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数列应用(储蓄)

时间:2014-06-10


数列应用

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储 蓄 分期付款
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储蓄与人们的日常生活密切相关,它对支援国家建设、 安排好个人与家庭生活具有积极意义。计算储蓄所得 利息的基本公式是:

利息=本金×存期×利率
根据国家规定,个人储蓄存款利息应依法纳税,计算公 式为:

应纳税额=利息全额×税率
其中的税率为20%.个人储蓄实际所得为:

本金+利息-应纳税额

常见的几种储蓄方法
一、整存整取定期储蓄

二、活期储蓄 三、分期储蓄
四、复利计息储蓄

整存整取定期储蓄
这是指一次存入本金,完成约定存期后一次取出本金 及其利息的一种储蓄。中国人民银行在某段时间内规定 的这种储蓄的年利率如下.





1年

2年

3年

5年

年利率(%) 2.25

2.45

2.70

2.88

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例1、某人按整存整取定期储蓄方式存 入银行5000元,存期 5 年。到期后可取 出多少元? 解:5年到期时所得利息为

5000×5×2.88% = 820 (元)
应纳税

820 ×20% =
实际取出

164 (元) 5656 (元)
看看 利率 看看 公式

5000+820-164 =

活期储蓄
这是指存期不定,可以随时存取的一种储蓄。计算利息 时,每年按360天,每月按30天计算存期。

例2、某人今年十月一日存入银行500元,活 期储蓄到年底。日利率为0.00275%,到期后 可取出多少元?
解:由于存期是3个月共90天,到期利息是

500×90×0.00275% = 1.2375 (元) 应纳税 1.2375 ×20% = 0.2475 (元) 到期后可取出 500+1.2375-0.2475 = 500.99 (元)

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分期储蓄
这是指一种分期存入一次取出的储蓄方式。 例3、某人从一月起,每月第一天存入 银行100元,到12月最后一天取出全部 本金及其利息。已知月利率是0.165%, 他可取得多少钱?

研究

答案

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一般地,设每期期初存入银行金额A,连存 n 次,每期的利 率都是 p , 那么到第 n 期期末

nA 本金共有: ______________
由于每期利息 = 本金×期数×利率,那么各期的利息 是

期 次
1
2 …

期数





n n-1

2 1

Apn Ap(n-1)


Ap×2 Ap×1

n-1

成 等 差 数 列

n

一般地,设每期期初存入银行金额A,连存 n 次,每期的利率
都是 p , 那么到第 n 期期末

nA 本金共有: ______________
全部利息是 :

Sn = Ap + Ap×2 + …+ Ap(n-1) + Apn

=
=

Ap(1 + 2 + … + n )

1 n(n-1)Ap 2

一般地,设每期期初存入银行金额A,连存 n 次,每期的利率
都是 p , 那么到第 n 期期末

nA 本金共有: ______________ 1 全部利息是 : Sn = n(n-1)Ap 2 ________________ 1 1 n(n-1)Ap×20% = n(n-1)Ap 应纳税 : 2 10 ___________________________
1 1 实际取出 : nA + n(n-1)Ap- n(n-1)Ap 2 10 2 = A[ n + n(n + 1) p] 5 ________________

即用分期储蓄方式存款,期满后实际取出公式为

an= A[ n +0.4n(n + 1) p] ____________________


A= 100 n= 12

p= 0.165%



实际取出 :
100(12 + 0.4×12×13×0.165% )

= 1210.30 (元)

复利储蓄
复利是计算利息的一种方法,即把前一期的利 息和本金加在一起算做本金,再计算下一期的利息。 我国现行的定期储蓄中的自动转存业务类似复 利计息的储蓄。

各期期利率如下表:( 期利率=期数×年利率 )





1年

2年 2.43 4.86

3年 2.70 8.10

5年 2.88 14.40

年利率(%) 2.25 期利率(%) 2.25

思考1:某人采用一年定期存款方式每年年初存入银行 100元,连存15年后取出。问:他能取出多少钱?
(设1年定期年利率是2.25%)

第1次存入到期后本利和是: 第2次存入到期后本利和是:
第3次存入到期后本利和是: …… 第15次存入到期后本利和是:

100×(1+2.25%)15 100×(1+2.25%)14 100×(1+2.25%)13 ……
100×(1+2.25%)1

成 等 比 数 列

15年后本利和总共是: 100×1.0225×(1.022515-1) ÷0.0225 = 1800.54(元) 应纳税: (1800.54-100×15) ×20% = 60.11(元) 实际取出: 1800.54-60.11 = 1740.43(元)

思考2:某人采用一年定期存款方式每年年初存入银行等额 钱数,使连存15年后能取出10万元现金。问:他每年至少 应存进银行多少钱?(年利率2.25%)

思考3:某人在某银行每年年初去存入6000元钱,计划若干 年后从银行能取出现金12万元钱。问:他至少要连存多少 年? 思考2答案 思考3答案 每年至少要存进 5746元 至少要连存17年

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分期付款问题
在日常生活中,一些商店为了促销,便于顾客购买一些售价较 高的商品,在付款上较为灵活,可以一次性付款,也可以分期付款, 分期付款中又有几种付款方案供选择,如下表所例:

方案 分次付清 1 3次 2 6次









购买后4个月第一次付款,再过4个月第二次付款, 再过4个月第三次付款. 购买后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款,再 过2个月第3次付款……购买后12个月第6次付款.

3

12次

购买后1个月第1次付款,再过1个月第2次付款,再 过1个月第3次付款…购买后12个月第12次付款.

某顾客购买一件5000元的商品时,要根据自己的经济 状况,适当选择一种方案购物.你能帮他谋划吗? 规定月
利率为0.8% ,每月利息按复利计算 .

顾客先不付款将5000元的商品买走,也就是先欠了商家5000元款, 以后的分期付款也就是还款,故应有:

所还款+利息 = 欠款+利息
设顾客以后每期等额还款X元,采用方案1付款是 1 2 3

4
X

5

6

7

8
X

9

10

11

12
X

还款

X(1+0.8%) X(1+0.8%) 生息 X(1+0.8%)2 …… X(1+0.8%)3 X(1+0.8%)4 …… X(1+0.8%)8

还款带利 X(1+0.8%)8 + X(1+0.8%)4 + X 息共有

顾客先不付款将5000元的商品买走,也就是先欠了商家5000元款, 以后的分期付款也就是还款,故应有: 故有方程 X(1+0.8%) + X(1+0.8%) + X = 5000×(1+0.8)12 设顾客以后每期等额还款X元,采用方案1付款是 12 解方程得: X= 5000 × (1+0.8%) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1775.8 11 12 即每次付款 元 , 3次共付款 元 X 还款 X 2付款有方程 X 5327 类似采用方案 1775.8 X(1+0.8%) X(1+0.8%) 8+…+X(1+0.8%) 2+X=5000×(1+0.8%)12 2 生息10+X(1+0.8%) X(1+0.8%) X(1+0.8%) …… X(1+0.8%)3 元X(1+0.8%)4 解得X= 6次共付款 …… 880.8 5285 用方案3付款时,有类似形的方程 ,可得到每次付款额是 X(1+0.8%)8 438.6元 , 12次共付款 5263 元. 还款带利 X(1+0.8%)8 + X(1+0.8%)4 + X 息共有

所还款 +利息 = 欠款 +利息 8 4

建设银行开办有住房贷款业务,年利 练一练 率是10%,按复利计息。青年教师王 练一练 练一练 练一练 某从银行贷款购得一套10万元的住房, 首付房款2万元,余下房款5年内付清。 小王计划每年年底等额还钱,那么他 每次需准备多少钱?若他每年年初还 钱需准备多少钱?(结果保留到个位)
每年底要还21104元
每年初要还19186元

分期付款或贷款定期还款与复利储蓄的计算有着相同 之处,这就是: 复利储蓄在计算本利和时,与分期付款是 结构一样的运算式


Sn ? A(1 ? r ? r ? ?? r )
2

n?1



Sn ? A(r ? r ? ?? r
2

r ?1 ? A( ) r ?1
n

年尾付款

n?1

?r )
n

? A(

r

n ?1

?r ) r ?1

年头付款 其中

r = 1+p

这都要用到数列的知识来解决问题

分析一般:设本金为a元,相应的期利率为p,到期本利 和为y,存期为n
1期后本利和是: 2期后本利和是:

例4、某人欲存入银行1500元,准备15年后取出。 为使15年后取出的钱最多,他应采用何种定期存 款方式?

y1= a + a×p = a(1 + p) y2= a(1 + p) + a(1 + p) p = a(1 + p)2 y3= a(1 + p)3

3期后本利和是: ……

n期后本利和是: yn = a(1 + p)n

解:设本金为a元,相应的期利率为p,到期本利和为y,存期 为n,

例4、某人欲存入银行1500元,准备15年后取出。 为使15年后取出的钱最多,他应采用何种定期存 款方式?

n期后本利和是: yn = a(1 + p)n
全部利息是: 应纳税:

a(1 + p)n - a [ a(1 + p)n - a] ×20%

实际取出:

a(1 + p)n - [ a(1 + p)n - a] ×20% = 0.8a(1 + p)n + 0.2 a

例4、某人欲存入银行1500元,准备15年后取出。 为使15年后取出的钱最多,他应采用何种定期存 款方式?
定期方式 15年期数 1年定期
2年定期 3年定期









15期
7.5期 5期

1975.45
计息按7期算,最后一年按活期计息. 不合算

1992.36

5年定期

3期

2071.37 2096.63

据上表可知,采用5年定期的存款方式最合算
计算公式 :

an = 0.8a(1 + p)n + 0.2a

看看 利率


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