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北京师范大学附属中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试题含解析

时间:2015-02-14

2015 届北师大附中高三上期中考试理数试卷
一、选择题(10 小题,每小题 5 分,共 50 分.请将答案填入第Ⅱ卷选择题的答案表中. ) 1、若集合 A ? x y ? 2 x ,集合 B ? x y ? x ,则 A. ? 0, ?? ? B. ?1,?? ? C. ?0,?? ?

?

?

?

?

A? B ?





D. ?? ?,?? ?

2、下列有关命题的说法中错误的是 ( ) 2 A.对于命题 P : ? x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 均有 x2 ? x ? 1 ? 0 B. “ x ? 1 ”是“ x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 C.命题“若“ x2 ? 3x ? 2 ? 0 ” ,则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 ,则 x2 ? 3 x ? 2 ? 0 ” D.若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题 3、曲线 y ? x ? 1 在点 (?1, 0) 处的切线方程为( ) A. 3 x ? y ? 3 ? 0 B. 3 x ? y ? 3 ? 0 C. 3 x ? y ? 0
3

D. 3 x ? y ? 3 ? 0

4、若 sin 2t ? A.

? 2? C. D. ? 3 2 5、已知 a ? 6, b ? 3, a ? b ? ?12 ,则向量 a 在 b 方向上的投影为(
B. A. ?4 B. 4 C. ?2 D. 2 6、设 x, y ? R,向量 a ? ( x,1), b ? (1, y), c ? (2, ?4) 且 a ? c, b // c ,则 A. 5 B. 2 5 ) B、x= C. 10 D.10

? 3

,则 t=( ? cos xdx ,其中 t∈(0,π )
0

t

)



a ?b = (

)

7、如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点, OP =x OA +y OB , 且 BP =2 PA ,则(

2 1 A、x= ,y= 3 3

1 2 ,y= 3 3

C、x=

1 3 ,y= 4 4

D、x=

8、函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0,| ? |?

?

3 1 ,y= 4 4

2 所示,为了得到 g ( x) ? sin 2 x 的图像,则只要将 f ( x) 的图像(

)的图象如图 )

? 个单位长度 6 ? C.向左平移 个单位长度 6
A.向右平移

? 个单位长度 12 ? D.向左平移 个单位长度 12
B.向右平移

9、如图,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以 40 km/h 的速度由 A 处出发, 沿北偏东 60°方向进行海面巡逻,当航行半小时到达 B 处时,发现北 偏西 45°方向有一艘船 C,若船 C 位于 A 的北偏东 30°方向上, 则缉私艇所在的 B 处与船 C 的距离是( ) km A、5( 6 + 2 ) B、5( 6 - 2 ) C、10( 6 - 2 ) D、10( 6 + 2 ) 10、若函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? 1 ? 1]上,

1 ,当 x∈[0,1]时, f ( x) ? x ,若在区间(-1, f ( x ? 1)
)

g ( x) ? f ( x) ? mx ? 2m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是( 1 1 1 1 A、0<m≤ B、0<m< C、 <m≤l D、 <m<1 3 3 3 3
二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)

1

11、若 sin ? ? cos ? ?

1 ,则 sin 2? 的值是 2
2

. rad.

12、若扇形的周长是 8cm,面积 4cm ,则扇形的圆心角为

4? 4? 13、已知函数 f ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( , 2? ) 上单调递减, 6 3 3 则? ? 14 、 已 知 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 6) ? f ( x) ? 0 , 函 数 y ? f ( x ? 1) 关 于 点 (1,0) 对 称 , f (2) ? 4 ,则 f (2014 ) ? _________. 15、 设 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 D ,若 函 数 y ? f ( x) 满 足 下 列 两 个 条 件 ,则 称 y ? f ( x)

?

在 定 义 域 D 上 是 闭 函 数 . ① y ? f ( x ) 在 D 上 是 单 调 函 数 ; ② 存 在 区 间 ? a, b ? ? D , 使 f ( x ) 在 ? a, b ? 上 值 域 为 ? a, b ? . 如 果 函 数 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? k 为 闭 函 数 , 则 k 的 取 值 范 围 是 _______ 三、解答题(共 75 分) 16、已知 | | a ? 4,|b| ? 3,(2a-3b) ? (2a ? b) ? 61,

| a?b | (1)求 a ? b 的值; (2)求 a与b 的夹角 ? ; (3)求 的值.

17、已知 a ? (sin x,1) , b ? (cos x, ? ) ,若 f ( x) ? a ? (a ? b) ,求: (1) f ( x ) 的最小正周期及对称轴方程. (3)当 x ? [0, (2) f ( x ) 的单调递增区间.

1 2

?
2

] 时,函数 f ( x) 的值域.

18、在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ?

? . 3

(1)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (2)若 sin B ? 2 sin A ,求 △ ABC 的面积.

2

19、某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地,已知轮船的最大航行速度为 60 海里/小时, 甲地至乙地之间的海上航行距离为 600 海里,每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成, 轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比,比例系数为 0.5,其它费用为每小时 1250 元. (1)请把全程运输成本 y (元)表示为速度 x (海里/小时)的函数,并指明定义域; (2)为使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?

x 20、已知函数 f ( x) ? ?( x ? 2)( x ? m) (其中 m ? ?2 ) . g ( x) ? 2 ? 2 .

(1) 命题 p : f ( x) ? 0 , 命题 q : g ( x) ? 0 , 若 p 是 q 的充分非必要条件, 求 m 的取值范围; (2)设命题 p :?x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ;命题 q :?x ? (?1,0) , f ( x) ? g ( x) ? 0 . 若 p ? q 是真命题,求 m 的取值范围.

21、设函数 f ( x ) 定义在 (0, ?? ) 上, f (1) ? 0 ,导函数 f ?( x) ? (Ⅰ)求 g ( x) 的单调区间和最小值;

1 , g ( x) ? f ( x) ? f ?( x). x

3

(Ⅱ)讨论 g ( x) 与 g ( ) 的大小关系; (Ⅲ)是否存在 x0 ? 0 ,使得 g ( x ) ? g ( x0 ) ? 值范围;若不存在,请说明理由.

1 x

1 对任意 x ? 0 成立?若存在,求出 x0 的取 x

2015 届北师大附中高三年开学考试理数试卷
一、选择题 1、C 【解析】因为 A ? x y ? 2

?

x

? ? R, B ? ?x y ? x? ? ?x x ? 0?
4

所以 A

B?R

? x x ? 0? ? ? x x ? 0? ,故选 C.

2、 D 【解析】 对于命题 P : 使得 x2 ? x ? 1 ? 0 , 则 ?p : ?x ? R, 均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ? x? R, 故 A 为真命题; “ x ? 1 ”是“ x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件故 B 为 真 命 题 ; 命题“若“ x2 ? 3x ? 2 ? 0 ” ,则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 ,则 x2 ? 3 x ? 2 ? 0 ” 故 C 为 真 命 题 ; 若 p ? q 为 假 命 题 , 则 p, q 存 在 至 少 一 个 假 命 题 , 但 p, q 不 一 定 均为假命题,故 D 为假命题; 3、B 【解析】? y ? x3 ? 1,? y ' ? 3x 2 ,? y ' | x ?1 ? 3 ,? 曲线 y ? x ? 1 在点 (?1, 0) 处的
3

切线的斜率 k ? 3 ,? 切线方程为 3 x ? y ? 3 ? 0 . 4、C 【解析】

1 2? ?c o s t ? ? ?t ? .故选 C. 2 3 a ? b ?12 5、A 【解析】向量 a 在 b 方向上的投影为 a cos ? ? ? ? ?4 ,故选择 A. 3 b
所以? sin 2t ? ? sin t ? 2 cos t ? ?1 6、C 【解析】 a ? c ? 2 x ? 1? ? ?4 ? ? 0 ? x ? 2 ; b / / c ? 1? ? ?4 ? ? 2 y ? 0 ? y ? ?2 . 则 a ? ? 2,1? , b ? ?1, ?2 ? ? a ? b ? ? 3, ?1? ,所以 a ? b ? 32 ? ? ?1? ? 10 .故 C 正确.
2

sin 2t ? ? cos xdx ? ? sin x |t0 ? ? sin t 且 t∈(0,π ) ,
0

t

7、A 【解析】由题可知 OP = OB + BP ,又 BP =2 PA ,所以 OP = OB + +

2 BA = OB 3

2 2 1 2 1 ( OA - OB )= OA + OB ,所以 x= ,y= ,故选 A. 3 3 3 3 3 2? 7 ? ? ? ? ?? ? ? 2 ,由于 ? ,0 ? 为五 8、A 【解析】由图可知, A ? 1, T ? 4? ? ? ? ? ,故 ? ? T ?3 ? ? 12 3 ? ? ? ?? ? 点作图的第三点,? 2 ? ? ? ? ? ,解得 ? ? ,所以 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ,将函数 f ( x) 3 3 3? ? ? ? ? ?? ?? 的图象向右平移 个单位长度 得 y ? sin ?2? x ? ? ? ? ? sin 2 x ? g ?x ? ,故答案为 A. 6 6 ? 3? ? ?
9、C【解析】由题意,知∠BAC=60°-30°=30°,∠ABC=30°+45°=75°, ∠ACB=180°-75°-30°=75°,∴AC=AB=40×
2 2 2 2 2

1 =20(km).由余弦定理, 2

得 BC =AC +AB -2AC·AB·cos∠BAC=20 +20 -2×20×20×cos30° =800-400 3 =400(2- 3 ), ∴BC= 400 2 ? 3 = 200

?

?

?

3 ? 1 =10 2 ( 3 -1)=10( 6 - 2 )(km).

?

2

10、A 【解析】 g ( x) ? f ( x) ? mx ? 2m 有两个零点, 即曲线 y ? f ( x), y ? mx ? 2m 有两个交点.令 x ? (?1, 0) ,则 x ? 1? (0,1) ,

1 1 ? x ? 1, f ( x) ? ?1 . 在 同 一 坐 标 系 中 , 画 出 f ( x) ? 1 x ?1 :直线 y ? mx ? 2m 过定点 (?2, 0) , y ? f ( x), y ? mx ? 2m 的图象(如图所示) 1 ? (?1) 1 , 即0 ? m ? ,选 A . 所以, m 满足 0 ? m ? 3 1 ? (?2)
所 以

f ( x ? 1) ?

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
5

3 【解析】 4 1 1 1 3 2 由 sin ? ? cos ? ? ,得: ? sin ? ? cos ? ? ? ? 1 ? 2sin ? cos ? ? ? sin 2? ? ? 2 4 4 4 ? ?2R ? R? ? 8 ?? ? 2 12、2【解析】设扇形的圆心角为 ? ,半径为 R ,则 ? 1 ?? 2 ? R ? 4 ?R ? 2 ? ?2 1 ? 4? 13 、 【解析】 解析:因为函数 f ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0) 在 (0, ) 上单调递增 , 在 2 6 3 4? ? 4? ? 上 单 调 递 减 , 所 以 ( , 2? ) f? ? ?1 , 所 以 3 ? 3 ? 4? ? ? 3k 1 1 4? 经检验 ? ? 时, f ( x) 在 (0, ?? ? ? 2 k? ? ? ? ? ? ,k ?Z , ) 上单调递 3 6 2 2 2 2 3 4? 1 增,在 ( , 2? ) 上单调递减.所以 ? ? . 3 2 ? f ?x ? 12? ? f ??x ? 6? ? 6? ? ? f ?x ? 6? ? f ?x? , 14、?4 【解析】 由于 f ?x ? ? ? f ?x ? 6? , 故函数的周期为 12,把函数 y ? f ?x ? 的图象向右平移 1 个单位,得 y ? f ?x ? 1? ,因此 y ? f ?x ? 的 图 象 关 于 ?0,0? 对 称 , 为 奇 函 数 , ? f ?2014? ? f ?167?12 ? 10? ? f ?10? ? f ?10 ?12? ? f ?? 2? ? ? f ?2? ? ?4 ,
11、 ? 15、

三、解答题(共 75 分) 16、 【解析】 (1)由 | | a ? 4,|b| ? 3,(2a-3b) ? (2a ? b) ? 61得: a ? b = (2) 由 a ? b =
2

-6 。

-6 且 | | a ? 4,|b| ? 3. 得 cos ? ? ?
2

1 2

所以 ? =

2? 。 3

| a?b | (3) = a ? 2a ? b ? b ? 16 ? 12 ? 9 ? 13 17、 【解析】 (1)
1 3 a ? (sin x,1) , b ? (cos x, ? ) ,? a ? b ? (sin x ? cos x, ) 2 2

6

? f ( x) ? a ? (a ? b) ? sin x(sin x ? cos x) ?

3 3 ? sin 2 x ? sin x cos x ? 2 2 1 ? cos 2 x 1 3 1 2 ? ? ? sin 2 x ? ? 2 ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 2 4 2? 2? ? ? ? ? ? ,令 2 x ? ? ? k? (k ? Z ) , 所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? w 2 4 2 ? k? ? k? (k ? Z ) ,所以函数 f ( x) 对称轴方程为 x ? ? (k ? Z ) 解得 x ? ? 8 2 8 2 2 ? ( 2 ) 因 为 f ( x) ? 2 ? sin(2 x ? ) , 所 以 函 数 f ( x) 的 单 调 增 区 间 为 函 数 2 4 ? ? ? 3? y ? sin(2 x ? ) 的 单 调 减 区 间 , 令 ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2 k? ( k ? Z ) , 即 得 4 2 4 2 ? 5? ? 5? ? k? ? x ? ? k? ( k ? Z ) , ? k? ](k ? Z ) 所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 [ ? k? , 8 8 8 8 ? ? 5? 2 ? 5? ] ,所以原式化为 f (t ) ? 2 ? (3)令 2 x ? ? t ? [ , sin t ( ? t ? ) , 4 4 4 2 4 4 ? 5? 2 2 5 ] ,所以 ? 当 t ?[ , ? sin t ? 1 ,即得 2 ? ? f (t ) ? , 4 4 2 2 2 ? 2 5 所以函数 f ( x ) 在区间 [0, ] 的值域为 [2 ? , ]. 2 2 2 2 2 18、 【解析】 (Ⅰ)由余弦定理得, a ? b ? ab ? 4 , 1 ab sin C ? 3 3 △ ABC 2 又因为 的面积等于 ,所以 ,得 ab ? 4 .

?a 2 ? b2 ? ab ? 4, ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . (Ⅱ)由正弦定理,已知条件化为 b ? 2a ,
?a 2 ? b2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 ? a? b? b ? 2 a , 3 , 3 . 联立方程组 ? 解得 1 2 3 S ? ab sin C ? 2 3 . 所以 △ ABC 的面积
考点:正弦定理,余弦定理,三角形面积公式. 19、 【解析】 (1)由题意得: y ? 600 (1250 ? 0.5 x 2 ) ? 750000 ? 300 x ,即: x x 750000 y? ? 300 x (0 ? x ? 60) x (2)由(1)知, y ' ? ? 750000 . ? 300, 令 y ' ? 0 ,解得 x ? 50 ,或 x ? ?50 (舍去) x2 当 0 ? x ? 50 时, y ' ? 0 ,当 50 ? x ? 60 时, y ' ? 0 , 因此,函数 y ? 750000 ? 300 x , x 在 x ? 50 处取得极小值,也是最小值.故为使全程运输成本最小,轮船应以 50 海里/小时 的速度行驶.
20、 【解析】 (1)略 (2)因为 p ? q 是真命题,则

p 和 q 都为真命题.
7

法一:因为

p 是真命题,则 g ( x) ? 0 的解集的补

集是

f ( x) ? 0 解集的子集; q 是真命题,则 f ( x) ? 0 的解集与 (?1, 0) 的交集非空.
x

? 2 ? 0 ,则 x ? 1 .又∵ ?x ? R , g ( x) ? 0 或 f ( x) ? 0 , ∴ [1, ??) 是 f ( x) ? 0 的解集的子集.又由 f ( x) ? ?( x ? 2)( x ? m) ? 0 (其中 m ? ?2 ), x 解得得 x ? ?2 或 x ? m , 因此 m ? 1 .②∵当 x ? (?1, 0) 时, g ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,∴问题转化为 ?x ? (?1,0) , 使 得 f ( x) ? 0 , 即 f ( x) ? 0 的 解 集 与 (?1, 0) 的 交 集 非 空 . 即 (?2, m) (?1, 0) ? ? ,则 m ? ?1 , 综合①②可知满足条件的 m 的取值范围是 ?1 ? m ? 1
①若 g ( x) ? 2 法二:当 x

? 1 时, g ( x) ? 2x ? 2 ? 0 ,因为 p 是真命题,则 f ( x) ? 0 ,

? f (1) ? ?(1 ? 2)(1 ? m) ? 0 ,即 m ? 1 ,当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 2x ? 2 ? 0 ,因为 q 是真命 题,则 ?x ? (?1,0) ,使 f ( x) ? 0 ,? f (?1) ? ?(?1 ? 2)(?1 ? m) ? 0 ,即 m ? ?1
综上所述, ?1 ?

m ?1.

21、 【解析】 (Ⅰ) 由题知

f ( x) ? ln x , g ( x) ? ln x ?

当 x ? (0,1) 时, g '( x) ? 0 ,故(0,1)是 g ( x ) 的单调减区间, 因此, x

1 x ?1 , ? g '( x ) ? 2 ,令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 , x x

当 x ? (1, ??) 时, g '( x) ? 0 ,故 (1, ??) 是 g ( x ) 的单调增区间,

? 1 是 g ( x) 的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为 g (1) ? 1 .
2

(Ⅱ) g ( 1 ) ? ? ln x ? x ,设 h( x) ? g ( x) ? g ( 1 ) ? 2 ln x ? x ? 1 ,则 h '( x) ? ? ( x ? 1) , x x x x2

1 ? 1 时, h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ) ,当 x ? (0,1) ? (1, ??) 时 h '( x) ? 0 , h '(1) ? 0 , x 1 因此, h( x) 在 (0, ??) 内单调递减,当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ) , x 1 当 x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ) .
当x (Ⅲ)满足条件的 x0 不存在.证明如下: 证法一 假设存在 x0
x

?0

,使 | g ( x ) ? g ( x ) |? 1 对任意 x 0 x

?0

成立,即对任意 x

? 0,

有 Inx ? g ( x ) ? Inx ? 2 (*) 但对上述 x0 ,取 x1 0 x 等式矛盾,因此,不存在 x0 证法二 假设存在 x0
g ( x0 )

? eg ( x0 ) 时,有 Inx1 ? g ( x0 ) ,这与(*)左边不
1 对任意 x ? 0 成立。 x

?0

,使 | g ( x ) ? g ( x0 ) |?

? 0 ,使 | g ( x) ? g ( x0 ) |?
的最小值为

1 x

对任意的 x

? 0 成立。

由(Ⅰ)知, e

g ( x) ? 1 。

又 g ( x) ? Inx ?

(0, ??) , ∴ x ? 1 时, g ( x )
即 g ( x1 )

1 ? I nx ,而 x ? 1 时, Inx 的值域为 x

的值域为 [1, ??) ,从而可取一个 x1

? 1 ,使 g ( x1 ) ? g ( x0 ) ? 1 ,

? g ( x0 ) ? 1 ,故 | g ( x1 ) ? g ( x0 ) |? 1 ?

1 ,与假设矛盾。 x1

∴ 不存在 x0

?0

,使 | g ( x ) ? g ( x0 ) |?

1 对任意 x ? 0 成立。 x

8


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北京师范大学附属中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试卷(含解析) - 2

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北京师范大学附属中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试卷(含解析) - 2