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专题三 直线和平面的位置关系

时间:2012-05-03


专题三 空间直线和平面 主备:李红娟 1、直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点) ; (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点) ; (3)直线和平面平行(没有公共点)——用两分法进行两次分类. 它们的图形分别可表示为如下,符号分别可表示为 a ? ? , a ? ? ? A , a // ? .
a
a

PO ? ? , O ? ? ? ? 推理模式: PA ? ? ? A ? ? a ? AO . a ? ? , a ? AP ? ?

a
?

?

A
?

注意:⑴三垂线指 PA,PO,AO 都垂直 α 内的直线 a 其实质是:斜线和平面内一 条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑 a 的位置,并注意两定理交替使用 10、三垂线定理及其逆定理的作用:判断空间两条直线垂直的方法 (1)定义 (2)勾股定理及逆定理 相交垂直 (3)等腰三角形底边上的中线 线 (4)菱形的对角线互相垂直 线 (5)直径所对的圆周角
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垂 2、 线面平行的判定定理: 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行. 推理模式: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? . 3、线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个 平面相交,那么这条直线和交线平行. 推理模式: a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b ? a // b . 4 、定义:如果一条直线 l 和一个平面α相交,并且和平面α内的任意一条直线都垂 直, 我们就说直线 l 和平面α互相垂直 其中直线 l 叫做平面的垂线, 平面α叫做直线
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(6) a // b, l ? a ? l ? b (1)定义 异面垂直 (2) a // b, l ? a ? l ? b (3)三垂线定理及其逆定理 (4)线面垂直定理: l ? ? , a ? ? ? l ? a



l 的垂面 交点叫做垂足
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直线 l 与平面α垂直记作:l⊥α

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5、直线与平面垂直的判定定理 1:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那 么另一条也垂直于这个平面。 6、直线与平面垂直的判定定理 2:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂 直,那么这条直线垂直于这个平面 7、直线和平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行 8 、三垂线定理 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么它也和这条斜线垂直 9、三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直, 那么它也和这条斜线的射影垂直
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11、斜线在平面内的射影 (1)概念:点在平面内的射影,垂线段,斜线,斜线段,斜足,斜线在平面内的射 影,斜线段在平面内的射影, (2)射影定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中: ①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长; ②相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长; ③垂线段比任何一条斜线段都短。 (3)直线和平面所成的角 ①斜线和平面所称的角:平面的一条斜线和它在这个平面内射影所成的锐角。 ②一条直线垂直于平面,所成的角为直角;一条直线和平面平行或在平面内,所成 的角为 0 0 的角。 ③斜线和平面所成的角的范围 ?0, ? 2 ④最小角定理 ⑤结论: cos ? ? cos ?1 ? cos ? 2

? ?? ? ?

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12、直线和平面所成的角的求法:依据定义 13、直线在平面内的证法: 证法一:定义 证法二:公理 1 14、直线和平面平行的证法: 证法一: a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? 证法二: ? // ? , a ? ? ? a // ? 15、直线和平面垂直的证法: 证法一:判定 1 证法二:判定 2
a // b, a ? ? ? b ? ? m ? ? , n ? ? , m ? n ? B, l ? m, l ? n ? l ? ?

例 2、如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4,点 D 是 AB 的 中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面 CDB1;

例 3、已知 S 是 ?ABC 所在平面外一点,O 是边 AC 的中点, ?SOA ? ?SOB ? ?SOC , 点 P 是 SA 的中点 S (1) 求证: SO ? 平面ABC (2) 求证: SC∥平面BOP A B P O C

证法三: a // b, a ? ? ? b ? ? 证法四: ? // ? , a ? ? ? a ? ? 证法五:面面垂直的性质 ? ? ? , ? ? ? ? l , a ? ? , a ? l ? a ? ? 证法六:向量法 典型例题 例 1、如图, PA ? 矩形 ABCD 所在的平面, M , N 分别是 AB, PC 的中点, (1)求证: MN // 平面 PAD ; (2)求证: MN ? CD (3)若 ?PDA ?

?

4

,求证: MN ? 平面 PCD

P

例 4、如图在 ?ABC 中,已知 ?ABC ? 900 , SA ? 平面ABC ,点 A 在 SB,SC 上的射 影分别是 M、N S N M A B C

A M B

N D

求证: (1) BC ? 平面SAB (2) AM ? 平面SBC (3) SC ? MN

C

堂清练习 1、如果直线 a∥平面? ,则( ) A、平面 ? 内有且只有一条直线与 a 平行 B、平面 ? 内有无数条直线与 a 平行 C、平面 ? 内不存在与 a 垂直的直线 D、平面 ? 内有且只有一条与 a 垂直的直线 2、下列命题中正确的是( ) A、 a // b, b ? 平面?,则a//? C、 a // ? , b // a, 则b // ? B、 a ? ? , 则a // ? D、 a ? ? , b ? ? , a // b, 则a // ?

有(

) A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 11、在 ?ABC 中, ?ACB ? 90? ,AB=8, ?BAC ? 60? ,PC ? 面 ABC,PC=4,M 是 AB 边上的一动点,则 PM 的最小值为( ) A、 2 7 B、 7 C、 19 D、 5

3、平行于同一个平面的两条直线的位置关系是( ) A、 平行 B、相交 C、异面 D、平行或相交或异面 4、若 a,b 是异面直线,则下列命题中是假命题的是 A、过 b 有一个平面与 a 平行 B、过 b 只有一个平面与 a 平行 C、过 b 有且只有一个平面与 a 平行 D、过 b 不存在与 a 平行的平面 5、下列说法正确的是( ) A、 若直线 l 平行于平面 ? 内的无数条直线,则 l // ? B、若直线 l // 平面?,直线a // ? , 则a // l C、若直线 a 在平面 ? 外,则 a // ? D、若直线 l // 平面? 平面,则平面 ? 内有无数多条直线与 l 平行 6、已知 a、b 为异面直线,过空间一点 o 作与 a、b 均平行的平面( ) A、有无数条 B、由且只有一条 C、不存在 D、不一定存在 7、下列结论中正确的个数是 m ?? ? m ??? n ?? ? ? ? n?? ? a // b ? ? ① ② l ? m ??l ?? ③ ?? l ?? ?? a ?? l?m? b ? a? ? l?n ? l?n ? ? m ? n ? P? ? A、0 B、1 C、2 D、3 8、若线段 AB 的两个端点到平面 ? 的距离相等,则 AB 与 ? 的关系是( ) A、平行 B、相交 C、AB 在 ? 内 D、以上均不正确 9、若 P 是等边三角形 ABC 所在的平面外一点, PA ? PB ? PC ?
2 三角形 ABC 的 3,

12、设三棱锥 P ? ABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影是 H ,给出以下命题: ①若 PA ? BC , PB ? AC ,则 H 是 ?ABC 的垂心 ②若 PA, PB, PC 两两互相垂直,则 H 是 ?ABC 的垂心 ③若 ?ABC ? 90? , H 是 AC 的中点,则 PA ? PB ? PC ④若 PA ? PB ? PC ,则 H 是 ?ABC 的外心 其中正确命题的命题是 13、如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?A1 AB ? ?A1 AC, AB ? AC, A1 A ? A1 B ? a , 侧面 B 1 BCC 1 与底面 ABC 所成的二面角为 120 ? ,E、F 分 别是棱 B1C1、A1 A 的中点 (Ⅰ)求 A1 A 与底面 ABC 所成的角; (Ⅱ)证明 A1 E ∥平面 B1 FC

边长为 1,则 PC 与平面 ABC 所成的角是( ) 0 0 A、30 B、45 C、600 D、900 10、P 为 ? ABC 所在平面外一点,则在 ? PAB 、 ? ABC 、 ? PCA 中,直角三角形最多


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