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圆锥曲线综合题

时间:2012-12-26

圆锥曲线综合题
1.设椭圆 的左右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆上且异于 A,B 两点,O 为坐标原点.

(1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为

,求椭圆的离心率; .

(2)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|> (1)解:设 P(x0,y0) ,∴ ①

∵椭圆

的左右顶点分别为 A,B,∴A(﹣a,0) ,B(a,0) ∴



∵直线 AP 与 BP 的斜率之积为

,∴

代入①并整理得

∵y0≠0,∴a =2b ∴

2

2



∴椭圆的离心率为



(2)证明:依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,设 P(x0,kx0) ,∴

∵a>b>0,kx0≠0,∴ ∵|AP|=|OA|,A(﹣a,0) , ∴



② ∴ ∴

代入②得

∴k >3

2

∴直线 OP 的斜率 k 满足|k|>



2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

的离心率

,且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距

离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; 2 2 (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n) ,使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x +y =1 相交于不同的两点 A、B,且△OAB 的 面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的△OAB 的面积;若不存在,请说明理由. 解: (1)由 得 a =3b ,椭圆方程为 x +3y =3b
2 2 2 2 2

椭圆上的点到点 Q 的距离 ① 当﹣b≤﹣1 时,即 b≥1, ② 当﹣b>﹣1 时,即 b<1, (2)假设 M(m,n)存在,则有 m +n >1 ∴ =
2 2

= 得 b=1 得 b=1(舍) ∴ b=1 ∵ |AB|= ∴ 椭圆方程为 ,点 O 到直线 l 距离

1

∵ +n >1 m 当且仅当

2

2

∴ 0<

<1,∴ ,即 m +n =2>1 时,S△AOB 取最大值 , 或 或 或
2 2

又∵

解得: ,△AOB 的面积为 .

所以点 M 的坐标为

3.如图,椭圆的中心为原点 0,离心率 e= (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设动点 P 满足: = +2

,一条准线的方程是 x=2

,其中 M、N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为﹣ , 的距离之比为定值;若存在,求 F 的坐标,若不存在,说明

问:是否存在定点 F,使得|PF|与点 P 到直线 l:x=2 理由. 解: ) 由题意得 (Ⅰ = , = =2

,∴ a=2,b=



故椭圆的标准方程

+

=1.

(Ⅱ )设动点 P(x,y) ,M(x1,y1 ) 、N(x2,y2 ) 动点 P 满足: .∵

=

+2



∴ (x,y)=(x1+2x2,y1+2y2 ) x=x1+2x2,y=y1+2y2, ,∴ 2 2 2 2 ∵ M、N 是椭圆上的点,∴ 1 +2y1 ﹣4=0,x2 +2y2 ﹣4=0. x 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ +2y =(x1+2x2) +2 (y1+2y2) =(x1 +2y1 )+4(x2 +2y2 )+4(x1x2+2y1y2 ) x =4+4× 4+4(x1x2+2y1y2 )=20+4(x1x2+2y1y2 ) . ∵ 直线 OM 与 ON 的斜率之积为﹣ ,∴ ? =﹣ ,∴ +2y =20, x
2 2

故点 P 是椭圆

=1 上的点,焦点 F(

,0) ,准线 l:x=2 的距离之比为定值

,离心率为



根据椭圆的第二定义,|PF|与点 P 到直线 l:x=2 故存在点 F(



,0) ,满足|PF|与点 P 到直线 l:x=2

的距离之比为定值

4.椭圆 E 经过点 A(2,3) ,对称轴为坐标轴,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率 e= . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求∠F1AF2 的角平分线所在直线的方程.
2

解: )设椭圆 E 的方程为 (Ⅰ

+

=1

由 e= ,得

,b =a ﹣c =3c ,∴

2

2

2

2

将 A(2,3)代入,有

,解得:c=2,

∴ 椭圆 E 的方程为

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 F1(﹣2,0) 2(2,0) ,F ,所以直线 AF1 的方程为 y= (x+2) , 即 3x﹣4y+6=0,直线 AF2 的方程为 x=2,由椭圆 E 的图形知,∠ 1AF2 的角平分线所在直线的斜率为正数 F 设 P(x,y)为∠ 1AF2 的角平分线所在直线上任一点,则有 F 若 3x﹣4y+6=﹣5x+10,得 x+2y﹣8=0,其斜率为负,不合题意,舍去. 于是 3x﹣4y+6=5x﹣10,即 2x﹣y﹣1=0. 所以,∠ 1AF2 的角平分线所在直线的方程为 2x﹣y﹣1=0 F =|x﹣2|

5.设椭圆 (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)设 M,N 是 l 上的两个动点,

的左右焦点分别为 F1,F2,离心率

,点 F2 到右准线为 l 的距离为

,证明:当|MN|取最小值时,



解: )因为 (Ⅰ

,F2 到 l 的距离

,所以由题设得

解得

由 b =a ﹣c =2,得

2

2

2

(Ⅱ )由 故可设 得 y1y2=﹣6,所以 当且仅当 所以,

得 由知

,l 的方程为 知

时,上式取等号,此时 y2=﹣y1 =(0,y1+y2)=

6.已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1(﹣3,0) ,一条渐近线的方程是 . (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)若以 k(k≠0)为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M,N,且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成 的三角形的面积为 ,求 k 的取值范围.

3

解: )解:设双曲线 C 的方程为 (Ⅰ 由题设得 ,解得

(a>0,b>0) .

,所以双曲线方程为



(Ⅱ )解:设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0) 点 M(x1,y1) . ,N(x2,y2)的坐标满足方程组

将① 式代入② 式,得
2

,整理得(5﹣4k )x ﹣8kmx﹣4m ﹣20=0.
2 2 2 2 2

2

2

2

此方程有两个一等实根,于是 5﹣4k ≠0,且△=(﹣8km) +4(5﹣4k ) (4m +20)>0.整理得 m +5﹣4k >0. ③ 由根与系数的关系可知线段 MN 的中点坐标(x0,y0)满足 从而线段 MN 的垂直平分线方程为 此直线与 x 轴,y 轴的交点坐标分别为 , . . , .

由题设可得

. 整理得

,k≠0.

将上式代入③ 式得 所以 k 的取值范围是
2 2

,整理得(4k ﹣5) (4k ﹣|k|﹣5)>0,k≠0. 解得 .

2

2





7.已知双曲线 x ﹣y =2 的右焦点为 F,过点 F 的动直线与双曲线相交与 A、B 两点,点 C 的坐标是(1,0) . (I)证明 (Ⅱ)若动点 为常数; (其中 O 为坐标原点) ,求点 M 的轨迹方程.

(I)证明:由条件知 F(2,0) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .当 AB 与 x 轴垂直时, 可设点 A,B 的坐标分别为 , ,此时 .

当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方程是 y=k(x﹣2) (k≠±1) . 2 2 2 2 2 2 代入 x ﹣y =2,有(1﹣k )x +4k x﹣(4k +2)=0. 则 x1,x2 是上述方程的两个实根,所以 于是 =(k +1)x1x2﹣(2k +1) 1+x2)+4k +1= (x 综上所述, 为常数﹣1.
2 2 2





=(﹣4k ﹣2)+4k +1=﹣1.

2

2

(II)证法一:由条件知 F(2,0) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 设 M(x,y) ,则 , , , .



得:



于是 AB 的中点坐标为



4

当 AB 不与 x 轴垂直时,

,即



又因为 A,B 两点在双曲线上,所以 x1 ﹣y1 =2,x2 ﹣y2 =2,两式相减得(x1﹣x2) 1+x2)=(y1﹣y2) 1+y2) (x (y , 即(x1﹣x2) (x+2)=(y1﹣y2)y. 将 代入上式,化简得 x ﹣y =4. 所以点 M 的轨迹方程是 x ﹣y =4.
2 2 2 2

2

2

2

2

当 AB 与 x 轴垂直时,x1=x2=2,求得 M(2,0) ,也满足上述方程. 证法二:同证法一得 ①

当 AB 不与 x 轴垂直时,由(I)有

.②

.③

由① ③ ② 得

.④

.⑤

当 k≠0 时,y≠0,由④ 得, ⑤

,将其代入⑤ 有

.整理得 x ﹣y =4.

2

2

当 k=0 时,点 M 的坐标为(﹣2,0) ,满足上述方程. 当 AB 与 x 轴垂直时,x1=x2=2,求得 M(2,0) ,也满足上述方程. 2 2 故点 M 的轨迹方程是 x ﹣y =4 8.双曲线 =1(a>1,b>0)的焦点距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b) ,且点(1,0)到直线 l 的距离与

点(﹣1,0)到直线 l 的距离之和 解:直线 l 的方程为

.求双曲线的离心率 e 的取值范围.

,即 bx+ay﹣ab=0. , . . 于是得 , 4e ﹣25e +25≤0. 即 解不等式, 得
4 2

由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 同理得到点(﹣1,0)到直线 l 的距离 由 , 即



由于 e>1>0, 所以 e 的取值范围是

9.设 A(x1,y1) .B(x2,y2)两点在抛物线 y=2x 上,l 是 AB 的垂直平分线. 1)当且仅当 x1+x2 取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论; 2)当直线 l 的斜率为 2 时,求 l 在 y 轴上截距的取值范围. 解: )∵ (Ⅰ 抛物线 y=2x ,即 x = ,∴ p= , ∴ 焦点为 F(0, ) (1)直线 l 的斜率不存在时,显然有 x1+x2=0 (2)直线 l 的斜率存在时,设为 k,截距为 b
5
2 2

2

即直线 l:y=kx+b 由已知得:

?

?

?x1 +x2 =﹣ +b≥0?b≥ . 即 l 的斜率存在时,不可能经过焦点 F(0, ) (II)解:设直线 l 的方程为:y=2x+b, 故有过 AB 的直线的方程为 y=﹣ x+m,代入抛物线方程有 2x + x﹣m=0,得 x1+x2=﹣ . 由 A、B 是抛物线上不同的两点,于是上述方程的判别式△= +8m>0,也就是:m>﹣ . 由直线 AB 的中点为( , )=(﹣ , ,+∞) +m) 则 , +m=﹣ +b,于是:b= +m> ﹣ = .
2

2

2

所以当且仅当 x1+x2=0 时,直线 l 经过抛物线的焦点 F

即得 l 在 y 轴上的截距的取值范围是(
2 2 2

10.求抛物线 y =9x 和圆 x +y =36 在第一象限的交点处的切线方程. 解:解方程组 将 x=3 代入(1) 得 , 从抛物线 y =9x 得 过点(
2

(1)代入(2)得 x +9x﹣36=0, x=3,x=﹣12(不合题意) (仅取正值) ∴ , 在第一象限的交点为( ∴ 过点( )的抛物线的切线方程是 , 即 . )

2

)的圆的切线方程是

圆的切线方程: 若点 P(x0,y0)在圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 上,则过点 P 的切线方程为 x0 x + y0 y + D*(x+x0)/2 + E*(y+y0)/2 + F =0 或表述为:若点 P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上,则过点 P 的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2 椭圆切线方程: 若椭圆的方程为 x2/a2+y2/b2=1,点 P(x0,y0)在椭圆上,则过点 P 椭圆的切线方程为(x·0)/a2 + (y·0)/b2=1. x y 双曲线切线方程: 若双曲线的方程为 x2/a2-y2/b2=1,点 P(x0,y0)在双曲线上,则过点 P 双曲线的切线方程为(x·0)/a2 - (y·0)/b2=1 x y 抛物线切线方程: 若抛物线的方程为 y2=2px(p>0), 点 P(x0,y0)在抛物线上,则过点 P 的抛物线的切线方程为 y·0 = p· y (x+x0)

6


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