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广东省汕头市2012届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题

时间:2013-05-14


2012 年汕头市高中教学质量测评(二)

理科数学

2012 年 5 月 5 日

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 1 参 考公式: 棱锥的体积公式 v ? sh ,其中 S 是棱锥体的底面积,h 为棱锥体的高. 3 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 U={1,2,3,4} ,M={x|x2-5x+p=0} ,若 CUM={2,3} ,则实数 p 的 值( ) A.-6 B.-4 C.4 D.6 2.从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取 2 个数,事件 A=“第 1 次取到的是奇数” ,B=“第 2 次取到的是奇数” ,则 P(B|A)=( )

3 2 1 B、 D、 C、 10 2 5 3sin ? ? cos ? 3.已知 tan ? ? ?2 ,那么 的值为( ) sin ? ? cos ? 3 5 A、B、5 3 3 5 C、 D、 5 3
4.某流程图如图所示,现输入 4 个函数, 则可以输出的函数为( )

1 A、 5

开始

输入函数 f(x) 否

f ( x) ? f ( ? x) ? 0
f(x)-f(-x) 是
存在 2 个零点? 否

A、f ( x) ? sin x ? cos x

B、 n x( ? l

1)

是 输出函数 f(x) 结束

C、f ( x) ? x ? 3 x
2

e x ? e? x D、f ( x) ? x e ? ex

5.设 ? an ?1 ?

2

2 1 = ? an ? ,n ? N*, an >0,令 bn ? lg an 则数列 ?bn ? 为( 10



A.公差为正数的等差数列 C.公比为正数的等比数列

B.公差为负数的等差数列 D.公比为负数的等比数 列

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左,右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直 6.已知 F1,F2 是双曲线 a b 线与双曲线交于 A,B 两点,若△ ABF2 为正三角形,则该双曲线的离心率为( )
A 、2 B、 2 C 、 3 D、 3 7.如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC, PA=2AB,则下列结论正确的是 A 、PB⊥AD B、平面 PAB⊥平面 PBC C、直线 BC∥平面 PAE D、直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45° P

结束

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 8. x, 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 设 y 若目标函数 z=ax+by,a>0,b>0) F ( ? x ? 0, y ? 0 ? 2 3 的最大值为 12,则 ? 的最小值为( ) a b 25 8 11 A. B. C. D. 4 3 3 6
[来源:Z,xx,k.Com]

E

D C

A

B

二、填空题: (本大共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡的相应位置. ) (一)必做题(9-13 题) 9、 (

1 ? i 2012 ) = 1? i
6



? 2 x? 20 10、已知 ? 2 ? ? 的展开式中,不含 x 的项是 ,那么的 p 值为 p? 27 ?x
11.某校甲、乙两个班各有 5 名编号为 1、2、3、4、5 的学生进行投篮训练,每人投 10 次, 投中的次数如下表: 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为 s =
2

12.已知直线 y=2x 上一点 p 的横坐标为 a,有两个点 A(-1,1) 、B(3,3) ,使向量 PA 与

??? ?

??? ? PB 的夹角为钝角,则 a 的取值范围是



13.已知函数 f(x)由下表定义 x f(x) 2 5
?
2 0

3 3

1 4

4 5

?

2

sin xdx

若 a0 ? 5 , an?1 ? f (an ) , n ? N ,则 a2012 = (二)选做题(14— 15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知抛物线 C 的参数方程为 ?

? x ? 8t 2

? y ? 8t 为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点,且与圆 ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r>0)相切,则 r=
[来源:Zxxk.Com]

(t 为参数) ,若斜率

15. (几何证明选讲选做题)如图所示的 RT△ ABC 中有边长分别为 a,b,c 的三个正方形, a ? c ? 4 ,则 b= 若 B a b 三.解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须 写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? sin( (1)求 f ( x ) 的最小正周期。 (2)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称,当 x ? ? 0, C c A

?x ?
6 ? 4

) +2 2 cos 2

?x
12

? 2。

y ? g ( x) 的最小值与相应的自变量 x 的值。

? 11? 时,求函数 ? 2? ?

17. (本题满分 12 分)如图,已知 ABCD ? A B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱, 1 (1)证明:平面 ABD1 ? 平面 AAC1 1 (2)当二面角 B1 ? AC1 ? D1 的平面角为 120°时,求四棱锥 A ? A B1C1D1 的体积。 1

A

D C

B

A1 B1 第 17 题图 C1

D1

18. (本题满分 14 分) 某学校某班文娱小组的每位组员唱歌、跳舞至少会一项,已知已知会唱歌的有 2 人,会跳舞 听有 5 人,现从中选 2 人。设 ? 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且 p (? ? 0) ? (1)请你判断该班文娱小组的人数并说明理由; (2)求 ? 的分布列与数学期望。

7 。 10

19. (本题满分 14 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ?

1 (n ? 1)an ,且 an?1 ? ,(n ? 2) . 4 n ? an
[来源:Z*xx*k.Com]

(Ⅰ) 求 a3 , a4 ,猜想 an 的表达式,并加以证明; (Ⅱ) 设 bn ?

an an ?1 an ? an ?1

,求证:对任意的自然数 n ? N * ,都有 b1 ? b2 ? ? ? bn ?

n ; 3

20. (本题满分 14 分) 已知圆 M: ( x ? 5)2 ? y2 ? 36, 定点 N ( 5,0) ,点 P 为圆 M 上的动点,点 Q 在 NP 上,

点 G 在 MP 上,且满足 NP ? 2NQ, GQ?NP ? 0 。 (Ⅰ) 求点 G 的轨迹 C 的方程;

??? ?

???? ???? ??? ? ?

(Ⅱ) 过点(2,0)作直线 l,与曲线 C 交于 A,B 两点,O 是坐标原点,设 OS ? OA ? OB , 是否存在这样的直线 l,使四边形 OASB 的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求 出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由。

??? ?

??? ??? ? ?

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? a ln x, 其中常数 a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; ; (Ⅱ) 当 a ? 4 时,若函数 y ? f ( x) ? m 有三个不同的零点,求 m 的取值范围; (Ⅲ)设定义在 D 上的函数 y ? h( x) 在点 P( x0 , h( x0 )) 处的切线方程为 l : y ? g ( x), 当

h( x ) ? g ( x ) ,请 ? 0 在 D 内恒成立, 则称 P 为函数 y ? h( x) 的“类对称点” x ? x0 你探究当 a ? 4 时,函数 y ? f ( x) 是否存在“类对称点” ,若存在,请最少求出一个“类对

x ? x0 时,若

称点”的横坐标,若不存在,说明理由。

2012 汕头二模理科数学参考答案 一、选择题: 题 号 答 案 二、填空题: 9、 1 , C D D B B D D A 1 2 3 4 5 6 7 8

10、

3



(6 ? 7)2 ? 02 ? 02 ? (8 ? 7)2 ? 02 2 ? , 11、 s ? 5 5
2

1 2、 (0,1) ? (1,2) , 15、 b ? 2

13、

5



14、 2



三、解答题: 16、解: (1) f ( x) ? sin(

? 2 6 4 12 ?x ? ?x ? ?x ? sin cos ? cos sin ? 2 (2 cos 2 ? 1) ----------(1 分) 6 4 6 4 12

?x

?

?

) ? 2 2 cos 2

?x

?

2 ?x 2 ?x ?x (3 sin ? cos ? 2 cos --------------------- 分) 2 6 2 6 6 2 ?x 2 ?x (4 sin ? cos -------------------------------- 分) 2 6 2 6

?

? sin(

?x
6

?

?
4

) -------------------- ---------------------- 5 分) (

?T ?

2?

?

?

2?

?
6

? 12 ---------------------------------------- 分) (6

(2)方法一:由题意知道:

g ( x) ? f (2 ? x) ? sin[ (2 ? x) ? ] ------------------------------------------------(8 分) 6 4 ?x 7? ?x 7? ? sin( ? ? ) ? ? sin( ? ) ----------------------------(9 分) 6 12 6 12 11 7? ?x 7? ? ? x ? [0, ],? ? ? ? ? --------------------------------------------------(10 分) 2 12 6 12 3

?

?

? g ( x) min ? ?

?x 7? ? 11 3 ? , 即 x ? -------------------------------(12 分) , 此时? ? 6 12 3 2 2
11 7 ] 关于 x ? 1 的对称区间 x ? [? ,2] 上函数 f (x) 的最值。 2 2

方法二:可以根据 x ? [0,

17、证明: (1)? AA1 ? 平面 A1 B1C1 D1 , B1 D1 ? 平面 A1 B1C1 D1 --------------(1 分)
源:学_科_网]

[来

A _ B _

D _

? AA1 ? B1 D1 ,又? B1 D1 ? A1C1 ----------------------------------(2 分)
? B1 D1 ? 平面AA1C1 --------------------------------------------------(3 分)
又? B1 D1 ? 平面 AB1 D1

C _

? 平面AB1 D1 ? 平面AA1C1 ---------------------------------------------(5 分)
A1 __ B1 __ 第 17 题图 C1 __ D1 __ (2)方法一:建立如图所示的空间直角坐标系,设 AA1 ? h ,那么

A1 (0,0,0) ; A(0,0, h) ; B1 (1,0,0) ; D1 (0,1,0) ; C1 (1,1,0) ------(6 分)

? AB1 ? (1,0,?h) ;? AD1 ? (0,1,?h) ; B1C1 ? (0,1,0) ; D1C1 ? (1,0,0) -------(7 分)
假设平面 AB1C1 与平面 AD1C1 的法向量分别为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ; n2 ? ( x2 , y 2 , z 2 ) ,那么

n1 ? AB1 ? x1 ? hz1 ? 0, ; n1 ? B1C1 ? x1 ? hz1 ? y1 ? 0 令 z1 ? 1, 则x1 ? h

? n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ? (h,01) -----------------------------------------------------------------(8 分)
同理可以求得: n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) ? (0, h,1) --------------------------------------(9 分)

? n1 ? n2 |?| n1 | ? | n2 || cos ? n1 , n2 ?| |
?1 ? h 2 ? 1 ? h 2 ? 1 ? 1 ,? h 2 ? 1 ? 2, h ? 1 -------------------------------(11 分) 2
[来源:学&科&网]

此时,正四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 是棱长为 1 的正方体,且 四棱锥 A ? A1 B1C1 D1 的体积 V ?

1 1 ? 1 ? 1 ? ------------------------------(12 分) 3 3

方法二:过点 B1 作 B1 H ? AC1 于 H ,连接 D1 H , 容易证得 D1 H ? AC1 ,
0

B1 H = D1 H --------------------------------------(7 分)

所以 ?B1 HD1 ? 120 ,且在 ?B1 HD1 中,由余弦定理可得:

B1 D1 ? B1 H ? D1 H ? 2B1 H ? D1 H ? cos120 ? 2
2 2 2 0

A _ B _ C _

D _

6 所以 B1 H = D1 H = ,又可证得:------------(9 分) 3
H

A1 __ B1 __

D1 __ C1 __

AB1 ? B1C1 ,所以在 RT?AB1C1 ,由等面积法: AB1 ? B1C1 = B1 H ? AC1 ,
即 h ? 1 ?1 ?
2

6 ? h 2 ? 2 ------------(9 分) 3

所以 h ? 1 ,---------------------------------------------(11 分) 此时,正四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 是棱长为 1 的正方体,且 四棱锥 A ? A1 B1C1 D1 的体积 V ?

1 1 ? 1 ? 1 ? -------------------------------------------(12 分) 3 3

18、解法一:(1)设既会唱歌又会跳舞的有 x 人,那么由题意可知: 只会唱歌的有(2-x)人,只会跳舞的有(5-x)人, 文娱队中共有(7-x)人,那么只会一项的人数是(7-2 x)人.--------------------------(3 分) 显然 x 可以取得的值只有 0,1,2 ① 当 x=0 时, ? ? 0 为不可能事件,显然不符合题意-------------------------------(4 分) ② 当 x=1 时, ? ? 0与? ? 1 是对立事件,且 P(? ? 0) ? P(? ? 1) ?
1 1 C1 ? C4 1 7 ? ? 2 3 10 C6

所以 x=1 时不符合题意---------------------------------------------------------------(6 分) ③当 x=2 时, P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ?
1 C3 7 符合题意。----(8 分) ? 2 C5 10

综上可知道:既会唱歌又会跳舞的有 2 人,且文娱队中共有 5 人------ -----------(9 分) (2) ? 的可能取值为 0,1,2 -----------------------------------------------------(10 分)

P(? ? 1) ?

C1 ? C1 3 2 3 ? ,-----------------------------------------------------(11 分) 2 5 C5 C2 1 2 ? ,-----------------------------------------------------(12 分) 2 C5 10
0 1 2

P(? ? 2) ?

?
P ∴ E? ? 0 ?

3 10

3 5

1 10

3 3 1 4 ? 1? ? 2 ? = . -------------------------------(14 分) 10 5 10 5

如果按照下列解法最多给 10 分 解法二:设既会唱歌又会跳舞的有 x 人,则文娱队中共有(7-x)人,那么只会一项的人数 是(7-2 x)人.-------------------------------------------------(2 分 )

(I)∵ P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ?

7 3 ,∴ P (? ? 0) ? .?????(3 分) 10 10



2 C 7?2x (7 ? 2x)(6 ? 2x) 3 3 ? .∴x=2. ? .∴ 2 (7 ? x )(6 ? x ) 10 C 7?x 10

故文娱队共有 5 人.??????????????(5 分) (II) ? 的可能取值为 0,1,2 -----------------------------------------------------(6 分)

P(? ? 1) ?

C1 ? C1 3 2 3 ? ,-----------------------------------------------------(7 分) 2 5 C5 C2 1 2 ? ,-----------------------------------------------------(8 分) 2 C5 10

P(? ? 2) ?

?
P ∴ E? ? 0 ?

0

1

2

3 10

3 5

1 10

3 3 1 4 ? 1? ? 2 ? = . -------------------------------(10 分) 10 5 10 5 1 1 , a4 ? ----------------------(2 分) 7 10
下面利用数学归纳法加以证明:

19、解: (1)容易求得: a 3 ? 故可以猜想 a n ? (i) (ii)

1 ? ,n? N 3n ? 2

显然当 n ? 1,2,3,4 时,结论成立,-----------------(3 分) 假设当 n ? k ; k ? 4 时(也可以 k ? 1 ) ,结论也成立,即

ak ?

1 ? , k ? N --------------------------(4 分) 3k ? 2

那么当 n ? k ? 1 时,由题设与归纳假设可知:

a k ?1

(k ? 1)a k ? ? k ? ak

(k ? 1) ?

1 k ?1 k ?1 3k ? 2 ? ? 2 1 3k ? 2k ? 1 (3k ? 1)(k ? 1) k? ------------(6 分) 3k ? 2

?

1 1 ? 3k ? 1 3(k ? 1) ? 2

? 即当 n ? k ? 1 时,结论也成立,综上,对 ?n ? N , a n ?

1 成立。-------- (7 分) 3n ? 2

(2)

bn ?

a n ? a n ?1 a n ? a n ?1

?

1 1 ? ---(9 分) 1 1 3n ? 2 3n ? 1 ? ? ( 3n ? 1 ? 3n ? 2 ) 1 1 3n ? 1 ? 3n ? 2 3 ? 3n ? 2 3n ? 1

所以

b1 ? b2 ? .......? bn 1 ? {( 4 ? 1) ? ( 7 ? 4 ) ? ( 10 ? 7 ) ? .......? ( 3n ? 1 ? 3n ? 2 )}--------(11 分) 3 1 ? ( 3n ? 1 ? 1) 3
所以只需要证明 ( 3n ? 1 ? 1) ?

1 3

n ? 3n ? 1 ? 3n ? 1 3

? 3n ? 1 ? 3n ? 2 3n ? 1 ? 0 ? 2 3n (显然成立)
所以对任意的自然数 n ? N ,都有 b1 ? b2 ? .......? bn ?
?

n -------(14 分) 3

20、解: (1)

NP ? 2 NQ ? ? ? ? Q 为 PN 的中点且 GQ⊥PN GQ ? PN ? 0? ? ?GQ 为 PN 的中垂线 ? |PG|=|GN|--------------------------------- (3 分) ∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,其长半轴长 a ? 3 ,
半焦距 c ? ∴短半轴长 b=2, ∴点 G 的轨迹方程是 5,

x2 y2 ? ? 1 --------- 分) (6 9 4

(2)因为 OS ? OA ? OB ,所以四边形 OASB 为平行四边形 若存在 l 使得| OS |=| AB |,则四边形 OASB 为矩形? OA ? OB ? 0 ?????(7 分)
?x ? 2 ?x ? 2 ? 若 l 的斜率不存在,直线 l 的方程为 x=2,由 ? 2 2 得? ?x y 2 5 ? 1 ?y ? ? ? ? 4 ?9 3 ?

? OA ? OB ?

16 ? 0, 与OA ? OB ? 0 矛盾,?????(8 分) 9

故 l 的斜率存在,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? y ? k ( x ? 2) ? 由? x 2 y 2 ? (9k 2 ? 4) x 2 ? 36k 2 x ? 36(k 2 ? 1) ? 0 ????????(10 分) ?1 ? ? 4 ?9

36k 2 36(k 2 ? 1) ? x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 9k ? 4 9k 2 ? 4

①?????????(11 分)

y1 y2 ? [k ( x1 ? 2)][k ( x2 ? 2)]
? k 2 [ x1 x2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4] ? ? 20k 2 9k 2 ? 4
② ???? ?????(12 分)

把①、 ②代入 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0得k ? ?

3 ∴存在直线 l : 3x ? 2 y ? 6 ? 0或3x ? 2 y ? 6 ? 0 2

使得四边形 OASB 的对角线相等. ??? ???????? ?????(14 分) 21、 (1)由 f ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? a ln x. 可知,函数定义域为 {x | x ? 0} 且 f ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?

a 2 x 2 ? (a ? 2) x ? a (2 x ? a)( x ? 1) ? ? x x x

a ? 1. 2 a a 当 0 ? x ? 1 及 x ? 时, f ?( x) ? 0 ,当 1 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 2 2 a ? f ( x) 的单调递增区间为 (0,1), ( , ??) ????????????(4 分) 2
? a ? 2.

?

(2)当 a ? 4 时, f ?( x) ? 2 x ?

4 2 x 2 ? 6 x ? 4 2( x ? 1)(x ? 2) ?6 = ? x x x

/ 所以,当 x 变化时, f ( x) , f (x) 的变化情况如下:

x
f / ( x)
f (x)

(0,1)

1

(1,2) — 减函数

2 0

(2,? ?)

+
增函数
2

0

+
增函数

f (x) 取极大值

f (x) 取极小值

所以 f ( x) 极大值 ? f() 1 ? 6 ?1 ? 4 ln1 ? ?5 1 ?

f ( x)极小值 ? f(2) 22 ? 6 ? 2 ? 4 ln 2 ? 4 ln 2 ? 8 ?
函数 f (x) 的图像大致如下:

y

o

x

?5 4 ln 2 ? 8

y?m y?m

所以,由图像,若函数 y ? f ( x) ? m 有三个不同的零点, m ? (?5,4 ln 2 ? 8) (3)由题意:当 a ? 4 时, f ?( x) ? 2 x ?
/

4 ? 6 ,则 x

在点 P 处切线的斜率 k 切 ? f ( x0 ) ? 2 x0 ?

4 ?6 x0

所以 y ? g ( x) ? (2 x0 ?

4 2 ? 6)( x ? x0 ) ? x0 ? 6 x0 ? 4ln x0 x0

? ( 2 x0 ?

4 2 ? 6) x ? x0 ? 4 ln x0 ? 4 x0
4 2 ? 6)( x ? x0 ) ? ( x0 ? 6 x0 ? 4ln x0 ) , x0

令 ? (x)x ? f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? 6 x ? 4ln ? ? (2 x0 ? ? 则 ? ( x0 ) ? 0. ? ?( x) ? 2 x ?

4 4 2 2 2 ? 6 ? (2 x0 ? ? 6) ? 2( x ? x0 )(1 ? ) ? ( x ? x0 )( x0 ? ) x x0 x0 x x0 x

当 x0 ? 2 时,? x 在 ( x0 ,

2 2 ) 上单调递减.? x ? ( x0 , ) 时,? ( x) ? ? ( x0 ) ? 0. 从而有 x0 x0

x ? ( x0 ,

2 ? ( x) ) 时, ?0 x0 x ? x0 2 2 , x0 ) 上单调递减,? x ? ( , x0 ) x0 x0 2 4( x) , x0 ) 时, ? 0. x0 x ? x0

当 x0 ? 2 时, ? x 在 (

? ( x) ? ? ( x0 ) ? 0. 从而有 x ? (

2 ? 在 (0, 2) ? ( 2, ??) 上不存在“类对称点”.当 x0 ? 2 时, ? ?( x) ? ( x ? 2) 2 x

?? ( x) 在 (0, ??) 上是增函数,故

? ( x)
x ? x0

? 0.

x ? 2 是一个类对称点的横坐标. ?(14 分)


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