ? ?

审 题

π? 4 ? ? ? , ? 为锐角, 6? 5 ? π? ? 二审问题:sin ? 2? ? ? ?? 12 ? ? π π π π? π ? 三找关系:2? ? ? 2? ? ? ? 2? ? ? ? ? ,解题变得明朗化! 12 3 4 6? 4 ?
π? ? π? ? α + α + = 2sin ? 6?cos? 6? π 2 - ?2cos2?α+6 ?-1? 2? ? ? ? 3 4 2? ?4?2 = 2× × - 2× 5 -1? 5 5 2? ? ? ? 12 2 7 2 17 2 = - = . 25 50 50 17 2 [答案] 50

π 4 [解析] ∵α 为锐角且 cos?α+6?= , ? ? 5 π? 3 π ?π 2π? ? , α + ∴α+ ∈ 6 3 ,∴sin 6 ? ? ? 6?=5. π π π ∴sin?2α+12?=sin?2?α+ 6?- ? ? 4? ? ? ? ? π? π? π π ? ? α + α + =sin 2 cos - cos 2 sin 4 4 ? 6? ? 6?

4、教你审题

三角函数求值中的变角问题

π? 4 ? α + 【典例 4 】 (2012· 江苏卷 ) 设 α 为锐角,若 cos 典例4 ? 6?=5,则 π sin?2α+12?的值为________. ? ?

解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系,通过适当地拆角、 α+β ? β? ?α 凑角来利用所给条件.常见的变角技巧有: = α-2 - 2 -β?;α 2 ? ? ? ? π π ?π =(α-β)+β 等; +φ= - 4-α?;15° -45° -30° 等. 4 2 ? ?

4、教你审题

三角函数求值中的变角问题

π 1 1 【自主体验 4】已知 cos α= ,cos(α+β)=- ,且 α,β∈?0,2 ?,则 cos(α-β) 3 3 ? ? 的值为________.

π? 1 ? 解析 ∵cos α= ,α∈ 0,2 , 3 ? ? 2 2 4 2 7 ∴sin α= ,∴sin 2α= ,cos 2α=- . 3 9 9

倒计时

1 2 2 又 cos(α+β)=- ,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)= . 3 3 ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)] =cos 2αcos(α+β)+sin 2αsin(α+β) 7 ? 1? 4 2 2 2 23 - =?-9?× ? ? ? 3?+ 9 × 3 =27. 答案 23 27


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