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2.3.1双曲线及其标准方程_图文

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看课本P52---P54 1、掌握双曲线的画法及定义 2、能推导双曲线的标准方程 3、能准确判断双曲线焦点的位置 4、掌握参数a,b,c之间的关系 10分钟后回答问题(如有疑问可以问老 师或同桌小声讨论) 双曲线定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. | |MF1| - |MF2| | = 2a ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 说明 思考: (1)2a<2c ; (2)2a >0 ; F 1 M o F 2 (1)若2a=2c,则轨迹是什么? (1)两条射线 (2)若2a>2c,则轨迹是什么? (2)不表示任何轨迹 (3)若2a=0,则轨迹是什么? (3)线段F1F2的垂直平分线 y M y M F2 x F O 1 F 2 x O F1 x y ? 2 ?1 2 a b 2 2 y x ? ? 1 2 2 a b 2 2 (a ? 0,b ? 0) 问题 1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上? 看 x , y 前的系数,哪一个为正, 则在哪一个轴上 2 2 2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区 别与联系? 双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭 定义 圆 双曲线 ||MF1|-|MF2||=2a |MF1|+|MF2|=2a 方程 2 2 x2 y 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 a b a b 焦点 F(±c,0) F(±c,0) F(0,±c) a.b.c的关 系 F(0,±c) a>0,b>0,但a不一 定大于b,c2=a2+b2 a>b>0,a2=b2+c2 练习1.根据方程,写出焦点坐标及 ????????????a, b的值: 2 2 (1).x ? 15 y ? 15 焦点(?4,0), a ? 15, b ? 1 2 2 y x (2). ? ? 1 3 4 焦点(0, ? 7),a ? 3, b ? 2 例 1 已 知 两 定 点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足 PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程. 解: ∵ F1F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6 ∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0) x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. x2 y2 ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16 变式训练 1:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 10 ,求动点 P 的轨迹方程. 解: ∵ F1F2 ? 10 , PF1 ? PF2 ? 10 ∴ 点 P 的轨迹是两条射线, 轨迹方程为 y ? 0( x ≥ 5 或x ≤ ?5) . 变式训练 2:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 变式训练 2:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足 PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 解: ∵ F1F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6 ∴ 由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0) x y ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16. x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16 2 2 x y 例2:如果方程 ? ? 1 表示双曲 2? m m ?1 线,求m的取值范围. 2 2 解: 由(2 ? m)(m ? 1) ? 0 得m ? ?2或m ? ?1 ∴ m 的取值范围为 (??, ?2) ? (?1, ??) 思考: 2 2 方程 x ? y ? 1 表示焦点在y轴双曲线时, 2? m m ?1 m ? ?2 则m的取值范围_____________. 课堂练习: 1. 已知在 △ ABC 中 , B(?5, 0) , C (5, 0), 点 A 运动时满足 3 sin B ? sin C ? sin A ,求点 A 的轨迹方程. 2 2 5 2. 如图, 圆 O 的半径为定长 r , A 是 圆 O 外一定点, P 是圆上任意一点, 线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q ,当点 P 在圆 O 上运动 时 ,点 Q 的轨迹是什么? 为什么? x y ? ? 1( x ? ?3) 9 16

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