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高中数学竞赛讲座:圆锥曲线重要几何量问题的求解

时间:2012-09-23


圆锥曲线重要几何量问题的求解
一、基础知识 1.圆锥曲线定义、方程、基本元素 a , b , c , p 之间的关系,焦半径以及一些重要公式。 2.焦点弦长: AB 是经过圆锥曲线(指的是椭圆 b x ? a y ? a b ( a ? b ? 0 ) 、双曲
2 2 2 2 2 2

线 b x ? a y ? a b ( a ? 0 , b ? 0 ) 、抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 ) ,以下相同) ,若 AB 的
2 2 2 2 2 2 2

倾斜角为 ? ,半焦距为 c ,则: (1)对于椭圆, | AB |?
2 ab
2 2 2 2

b ? c sin ?



(2)对于又曲线, | AB |?

2 ab
2 2

2 2

| b ? c sin ? |
2p



(3)对于抛物线, | AB |?

. 2 sin ? 3.顶点弦长:经过圆锥曲线顶点 A (对于椭圆或双曲线,指的是长轴或实轴顶点)作倾 斜角为 ? 的弦 AB ,半焦距为 c ,则 (1)对于椭圆, | AB |?
2 ab | cos ? |
2

b ? c sin ?
2 2 2



(2)对于又曲线, | AB |?

2 ab | cos ? |
2

| b ? c sin ? |
2 2 2



(3)对于抛物线, | AB |?

2 p | cos ? | sin ?
2


2 2 2 2 2 2

4 . 焦 点 三 角 形 的 面 积 : P 是 椭 圆 椭 圆 b x ? a y ? a b (a ? b ? 0) 或 双 曲 线
b x ? a y ? a b ( a ? 0 , b ? 0 ) 上一点, F1 、 F 2 是两焦点,若 ? F1 PF 2 ? ? ,则
2 2 2 2 2 2

(1)对于椭圆, S ? FPF 21 ? b tg
2

?
2

; (2)对于双曲线, S ? FPF 21 ? b ctg
2

?
2

例 1.在椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 中,记左焦点为 F ,右顶点为 A ,短轴上方的端

点为 B .若该椭圆的离心率是

5 ?1 2 c a
2

,则 ?ABF ?



解:设 c 为椭圆的半焦距,则由

?

5 ?1 2

,得 c 2 ? ac ? a 2 ? 0 .

又 | AB | ? a ? b , | BF | ? a ,故 | AB | ? | BF | ? 2 a ? b ? 3 a ? c .
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 而 | AF | ? ( a ? c ) ? a ? 2 ac ? c ? 3 a ? c ?| AB | ? | BF | ,故 ? ABF ? 90 ? .

y x ? ? 1 上,并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到 16 9 这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么点 P 的横坐标是_____.

2

2

例 2.已知点 P 在双曲线

解:由双曲线的焦半径公式及题设条件得 16 5 5 64 2|x? |? | 4 ? x | ? | 4 ? x | , 结合双曲线的范围 x ? ? 4 或 x ? 4 , 即可得 x ? ? 5 4 4 5 例 3. F 是抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 ) 的焦点, P 为抛物线上一点,抛物线的准线 l 交 x 轴
2

于 H ,若 ?PFH ? ? , ?PHF ? ? ,求证: sin ? ? tg ? . 解:利用抛物线的定义及正弦定理. 作 PQ ? l , 垂足为 Q , 则有 | PQ |?| PF | ,?QPH ? ? , 从而有 | PH |?
| PQ | cos ? ? | PF | cos ?

| PH | sin ?

?

| PF | sin ?

,由此两个等式易得 sin ? ? tg ? .

例 4.AB 是经过椭圆 b x ? a y ? a b ( a ? b ? 0 ) 焦点的任一弦, 若过椭圆中心 O 的
2 2 2 2 2 2

弦 MN ∥ AB ,求证: | MN | :| AB | 是定值. 证明:

2

例 5. l 是椭圆的右准线, F1 、 F 2 是左、右焦点, P ? l .若椭圆的离心率 e ? 求 ? F1 PF 2 的最大值.

2 2

,试

例 6.l 是椭圆 b x ? a y ? a b ( a ? b ? 0 ) 的左准线,在椭圆上放置 n 个点( n ? 1 )
2 2 2 2 2 2

使每相邻两点与左焦点 F 连线所成的夹角均相等,试证明:这 n 个点到 l 的距离的倒数 之和为一个仅与 n 有关的常数.

例 7.圆 x ? y ? r 过椭圆 b x ? a y ? a b ( a ? b ? 0 ) 的两个焦点 F1 ( ? c , 0 ) 、
2 2 2 2 2 2 2 2 2

F 2 ( c ,0 ) ,它们有四个交点,其中一个交点为 P ,若△ PF 1 F 2 的面积为 26,椭圆长轴为

15,则 a ? b ? c ?



例 8.双曲线的离心率 e ? 2 ?

6?

3?

2 ,过双曲线的右焦点 F 2 作垂直于双曲线的

实轴的直线交双曲线于一点 P , F1 为左焦点,试求 ? PF 1 F2 的大小.


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