nbhkdz.com冰点文库

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第3章 数列的综合问题 理

时间:2013-12-30

2014 届高考数学(理)一轮复习 3 数列的综合问题
一、选择题 1.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件)近似地满足 关系式 Sn= (21n-n -5)(n=1,2, 12), ?, 按此预测, 在本年度内, 需求量超过 1.5 万件的月份是( 90 A.5、6 月 C.7、8 月 B.6、7 月 D.8、9 月

n

2

)

1 1 2 2 解析:由 Sn 解出 an= (-n +15n-9),再解不等式 (-n +15n-9)>1.5,得 6<n<9. 30 30 答案:C 2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 OB =a100 OA +a101 OC ,且 A、B、C 三点共线(该直线不过 点 O),则 S200 等于( A.100 C.200 ) B.101 D.201

??? ?

??? ?

??? ?

解析:∵ OB =a100 OA +a101 OC 且 A,B,C 三点共线(该直线不过点 O), ∴a100+a101=1, 200×? ∴S200= 答案:A 3.在数列{an}中,对任意 n∈N ,都有 “等差比数列”的判断: ①k 不可能为 0; ②等差数列一定是等差比数列; ③等比数列一定是等差比数列; ④通项公式为 an=a·b +c(a≠0,b≠0,1)的数列一定是等差比数列. 其中正确的判断为( A.①② C.③④ ) B.②③ D.①④
n
*

??? ?

??? ?

??? ?

a1+a200?
2

=100×(a1+a200)=100×1=100.

an+2-an+1 =k(k 为常数),则称{an}为“等差比数列”.下面对 an+1-an

解析:若 k=0 时,则 an+2-an+1=0,因为 an+2-an+1 可能为分母,故无意义,故 k 不可能为 0,①正 确;若等差、等比数列为常数列,则②③错误.由定义知④正确. 答案:D 4.已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N ,则
*

S10 的值为(
A.-110

) B.-90
1

C.90

D.110
2 2

解析:因为 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,所以 a7=a3a9,又因为公差为-2,所以(a1-12) =(a1-4)(a1- 16),解得 a1=20, 通项公式为 an=20+(n-1)(-2)=22-2n, 10? 所以 S10= 答案:D 1 1 5.已知 x>1,y>1,且 lnx, ,lny 成等比数列,则 xy( 4 4 A.有最大值 e C.有最大值 e B.有最小值 e D.有最小值 e )

a1+a10?
2

=5(20+2)=110.

1 1 1 解析:∵ lnx, ,lny 成等比数列,∴ =lnxlny, 4 4 4 ∵x>1,y>1,∴lnx>0,lny>0. ∴lnx+lny≥2 lnxlny=1(当且仅当 lnx=lny 时等号成立), 即 lnx+lny=lnxy 的最小值为 1,故 xy 的最小值为 e. 答案: B 6.已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x -bnx+2 的两个零点,则 b10 等于( A.24 C.48
n
2

n

)

B.32 D.64
n+1

解析:依题意有 anan+1=2 ,所以 an+1an+2=2

,两式相除得

an+2 =2,所以 a1,a3,a5,?成等比数列, an

a2,a4,a6,?也成等比数列,而 a1=1,a2=2,所以 a10=2×24=32,a11=1×25=32,又因为 an+an+1=bn,
所以 b10=a10+a11=64. 答案:D 二、填空题 7.若数列{an}满足 1

an+1 an

1 1 * - =d(n∈N ,d 为常数),则称数列{an}为调和数列.记数列{ }为调和数列,

xn

且 x1+x2+?+x20=200,则 x5+x16=________. 解析:由题意知, 1 1 - =d,即 xn+1-xn=d, 1 1

xn+1 xn
{xn}是等差数列,又 x1+x2+?+x20=200, 所以 x5+x16=x1+x20=20 . 答案:20 8.设 1=a1≤a2≤?≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数
2

列,则 q 的最小值是________. 3 2 3 解析:设 a2=t,则 1≤t≤q≤t+1≤q ≤t+2≤q ,由于 t≥1,所以 q≥max{t, t+1, t+2}, 3 故 q 的最小值是 3. 3 答 案: 3 9. 已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数, 对于任 意的 x,∈R, y 都有 f(x·y)=xf(y)+yf(x)成立. 数 列{an}满足 an=f(2 )(n∈N ),且 a1=2.则数列的通项公式为 an=________. 解析:令 x=2,y=2
n n-1 n
*

,则 f(x·y)=f(2 )=2f(2

n

n-1

)+2

n-1

f(2),即 f(2n)=2f(2n-1)+2n-1a1, 即 an
n

=2an-1+2 , n= n-1+1,所以数列{ n}为等差数列,由此可得 an=n·2 . 2 2 2 答案:n·2
n

an an-1

an

三、解答题 1 an x * x 10.已知函数 f(x)=a 的图象过点(1, ),且点(n-1, 2)(n∈N )在函数 f(x)=a 的图象上. 2 n (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)令 bn=an+1- an,若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:Sn<5. 2 1 x 解:(1)∵函数 f(x)=a 的图象过点(1, ), 2 1 1 x ∴a= ,f(x)=( ) . 2 2

an an 1 n * x 又点(n-1, 2)(n∈N )在函数 f(x)=a 的图象上,从而 2= n-1,即 an= n-1. n n 2 2
? n+1? (2)由 bn= n 2
2

2

n 2n+1 - n= n 得, 2 2

2

Sn= + 2+?+

3 5 2 2

2n+1 , n 2

1 3 5 2n-1 2n+1 则 Sn= 2+ 3+?+ n + n+1 , 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 2n+1 两式相减得: Sn= +2( 2+ 3+?+ n)- n+1 , 2 2 2 2 2 2 2n+5 ∴Sn=5- n , 2 ∴Sn<5. 11.某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价 值在使用过程中逐年减少.从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年初的 75%.
3

(1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (2)设 An=

a1+a2+?+an ,若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 M 更新.证明: n

须在第 9 年初对 M 更新. 解:(1)当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为-10 的等差数列,

an=120-10(n-1)=130-10n;
3 当 n≥7 时,数列{an}是以 a6 为首项,公比为 的等比数列,又 a6=70,所以 an 4 3 n-6 =70×( ) . 4 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为

?130-10n,n≤6, ? an=? 3 n-6 ,n≥7. ?70×? 4? ?
(2)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1≤n≤6 时,Sn=120n-5n(n-1),

An=120-5(n-1)=125-5n;
当 n≥7 时,由于 S6=570, 故 Sn=S6+(a7+a8+?+an) 3 3 n-6 =570+70× × 4×[1-( ) ] 4 4 3 n-6 =780-210×( ) , 4 3 780-210×? ? 4 An=
n-6

n

.

因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列, 780-210×? 又 A8= 8 3 780-210×? ? 4 A9= 9 3 ? 4
2

47 =82 >80, 64 79 =76 <80, 96

3

所以须在第 9 年初对 M 更新. 12.设各项均为正数的等比数列{an}中,a1+a3=10,a3+a5=40.设 bn=log2an. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)若 c1=1,cn+1=cn+ ,求证:cn<3;
4

bn an

(3)是否 存在正整数 k,使得 最大值,若不存在,说明理由.

1 1 1 k + +?+ > 对任意正整数 n 均成立?若存在,求出 k 的 bn+1 bn+2 bn+n 10

解:(1)设数列{an}的公比为 q(q>0), 由题意有?
? ?a1+a1q =10 ?a1q +a1q =40 ?
n
2 4 2



∴a1=q=2,∴an=2 , ∴bn=n. (2)∵c1=1<3,cn+1-cn= n, 2 1 2 n-1 当 n≥2 时,cn=(cn-cn-1)+(cn-1-cn-2)+?+(c2-c1)+c1=1+ + 2+?+ n-1 , 2 2 2 1 1 1 2 n-1 ∴ cn= + 2+ 3+?+ n . 2 2 2 2 2 1 1 n-1 n+1 相减整理得:cn=1+1+ +?+ n-2- n-1 =3- n-1 <3, 2 2 2 2 故 cn<3. (3)令 f(n)= = 1 1 1 + +?+ bn+1 bn+2 bn+n

n

1 1 1 + +?+ n+1 n+2 2n

1 1 1 ∵f(n+1)-f(n)= + - 2n+1 2n+2 n+1 = 1 1 - >0, 2n+1 2n+2

∴f(n+1)>f(n). ∴数列{f(n)}单调递增, 1 ∴f(n)min=f(1)= . 2

k 1 由不等式恒成立得: < , 10 2
∴k<5. 故存在正整数 k,使不等式恒 成立,k 的最大值为 4

5


【一本通】2014届高考数学一轮复习 第3章 数列的综合问....doc

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第3章 数列的综合问题 _数学_高中教育_教育专区。2014 届高考数学()一轮复习 3 数列的综合问题一、选择题 1.根据市场...

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第3章 数列求和 理.doc

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第3章 数列求和 _数学_高中教育_教育专区。2014 届高考数学()一轮复习 3 数列求和一、选择题 1.等比数列{an}首项与...

(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《数列的综合问题》....doc

(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习数列的综合问题 新人教B版 - [第 32 讲 数列的综合问题] (时间:45 分钟 分值:100 分) 基础热身 2 * 1 .[2013...

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第9章 第56讲 圆锥....ppt

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第9章 第56讲 圆锥曲线的综合应用课件 - x2 y 2 1.若直线y ? kx ? 1与焦点在x轴上的椭圆 ? ?1 5 t 恒有...

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第14章 随机抽样 理.doc

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第14章 随机抽样 _数学_高中教育_教育专区。2014 届高考数学()一轮复习 14 随机抽样一、选择题 1.某学校为调查高三...

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第14章 第73讲 几何....ppt

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第14章 第73讲 几何概型课件 - 1.在区间?1,3? 上任取一数,则这个数大于1.5的概 率为 . 0.75 x?2 2.已知集合...

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套....ppt

【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:3.5 数列的综合应用(共29张PPT)_数学_高中教育_教育专区。§3.5 数列的综合应用 本节目录 教材回顾...

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第15章 定积分与微....doc

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第15章 定积分与微积分基本定理 _数学_高中教育_教育专区。2014 届高考数学()一轮复习 15 定积分与微积分基本定理一、...

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第15章 参数方程 理.doc

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第15章 参数方程 _数学_高中教育_教育专区。2014 届高考数学()一轮复习 15 参数方程 1 .在平面直角坐标系 xOy 中,...

2014届高考数学一轮复习课件:第五章第5课时数列的综合....ppt

2014届高考数学一轮复习课件:第五章第5课时数列的综合应用(新人教A版)_其它课程_高中教育_教育专区。第5课时 数列的综合应用 2014高考导航考纲展示 备考指南 1....

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第6章 第39讲 不等....ppt

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第6章 第39讲 不等式的解法课件 - 1.不等式 ? x 2 ? 2x ? 3 ? 0的解集是 ? x | ?3 ? x ? 1? 解析:...

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第14章 离散型随机....doc

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第14章 离散型随机变量及其分布列 _数学_高中教育_教育专区。2014 届高考数学()一轮复习 14 离散型随机变量及其分布列...

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第11章 空间几何体....doc

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第11章 空间几何体的结构特征及三视图和直观图 _数学_高中教育_教育专区。2014 届高考数学()一轮复习 11 空间几何体的...

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第8章 直线与圆的位....doc

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第8章 直线与圆的位置关系 _数学_高中教育_教育专区。2014 届高考数学()一轮复习 8 直线与圆的位置关系 1.如图,AB ...

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第1章 第1讲 集合的....ppt

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第1章 第1讲 集合的概念、集合间的基本关系课件 - = { 1.用适当的符号填空: 0,1?,,b} b,a}; 0 ∈? {a 0...

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第14章 第74讲 互斥....ppt

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第14章 第74讲 互斥事件的概率课件 - 1.把红,黄,蓝,白4张纸牌随机分发给甲,乙,丙, 丁4人,事件“甲分得红牌”与...

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第2章 第14讲 幂函....ppt

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第2章 第14讲 幂函数课件 - 1.

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第5章 第34讲 向量....ppt

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第5章 第34讲 向量的数量积课件 -

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第15章 第77讲 相似....ppt

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第15章 第77讲 相似三角形的判定与性质课件 - 1.如图,在V ABC中,点D在线段BC上,?BAC ? ?ADC,AC ? 8,BC ? ...

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第12章 第66讲 基本....ppt

【一本通】2014届高考数学一轮复习 第12章 第66讲 基本算法语句课件 - 1. 计算机执行下面的伪代码后,输出 3,1 的结果是 ___ . a←1 b←2 a...