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必修1 第二章 基本初等函数基本题型分类

时间:2018-07-01


必修 1 第二章 基本初等函数(Ⅰ)基本题型分类 题型一:指数与指数幂的运算和对数与对数的运算 (一)化简求值: 1.化简 3 (1 ? 1.解: 3 (1 ? 2.化简 4 2.解: 4
2 ?1

2 ) 3 ? 4 (1 ? 2 ) 4 ?



2 ) 3 ? 4 (1 ? 2 ) 4 ? (1 ? 2 ) ? ( 2 ? 1) ? 2 2 .

?2

3? 2 2

? 64

?

2 3

?


2( 2 ?1)

2 ?1

?2

3? 2 2

? 64

?

2 3

?2
1

?2

( 2 ?1) 2

? (2 )
6

?

2 3

? 22

2 ? 2?( 2 ?1) 2 ?4

?1.

1

3.化简

a ?b a ?b a ?b a ?b
1 2 1 2 1 2 1 2

?

a ? b ? 2a 2 b 2 a ?b
1 2 1 2

?



1

1

1

1

3.解:

?

a ? b ? 2a 2 b 2 a ?b
1 2 1 2

? a ?b ?

1 2

1 2

(a 2 ? b 2 ) 2 a ?b
1 2 1 2

? 0.

(二)含附加条件的幂的求值 4.已知 a ? a
2 ?2 ?1

? 5 ,求下列各式的值.
1 2 ? 1 2

(1) a ? a ;(2) a ? a 4.解:(1)由 a ? a
1
?1



? 5 两边平方得: a 2 ? 2aa?1 ? a ?2 ? 25 ,即 a 2 ? a ?2 ? 23 .
1 ? 1 2

(2) (a 2 ? a

?

1 2 2

) ? a ? a ?1 ? 2 ? 5 ? 2 ? 3 ,∴ a 2 ? a

?? 3.

题型二:指数函数、对数函数、幂函数的定义 5.(1)下列以 x 为自变量的函数,其中为指数函数的是( ) A. y ? (?5)
x

B. y ? e (e ? 2.71828)
x 2 x

C. y ? ?5 )

x

D. y ? ?

x?2

(2)如果函数 (a ? 3a ? 3)a 是指数函数,则有( A. a ? 1或a ? 2 B. a ? 1

C. a ? 2

D. a ? 0且a ? 1

x 5.解:(1)B;(2)C;由指数函数的三大特征:① a 的系数为 1;②底数 a ? 0, 且 a ? 1 的常数;③指数位置上仅有自

变量 x . 【规律总结】 ①系数为 1;②底数为大于 0 且不等于 1 的常数; ③指数函数的指数仅有自变量 x . 6.函数 f ( x) ? (a 2 ? a ? 1) log( a?1) x 是对数函数,则实数 a

?



?a 2 ? a ? 1 ? 1 6.解: ? 解得: a ? 1 . ?a ? 1 ? 0
【规律总结】 判断一个函数是否为对数函数的方法:
1

判断一个函数是对数函数必须是形如 y ? loga x(a ? 0, 且 a ? 1) 的形式,即必须满足以下条件: 7. 函数 f ( x) ? (m2 ? m ? 1) x m
2
2

?m?3

是幂函数, 且当 x ? (0,??) 时,f ( x) 是增函数, 则 f ( x) 的解析式为
m2 ?m?3
2 ? ?m ? m ? 1 ? 1 是幂函数,所以 ? 2 解得: m ? 2 ; f ( x) ? x 3 . ? ?m ? m ? 3 ? 0



7.解:因为函数 f ( x) ? (m ? m ? 1) x

【规律总结】 由幂函数的特征:①指数 ? 为常数;②底数为自变量;③系数为 1. 题型三:指数函数、对数函数、幂函数的图象 8.(1)函数 y ? a x?3 ? 3(a ? 0, 且a ? 1) 的图象过定点 .

8.解:(1)令 x ? 3 ? 0 , x ? 3 , y ? 4 ,所以函数 y ? a x?3 ? 3(a ? 0, 且a ? 1) 的图象过定点 ( 3,4) . 【归纳总结】 :函数 y ? a f ( x ) ? m 恒过定点问题,令 f ( x) ? 0 解出 x ,则定点为 ( x,1 ? m) . (2)如图是指数函数(1) y ? a ,(2) y ? b ,(3) y ? c ,(4) y ? d 的图象,
x x x x

则 a, b, c, d 与 1 的大小关系为( A. a ? b ? 1 ? c ? d C. 1 ? a ? b ? c ? d



B. b ? a ? 1 ? d ? c D. a ? b ? 1 ? d ? c

(2)令 x ? 1 ,这时各自的函数值就是它们的底数,从而大小显而易见;答案:B. 9.(1)函数

y ? loga ( x ? 1) ? 2(a ? 0, 且 a ? 1) 的图象恒过点



(2)如图所示的曲线是对数函数 y ? loga x , y ? logb x , y ? logc x ,

y ? logd x 图象,则 a, b, c, d 与 1 的大小关系为



1

9.解:(1)令 x ? 1 ? 1 , x ? 0 ,所以函数 【规律总结】 对数函数恒过定点问题 (1)求函数 y

y ? loga ( x ? 1) ? 2(a ? 0, 且 a ? 1) 的图象恒过点 (0,?2)

? m ? loga f ( x)(a ? 0, 且 a ? 1) 的图象过的定点时,只需令 f ( x) ? 1 求出 x ,即得定点为 ( x, m) .

(2)令 y ? 1 ,这时各自的真数就是它们的底数,从而大小显而易见;答案: b ? a ? 1 ? d ? c ? 0 .
n 10. 如图所示, 曲线是幂函数 y ? x 在第一象限内的图象, 已知 n 分别取 ? 1,1, ,2 四个值, 相应于曲线 C1 , C2 , C3 , C4

1 2

2

的 n 依次为(



A, ? 1, ,1,2

1 2

B. 2,1,

1 , ?1 2

C.

1 ,1,2,?1 2

D. 2,1,?1,

1 2

10.解:由幂函数的性质得:答案:D. 题型四:指数函数、对数函数、幂函数的性质 (一)比较大小 (1)已知 a ? 0.80.7 , b ? 0.80.9 , c ? 1.20.8 ,则 a, b, c 的大小关系是( )

(A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C) c ? b ? a (D) c ? a ? b (1)解:D 【规律总结】 : 1.底数相同,指数不同,利用指数函数的单调性解决; 2.底数不同,指数相同,利用指数函数的图象解决;在同一个平面直角坐标系中画出各个函数的图象,依据底数 a 对指 数函数图象的影响,按照逆时针方向观察,底数在逐渐增大,然后观察指数函数所取值对应的函数值即可. 3.底数不同,指数也不同:采用中间量法.取中间量 1,其中一个大于 1,另一个小于 1;或以其中一个指数式的底数 为底数,以另一个指数式的指数为指数.比如要比较 a 与 b 的大小,可取 a 或 b 为中间量, a 与 a 利用函数的单 调性比较大小, b 与 a 利用函数的图象比较大小. (2)已知 a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( )
d d c d d c c d

A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b (2)解:B 【规律总结】 : 1.若底数为同一常数,则可根据对数函数的单调性直接进行比较; 2.若底数为同一字母,则可根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论; 3.若底数不同,真数相同,则可以根据对数函数的图象进行比较; 4.若底数和真数均不相同,则常借助 1,0 等中间值进行比较. (3)设 a ? ( ) 5 , b ? ( ) 5 , c ? ( ) 5 ,则 a, b, c 的大小关系是(

3 5

2

2 5

3

2 5

2



A. a ? c ? b B. a ? b ? c C. c ? a ? b D. b ? c ? a (3)解:A 【规律总结】 : 1. 若指数相同,底数不同,则考虑幂函数; 2. 若指数不同,底数相同,则考虑指数函数; 3. 若指数与底数都不相同,则考虑取中间量法;取中间量 1,其中一个大于 1,另一个小于 1;或以其中一个指数式 的底数为底数,以另一个指数式的指数为指数.比如要比较 a 与 b 的大小,可取 a 或 b 为中间量, a 与 a 利 用函数的单调性比较大小, b 与 a 利用函数的图象比较大小. (二)求函数值域或最值 11.求函数 y ? ( ) ? ( ) ? 1 在 [?3,2] 上的值域.
x x

c

d

d

c

c

d

d

d

1 4
x

1 2
x

11.解: y ? ( ) ? ( ) ? 1 ? ( ) 设 t ? ( ) ,∵ x ? [?3,2] ?
x

1 4

1 2

1 2

2x

1 ? ( )x ? 1 2

1 2

1 ?t ?8, 4
3

3 1 1 1 ,所以函数 y ? g (t ) 在 t ? [ , ] 上单调递减,在 t ? [ ,8] 上单调递增, 4 4 2 2 1 3 1 2 3 ∴当 t ? 时, y min ? ;当 t ? 8 时, y max ? (8 ? ) ? ? 57 ; 4 2 4 2 1 x 1 x 3 所以函数 y ? ( ) ? ( ) ? 1 在 [?3,2] 上的值域为 [ ,57 ] . 4 2 4
∴ y ? g (t ) ? t ? t ? 1 ? (t ? ) ?
2 2

1 2

【规律总结】 求形如:函数 y ? as2 x ? bs x ? c, x ? [m, n] 的值域. 使用“换元法”设 t ? s ,从而原函数 y ? as2 x ? bs x ? c 变为关于 t 的一元二次函数 y ? g (t ) ? at 2 ? bt ? c ;由
x

x ? [m, n] ,求出 t ? s x 的值域 [ p, q ] ,即 t 的范围为 [ p, q ] ,进而转化为求一元二次函数 y ? g (t ) ? at 2 ? bt ? c 在 t ? [ p, q] 上的值域.此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想.
12.求函数 y ? ( )

1 2

x2 ?2 x?3

的值域. 的定义域为 R;设 t ? x 2 ? 2x ? 3 ? ( x ? 1) 2 ? 4 ? ?4 ,所以 y ? ( ) , t ? [ ?4,?? ) ,
t

12.解:函数 y ? ( )

1 2

x2 ?2 x?3

1 2

所以 0 ? y ? 16 ,所求函数 y ? ( ) 【规律总结】 求形如函数 y ? a
f ( x)

1 2

x2 ?2 x?3

的值域为 (0,16] .

的值域.

t 使用“换元法”设 t ? f ( x) ,求出 t ? f ( x) 的值域 [m, n] ,从而转化为 y ? g (t ) ? a 在 t ? [m, n] 的值域(使用指数函

数的单调性) . 13.已知 x 满足不等式 2(log0.5 x) 2 ? 7 log0.5 x ? ?3 ,求函数 f ( x) ? (log 2

x x ) ? (log 2 ) 的最值. 2 4 1 , 2

13.解:由 2(log0.5 x) 2 ? 7 log0.5 x ? ?3 得 (log0.5 x ? 3)(2 log0.5 x ? 1) ? 0 ,则 ? 3 ? log 0.5 x ? ? 即 log0.5 0.5 ?3 ? log0,5 x ? log0.5 0.5 又 f ( x) ? (log 2
? 1 2

,∴ 2 ? x ? 8 ;

x x ) ? (log 2 ) ? (log 2 x ? 1)(log 2 x ? 2) 2 4

? (log2 x) 2 ? 3 log2 x ? 2
令 t ? log2 x ,∵ 2 ? x ? 8 ,∴
2

1 ?t ?3, 2

则 y ? h(t ) ? t ? 3t ? 2, t ? [ ,3] , ∴ y min ? h( ) ? ? 【规律总结】 求形如: x ? [m, n] 时,函数 y ? a(logs x) 2 ? b logs x ? c(s ? 0, s ? 1) 的值域. 使用“换元法”设 t ? logs x ,由 x ? [m, n] ,求出 t ? logs x 值域 [ p, q ] ,即 t 的范围为 [ p, q ] ,进而转化为求一元二 次函数 y ? g (t ) ? at ? bt ? c 在 t ? [ p, q] 上的值域.此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想.
2

1 2

3 2

1 , y max ? h(3) ? 2 . 4

4

14.求函数 y ? log2 ( x 2 ? 2 x ? 2), x ? [2,??) 的值域. 14.解:设 t ? x 2 ? 2 x ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? 1 ,∵ x ? [2,??) ,从而 t ? 2 ,∴ y ? g (t ) ? log2 t , t ? [2,??) , ∴ y ? g (2) ? 1 ,所以函数 y ? log2 ( x 2 ? 2 x ? 2), x ? [2,??) 的值域为 [1,??) . 【规律总结】 求形如函数 y ? loga f ( x), x ? [m, n] 的值域. 使用“换元法”设 t ? f ( x) ,求出 t ? f ( x), x ? [m, n] 的值域 [ p, q ] ,从而转化为求函数 y ? g (t ) ? loga t , t ? [ p, q] 的 值域.此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想. (三)解不等式 15.(1).已知 0.2 ? 25 ,求实数 x 的取值范围.
x

(1).解:∵ 25 ? ( ) (2). 求不等式 a
2 x ?7

1 5

?2

? 0.2 ? 2 ,∴ 0.2 x ? 25 ? 0.2 ?2 ,∴ x ? ?2 ;所以实数 x 的取值范围是 (?2,??) .

? a 4 x?1 (a ? 0 ,且 a ? 1) 中 x 的取值范围.

(2).解:①若 a ? 1 ,则 2 x ? 7 ? 4 x ? 1 ,∴ x ? ?3 ; ②若 0 ? a ? 1 ,则 2 x ? 7 ? 4 x ? 1 ,∴ x ? ?3 ;
2 x ?7 综上,当 a ? 1 时,不等式 a ? a 4 x?1 (a ? 0 ,且 a ? 1) 中 x 的取值范围为 (??,?3) ; 2 x ?7 当 0 ? a ? 1 时,不等式 a ? a 4 x?1 (a ? 0 ,且 a ? 1) 中 x 的取值范围为 (?3,??) .

【规律总结】 1. 形如 a
f ( x)

x ? a g ( x ) 的不等式, 借助于指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 的单调性求解; 如果 a 的值不确定, 需分 a ? 1 与

0 ? a ? 1 两种情况讨论;
x 2.形如 a ? b 的不等式,注意将 b 转化为以 a 底的指数幂的形式,再借助指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) 的单调性求
x

解. 16.解下列不等式 (1). log1 2 x ? log1 (x ? 1) .
3 3

(1)解: log1 2 x ? log1 (x ? 1)
3 3

?2 x ? 0 ? ∴ ? x ? 1 ? 0 解得: x ? 1 ?2 x ? x ? 1 ? 所以不等式 log1 2 x ? log1 (x ? 1) 的解集为 (1,??)
3 3

(2). loga 2 x ? loga (x ? 1) (a>0,a≠1) . (2).解: loga 2 x ? loga (x ? 1)

?2 x ? 0 ? ∴①若 a ? 1 ,则 ? x ? 1 ? 0 解得: x ? ? ; ?2 x ? x ? 1 ?
5

?2 x ? 0 ? ②若 0 ? a ? 1 ,则 ? x ? 1 ? 0 解得: x ? 1 ; ?2 x ? x ? 1 ?
综上,当 a ? 1 时,不等式 loga 2 x ? loga (x ? 1) 的解集为 ? ; 当 0 ? a ? 1 时,不等式 loga 2 x ? loga (x ? 1) 的解集为 (1,??) . 【规律总结】 1.形如 loga x ? loga b 的不等式,可借助指数函数的单调性求解,若底数 a 的值不确定,则需对其分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论. 2.形如 loga x ? b 的不等式,要首先将 b 化为以 a 为底数的对数形式,再进行求解. 3.形如 loga x ? logb x 的形式,可借助对数函数的图象求解. 题型五:复合函数的单调性判断及应用 17.判断函数 f ( x) ? log2 ( x 2 ? 2 x) 的单调性,并指出它的单调区间.
2 17.解:令 x ? 2 x ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2

∴函数 f ( x) ? log2 ( x 2 ? 2 x) 的定义域为 {x | x ? 0 或 x ? 2} , 设 x1 , x2 ? (2,??) ,且 x1 ? x 2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log2 ( x1 ? 2 x1 ) ? log2 ( x2 ? 2 x2 ) ? log2

2

2

x1 ( x1 ? 2) x2 ( x2 ? 2) x1 ( x1 ? 2) ?1 x2 ( x2 ? 2)

∵ x1 , x2 ? (2,??) ,∴ x1 ? 2 ? 0, x2 ? 2 ? 0 ,又∵ x1 ? x 2 ;∴ 0 ?

∴ log2

x1 ( x1 ? 2) ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x2 ( x2 ? 2)
2

函数 f ( x) ? log2 ( x ? 2 x) 在 (2,??) 上单调递增. 同理可证:函数 f ( x) ? log2 ( x ? 2 x) 在 (??,0) 上单调递减.
2

所以函数 f ( x) ? log2 ( x ? 2 x) 的单调递减区间为 (??,0) ;单调递增区间为 (2,??) .
2

【规律总结】 嵌套式复合函数的单调性: “同增异减” . 形如: y ? f ( g ( x)) ,设 t ? g ( x) 为内函数, y ? f (t ) 为外函数;当内函数 t ? g ( x) 和外函数 y ? f (t ) 在定义域内单 调性相同时,此时这个复合函数 y ? f ( g ( x)) 在该定义域上为增函数,即“同增” ; 当内函数 t ? g ( x) 和外函数 y ? f (t ) 在定义域内单调性相异时,此时这个复合函数 y ? f ( g ( x)) 在该定义域上为减函 数,即“异减” . 形如:复合函数 y ? loga f ( x) `,先令 f ( x) ? 0 求出函数的定义域, 当 a ? 1 时,若 f ( x) 在定义域上为增函数,则复合函数 y ? loga f ( x) 在该定义域上为增函数,若 f ( x) 在定义域上为
6

减函数,则复合函数 y ? loga f ( x) 在该定义域上为减函数; 若 0 ? a ? 1 时,若 f ( x) 在定义域上为增函数,则复合函数 y ? loga f ( x) 在该定义域上为减函数,若 f ( x) 在定义域 上为减函数,则复合函数 y ? loga f ( x) 在该定义域上为增函数.

7


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