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高中数学第二章数列2.5.2等比数列前n项和的性质及应用学业分层测评新人教A版必修5

时间:

2.5.2 等比数列前 n 项和的性质及应用
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题

A.1,1

1.已知 an=(-1) ,数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S9 与 S10 的值分别是(

n

B.-1,-1

)

拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小 心为兄弟 ,以希 望为哨 兵。

C.1,0

D.-1,0

【解析】 S9=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1,

S10=S9+a10=-1+1=0.
【答案】 D 2.已知等比数列的公比为 2,且前 5 项和为 1,那么前 10 项和等于( A.31 C.35 【解析】 根据等比数列性质得 ∴ B.33 D.37 )

S10-S5 5 =q , S5

S10-1
1

=2 ,∴S10=33.

5

【答案】 B 3. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 4a1,2a2, a3 成等差数列. 若 a1=1, 则 S4 等于( A.7 C.15 【解析】 设{an}的公比为 q, ∵4a1,2a2,a3 成等差数列, ∴4a2=4a1+a3,即 4a1q=4a1+a1q , 即 q -4q+4=0, ∴q=2, 又 a1=1, 1-2 ∴S4= =15,故选 C. 1-2 【答案】 C 4.在等比数列{an}中,如果 a1+a2=40,a3+a4=60,那么 a7+a8=( A.135 C.95 B.100 D.80
1
4 2 2

)

B.8 D.16

)

【解析】 由等比数列的性质知 a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8 成等比数列, 60 3 其首项为 40,公比为 = , 40 2

?3?3 ∴a7+a8=40×? ? =135. ?2?
【答案】 A 5.数列{an},{bn}都是等差数列,a1=5,b1=7,且 a30+b30=60,则{an+bn}的前 30 项 的和为( ) B.1 020 D.1 080

A.1 000 C.1 040

【解析】 {an+bn}的前 30 项的和 S30=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(a30+b30)=(a1+a2+

a3 +…+ a30)+ (b1+ b2 +b3+…+b30)=
=1 080. 【答案】 D 二、填空题

a1+a30
2



b1+b30
2

= 15(a1+ a30 + b1+ b30)

6.等比数列{an}共有 2n 项,它的全部各项的和是奇数项的和的 3 倍,则公比 q= ________. 【解析】 设{an}的公比为 q,则奇数项也构成等比数列,其公比为 q ,首项为 a1,
2

S2n=

a1

-q 1-q

2n


n

a1[1- q2 S 奇= 2 1-q
由题意得

] . = 3a1 -q 2 1-q
2n

a1

-q 1-q

2n

.

∴1+q=3,∴q=2. 【答案】 2 7.数列 11,103,1 005,10 007,…的前 n 项和 Sn=________. 【解析】 数列的通项公式 an=10 +(2n-1). 所以 Sn=(10+1)+(10 +3)+…+(10 +2n-1)=(10+10 +…+10 )+[1+3+…+ (2n-1)]= 【答案】 -10 1-10
n
2

n

n

2

n



n

+2n- 2

10 n 2 = (10 -1)+n . 9

10 n 2 (10 -1)+n 9
2 10 2 10

8.如果 lg x+lg x +…+lg x =110,那么 lg x+lg x+…+lg x=________. 【解析】 由已知(1+2+…+10)lg x=110,

2

∴55lg x=110,∴lg x=2. ∴lg x+lg x+…+lg x=2+2 +…+2 =2 -2=2 046. 【答案】 2 046 三、解答题 9.在等比数列{an}中,已知 S30=13S10,S10+S30=140,求 S20 的值. 【解】 ∵S30≠3S10,∴q≠1. 由?
? ?S30=13S10, ?S10+S30=140, ?
2 10 2 10 11

得?

? ?S10=10, ?S30=130, ?

? ? ∴? a ? ?
20

a1
1

-q 1-q -q 1-q
10

10

=10,
30

=130,
10

∴q +q -12=0,∴q =3, ∴S20=

a1

-q 1-q

20

=S10(1+q )=10×(1+3)=40.

10

?1? 10.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,求数列? ?的 ?an?

前 5 项和. 【解】 若 q=1,则由 9S3=S6 得 9×3a1=6a1,则 a1=0,不满足题意,故 q≠1. 由 9S3=S6 得 9×

a1

-q 1-q

3



a1

-q 1-q

6

,解得 q=2.故 an=a1q

n-1

=2

n-1

1 ?1?n-1 , =? ? . an ?2?

? ?1?5? 1×?1-? ? ? ?1? 1 ? ?2? ? 31 所以数列? ?是以 1 为首项, 为公比的等比数列, 其前 5 项和为 S5= = . a n 2 1 16 ? ? 1- 2
[能力提升] 1.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S10∶S5=1∶2,则 S15∶S5=( A.3∶4 C.1∶2 B.2∶3 D.1∶3 )

【解析】 在等比数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10,…成等比数列,因为 S10∶S5=1∶ 3 2,所以 S5=2S10,S15= S5,得 S15∶S5=3∶4,故选 A. 4 【答案】 A 2.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,称 Tn=

S1+S2+…+Sn 为数列 a1,a2,a3,…,an 的“理 n

想数”,已知数列 a1,a2,a3,a4,a5 的理想数为 2 014,则数列 2,a1,a2,…,a5 的“理

3

想数”为( A.1 673 C. 5 035 3

) B.1 675 D. 5 041 3

【解析】 因为数列 a1,a2,…,a5 的“理想数”为 2 014,所以

S1+S2+S3+S4+S5
5

=2

014 ,即 S1 + S2 + S3 + S4 + S5 =5×2 014,所以数列 2 , a1 , a2 ,…, a5 的“理想数”为 2+ +S1 + 【答案】 D 3 * 3.已知首项为 的等比数列{an}不是递减数列,其前 n 项和为 Sn(n∈N ),且 S3+a3,S5 2 +a5,S4+a4 成等差数列,则 an=________. 【解析】 设等比数列{an}的公比为 q,由 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列,所以 S5 +S2 +…+ 6 +S5 = 6×2+5×2 014 5 041 = . 6 3

a5 1 2 +a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即 4a5=a3,于是 q = = . a3 4
3 1 又{an}不是递减数列且 a1= ,所以 q=- . 2 2 故等比数列{an}的通项公式为

an= ×-
=(-1)

3 2

1n-1 2 3 × n. 2
n-1

n-1

【答案】 (-1)

3 × n 2

9 4.已知等差数列{an}满足 a3=2,前 3 项和 S3= . 2 (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足 b1=a1,b4=a15,求{bn}的前 n 项和 Tn. 【解】 (1)设{an}的公差为 d,则由已知条件得

a1+2d=2,3a1+

3×2 9 d= , 2 2

3 化简得 a1+2d=2,a1+d= , 2 1 解得 a1=1,d= , 2 故{an}的通项公式 an=1+

n-1
2

,即 an=

n+1
2

.

4

(2)由(1)得 b1=1,b4=a15=
3

15+1 =8. 2

设{bn}的公比为 q,则 q = =8,从而 q=2, 故{bn}的前 n 项和 Tn=

b4 b1

b1

-q 1-q

n



-2 1-2

n

=2 -1.

n

5


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