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《1.1.1 函数的平均变化率》教学案5

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《1.1.1 函数的平均变化率》教学案5 一、教学目标 1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中,经历运用数学描述和刻画现实世界的过 程。体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 2. 理解平均变化率的意义, 为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。 二、教学重点、难点 重点:平均变化率的实际意义和数学意义 难点:平均变化率的实际意义和数学意义 三、教学过程 一、问题情境 1、情境:现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载. 时间 日最高气温 3月18日 3.5℃ 4月18日 18.6℃ 4月20日 33.4℃ 观察:3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化,用曲线图表示为: (理解图中A、B、C点的坐标的含义) T/0C TT (℃ 30 20 10 A (1, 3.5) 10 20 T) C (34, 33.4) B (32, 18.6) 2 0 2 30 34 t(d) 问题1: “气温陡增”是一句生活用语,它的数学意义是什么?(形与数两方面) 问题2:如何量化(数学化)曲线上升的陡峭程度? 二、学生活动 1、曲线上BC之间一段几乎成了“直线” ,由此联想如何量化直线的倾斜程度。 2、由点B上升到C点,必须考察yC—yB的大小,但仅仅注意yC—yB的大小能否精确量化BC 段陡峭程度,为什么? 3、在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB,函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这 种改变必定相对于另一个量的改变。 三、建构数学 1.通过比较气温在区间[1,32]上的变化率0.5与气温[32,34]上的变化率7.4,感知 曲线陡峭程度的量化。 2.一般地,给出函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 。 x2 ? x1 3.回到气温曲线图中,从数和形两方面对平均变化率进行意义建构。 4.平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的” ,但应注意当x2—x1很小时, 这种量化便有“粗糙”逼近“精确” 。 四、数学运用 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示, 试分别计算从出生到第3个月与第6 个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。 W/kg 11 8.6 6.5 3.5 3 6 9 12 t/月 例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,t s后容器 甲中水的体积 V (t ) ? 5 ? 2?0.1t (单位: cm3 ), 试计算第一个10s内V的平均变化率。 甲 乙 例3 已知函数 f ( x) ? x2 ,分别计算函数 f ( x ) 在下列区间上的平均变化率: (1)[1,3]; (2)[1,2]; (3)[1,1.1]; (4)[1,1.001]。 例4 已知函数f(x)=2x+1,g(x)=—2x,分别计算函数f(x)及g(x)在区间 [-3,-1],[0,5]上的平均变化率。 (发现:y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率有什么特点?) 五、课堂练习 1、在经营某商品中,甲挣到10万元,乙挣到2万元,如何比较和评价甲,乙两人的经营 成果? 变:在经营某商品中,甲用5年时间挣到10万元,乙用5个月时间挣到2万元,如何比较 和评价甲,乙两人的经营成果? 小结:仅考虑一个变量的变化是不行的 2、环境保护部门在规定的排污达标日期前,对甲,乙两家企业进行检查,连续检查结 果如图所示(其中W1(t),W2(t)分别表示甲,乙两企业的排污量),试比较两个企业的治污效 果。 W W1(t) (t)

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