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高中数学考点公式大全(文科)

时间:2018-06-30


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高中数学公式大全(文科)

9.闭区间上的二次函数的最值

高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系
x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A .

2 二次函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c ( a ? 0 ) 在闭区间 ? p , q ? 上的最值只能在 x ? ?

b 2a

处及区间的两端点处取得,具体如下: (1) a>0 时, x ? ? 当 若 若x ? ?
b 2a
b 2a ? ? p, q?, f x) 则 (
nm i

2.德摩根公式
CU ( A ? B ) ? CU A ? CU B ; CU ( A ? B ) ? CU A ? CU B .

b ? ( ? ,) ( f) x f 2a

xm xm a a

? ( f,) p ) f q ( ?

?;

? ? p , q ? ,则 f ( x ) m ax ? m ax
b 2a

? f ( p ),

f ( q )? , f ( x ) m in ? m in

? f ( p ), f ( q )? .

3.包含关系
A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R

(2)当 a<0 时,若 x ? ? 若x ? ?
b 2a

? ? p , q ? ,则 f ( x ) m in ? m in ? f ( p ), f ( q )? ,

4.容斥原理
card ( A ? B ) ? cardA ? cardB ? card ( A ? B ) card ( A ? B ? C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A ? B ) ? card ( A ? B ) ? card ( B ? C ) ? card ( C ? A ) ? card ( A ? B ? C ) .

? ? p , q ? , f ( x ) m ax ? m ax ? f ( p ), f ( q )? ,f ( x ) m in ? m in ? f ( p ), f ( q )? . 则

5. 集合 { a1 , a 2 , ? , a n } 的子集个数共有 2 个;非空的真子集有 2 –2 个.
n

n

个; 真子集有 2 –1 个; 非空子集有 2
2

n

n

–1

10.一元二次方程的实根分布 依据:若 f ( m ) f ( n ) ? 0 ,则方程 f ( x ) ? 0 在区间 ( m , n ) 内至少有一个实根 . 设 f ( x ) ? x 2 ? px ? q ,则 (1)方程 f ( x ) ? 0 在区间 ( m , ?? ) 内有根的充要条件为 f ( m ) ? 0 或 ? ? (2)方程 f ( x ) ? 0 在区间 ( m , n ) 内有根的充要条件为
? f (m ) ? 0 ? f (n) ? 0 ? f (m ) ? 0 ? f (n) ? 0 ? f (m ) f (n) ? 0 或 ? 2 或? 或? ; ? p ? 4q ? 0 ? af ( n ) ? 0 ? af (m ) ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2
? p 2 ? 4q ? 0 (3)方程 f ( x ) ? 0 在区间 ( ? ? , n ) 内有根的充要条件为 f ( m ) ? 0 或 ? p . ? ? ? m ? ? 2
? p 2 ? 4q ? 0 p ? m ?? ? 2

6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) ; (2)顶点式 f ( x ) ? a ( x ? h ) ? k ( a ? 0 ) ;
2



(3)零点式 f ( x ) ? a ( x ? x1 )( x ? x 2 )( a ? 0) . 7.解连不等式 N ? f ( x ) ? M 常有以下转化形式
N ? f ( x ) ? M ? [ f ( x ) ? M ][ f ( x ) ? N ] ? 0

? | f (x) ?
? 1

M ?N 2

|?

M ?N 2

?

f (x) ? N M ? f (x)

?0 ?

1 f (x) ? N

M ?N

.

8.方程 f ( x ) ? 0 在 ( k 1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f ( k 1 ) f ( k 2 ) ? 0 不等价,前者是 后者的一个必要而不是充分条件. 特别地, 方程 ax
2

? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) 有且只有一个实根在 ( k 1 , k 2 ) 内,等
b 2a ? k1 ? k 2 2

价 于 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 , 或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ?
k1 ? k 2 2 ? ? b 2a ? k2 .

, 或 f (k 2 ) ? 0 且

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 ( ?? , ?? ) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? , ? ? ? , ? ? , ?? , ?? ? 不同) 上 含 参 数 的 二 次 不 等 式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为 参 数 ) 恒 成 立 的 充 要 条 件 是
f ( x , t ) m in ? 0 ( x ? L ) .

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(2)在给定区间 ( ?? , ?? ) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x , t ) ? 0 ( t 为参数) 恒成立的充要条件是 f ( x , t ) m an ? 0( x ? L ) . (3) f ( x ) ? ax ? bx
4 2

?a ? 0 ?a ? 0 ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ? b ? 0 或 ? 2 . ? ?b ? 4ac ? 0 ?c ? 0 ?

15.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设 x1 ? x 2 ? ?a , b ?, x1 ? x 2 那么
( x1 ? x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 0
?
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 ? 0 ? f ( x ) 在 ?a , b ?

12.真值表 p q 非p 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 真 13.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于
对所有 x , 成立

p或q 真 真 真 假 反设词 不是 不都是 不大于 不小于
存在某 x , 不成立

p且q 真 假 假 假 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 p 或q
p 且q

上是增函数;
( x1 ? x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 0 ?
? 0 ? f ( x ) 在 ?a , b ? 上

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有 n ? 1 )个 ( 至少有 n ? 1 )个 ( ?p 且?q
?p 或?q

是减函数. (2)设函数 y ? f ( x ) 在某个区间内可导,如果 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数; 如果 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数. 17.如果函数 f ( x ) 和 g ( x ) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x ) ? g ( x ) 也是 减函数; 如果函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x ) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函 数 y ? f [ g ( x )] 是增函数. 18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函 数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对 称,那么这个函数是偶函数. 19.若函数 y ? f ( x ) 是偶函数,则 f ( x ? a ) ? f ( ? x ? a ) ;若函数 y ? f ( x ? a ) 是 偶函数,则 f ( x ? a ) ? f ( ? x ? a ) . 20.对于函数 y ? f ( x ) ( x ? R ), f ( x ? a ) ? f ( b ? x ) 恒成立,则函数 f ( x ) 的对称 轴是函数 x ?
x ? a?b 2 a?b 2

对任何 x , 不成立 14.四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q

存在某 x , 成立

互逆 互 为 逆 为 逆 否 互逆

逆命题 若q则p 互 否

; 两 个 函 数 y ? f ( x ? a ) 与 y ? f (b ? x )

的图象关于直线

对称.
a

逆否命题 若非q则非p

21. 若 f ( x ) ? ? f ( ? x ? a ) , 则 函 数 y ? f ( x ) 的 图 象 关 于 点 ( , 0 ) 对 称 ; 若
2
f ( x ) ? ? f ( x ? a ) ,则函数 y ? f ( x ) 为周期为 2 a 的周期函数.
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n n ?1

22.多项式函数 P ( x ) ? a n x ? a n ?1 x

? ? ? a 0 的奇偶性

多项式函数 P ( x ) 是奇函数 ? P ( x ) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x ) 是偶函数 ? P ( x ) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x ) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? a 对称
? f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ? f (2 a ? x ) ? f ( x ) .

f (0) ? 1, lim

g (x) x

x? 0

?1.

29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x ) ? f ( x ? a ) ,则 f ( x ) 的周期 T=a; (2) f ( x ) ? f ( x ? a ) ? 0 ,或 f ( x ? a ) ? 或 f (x ? a) ? ?
1 f (x)
f ( x ) 的周期 T=2a;
( f ( x ) ? 0) ,或

1 f (x)

( f ( x) ? 0) ,

(2)函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ?

a?b

1 2

对称

?

f ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ? a ), ( f ( x ) ? ? 0,1 ?) ,则
2

2 ? f ( a ? m x ) ? f (b ? m x ) ? f ( a ? b ? m x ) ? f ( m x ) .

24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? f ( ? x ) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f ( m x ? a ) 与函数 y ? f ( b ? m x ) 的图象关于直线 x ? (3)函数 y ? f ( x ) 和 y ? f
?1

(3) f ( x ) ? 1 ? (4) f ( x1 ? x 2 ) ?

1 f (x ? a)

( f ( x ) ? 0 ) ,则 f ( x ) 的周期 T=3a;

a?b 2m

对称.

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 1 ? f ( x1 ) f ( x 2 )

且 f ( a ) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1, 0 ? | x1 ? x 2 |? 2 a ) ,

( x ) 的图象关于直线 y=x 对称.

25.若将函数 y ? f ( x ) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a ) ? b 的 图 象 ; 若 将 曲 线 f ( x, y ) ? 0 的 图 象 右 移 a 、 上 移 b 个 单 位 , 得 到 曲 线
f ( x ? a , y ? b ) ? 0 的图象.

则 f ( x ) 的周期 T=4a; (5) f ( x ) ? f ( x ? a ) ? f ( x ? 2 a ) f ( x ? 3 a ) ? f ( x ? 4 a ) ? f ( x ) f ( x ? a ) f ( x ? 2 a ) f ( x ? 3 a ) f ( x ? 4 a ) , 则 f ( x ) 的周期 T=5a; (6) f ( x ? a ) ? f ( x ) ? f ( x ? a ) ,则 f ( x ) 的周期 T=6a. 30.分数指数幂
m

26.互为反函数的两个函数的关系
f (a ) ? b ? f
?1

(b ) ? a .
1 k [f
?1

(1) a n ?
( x ) ? b ] ,并不是
n

1 a
1
m
m

( a ? 0, m , n ? N ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m , n ? N ,且 n ? 1 ).
?

?

27. 若函数 y ? f ( kx ? b ) 存在反函数,则其反函数为 y ?
y ?[f
?1

( kx ? b ) ,而函数 y ? [ f

?1

( kx ? b ) 是 y ?

1 k

[ f ( x ) ? b ] 的反函数.

(2) a

?

m n

?

a

n

28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x ) ? cx , f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x ) ? a , f ( x ? y ) ? f ( x ) f ( y ), f (1) ? a ? 0 .
x

31.根式的性质 (1) ( n a ) ? a .
n

(3)对数函数 f ( x ) ? log a x , f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ), f ( a ) ? 1( a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x ) ? x , f ( xy ) ? f ( x ) f ( y ), f (1) ? ? .
'

(2)当 n 为奇数时, a ? a ;当 n 为偶数时, a ? | a | ? ?
n n
n n

?a, a ? 0 ??a, a ? 0

.

?

32.有理指数幂的运算性质 (1)
a ?a ? a
r s r s rs r?s

(5)余弦函数 f ( x ) ? cos x ,正弦函数 g ( x ) ? sin x , f ( x ? y ) ? f ( x ) f ( y ) ? g ( x ) g ( y ) ,

( a ? 0, r , s ? Q ) .

(2) ( a ) ? a ( a ? 0, r , s ? Q ) .
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r r r

(3) ( ab ) ? a b ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ) . p 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的 运算性质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式
lo g a N ? b ? a ? N ( a ? 0, a ? 1, N ? 0)
b
.

如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有
y ? N (1 ? p ) .
x

39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系
n ?1 ? s1 , an ? ? ( 数列 { a n } 的前 n 项的和为 s n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ). ? s n ? s n ?1 , n ? 2

34.对数的换底公式
lo g a N ? lo g m N lo g m a

( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). 40.等差数列的通项公式
a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? d n ? a1 ? d ( n ? N ) ;
*

推论 lo g a b ?
n
m

n m

lo g a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m , n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ).

35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则(1) lo g a ( M N ) ? lo g a M ? lo g a N ; (2) lo g a
M N
n

其前 n 项和公式为
sn ? n ( a1 ? a n ) 2
a n ? a1 q
n ?1

? lo g a M ? lo g a N ;
? n log a M ( n ? R ) .
2

? n a1 ?

n ( n ? 1) 2
n *

d ?

d 2

n ? ( a1 ?
2

1 2

d )n .

(3) log a M 36.设函数 f ( x ) ? log
m

41.等比数列的通项公式
? a1 q ? q (n ? N ) ;

( ax

2

? bx ? c )( a ? 0 ) ,记 ? ? b ? 4 ac .若 f ( x ) 的定义域

为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f ( x ) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情 形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 若a ? 0 ,b ? 0 , x ? 0 , x ?
1 1 a a 1 a

其前 n 项的和公式为
? a 1 (1 ? q n ) ? a1 ? a n q ,q ? 1 ,q ? 1 ? ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1

,则函数 y ? lo g a x ( b x )
1

(1)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ? ? ) 上 y ? lo g a x ( b x ) 为增函数.


42.等比差数列 ?a n ? : a n ? 1 ? qa n ? d , a1 ? b ( q ? 0) 的通项公式为
? b ? ( n ? 1) d , q ? 1 ? a n ? ? b q n ? ( d ? b ) q n ?1 ? d ; ,q ? 1 ? q ?1 ?

(2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ? ? ) 上 y ? lo g a x ( b x ) 为减函数.
a

a 1

推论:设 n ? m ? 1 , p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) lo g m ? p ( n ? p ) ? lo g m n . (2) lo g a m lo g a n ? lo g a 38. 平均增长率的问题
2

其前 n 项和公式为
? n b ? n ( n ? 1) d , ( q ? 1) ? n sn ? ? . d 1? q d (b ? ) ? n , ( q ? 1) ? 1? q q ?1 1? q ?

m?n 2

.

43.分期付款(按揭贷款)
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每次还款 x ?

a b (1 ? b )
n

n

(1 ? b ) ? 1

元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ).

sin 2? ? sin ? cos ? .

44.常见三角不等式 ? (1)若 x ? (0, ) ,则 sin x ? x ? tan x .
2

cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? . 2 tan ? tan 2? ? . 2 1 ? tan ?
2 2 2 2

49. 三倍角公式
sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin ? ? 4 sin ? sin (
3

?
3

(2) 若 x ? (0,

) ,则 1 ? sin x ? co s x ? 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1 .

?

? ? ) sin (

?
3

??) .

2.
3

co s 3? ? 4 co s ? ? 3 co s ? ? 4 co s ? co s(

?
3

? ? ) co s(

?
3

?? )

.

45.同角三角函数的基本关系式
sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? =
2 2

sin ? cos ?

, tan ? ? cot? ? 1 .

tan 3? ?

3 tan ? ? tan ?
3

1 ? 3 tan ?
2

? tan ? tan (

?
3

? ? ) tan (

?
3

??).

46.正弦、余弦的诱导公式
? 2 ? ( ? 1) sin ? , sin ( ??) ? ? n ?1 2 ? 2 ? ( ? 1) co s ? ,
n

n?

50.三角函数的周期公式 函数 y ? sin (? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数, (n 为偶数) 且 A≠0, >0)的周期 T ? ω (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)
2?

?

; 函数 y ? tan(? x ? ? ) ,x ? k ? ?
? ?

?
2

, k ? Z (A,ω , ?

? 2 n? ? ( ? 1) c o s ? , co s( ??) ? ? n ?1 2 ? ( ? 1) 2 s in ? , ?
n

为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ? 51.正弦定理 52.余弦定理
a sin A
2 2 2

.

?

b sin B

?

c sin C
2

? 2R .

47.和角与差角公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

a ? b ? c ? 2 bc cos A ; b ? c ? a ? 2 ca cos B ; c ? a ? b ? 2 ab cos C .
2 2 2 2 2

53.面积定理 (1) S ?
1 2 1
2

tan (? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
2

.
2

a ha ?

1 2

b hb ?
1

1 2

ch c ( h a、 hb、 h c 分别表示 a、b、c 边上的高).
1

sin (? ? ? ) sin (? ? ? ) ? sin ? ? sin ? (平方正弦公式); cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos ? ? sin ? .
2 2

(2) S ?

a b sin C ?

a sin ? ? b cos ? =

a ? b sin (? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a , b ) 的象限决
2 2

(3) S ? O A B ?

1 2

ca sin B . 2 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 2 2 (| O A | ? | O B |) ? ( O A ? O B ) . b c sin A ? 2

定, tan ? ?

b a

54.三角形内角和定理 ).

在△ABC 中,有
C 2 ?

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? (A ? B) ?

?
2

?

A?B 2

? 2 C ? 2? ? 2( A ? B ) .

48.二倍角公式
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55. 简单的三角方程的通解
sin x ? a ? x ? k ? ? ( ? 1) arcsin a ( k ? Z , | a |? 1) .
k

62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y 1 ) ,b= ( x 2 , y 2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) . (2)设 a= ( x1 , y 1 ) ,b= ( x 2 , y 2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) . (3)设 A ( x1 , y 1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ,则 A B ? O B ? O A ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x , y ), ? ? R ,则 ? a= ( ? x , ? y ) . (5)设 a= ( x1 , y 1 ) ,b= ( x 2 , y 2 ) ,则 a·b= ( x1 x 2 ? y1 y 2 ) . 63.两向量的夹角公式
co s ? ? x1 x 2 ? y 1 y 2 x1 ? y 1 ?
2 2

co s x ? a ? x ? 2 k ? ? arccos a ( k ? Z , | a |? 1) . tan x ? a ? x ? k ? ? arctan a ( k ? Z , a ? R ) .

??? ?

??? ?

??? ?

特别地,有
sin ? ? sin ? ? ? ? k ? ? ( ? 1) ? ( k ? Z ) .
k

co s ? ? cos ? ? ? ? 2 k ? ? ? ( k ? Z ) . tan ? ? tan ? ? ? ? k ? ? ? ( k ? Z ) .

56.最简单的三角不等式及其解集 sin x ? a (| a |? 1) ? x ? (2 k ? ? arcsin a , 2 k ? ? ? ? arcsin a ), k ? Z .
sin x ? a (| a |? 1) ? x ? (2 k ? ? ? ? arcsin a , 2 k ? ? arcsin a ), k ? Z .
cos x ? a (| a |? 1) ? x ? (2 k ? ? arccos a , 2 k ? ? arccos a ), k ? Z . cos x ? a (| a |? 1) ? x ? (2 k ? ? arccos a , 2 k ? ? 2? ? arccos a ), k ? Z .
tan x ? a ( a ? R ) ? x ? ( k ? ? arctan a , k ? ?

x2 ? y2
2

2

(a= ( x1 , y 1 ) ,b= ( x 2 , y 2 ) ).

64.平面两点间的距离公式
??? ? d A , B = | A B |? ??? ??? ? ? AB ? AB ?

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 ) (A ( x1 , y 1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ).
2 2

65.向量的平行与垂直

?
2

设 a= ( x1 , y 1 ) ,b= ( x 2 , y 2 ) ,且 b ? 0,则

), k ? Z

.

A||b ? b=λ a ? x 1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 . 66.线段的定比分公式 设 P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x 2 , y 2 ) , P ( x , y ) 是线段 P1 P2 的分点, ? 是实数,且 P1 P ? ? PP2 ,则
x1 ? ? x 2 ? ???? ???? ??? ? OP ? ?OP ??? ? ???? ???? ?x ? 1? ? 1 ? 1 2 ? OP ? ? O P ? t O P1 ? (1 ? t ) O P2( t ? ) . ? 1? ? 1? ? y1 ? ? y 2 ?y ? ? 1? ? ?
???? ????

tan x ? a ( a ? R ) ? x ? ( k ? ?

?
2

, k ? ? arctan a ), k ? Z .

57.实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a) ·b= ? (a·b)= ? a·b= a· ? b); ( (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、 2 是同一平面内的两个不共线向量, e 那么对于这一平面内的任一向量, 有且只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示 (1)设 a= ( x1 , y 1 ) ,b= ( x 2 , y 2 ) ,且 b ? 0,则 a ? b(b ? 0) ? x 1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 . (2)a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ . 61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积.

67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A ( x 1 , y 1 ) 、 B(x 2 ,y 2 ) 、 C(x 3 ,y 3 ) ,则△ABC 的重 心的坐标是 G (
x1 ? x 2 ? x 3 3 , y1 ? y 2 ? y 3 3 ).

68.点的平移公式
???? ??? ???? ? ? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ' ' ? OP ? OP ? PP . ? ? ? ' ' ?y ? y ? k ?y ? y ?k ? ?

注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) ,且
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'

'

'

'

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???? ' P P 的坐标为 ( h , k ) .

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推广 已知 x , y ? R ,则有 ( x ? y ) ? ( x ? y ) ? 2 xy
2 2

69.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P ( x , y ) 按向量 a= ( h , k ) 平移后得到点 P ( x ? h , y ? k ) .
'

( 1 ) 若 积 xy 是 定 值 , 则 当 | x ? y | 最 大 时 , | x ? y | 最 大 ; 当 | x ? y | 最 小 时, | x ? y | 最小.
' '

(2) 函数 y ? f ( x ) 的图象 C 按向量 a= ( h , k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析 式为 y ? f ( x ? h ) ? k . (3) 图象 C 按向量 a= ( h , k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x ) ,则 C 的解析
' '

(2)若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小;当 | x ? y | 最小时,
| xy | 最大.

73.一元二次不等式 a x ? b x ? c ? 0 ( 或 ? 0 ) ( a ? 0, ? ? b ? 4 a c ? 0 ) ,如果 a 与
2 2

式为 y ? f ( x ? h ) ? k . (4)曲线 C : f ( x , y ) ? 0 按向量 a= ( h , k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的方程为
' '

ax ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax ? bx ? c 异号,则其解集在
2 2

两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
x1 ? x ? x 2 ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 ( x1 ? x 2 ) x ? x1 , 或 x ? x 2 ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0( x1 ? x 2 ) .

f ( x ? h, y ? k ) ? 0 .



(5) 向量 m= ( x , y ) 按向量 a= ( h , k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x , y ) . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ? A B C 所在平面上一点,角 A , B , C 所对边长分别为 a , b , c ,则 (1) O 为 ? A B C 的外心 ? O A ? O B ? O C . (2) O 为 ? A B C (3) O 为 ? A B C (4) O 为 ? A B C (5) O 为 ? A B C 71.常用不等式:
??? 2 ? ??? 2 ? ???? 2

74.含有绝对值的不等式
2 当 a> 0 时, x ? a ? x ? a ? ? a ? x ? a . x ? a ? x ? a ? x ? a 或 x ? ? a . 有
2

2

2

??? ??? ???? ? ? ? 的重心 ? O A ? O B ? O C ? 0 . ??? ??? ? ? ??? ???? ???? ??? ? ? 的垂心 ? O A ? O B ? O B ? O C ? O C ? O A . ??? ? ??? ? ???? ? 的内心 ? a O A ? bO B ? cO C ? 0 . ??? ? ??? ? ???? 的 ? A 的旁心 ? a O A ? bO B ? cO C .
2 2

75.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,
a
f (x)

? a

g (x)

? f ( x ) ? g ( x ) ; lo g a

? f (x) ? 0 ? f ( x ) ? lo g a g ( x ) ? ? g ( x ) ? 0 . ? f (x) ? g (x) ? ? f (x) ? 0 ? f ( x ) ? lo g a g ( x ) ? ? g ( x ) ? 0 ? f (x) ? g (x) ?

(2)当 0 ? a ? 1 时,
a
f (x)

(1) a , b ? R ? a ? b ? 2 ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). (2) a , b ? R ?
3 3 3 ?

a?b 2

?

a b (当且仅当 a=b 时取“=”号).

? a

g (x)

? f ( x ) ? g ( x ) ; lo g a
y 2 ? y1 x 2 ? x1

(3) a ? b ? c ? 3 abc ( a ? 0, b ? 0, c ? 0). (4)柯西不等式 ( a ? b )( c ? d ) ? ( ac ? bd ) , a , b , c , d ? R .
2 2 2 2 2

76.斜率公式

k ?

( P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x 2 , y 2 ) ).

(5) a ? b ? a ? b ? a ? b . 72.极值定理 已知 x , y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值
1 4
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2

77.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ).
p ;
s .

(2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式
y ? y1 y 2 ? y1 ? x ? x1 x 2 ? x1

( y 1 ? y 2 )( P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x 2 , y 2 ) ( x1 ? x 2 )).

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(4)截距式

x a

?

y b

? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、 b ? 0 )

(2)共点直线系方程: 经过两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 的交点 的直线系方程为 ( A1 x ? B1 y ? C 1 ) ? ? ( A2 x ? B 2 y ? C 2 ) ? 0 (除 l 2 ),其中λ 是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直 线系方程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行直线系是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 A x ? B y ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系 方程是 B x ? A y ? ? ? 0 ,λ 是参变量. 82.点到直线的距离 d ? | A x 0 ? B y 0 ? C | (点 P ( x 0 , y 0 ) ,直线 l : A x ? B y ? C ? 0 ).
A ? B
2 2

(5)一般式 A x ? B y ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). 78.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 ① l1 || l 2 ? k 1 ? k 2 , b1 ? b 2 ② l1 ? l 2 ? k 1 k 2 ? ? 1 . (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 || l 2 ?
A1 A2 ? B1 B2 ? C1 C2
;



83. A x ? B y ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : A x ? B y ? C ? 0 ,则 A x ? B y ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若 B ? 0 ,当 B 与 A x ? B y ? C 同号时,表示直线 l 的上方的区域;当 B 与
A x ? B y ? C 异号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

② l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B 2 ? 0 ; 79.夹角公式 (1) tan ? ? | (2) tan ? ? |
k 2 ? k1 1 ? k 2 k1 | .( l1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 , k 1 k 2 ? ? 1 ) | .( l1 : A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 , A1 A2 ? B1 B 2 ? 0 )

若 B ? 0 ,当 A 与 A x ? B y ? C 同号时,表示直线 l 的右方的区域;当 A 与
A x ? B y ? C 异号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

A1 B 2 ? A 2 B1 A1 A 2 ? B1 B 2

84. ( A1 x ? B1 y ? C 1 )( A2 x ? B 2 y ? C 2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设曲线 C : ( A1 x ? B1 y ? C 1 )( A2 x ? B 2 y ? C 2 ) ? 0 ( A1 A2 B1 B 2 ? 0 ) ,则
( A1 x ? B1 y ? C 1 )( A2 x ? B 2 y ? C 2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: ( A1 x ? B1 y ? C 1 )( A2 x ? B 2 y ? C 2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1 x ? B1 y ? C 1 )( A2 x ? B 2 y ? C 2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分.

直线 l1 ? l 2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 80. l1 到 l 2 的角公式 (1) ta n ? ? (2) tan ? ?
k 2 ? k1 1 ? k 2 k1

?
2

.

.( l1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 , k 1 k 2 ? ? 1 ) .( l1 : A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 , A1 A2 ? B1 B 2 ? 0 )
?
2

85. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r .
2 2 2

A1 B 2 ? A 2 B1 A1 A 2 ? B1 B 2

(2)圆的一般方程 x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2
2 2

(3)圆的参数 ? .

? x ? a ? r co s ? ? y ? b ? r sin ?

.

直线 l1 ? l 2 时,直线 l1 到 l2 的角是

81.四种常用直线系方程 (1) 定 点 直 线 系 方 程 : 经 过 定 点 P0 ( x 0 , y 0 )的 直 线 系 方 程 为
y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) (除直线 x ? x 0 ),其中 k 是待定的系数; 经过定点 P0 ( x 0 , y 0 ) 的直

0 ( 4 ) 圆 的 直 径 ( x ? x1 ) ( x ? x2 ) ? ( y ? y ) ( y? 2y )? ( 圆 的 直 径 的 端 点 是 A ( x1 , y1 ) 、 1 B ( x 2 , y 2 ) ).

线系方程为 A ( x ? x 0 ) ? B ( y ? y 0 ) ? 0 ,其中 A , B 是待定的系数.

86. 圆系方程 (1)过点 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 的圆系方程是
( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? ? [( x ? x1 )( y1 ? y 2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x 2 )] ? 0

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? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? ? ( ax ? by ? c ) ? 0 ,

其中 ax ? by ? c ? 0 是直线 A B 的方程,λ 是待定的系数. (2)过直线 l : A x ? B y ? C ? 0 与圆 C : x ? y ? D x ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程
2 2

x0 x ? y0 y ?

D ( x0 ? x ) 2

?

E ( y0 ? y ) 2

? F ? 0 表示过两个切点的切点弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) ,再利用相切条件求 k, 这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b , 再利用相切条件求 b, 必有两条切线. (2)已知圆 x ? y ? r .
2 2 2


x ? y ? D x ? E y ? F ? ? ( A x ? B y ? C ) ? 0 ,λ 是待定的系数.
2 2

(3) 过圆 C 1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E 1 y ? F1 ? 0 与圆 C 2 : x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F2 ? 0 的 交点的圆系方程是
x ? y ? D1 x ? E 1 y ? F1 ? ? ( x ? y ? D 2 x ? E 2 y ? F 2 ) ? 0 ,λ 是待定的系数.
2 2 2 2

①过圆上的 P0 ( x 0 , y 0 ) 点的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ? r ;
2

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k .
2

87.点与圆的位置关系 点 P ( x 0 , y 0 ) 与圆 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 的位置关系有三种
2 2 2

91.椭圆 92.椭圆

x a x a

2 2

?

y b

2 2

? x ? a cos ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的参数方程是 ? . ? y ? b sin ?
? 1( a ? b ? 0 ) 焦半径公式 PF 1 ? e ( x ? a
2

若d ?

( a ? x 0 ) ? ( b ? y 0 ) ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上;
2 2

2 2

d ? r ? 点 P 在圆内.

?

y b

2 2

c

) , PF 2 ? e (

a

2

? x) .

c

88.直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 的位置关系有三种:
2 2 2

93.椭圆的的内外部 (1)点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 (2)点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 94. 椭圆的切线方程 (1)椭圆 ;
x a
2 2 2 2

x a x a

2 2 2 2

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .

? ?

y b y b

2 2 2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的内部 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的外部 ?

x0 a x0 a

2 2 2 2

? ?

y0 b y0 b

2

2 2

?1. ? 1.

其中 d ?

Aa ? Bb ? C A ? B
2 2

.

2

89.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O 1 O 2 ? d
d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4 条公切线

? x a
2 2 2 2

y b ?

? 1( a ? b ? 0) 上一点 P ( x 0 , y 0 ) 处的切线方程是
2 2

x0 x a
2

?

y0 y b
2

? 1. ? y0 y b
2

;

d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3 条公切线

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2 条公切线 d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线

;

(2) 过椭圆 (3)椭圆 95.双曲线
x a
2 2

y b y
2 2

? 1( a ? b ? 0) 外一点 P ( x 0 , y 0 ) 所引两条切线的切点弦方程是
2 2

x0 x a
2

?1.
2

; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线

x a

. 90.圆的切线方程 (1)已知圆 x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 .
2 2

?
2 2

? 1( a ? b ? 0) 与直线 A x ? B y ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c .
2 2

b

?

y b

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的焦半径公式 P F1 ? | e ( x ?

a

2

c

) | , P F2 ? | e (

a

2

? x) | .

c

①若已知切点 ( x 0 , y 0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是
x0 x ? y0 y ? D ( x0 ? x ) 2 ? E ( y0 ? y ) 2 ?F ?0

96.双曲线的内外部 外 时 , (1)点 P ( x 0 , y 0 ) 在双曲线
x a
2 2

.



( x0 , y0 )



?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的内部 ?

x0 a

2 2

?

y0 b

2

2

?1.

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(2)点 P ( x 0 , y 0 ) 在双曲线
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的外部 ?

x0 a

2 2

?

y0 b

2

2

?1.

102.抛物线的内外部 (1)点 P ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的内部 ? y ? 2 p x ( p ? 0 ) .
2 2

97.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为
x a ?
b a

点 P ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的外部 ? y ? 2 p x ( p ? 0 ) .
2 2

y b

2 2

? 1 ? 渐近线方程:
x a ? y b

x a

2 2

?

y b

2 2

?0? y?? x a
2 2

b a

x.

(2)点 P ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 y ? ? 2 px ( p ? 0) 的内部 ? y ? ? 2 p x ( p ? 0 ) .
2 2

(2)若渐近线方程为 y ? ? (3)若双曲线与
x a
2 2

x ?

? 0 ? 双曲线可设为

?

y b

2 2

点 P ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 y ? ? 2 px ( p ? 0) 的外部 ? y ? ? 2 p x ( p ? 0 ) .
2 2

? ?.

(3)点 P ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 x ? 2 p y ( p ? 0 ) 的内部 ? x ? 2 py ( p ? 0) .
2 2

?

y b

2 2

? 1 有公共渐近线,可设为

x a

2 2

?

y b

2 2

? ? ( ? ? 0 ,焦点

点 P ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 x ? 2 p y ( p ? 0 ) 的外部 ? x ? 2 py ( p ? 0) .
2 2

(4) 点 P ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 x ? 2 p y ( p ? 0 ) 的内部 ? x ? 2 py ( p ? 0) .
2 2

在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). 98. 双曲线的切线方程 (1)双曲线
x a
2 2

点 P ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 x ? ? 2 p y ( p ? 0 ) 的外部 ? x ? ? 2 p y ( p ? 0 ) .
2 2

?

y b x a

2 2

103. 抛物线的切线方程
x0 x a
2

? 1( a ? 0, b ? 0) 上一点 P ( x 0 , y 0 ) 处的切线方程是 ? y b
2 2

?

y0 y b
2

?1.

(1)抛物线 y ? 2 px 上一点 P ( x 0 , y 0 ) 处的切线方程是 y 0 y ? p ( x ? x 0 ) .
2

2 2

(2)过抛物线 y ? 2 px 外一点 P ( x 0 , y 0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y 0 y ? p ( x ? x 0 ) .
2

(2)过双曲线 是
x0 x a
2

? 1( a ? 0, b ? 0) 外一点 P ( x 0 , y 0 ) 所引两条切线的切点弦方程

?

y0 y b
2

?1.
x a
2
2 2

(3)抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 与直线 A x ? B y ? C ? 0 相切的条件是 pB ? 2 A C . 104.两个常见的曲线系方程 (1) 过 曲 线 f 1 ( x , y ) ? 0 , f 2 ( x , y ) ? 0 的 交 点 的 曲 线 系 方 程 是
2 2

(3) 双曲线

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c .
2 2 2 2 2

f 1 ( x , y ) ? ? f 2 ( x , y ) ? 0 ( ? 为参数).

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
2 抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 焦半径 C F ? x 0 ?

x
2

2

99. 抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式 过焦点弦长 CD ? x 1 ?
2

p 2

.

a ?k
2

?
2

y
2

2

b ?k

? 1 ,其中 k ? m ax { a , b } .
2 2 2 2

当 k ? m in { a , b } 时,表示椭圆; 当 m in{ a , b } ? k ? m ax{ a , b } 时,表示双曲线.
2 2

p 2

? x2 ?

p 2
2

? x1 ? x 2 ? p
2

.
2

105.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB ?
AB ?

100.抛物线 y ? 2 px 上的动点设为 P ( 101.二次函数 y 顶点坐标为 ( ? 程是 y ?
2

y?

2p
? ax ? bx ? c ? a ( x ?

, y ? ) 或 P ( 2 pt , 2 pt ) 或 P ( x ? , y ? ) ,其中 y ? ? 2 p x ? .
b ) ?
2

( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) 或
2 2

4ac ? b 4a

2

( a ? 0 ) 的图象是抛物线: (1)
b , 4ac ? b ? 1
2

(1 ? k )( x 2 ? x1 ) ? | x1 ? x 2 | 1 ? tan ? ? | y 1 ? y 2 | 1 ? co t ?
2 2 2 2

2a

b 2a
2

,

4ac ? b 4a

2

( 弦 端 点 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 由 方 程 ? (3)准线方 );
ax
2

? y ? kx ? b ?F(x, y) ? 0

消去 y 得到

(2)焦点的坐标为 ( ? );

2a

4a

? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , ? 为直线 A B 的倾斜角, k 为直线的斜率).

4ac ? b ? 1 4a

.

106.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x , y ) ? 0 关于点 P ( x 0 , y 0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x 0 - x , 2 y 0 ? y ) ? 0 .
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(2)曲线 F ( x , y ) ? 0 关于直线 A x ? B y ? C ? 0 成轴对称的曲线是
F (x ? 2 A( Ax ? By ? C ) A ?B
2 2

,y?

2B ( Ax ? By ? C ) A ?B
2 2

) ? 0.

107.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 A x ? B xy ? C y ? D x ? E y ? F ? 0 , x 0 x 代 x , y 0 y 用 用
2 2
2

115.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行 六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 116.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b.

代 y ,用
A x0 x ? B ?

2

x 0 y ? xy 0 2 x 0 y ? xy 0
2

代 x y ,用

x0 ? x

代 x ,用
?E?

y0 ? y

代 y 即得方程

? C y0 y ? D ?

2 x0 ? x

2 y0 ? y

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? P、 A、 B 三点共线 ? A P || A B ? A P ? t A B ? O P ? (1 ? t ) O A ? t O B . ??? ? ???? ??? ???? ? A B || C D ? A B 、C D 共线且 AB、 C D 不共线 ? A B ? t C D 且 A B、 C D 不共线.

? F ? 0, 曲线的切线, 切点弦,

2

2

117.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x , y ,使 p ? a x ? b y . 推论空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x , y ,使 M P ? x M A ? y M B , 或对空间任一定点 O,有序实数对 x , y ,使 O P ? O M ? x M A ? y M B .
???? ???? ???? ????

中点弦,弦中点方程均是此方程得到. 108.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 109.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 110.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 111.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 112.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 113.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 114.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b.

??? ?

???? ?

????

????

118.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 O P ? x O A ? y O B? z O C (x? y ? z ? k ) ,则当 k ? 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;

??? ?

????

????

当 k ? 1 时,若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若 O ? 平面 ABC,则 P、A、 B、C 四点不共面.
???? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? A、 B、 、 D 四点共面 ? A D 与 A B 、 A C 共面 ? A D ? x A B ? y A C ? C ???? ??? ? ??? ? ???? O D ? (1 ? x ? y ) O A ? x O B ? y O C ( O ? 平面 ABC).

119.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实 数组 x,y,z,使 p=xa+yb+zc. 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个 有序实数 x,y,z,使 O P ? xO A ? y O B ? z O C . 120.射影公式
??? ? ' ' ' 作 B 点在 l 上的射影 B ,则 A B ? | A B | co s 〈a,e〉=a·e
??? ? ??? ? ??? ? ????

已知向量 A B =a 和轴 l , 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A , e
'

??? ?

121.向量的直角坐标运算 设 a= ( a1 , a 2 , a 3 ) ,b= ( b1 , b 2 , b3 ) 则 (1)a+b= ( a1 ? b1 , a 2 ? b 2 , a 3 ? b3 ) ;
??? ?

(2)a-b= ( a1 ? b1 , a 2 ? b 2 , a 3 ? b3 ) ;
??? ? ??? ?

(3)λ a= ( ? a1 , ? a 2 , ? a 3 ) (λ ∈R); (4)a·b= a1b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b3 ; 122.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则 A B ? O B ? O A = ( x 2 ? x1 , y 2 ? y1 , z 2 ? z1 ) .

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123.空间的线线平行或垂直
? x1 ? ? x 2 r r r r r r r r b 设 a ? ( x1 , y1 , z1 ) ,b ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则 a P b ? a ? ?b ( ? 0) ? ? y ? ? y ; ? 1 2

130.二面角 ? ? l ? ? 的平面角

r r r r a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? z 1 z 2 ? 0 .

?z ? ?z 2 ? 1

?? ? ?? ? ?? ? m ?n m ?n ? ? a rc co s ?? ? 或 ? ? a rc co s ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n |

131.三余弦定理 设 AC 是α 内的任一条直线, BC⊥AC, 且 垂足为 C, 又设 AO 与 AB 所成的角为? 1 , AB 与 AC 所成的角为 ? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 co s ? ? co s ? 1 co s ? 2 . 132. 三射线定理 若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 ? 1 , ? 2 , 与二面角的棱所成的角是θ ,则有

124.夹角公式 设 a= ( a1 , a 2 , a 3 ) ,b= ( b1 , b 2 , b3 ) ,则 cos〈a,b〉=
2

a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 a1 ? a 2 ? a 3
2 2

.
2

b1 ? b 2 ? b 3
2 2

推论 ( a1b1 ? a 2 b2 ? a 3 b3 ) ? ( a1 ? a 2 ? a 3 )( b1 ? b 2 ? b3 ) ,此即三维柯西不等式.
2 2 2 2 2 2 2

sin ? sin ? ? sin ? 1 ? sin ? 2 ? 2 sin ? 1 sin ? 2 cos ? ;
2 2 2 2

| ? 1 ? ? 2 |? ? ? 1 8 0 ? (? 1 ? ? 2 ) (当且仅当 ? ? 9 0 时等号成立).
?
?

125. 四面体的对棱所成的角 四面体 ABC D 中, AC 与 B D 所成的角为 ? ,则 co s ? ? 126.异面直线所成角
| ( AB ? CD ) ? (BC ? DA ) |
2 2 2 2

2 AC ? BD

.

133.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则
??? ? d A , B = | A B |? ??? ??? ? ? AB ? AB ?
h? 1 |a|

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 ) ? ( z 2 ? z 1 ) .
2 2 2

x1 ? y 1 ? z 1 ? x 2 ? y 2 ? z 2 r r o o (其中 ? ( 0 ? ? ? 90 ) 为异面直线 a ,b 所成角,a , b 分别表示异面直线 a ,b 的方向向量)
2 2 2 2 2 2

r r r r | a ?b | co s ? ? | co s a , b | = r r ? | a |?|b |

| x1 x 2 ? y 1 y 2 ? z 1 z 2 |

134.点 Q 到直线 l 距离

(| a || b |) ? ( a ? b )
2

2

127.直线 A B 与平面所成角

??? ?? ? ?? AB ? m ? ? ? a rc sin ??? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). | A B || m |
2 2 2 2 2

128.若 ? ABC 所在平面若 ? 与过若 A B 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , B C 与平面 ? 成 的角分别是 ? 1 、? 2 , A、 B 为 ? ABC 的两个内角,则 sin ? 1 ? sin ? 2 ? (sin A ? sin B ) sin ? . 特别地,当 ? A C B ? 90 时,有 sin ? 1 ? sin ? 2 ? sin ? .
?

2

2

2

???? ?? ? | CD ?n | ? d ? 135.异面直线间的距离 |n| ? C ( l1 , l 2 是两异面直线, 其公垂向量为 n , 、 D 分别是 l1 , l 2 上任一点,d 为 l1 , l 2 间的距离). ??? ?? ? ? | AB ? n | ? d ? 136.点 B 到平面 ? 的距离 |n| ? ( n 为平面 ? 的法向量, A B 是经过面 ? 的一条斜线, A ? ? ).

(点 P 在直线 l 上,直线 l 的方向向量 a= P A ,向量 b= P Q ).

??? ?

????

129.若 ? ABC 所在平面若 ? 与过若 A B 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ? 成
? 的角分别是 ? 1 、 2 , A 、 B 为 ? ABO 的两个内角, tan ? 1 ? tan ? 2 ? (sin A ? sin B ) tan ? . 则
' '

137.异面直线上两点距离公式
d ?
d ?

2

2

2

'

2

'

2

h ? m ? n ? 2 m n co s ? .
2 2 2
2 2 2

d ?

???? ???? 2 2 2 ' h ? m ? n ? 2 m n co s E A , A F .
'

特别地,当 ? A O B ? 90 时,有 sin ? 1 ? sin ? 2 ? sin ? .
?

2

2

2

h ? m ? n ? 2 m n co s ? ( ? ? E ? A A ? F ).

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'

(两条异面直线 a、b 所成的角为θ ,其公垂线段 A A 的长度为 h.在直线 a、b 上分 别取两点 E、F, A E ? m , A F ? n , E F ? d ). 138.三个向量和的平方公式
'

接球的半径为

6 4

a.

? ? ? ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? 2 (a ? b ? c ) ? a ? b ? c ? 2 a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | co s a , b ? 2 | b | ? | c | co s b , c ? 2 | c | ? | a | co s c , a

146.柱体、锥体的体积
V柱 体 ? 1 3 Sh

( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高).

139. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、 l 2、 l 3 ,夹角 分别为 ? 1、 ? 2、 ? 3 ,则有
l ? l1 ? l 2 ? l 3 ? cos ? 1 ? cos ? 2 ? cos ? 3 ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? 2 ? sin ? 3 ? 2 .
2 2 2 2 2 2 2

V锥 体 ?

1 3

S h ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高).
P ( A) ? m n

147.等可能性事件的概率
2 2 2

.

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 140. 面积射影定理 S ?
S
'

co s ?

.
'

148.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 149. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 150.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 151.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An). 152.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 Pn ( k ) ? C n P (1 ? P )
k k n?k

S 它们所在平面所成锐二面角的为 ? ). (平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 , 141. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S 斜 棱 柱 侧 和 V 斜 棱 柱 ,它的直截面的

.

周长和面积分别是 c 1 和 S 1 ,则① S 斜 棱 柱 侧 ? c1l .② V 斜 棱 柱 ? S 1l . 142.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 143.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与 底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成 比例的多边形是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小 棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 144.球的半径是 R,则其体积 V ?
4 3

153.数学期望 E ? ? x1 P1 ? x 2 P2 ? ? ? x n Pn ? ? 154.方差 155.标准差

D ? ? ? x1 ? E ?
?? = D? .

?

2

? p1 ? ? x 2 ? E ?

?
2

2

? p2 ? ? ? ? xn ? E?

?

2

? pn ? ?

156.方差与期望的关系 157.回归直线方程

D? ? E? ? ? E?
2

? .

? R ,其表面积 S ? 4? R .
3

2

145.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的 面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为
6 12 a ,外

n ? ? ? xi ? x ? ? yi ? y ? ? ? ? ? a ? bx ,其中 ? b ? i ? 1 n y 2 ? ? xi ? x ? ? ? i ?1 ? a ? y ? bx ?

?

n

xi y i ? n x y xi ? n x
2

i ?1 n

?

.
2

i ?1

158.相关系数

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? ? xi
r ?
n i ?1

n

? x
2

? ? yi

? y

?
?
n
2

? ?x
i ?1 2 i ?1

n

i

? x
2

? ? yi
n

? y?

设函数 u ? ? ( x ) 在点 x 处有导数 u x ? ? ( x ) , 函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点
' '

.
2 2 i ?1

U 处有导数 y u ? f ( u ) ,则复合函数 y ? f (? ( x )) 在点 x 处有导数,且 y x ? y u ? u x ,
' ' ' ' '

?

( xi ? x )

i ?1

?

n

( yi ? y )

( ? x i ? n x )( ? y i ? n y )

或写作 f x (? ( x )) ? f ( u )? ( x ) .
' ' '

i ?1

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小.
159. f ( x ) 在 x 0 处的导数(或变化率或微商)

167.常用的近似计算公式(当 x 充小时) (1) 1 ? x ? 1 ?
1 2 x; 1? x ?1?
n

1 n 1

x; ?1? x;

f ?( x 0 ) ? y ?

x ? x0

? lim

?y ?x

?x? 0

? lim

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x

?x ? 0

.

(2) (1 ? x ) ? 1 ? ? x (? ? R ) ; (3) e ? 1 ? x ; (4) l n (1 ? x ) ? x ;
x

?

160.瞬时速度
? ? s ? ( t ) ? lim
?s ?t
?t ? 0

1? x

? lim

s (t ? ? t ) ? s (t ) ?t ?v ?t

?t ? 0

.
v (t ? ? t ) ? v (t ) ?t

161.瞬时加速度

a ? v ? ( t ) ? lim

?t ? 0

? lim

?t ? 0

.

162. f ( x ) 在 ( a , b ) 的导数
f ?( x ) ? y ? ? dy dx ? df dx ? lim ?y ?x
?x ? 0

? lim

f (x ? ?x) ? f (x) ?x

(5) sin x ? x ( x 为弧度) ; (6) tan x ? x ( x 为弧度) ; (7) arctan x ? x ( x 为弧度) 168.判别 f ( x 0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续时, (1)如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x ) ? 0 ,右侧 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x 0 ) 是极大值; (2)如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x ) ? 0 ,右侧 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x 0 ) 是极小值. 169.复数的相等
a ? bi ? c ? di ? a ? c , b ? d .( a , b , c , d ? R )
| z | = | a ? bi | = a ? b . 170.复数 z ? a ? b i 的模(或绝对值) 171.复数的四则运算法则 (1) ( a ? bi ) ? ( c ? di ) ? ( a ? c ) ? ( b ? d ) i ;
2 2

?x? 0

.

163. 函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处的导数的几何意义 函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处的导数是曲线 y ? f ( x ) 在 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线的斜 率 f ? ( x 0 ) ,相应的切线方程是 y ? y 0 ? f ? ( x 0 )( x ? x 0 ) . 164.几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数). (3) (sin x ) ? ? cos x . (5) (ln x ) ? ?
1 x
x ; (log a ) ? ?

(2) ( x n ) ? nx
'

n ?1

(n ? Q ) .

(4) (cos x ) ? ? ? sin x .
1 x log
e a

.

x x x x (6) ( e )? ? e ; ( a ) ? ? a ln a .

(2) ( a ? bi ) ? ( c ? di ) ? ( a ? c ) ? ( b ? d ) i ; (3) ( a ? bi )( c ? di ) ? ( ac ? bd ) ? ( bc ? ad ) i ; (4) ( a ? b i ) ? ( c ? d i ) ?
ac ? bd c ?d
2 2

165.导数的运算法则 (1) ( u ? v ) ? u ? v .
' ' '

(2) ( u v ) ? u v ? u v .
' ' '

?

bc ? ad c ?d
2 2

i(c ? di ? 0) .

(3) ( ) ?
'

u

u v ? uv
'

'

v

v

2

(v ? 0) .

172.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z 2 , z 3 ? C ,有

交换律: z1 ? z 2 ? z 2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z 2 ) ? z 3 ? z1 ? ( z 2 ? z 3 ) .

166.复合函数的求导法则
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分配律: z1 ? ( z 2 ? z 3 ) ? z1 ? z 2 ? z1 ? z 3 . 173.复平面上的两点间的距离公式
d ? | z1 ? z 2 |? ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) ( z1 ? x1 ? y1i , z 2 ? x 2 ? y 2 i ).
2 2

174.向量的垂直

非零复数 z1 ? a ? bi , z 2 ? c ? d i 对应的向量分别是 O Z 1 , O Z 2 ,则
???? ? ???? ? z 2 2 2 O Z 1 ? O Z 2 ? z 1 ? z 2 的实部为零 ? 2 为纯虚数 ? | z1 ? z 2 | ? | z1 | ? | z 2 | z1
? | z1 ? z 2 | ? | z1 | ? | z 2 | ? | z1 ? z 2 |? | z1 ? z 2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ? iz 2
2 2 2

???? ?

???? ?

(λ 为非零实数). 175.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,
2
2 ①若 ? ? b ? 4 ac ? 0 ,则 x1, 2 ?

?b ?

b ? 4ac
2

;

②若 ? ? b ? 4 ac ? 0 ,则 x1 ? x 2 ? ?
2
2

2a b

;

2a

③若 ? ? b ? 4 ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有 两个共轭复数根 x ?
?b ? ? (b ? 4 a c )i
2

(b ? 4 a c ? 0 ) .
2

2a

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