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内蒙古准格尔旗世纪中学人教A版高中数学必修五:2.3《等差数列的前n项和》课件2_图文

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等差数列的前n项和

新知
定义:设数列 {an}a1,a2,a3 an
我们把a1+a2 + a3 + … + an叫做 数列{ an }的前n项和,记作Sn.

问题提出
从一加到一百有什么方法加最快呢? 高斯在10岁时就巧妙地求出了n=100时的结果.
S100=1 +2 +3 +4 +…+98+99+100
=100+99+98+97+…+3 + 2+ 1
这两个等式上、下对应的和均为101,所以. 2S100=101+101+101+…+101+101+101
因为有100个101,所以.2S100=101×100=10100 S100=5050

问题提出
有200根相同的圆木料,要把它们堆放成正三角形 垛,并使剩余的圆木料尽可能的少,那么将剩余多 少根圆木料?
… …… …
根据题意,各层圆木料数比上一层多一根,故其构成 等差数列: 1,2,3,4,… 设共摆放了n层,能构成三角形垛的圆木料数为Sn,则:
Sn=1+2+3+4+…+n

抽象概括
设Sn是等差数列{an}的前n项和,即
S n? a 1? a 2? a 3? ...? a n
那么根据等差数列{an}的通项公式,上式可以写成:
S n ? a 1 ? ( a 1 ? d ) ? ( a 1 ? 2 d ) ? . . . ? [ a 1 ? ( n ? 1 ) d ] ①
再把项的次序反过来,又可以写成
S n ? a n ? ( a n ? d ) ? ( a n ? 2 d ) ? . . . ? [ a n ? ( n ? 1 ) d ] ②

把①,②等号两边分别相加,得

2 S n ? ( a 1 ? a n ) ? ( a 1 ? a n ) ? . . .? ( a 1 ? a n )

n个

?n(a1 ?an)

于是,首项为a1 ,末项为an,项数为n的等差数列的 前n项和

Sn

?

n(a1 ? 2

an )



这个公式表明:等差数列的前n项和等于首末两项的 和与项数乘积的一半.

将 an?a1?(n?1)d代入③式 ,得

Sn

?na1

?n(n?1)d 2



特别地,当a1 =1, d =1时,n个连续正整数的和
Sn?1?2?3?...?n?n(n 2?1)

圆木料问题,即转化为求满足

Sn

?

n(n?1) 2

?200

的最大自然数n

当 n?19时 ,Sn?190; 当 n?20时 ,Sn?210. 所 以 n的 最 大 值 为 19.
此时,将堆垛19层,剩余10根圆木料.

例1.求n个正奇数的和.
解: 由等差数列前n项和公式,得
1 ? 3 ? 5 ? ...? (2 n ? 1 )? n (1 ? 2 n ? 1 )? n 2 2
也可用面积图来表示

例2.在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国 古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天 坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成,最高一层的中心是 一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始, 每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问:
(1)第9圈共有多少块石板? (2)前9圈一共有多少块石板?

解(1)设从第1圈到第9圈石板数所在成数列为{an} ,
由题意可知{an}是等差数列,其中a1=9,d=9,n=9. 由等差数列的通项公式,得第9圈有石板
a 9 ? a 1 ? ( 9 ? 1 ) d ? 9 ? ( 9 ? 1 ) ? 9 ? 8 1 (块)
(2)由等差数列前n项和公式,得前9圈一共有石板
S 9? 9 a 1? 9 (9 2 ? 1 )d? 9 ? 9 ? 9 ? 2 8 ? 9 ? 4 0 5 (块)
答:第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板.

例3.在数列{an}中 , an=2n+3,求这个数列自第100项 到第200项之和S的值.

解:由于 a n ? 1 ? a n ? [ 2 ( n ? 1 ) ? 3 ] ? ( 2 n ? 3 ) ? 2

所以数列{an}是公差为2的等差数列,此数列自第

100项到第200项仍是等差数列.共有101项,所求

和为

S?a100 ?a200?101 2
?2?100?3?(2?200?3)?101 2

?30603

例4.在新城大道一侧A处,运来20棵新树苗.一名工人 从A处起沿大道一侧路边每隔10m栽一棵树苗,这名工 人每次只能运一棵.要栽完这20棵树苗,并返回A处, 植树工人共走了多少路程?
解:植树工人每种一棵树并返回A处所要走的路程 (单位:m)组成了一个数列 0,20,40,60,…,380, 这是首项为0,公差为20,项数为20的等差数列,其和
S?20?(20?1)?20?3800(m ) 2
答:植树工人共走了3800m的路程.

课堂练习

1.已知一个数列的前n项和为 Sn ?n2?n?1,

求它的通项公式, 它是等差数列吗?
解:当 n ? 2时, an?Sn?Sn?1

?(n2?n?1)?[(n?1)2?(n?1)?1]?2n

当n=1时, a1 ? S1 ?1

? an ?

1 (n=1), 2n (n≥2),

a2?a 1?4?1?3?2,

∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数.

∴ {an} 不是等差数列.

课堂练习
2.已知两个等差数列{an}与{bn},它们的前n项和的比为
Sn ? n?3,求a10 . Sn? n?1 b10 解:设 S n ? k n ( n ? 3 ) ,S n ?? k n ( n ? 1 ) ,
? a10?k?10(10?3)?k?9(9?3)?11 b 10 k?10(10?1)?k?9(9?1) 10

课堂小结

倒序求 推导 等差数列前

和法

n项和公式

Sn

?

n(a1 ? an) 2

Sn

?na1

?n(n?1)d 2

谢谢观看!


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