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2016届江苏高三数学模拟分类汇编(数列)解析版

时间:2016-01-07


2015 届高三数学模拟分类汇编 —数列
1. (常州市 2015 届高三年级第一次模拟考试数学试卷)12.设等比数列 ?an ? 的公比为 q

3 ( 0 ? q ?1 ) ,前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 4a3 a4 ,且 a 6 与 a4 的等差中项为 a 5 ,则 S6 ? 4
【答案】



63 . 4

【命题立意】本题旨在考查等比数列的性质与求和,等差数列的性质,考查函数与方程思想 以及运算能力,难度中等.
2 ? a1 ? 4a1 q 5 1 a1 (1 ? q 6 ) 63 ? 【解析】由题可得 ? ,解得 a =8 , q= ,那么 S = = . 3 3 1 6 4 5 2 a q ? a q ? a q 2 4 1 ? q 1 1 1 ? 4 ?

2. (江苏省淮安、 宿迁、 连云港、 徐州四市 2015 届高三第一次模拟考试) 8. 在等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? a8 ? 11 ,则 3a3 ? a11 的值为______. 【答案】22. 【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项与性质.考查函数与方程思想,难度中等. 【解析】方法一:由等差数列的通项可得 a2+a8=2a1+8d=11,那么 3a3+a11=4a1+16d=22. 方法二:由等差数列的性质可得 a2+a8=2a5=11,那么 3a3+a11=2a3+2a7=4a5=22. 【方法技巧】与等差数列和等比数列有关的问题,在处理过程中一般是利用方程组法,或者 利用等差数列和等比数列的性质进行转化求解,注意要合理的进行选择。 3. (江苏省苏州市 2015 届高三上学期期末考试数学试卷) 5 .已知等差数列 {an } 中,

a4 ? a6 ? 10 ,若前 5 项的和 S5 ? 5 ,则其公差为
【答案】2.



【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项公式与求和公式.考查函数与方程思想,难度较 小. 【解析】联立 ?

?a4 ? a6 ? 2a1 ? 8d ? 10 ?a1 ? ?3 ,可解得 ? . ? S5 ? 5a1 ? 10 d ? 5 ? d ?2

4. (江苏省泰州市 2015 届高三上学期期末考试数学试卷) 8. 等比数列 {an } 中, a1 ? 32a6 ? 0 ,

a3a4 a5 ? 1 ,则数列的前 6 项和为



【答案】 ?

21 . 4
1 1 ,解得 q=- , 2 32

【命题立意】本题旨在考查等比数列的通项与求和. .考查运算和推理能力,难度较小. 【解析】由 a1+32a6=0 可得 a1+32a1q5=0,即 a1(1+32q5)=0,可得 q5=-
3 3

21 a1 (1 ? q 6 ) 而 a3a4a5=a4 =1,即有 a4=1= a1q ,可得 a1=-8,故 S6= =- . 4 1? q
5. (江苏省无锡市 2015 届高三上学期期末考试数学试卷)12.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,
? 前 n 项和为 Sn ,且满足 2an ?1 ? S n ? 2 n ? N ,则满足

?

?

1001 S2 n 11 ? ? 的 n 的最大值 1000 Sn 10

为 【答案】9.



【命题立意】本题旨在考查等比数列的定义与求和,数列求和的计算,根据数列的递推关系 式判断数列是等比数列是解决问题的关键.考查函数和方程思想,难度中等. 【解析】由于 2an+1+Sn=2(n∈N*) ,则当 n≥2 时,2an+Sn-1=2,两式相减可得 2an+1+Sn-2an

1 -Sn-1=2an+1-an =0,即 2an+1= an(n≥2) ,而当 n=1 时,由 2a2+S1=2 及 a1=1 可得 a2= 2 ,

1 1 ? ( )n 2 1 1 1? 2 =2[1 则 2an+1= an 对 n=1 时也成立, 则数列{an}是首项 a1=1, q= 2 的等比数列, 则有 Sn= 1 2[1 ? ( ) 2 n ] 2 S2n 1 1 1 1 2[1 ? ( ) n ] S n 2n 2 -( 2 ) ],S2n=2[1-( 2 ) ],可得 n = =1+( 2 )n,那么原不等式可转
1001 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 n n 9 8 化为 1000 <1+( 2 ) < 10 ,即 1000 <( 2 ) < 10 ,而( 2 ) = 512 , ( 2 ) = 256 , (2 ) 1 10 1024 = ,所以满足条件的 n=9.
6. (江苏省苏锡常镇四市 2015 届高三教学情况调研(一)数学试题)8.已知等比数列 ?an ?
2 的各项均为正数,若 a4 ? a2 , a2 ? a4 ?

5 ,则 a5 ? 16



【答案】

1 32

【命题立意】本题考查了等比数列通项公式,考查了函数与方程思想,难度中等.
2 【解析】将 a4 ? a2 代入 a2 ? a4 ?

1 5 1 5 1 中,解得 a2 ? , a2 ? ? (舍) ,∴ a4 ? ,∴ q ? , 16 4 4 16 2

∴ a5 ? a4 q ?

1 . 32

7. (南京市、盐城市 2015 届高三年级第二次模拟考试 数学试题)10.记等差数列 前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 2 ,且数列 【答案】50

?an ?的

? S ?也为等差数列,则 a
n

13 =



【命题立意】本题旨在考查数列.考查概念的理解和应用,以及方程思想,难度中等. 【解析】由 Sn ?

2n ?

d n(n ? 1) n2 d d? d ? (2 ? )n 为等差数列,则 2 ? =0 即 d=4. 2 2 2 2

∴ a13 =2+12×4=50. 8. (江苏省南京市 2015 届高三第三次模拟考试数学试题)10.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 Sk-1=8,Sk=0,Sk+1=-10,则正整数 k= 【答案】9 【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项与求和公式,考查方程思想以及运算能力. 【解析】由 Sk-1=8,Sk=0,Sk+1=-10 可得 ak=-8,ak+1=-10,那么 d=-2,又由 Sk = .

k ( a1 ? ak ) =0 可得 a1=8,故 ak=a1+(k-1)d=-8,解得 k=9. 2

9. (江苏省苏锡常镇四市 2015 年高三教学情况调研 (二) 数学试题) 10. 已知等差数列 ?an ? 满足: a1 ? ?8, a2 ? ?6 .若将 a1 , a4 , a5 都加上同一个数 m ,所得的三个数依次成等比 数列,则 m 的值为 【答案】-1 【命题立意】本题旨在考查等差数列与等比数列的性质与应用. 【解析】由题可得 d=a2-a1=2,那么 a4=a1+3d=-2,a5=a1+4d=0,而将 a1,a4,a5 都加 上同一个数 m,可得-8+m,-2+m,m 成等比数列,则有(-2+m)2=(-8+m)m, 解得 m=-1. 10. (江苏省徐州、连云港、宿迁三市 2015 届高三第三次模拟考试数学试题)6.设等差数列

{an } 的前 n 项为 Sn , a3 ? a5 ? 26, S4 ? 28, 则 a10 的值为

.

【答案】37 【命题立意】 本题旨在考查等差数列的通项、 性质与求和, 考查方程思想以及运算能力, 难度较小. 【解析】由于 ?

?a3 ? a5 ? 2a1 ? 6d ? 26 ?a1 ? 1 ,解得 ? ,故 a10=a1+9d=37. d ? 4 S ? 4 a ? 6 d ? 28 ? 1 ? 4

11. (江苏省盐城市 2015 届高三第三次模拟考试数学试题)13.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前

n 项和,若数列 ?an ? 满足 an ? Sn ? An2 ? Bn ? C 且 A ? 0 ,则
为 .

1 ? B ? C 的最小值 A

【答案】2 3 【命题立意】本题旨在考查等差数列的性质、通项与求和公式,基本不等式,考查函数 与方程思想,难度中等. 【解析】根据 an+Sn=An2+Bn+C 及等差数列的性质,可设 Sn=An2+Dn,则 an=(B-D) n+C , 则 有 a1=B - D+C , 由 等 差 数 列 的 求 和 公 式 可 得

? B?D ?A ? n( a1 ? an ) B ? D 2 B ? D ? 2C 2 2 Sn= = n+ n=An +Dn ,则有 ? ,消去参 B ? D ? 2C 2 2 2 ? ?D 2 ?
数 D 并整理可得 B-C=3A, 故

1 1 1 1 +B-C= +3A≥2 当且仅当 =3A, ? 3 A =2 3 , A A A A

即 A=

3 时等号成立. 3


12. (江苏省南通市 2015 届高三第三次调研测试)8.在等差数列{an}中,若 an+an+2=4n+6 (n∈N*) ,则该数列的通项公式 an= 【答案】2n+1 【命题立意】本题考查等差数列的性质,意在考查转化能力,难度较小. 【解析】设等差数列{an}的公差为 d ,? an ? an?2 ? 4n ? 6 ,

? a1 ? (n ?1)d ? a1 ? (n ? 1)d ? 4n ? 6 ,

? a1 ? nd ? 2n ? 3 ,即 an?1 ? 2n ? 3 ,? an ? 2n ? 1(n ? N? ) .
【方法技巧】等差数列的通项公式,一般是利用方程组或性质求出数列的首项和公差,对于

一些递推数列,要根据递推关系,选择合适的方法进行构造或转化进行求解. 13. (江苏省扬州市 2015 届高三上学期期末考试数学试卷)13.设数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且 an ? 4 ? (? ) 围是 【答案】[2,3]. 【命题立意】本题旨在考查数列求和,不等式的确定等.考查函数和方程思想,转化和化归 能力,难度中等. 【 解 析 】 由 题 可 得 Sn=a1+a2+ ? +an=4n+ ( -

1 2

n ?1

,若对任意 n ? N * ,都有 1 ? p(Sn ? 4n) ? 3 ,则实数 p 的取值范



1 1 1 0 1 n- ) +(- ) +?+(- ) 2 2 2

1 1 ? (? ) n 1 2 =4n+ 2 - 2 (- 1 )n,令 f(n)=S -4n= 2 - 2 (- 1 )n,当 n=1 时, =4n+ n 1 3 3 2 3 3 2 1? 2 2 2 1 2 2 1 1 f(n)min= - (- )1=1,此时 p≤3;当 n=2 时,f(n)max= - (- )2= , 3 3 2 3 3 2 2
此时 p≥2;综合可得 2≤p≤3. 14. (江苏省镇江市 2015 届高三上学期期末考试数学试卷)9.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和 为 S n ,若 S 3 ? 7, S 6 ? 63, 则 a7 ? a8 ? a9 ? 【答案】448. 【命题立意】本题旨在考查等比数列的性质与求和,考查学生的运算能力,难度中等. 【解析】设等比数列{an}的公比为 q,根据等比数列的性质有 S6=S3+q3S3,可得 7+7q3=63, 解得 q=2,则有 a7+a8+a9=q6(a1+a2+a3)=q6S3=448. 15. (江苏省连云港、南通、扬州市 2015 届高三第二次调研测试数学试卷)9. 已知等差数 列 ?an ? 的首项为 4,公差为 2,前 n 项和为 Sn .若 Sk ? ak ?5 ? 44 ( k ? N? ),则 k 的值为 【答案】7 【命题立意】本题考查了等差数列的通项公式,前 n 项和公式,考查概念的理解能力以及运 算能力,难度中等. 【 解 析 】 根 据 题 意 得 , an ? 4 ? 2 ? n ? 1? ? 2n ? 2 , Sn ?
? Sk ? ak ?5 ? k 2 ? 3k ? ? ?2 ? k ? 5? ? 2? ? ? 44 ,解得 k=7 k ? N .

.



n ? 4 ? 2n ? 2? ? n2 ? 3n ∴ 2

?

?

16. (江苏省南京市、 盐城市 2015 届高三第一次模拟考试)14. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 ,

a2 ? a1 , | an?1 ? an |? 2n (n ? N * ) ,若数列 ?a2n?1? 单调递减,数列 ?a2 n ? 单调递增,则数
列 ?an ? 的通项公式为 an ? .

? ?2n ? 1 , n为奇数 ? ( ?2) ? 1 ? 3 【答案】 ( 说明:本答案也可以写成 ? ) . n 3 ? 2 ? 1 , n为偶数 ? ? 3
n

【命题立意】本题旨在考查含有绝对值的数列的单调性,猜想归纳思维及其应用,考查推理 能力与计算能力等. 【解析】采用列举法得 a1=-1,a2=1,a3=-3,a4=5,a5=-11,a6=21,?,从数字的变化 上找规律,可得 an+1-an=(-1)n+1·2n,所以 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2- a1)+a1=(-1)n·2n 1+(-1)n 1·2n 2+?+2+(-1)=
- - -

? 1 ? [(?2) n ? 1] (?2) n ? 1 = . ? 2 ?1 3

17. (江苏省南通市 2015 届高三上学期期末考试数学试题)11.在等差数列 {an } 中,已知 首 项 a1 ? 0 , 公 差 d ? 0 . 若 a1 ? a2 ? 60, a2 ? a3 ? 100 , 则 5a1 ? a5 的 最 大 值 为 【答案】200. 【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项,不等式的性质与应用.考查函数与方程思想, 以及运算能力,难度中等. 【 解 析 】 由 a1+a2 ≤ 60 可 得 2a1+d ≤ 60 , 又 由 a2+a3 ≤ 60 可 得 2a1+3d ≤ 100 , 则 有 5a1+a5=6a1+4d= .

5 1 5 1 (2a1+d)+ (2a1+3d)≤ × 60+ × 100=200. 2 2 2 2

【易错警示】 本题在求解最值的过程中要把结论转化为已知两个不等式上面进行求解, 否则 容易出现错误. 18. (常州市 2015 届高三年级第一次模拟考试数学试卷)19. (本小题满分 16 分)已知数列
? ? d , 1 ≤ n ≤ 15, ? * {an } ( n ? N , 1 ≤ n ≤ 46 )满足 a1 ? a , an ?1 ? an ? ? 1 , 16 ≤ n ≤ 30, 其中 d ? 0 , n ? N* . ?1 ? , 31 ≤ n ≤ 45, ?d

(1)当 a ? 1 时,求 a46 关于 d 的表达式,并求 a46 的取值范围; (2)设集合 M ? {b | b ? ai ? a j ? ak , i, j, k ? N? ,1≤ i ? j ? k ≤16} .

1 1 ①若 a ? , d ? ,求证: 2?M ; 3 4

1 53 ②是否存在实数 a , d ,使 , 1 , 都属于 M ?若存在,请求出实数 a , d ;若不 8 40
存在,请说明理由.

1 【答案】 (1) a46 ? 16 ? 15(d ? ) , a46 ? (??, ?14] ? [46, ??) ; (2)①略,②不存在,反证法 d
证明. 【命题立意】 本题旨在考查数列的递推关系, 分段函数, 基本不等式及其应用, 集合的性质, 反证法及其应用等.考查运算和推理能力,难度中等. 【解析】 (1)当 a ? 1 时,

1 a16 ? 1 ? 15d , a31 ? 16 ? 15d , a46 ? 16 ? 15(d ? ) . d
因为 d ? 0 , d ?

?????????2 分

1 1 ≥ 2 ,或 d ? ≤ ?2 , d d
?????????4 分 ?????6 分

所以 a46 ? (??, ?14] ? [46, ??) .

1 n ?1 i ? j ? k ?3 (2)①由题意 an ? ? , 1 ≤ n ≤ 16 , b ? 1 ? . 3 4 4
令1?

i ? j ? k ?3 ? 2 ,得 i ? j ? k ? 7 . 4

因为 i, j , k ? N? , 1 ≤ i ? j ? k ≤ 16 , 所以令 i ? 1, j ? 2, k ? 4 ,则 2?M . ?????????8 分 ?????????9 分

1 53 ②不存在实数 a , d ,使 , 1 , 同时属于 M . 8 40 1 53 假设存在实数 a , d ,使 , 1 , 同时属于 M . 8 40
? an ? a ? (n ? 1)d ,∴ b ? 3a ? (i ? j ? k ? 3)d ,

从而 M ? {b | b ? 3a ? md ,3 ≤ m ≤ 42, m ? Z } .

?????????11 分

1 53 因为 , 1 , 同时属于 M ,所以存在三个不同的整数 x, y, z ( x, y, z ? ?3, 42? ) , 8 40
1 ? ?3a ? xd ? 8 , ? 使得 ?3a ? yd ? 1, ? 53 ?3a ? zd ? , 40 ?

7 ? ( y ? x )d ? , ? ? 8 从而 ? 6 ? ( z ? x )d ? , ? 5 ?



y ? x 35 ? . z ? x 48

?????????13 分

因为 35 与 48 互质,且 y ? x 与 z ? x 为整数, 所以 | y ? x |≥ 35,| z ? x |≥ 48 ,但 | z ? x |≤ 39 ,矛盾.

1 53 所以不存在实数 a , d ,使 , 1 , 都属于 M . 8 40

?????????16 分

19. (江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州四市 2015 届高三第一次模拟考试)19. (本小题满 分 16 分) 在数列

?an ? 中,已知

a1 ? a2 ? 1, an ? an?2 ? ? ? 2an?1 , n ? N ? , ? 为常数.

(1)证明: a1 , a4, a5 成等差数列; (2)设 cn ? 2
an ? 2 ?an

,求数列 的前 n 项和 Sn ;

(3)当 ? ? 0 时,数列

?an ? 1? 中是否存在三项

as?1 ? 1, at ?1 ? 1, a p?1 ? 1 成等比数列,

且 s , t , p 也成等比数列?若存在,求出 s , t , p 的值;若不存在,说明理由. 【 答 案 】 (
?
3?

1


5?



; (
(2 n ?1) ?

2





? ? 0时,Sn ? n





? ? 0 时,Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? L ? 2

2? (1 ? 22 n? ) ? ; (3)不存在. 1 ? 22 ?

【命题立意】本题旨在考查数列的递推关系式,等差数列的概念,数列求和,累加法及其应 用,反证法及其应用等.考查学生的运算和推理能力,难度中等. 【解析】 (1)因为 an ? an?2 ? ? ? 2an?1,a1 ? a2 ? 1, 所以 a3 ? 2a2 -a1 +? ? ? ? 1 , 同理, a4 ? 2a3 -a2 +? ? 3? ? 1 , a5 ? 2a4 -a3 +? ? 6? ? 1 , ????????2 分 又因为 a4 ? a1 ? 3? , a5 ? a4 ? 3? ,???????????????????3 分 所以 a4 ? a1 ? a5 ? a4 , 故 a1 , a4 , a5 成等差数列.??????????????????????4 分 (2) 由 an ? an?2 ? ? ? 2an?1 ,得 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an +? ,??????????5 分 令 bn ? an?1 ? an ,则 bn?1 ? bn ? ? , b1 ? a2 ? a1 ? 0 , 所以 ?bn ? 是以 0 为首项,公差为 ? 的等差数列, 所以 bn ? b1 ? (n ? 1)? ? (n ?1)? ,???????????????????6 分 即 an?1 ? an ? (n ?1)? ,

所以 an?2 ? an ? 2(an?1 ? an ) ? ? ? (2n ?1)? , 所以 cn ? 2
an?2 ?an

? 2(2n?1)? . ?????????????????????8 分

Sn ? c1 ? c2 ? L ? cn ? 2? ? 23? ? 25? ? L ? 2(2n?1)?
当 ? ? 0时,Sn ? n , 当 ? ? 0 时,Sn ? 2 ? 2
?

???????????????????????9 分
3?

? 2 ?L ? 2

5?

(2 n ?1) ?

2? (1 ? 22 n? ) ? .??????10 分 1 ? 22 ?

(3)由(2)知 an?1 ? an ? (n ?1)? ,

(n ? 1)(n ? 2) ? ? n ≥ 2? , 2 (n ? 1)(n ? 2) ? ? n ? N? ? 当 n ? 1 时也适合,所以 an ? 1+ 2
用累加法可求得 an ? 1+

????????12 分

假设存在三项 as?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列,

t 2 (t ? 1)2 s( s ? 1) p( p ? 1) ? 则 (at ?1 ?1) ? (as?1 ?1)(ap?1 ?1) ,即 , ???14 分 4 4
2

因为 s , t , p 成等比数列,所以 t 2 ? sp , 所以 (t ? 1) ? (s ?1)( p ?1) ,
2 2 化简得 s ? p ? 2t ,联立 t ? sp ,得 s ? t ? p .

这与题设矛盾. 故不存在三项 as?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列.?16 分. 20.(江苏省南京市、 盐城市 2015 届高三第一次模拟考试)19. (本小题满分 16 分)设数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a1a5 ? 64 , S5 ? S3 ? 48 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)对于正整数 k , m, l ( k ? m ? l ) ,求证: “ m ? k ? 1 且 l ? k ? 3 ”是“ 5ak , am , al 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件; ( 3 ) 设 数 列

?bn ?

满 足 : 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有

? b ? a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? ? ? anb1 ? 3 ? 2n?1 ? 4n ? 6 ,且集合 M ? ?n | n ? ? , n ? N * ? 中有 ? an ?
且仅有 3 个元素,试求 ? 的取值范围. 【答案】 (1)an=2n; (2)略; (3) (

7 1 , ]. 16 2

【命题立意】本题旨在考查等差数列、等比数列的性质,作差法判断数列的单调性,充要条 件的证明,考查分类讨论思维,计算与化简能力以及逻辑推理能力等. 【解析】 (1)? 数列

?an ? 是各项均为正数的等比数列,? a1a5 ? a32 ? 64 ,?a3 ? 8 ,

2 n?3 n 又? S5 ? S3 ? 48 ,?a4 ? a5 ? 8q ? 8q ? 48 ,? q ? 2 ,? an ? 8 ? 2 ? 2 ;? 4 分

(2) (ⅰ)必要性:设 5ak , am , al 这三项经适当排序后能构成等差数列, ①若 2 ? 5ak ? am ? al ,则 10 ? 2k ? 2m ? 2l ,?10 ? 2m?k ? 2l ?k ,?5 ? 2m?k ?1 ? 2l ?k ?1 ,
m ? k ?1 ? ?1 ?m ? k ? 1 ?2 ? ? l ? k ?1 , ?? . ?4 ? ?l ? k ? 3 ?2

???? 6 分 ,? 2m?1?k ? 2l ?k ? 5 ,左边为偶数,等式不成立,

②若 2am ? 5ak ? al ,则 2 ?2 m ?5 ?2 k?2 ③若 2al ? 5ak ? am ,同理也不成立,

l

综合①②③,得 m ? k ? 1, l ? k ? 3 ,所以必要性成立. (ⅱ)充分性:设 m ? k ? 1 , l ? k ? 3 ,

????8 分

则 5ak , am , al 这三项为 5ak , ak ?1 , ak ?3 ,即 5ak , 2ak ,8ak ,调整顺序后易知 2ak ,5ak ,8ak 成等 差数列,所以充分性也成立. 综合(ⅰ) (ⅱ) ,原命题成立. ????10 分

n?1 (3)因为 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? ?? anb1 ? 3 ? 2 ? 4n ? 6 ,

即 2 bn ? 2 bn?1 ? 2 bn?2 ? ?? 2 b1 ? 3 ? 2
1 2 3 n

n?1

? 4n ? 6 , (*)

? 当 n ? 2 时, 21bn?1 ? 22 bn?2 ? 23 bn?3 ? ?? 2n?1b1 ? 3 ? 2n ? 4n ? 2 , (**)
则(**)式两边同乘以 2,得 2 bn?1 ? 2 bn?2 ? 2 bn?3 ? ?? 2 b1 ? 3 ? 2
2 3 4 n n?1

? 8n ? 4 , (***)

? (*)-(***) ,得 2bn ? 4n ? 2 ,即 bn ? 2n ? 1(n ? 2) ,
2 又当 n ? 1 时, 2b1 ? 3 ? 2 ?10 ? 2 ,即 b1 ? 1 ,适合 bn ? 2n ? 1(n ? 2) ,?bn ? 2n ? 1 .?

14 分

?

bn 2n ? 1 b b 2n ? 1 2 n ? 3 5 ? 2 n ? n ,? n ? n?1 ? n ? n?1 ? , an 2 an an?1 2 2 2n bn bn?1 b b ? ? 0 ,即 2 ? 1 ; an an?1 a2 a1 bn bn?1 ?b ? ? ? 0 ,此时 ? n ? 单调递减, an an?1 ? an ?
?????16 分

? n ? 2 时,

? n ? 3 时,



b1 1 b2 3 b3 5 b4 7 7 1 ? , ? , ? , ? ,? ? ? ? . a1 2 a2 4 a3 8 a4 16 16 2

21. (江苏省南通市 2015 届高三上学期期末考试数学试题)20. (本小题满分 16 分)设数 列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若

1 an ?1 ? ? 2 ? n ? N * ? ,则称 {an } 是“紧密数列”. 2 an
1 2 n ? 3n ?? n ? N * ? ,证明: {an } 是“紧密数列”; ? 4

(1)若数列 {an } 的前 n 项和为 S n ?

(2)设数列 {an } 是公比为 q 的等比数列.若数列 {an } 与 {Sn } 都是“紧密数列”,求. q 的 取值范围. 【答案】 (1)略; (2)[

1 ,1]. 2

【命题立意】本题旨在考查数列的创新定义,数列的递推关系式,等比数列的定义与应用, 考查分类讨论思维.考查转化和化归能力,难度较大. 【 解 析 】( 1 ) 由 数 列

?an ?

的 前 n 项 和 Sn ?

1 2 n ? n ?3 ?? 4

n ?? ? N , 得

? 1 , n? 1 ? S1 , n ? 1 1 1 ? ? n ? ?n ? N ? ? . ? ?1 ?????????2 分 an ? ? 1 2 ? Sn ? Sn?1 , n ? 2 ? n ? , n ? 2 2 ?2 2

1 1 n ? 1 ? ? ? a 2 ? n ? 2 ? 1 ? 1 ?????????????????4 分 所以, n ?1 ? 2 1 1 an n ?1 n ?1 n? 2 2
因为对任意 n ? N ? ,0 ?
1 1 1 3 1 a ? , ? , 即1 ? 1 ? 所以, ? n ?1 ? 2 , 即 ?an ? n ?1 2 n ?1 2 2 an

是“紧密数列”.?????????????????????????????6 分

(2)由数列 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,得 q ?

an ?1 ,因为 ?an ? 是“紧密数列”, an

所以

1 ? q ? 2 .??????????????????????????????8 分 2

①当 q ? 1 时, Sn ? na1 ,

Sn?1 n ? 1 S 1 1 n ?1 1 所以 ? 1 ? n ?1 ? 故q ?1 ? ? 1? , ? 1? ? 2 , Sn n n 2 Sn n n

时,数列 ?Sn ? 为“紧密数列”,故 q ? 1 满足题意.?????????????10 分 ②当 q ? 1 时, S n ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

,则

Sn ?1 1 ? q n ?1 .因为数列 ?Sn ? 为“紧密数列”,所 ? Sn 1 ? qn



1 Sn?1 1 ? q n?1 ? ? ? 2 ,对任意 n ? N ? 恒成立. n 2 Sn 1? q
n ? 1 ?1 ? 1 1 ? q ? 2q ? ? ? q ? 1时, ?1 ? q n ? ? 1 ? q n ?1 ? 2 ?1 ? q n ? , 即? n , 对任意 n ? N 2 2 ? ? q ? q ? 2 ? ? ?1

(ⅰ) 当

恒成立. 因为 0 ? q ? q ? 1 , 0 ? 2q ? 1 ? 1 , ?
n

3 ? q ? 2 ? ?1 , 2

所以 q

n

? 2q ?1? ? q ? 1 , qn ? q ? 2? ? q ? q ? 2? ?

1 ? 3? 3 ? ? ? ? ? ? ? ?1 , 2 ? 2? 4

n ? 1 ? q ? 2q ? 1? ? 1 ? ? q ? 1 所以,当 时, ? n ,对任意 n ? N 恒成立.????????13 分 2 ? ? q ? q ? 2 ? ? ?1

(ⅱ) 当 1 ? q ? 2 时,

? q n ? 2q ? 1? ? 1 1 n ? n ?1 n q ? 1 ? q ? 1 ? 2 q ? 1 , 即 ? ? ? ? ?q n ? q ? 2 ? ? ?1 ,对任意 n ? N ? 2 ? ? ? ? q ? 2q ? 1? ? 1 ,解得 q ? 1 ,又 ? ?q ? q ? 2 ? ? ?1

恒成立.因为 q ? q ? 1, 2q ?1 ? 1, ?1 ? q ? 2 ? 0 .所以 ?
n

?1 ? 1 ? q ? 2 ,此时 q 不存在.综上所述, q 的取值范围是 ? ,1? .?????????16 分 ?2 ?
22. (江苏省苏州市 2015 届高三上学期期末考试数学试卷)20. (本小题满分 16 分)已知数

?1 ? an ? n (n为奇数) 列 {an } 中 a1 ? 1, an ?1 ? ? 3 . ( n 为偶数) ? ?an ? 3n
(1)是否存在实数 ? ,使数列 {a2n -?} 是等比数列?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说

明理由; (2)若 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,求满足 Sn ? 0 的所有正整数 n . 【答案】 (1)存在, ? ?

3 ; (2)1 和 2. 2

【命题立意】本题旨在考查数列的递推关系式,等比数列的定义,数列求和,数列的基本性 质及其应用.考查函数与方程思想,以及转化和化归能力,难度中等. 【解析】 (1)设 bn ? a2n ? ? ,

因为 bn ?1 ? a2 n ? 2 ? ? ? 3 bn a2 n ? ?

1

a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ? ? a2 n ? ? 1 ?3 a2 n ? 1 ? ? a2 n ? ? 1 a2 n ? 1 ? ? a2 n ? ?

1 ?3

? a2 n ? 6n ? ? ? 2n ? 1? ? ?
a2 n ? ?



?????????????2 分

若数列 ?a2 n ? ?? 是等比数列,则必须有 3

, ? q (常数)

1 ? q? ? 1 ? ?q ?0 ? ? 3 ?1 ? ?? 即 ? ? q ? a2 n ? ? q ? 1? ? ? 1 ? 0 ,即 ? 3 , 3 ?3 ? ? ? ?? ?? q ? 1? ? ?1 ? 0 ? ? 2
此时 b1 ? a2 ?

???????5 分

3 1 3 1 ? a1 ? 1 ? ? ? ? 0 , 2 3 2 6 3 所以存在实数 ? ? ,使数列 ?a2 n ? ?? 是等比数列???????????????6 分 2
(注:利用前几项,求出 ? 的值,并证明不扣分) (2)由(1)得 ?bn ? 是以 ?

1 1 为首项, 为公比的等比数列, 6 3

3 1 ?1? 故 bn ? a2 n ? ? ? ? ? ? 2 6 ? 3?

n ?1

1 ?1? 1 ?1? 3 ? ? ? ? ? ,即 a2 n ? ? ? ? ? ? ,???????8 分 2 ? 3? 2 ? 3? 2
n ?1

n

n

1 1 ?1? 由 a2 n ? a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ,得 a2 n?1 ? 3a2 n ? 3 ? 2n ? 1? ? ? ? ? ? 3 2 ? 3?

? 6n ?

15 ,??10 分 2

n ?1 n n 1 ?? 1 ? ?1? ? ?1? 所以 a2 n ?1 ? a2 n ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 6n ? 9 ? ?2 ? ? ? ? 6n ? 9 , 2 ? ?3? ? ?3? ?? 3 ? ?

S2n ? ? a1 ? a2 ? ? ? a3 ? a4 ? ? L ? ? a2n?1 ? a2n ?
n ? 1 ? 1?2 ? 1 ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ? 6? 1 ? ? 2 L ? n ? ? n9 ? 3 ? ? ? 3 ? 3? ? ?

n 1? ?1? ? n n ?1 ? ? ? ? 2 3? ?1? ?1? 2 n(n ? 1) ? ?3? ? ? ? ?2 ? ? 6? ? 9n ? ? ? ? 1 ? 3n ? 6n ? ? ? ? 3 ? n ? 1? ? 2 , ? ? ? 3? ? 3? 1 2 1? 3

12 分 显然当 n ? N * 时, ?S2 n ? 单调递减, 又当 n ? 1 时, S 2 ?

7 8 ? 0 ,当 n ? 2 时, S 4 ? ? ? 0 ,所以当 n≥ 2 时, S2 n ? 0 ; 3 9
n

3 ?1? 5 S2n?1 ? S2n ? a2n ? ? ? ? ? ? 3n2 ? 6n , 2 ? 3? 2
同理,当且仅当 n ? 1 时, S2 n?1 ? 0 . 综上,满足 Sn ? 0 的所有正整数 n 为 1 和 2.????????????????? 16 分 23. (江苏省泰州市 2015 届高三上学期期末考试数学试卷) 19. ( (本题满分 16 分) 数列 an ? ,

?

?b ? , ?c ? 满足: b
n n

n

? an ? 2an?1 , cn ? an?1 ? 2an?2 ? 2 , n ? N * .

(1)若数列 an ? 是等差数列,求证:数列 bn ? 是等差数列; (2)若数列 bn ? , cn ? 都是等差数列,求证:数列 an ? 从第二项起为等差数列; (3)若数列 bn ? 是等差数列,试判断当 b1 ? a3 ? 0 时,数列 an ? 是否成等差数列?证明你 的结论. 【答案】 (1)略; (2)略; (3)是. 【命题立意】 本题旨在考查数列的递推关系式, 等差数列的定义与通项, 数列求和及其应用, 考查运算能力等,难度中等. 【解析】证明: (1)设数列 an ? 的公差为 d , ∵ bn ? an ? 2an?1 , ∴ bn?1 ? bn ? (an?1 ? 2an?2 ) ? (an ? 2an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? 2(an?2 ? an?1 ) ? d ? 2d ? ?d ,

?

?

?

?

?

?

?

?

∴数列 bn ? 是公差为 ? d 的等差数列. (2)当 n ? 2 时, cn?1 ? an ? 2an?1 ? 2 ,

?

?????????4分

bn ? cn ?1 b ?c ? 1,∴ an ?1 ? n ?1 n ? 1 , 2 2 b ? cn bn ? cn ?1 bn ?1 ? bn cn ? cn ?1 ? ? ? ∴ an ?1 ? an ? n ?1 , 2 2 2 2 b ? bn cn ? cn ?1 ? ∵数列 ?bn ? , ?cn ? 都是等差数列,∴ n ?1 为常数, 2 2
∵ bn ? an ? 2an?1 ,∴ an ? ∴数列 an ? 从第二项起为等差数列. (3)数列 an ? 成等差数列. 解法1 设数列 bn ? 的公差为 d ? , ∵ bn ? an ? 2an?1 , ∴ 2n bn ? 2n an ? 2n?1 an?1 ,∴ 2n?1 bn?1 ? 2n?1 an?1 ? 2n an ,…, 2b1 ? 2a1 ? 22 a2 , ∴ 2n bn ? 2n?1 bn?1 ? ? ? 2b1 ? 2a1 ? 2n?1 an?1 , 设 Tn ? 2b1 ? 22 b2 ?? 2n?1bn?1 ? 2n bn ,∴ 2Tn ? 22 b1 ? ?? 2n bn?1 ? 2n?1bn , 两式相减得: ?Tn ? 2b1 ? (22 ? ?? 2n?1 ? 2n )d ? ? 2n?1 bn , 即 Tn ? ?2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ,∴ ?2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ? 2a1 ? 2n?1 an?1 , ∴ 2n?1 an?1 ? 2a1 ? 2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ? 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 2n?1 (bn ? d ?) ,

?

???????10分

?

?

2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? (bn ? d ?) , ………………12分 2n ?1 2a ? 2b1 ? 4d ? 2a ? 2b1 ? 4d ? ? (b2 ? d ?) ? 1 ? b1 , 令 n ? 2 ,得 a3 ? 1 3 2 23 2a ? 2b1 ? 4d ? ? b1 ? a3 ? 0 ,∴ 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 0 , ∵ b1 ? a3 ? 0 ,∴ 1 23
∴ an ?1 ? ∴ an?1 ? ?(bn ? d ?) ,∴ an?2 ? an?1 ? ?(bn?1 ? d ?) ? (bn ? d ?) ? ?d ? , ∴数列 an ? ( n ? 2 )是公差为 ?d ? 的等差数列,

? ?

………………14分

∵ bn ? an ? 2an?1 ,令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ?a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 , ∴数列 an ? 是公差为 ?d ? 的等差数列. ………………16分

解法 2

∵ bn ? an ? 2an?1 , b1 ? a3 ? 0 , ………………12分

令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ?a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 , ∴ bn?1 ? an?1 ? 2an?2 , bn?2 ? an?2 ? 2an?3 , ∴ 2bn?1 ? bn ? bn?2 ? (2an?1 ? an ? an?2 ) ? 2(2an?2 ? an?1 ? an?3 ) , ∵数列 bn ? 是等差数列,∴ 2bn?1 ? bn ? bn?2 ? 0 , ∴ 2an?1 ? an ? an?2 ? 2(2an?2 ? an?1 ? an?3 ) , ∵ a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 ,∴ 2an?1 ? an ? an?2 ? 0 , ∴数列 an ? 是等差数列.

?

………………14分

?

………………16分

24. (江苏省无锡市 2015 届高三上学期期末考试数学试卷)19. (本小题满分 16 分)在数列

?an ?、 ?bn ? 中,已知 a1 ? 0 ,a2 ? 1 ,b1 ? 1 ,b2 ? 2 ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?bn ?
的前 n 项和为 Tn ,且满足 Sn ? Sn?1 ? n2 , 2Tn?2 ? 3Tn?1 ? Tn ,其中 n 为正整数. (1)求数列 ?an ?、 ?bn ? 的通项公式; (2)问是否存在正整数 m, n ,使

1

Tn ?1 ? m ? 1 ? bm? 2 成立?若存在,求出所有符合条件的有 Tn ? m

序实数对 ? m, n ? ,若不存在,请说明理由. 【答案】 (1)an=n-1,bn=

1 2 n ?1

; (2)存在, (1,2) .

【命题立意】本题旨在考查数列的递推关系式,等差数列、等比数列的定义与通项,数列求 和以及不等式的求解.考查运算和推理能力,难度中等. 【解析】 (1)因为 Sn ? Sn?1 ? n2 ,所以当 n ? 2 时, S n ?1 ? S n ? ? n ? 1? ,两式相减得:
2

an ? an?1 ? 2n ?1 ,
又 a2 ? a1 ? 1也适合上式,所以 an ? an?1 ? 2n ?1 对一切 n ? N 成立,??????2 分 所以当 n ? 2 时, an?1 ? an ? 2n ? 3 , 再相减得: an?1 ? an?1 ? 2 , ???????????????????????4 分
?

所以数列 ?an ? 的奇数项成公差为 2 的等差数列,偶数项也成公差为 2 的等差数列,又

a1 ? 0, a2 ? 1 ,可解得 an ? n ?1 .

?????????????????????6 分

因为 2Tn?2 ? 3Tn?1 ? Tn ,所以 2Tn?2 ? 2Tn?1 ? Tn?1 ? Tn ,即 2bn?2 ? bn?1 , 又 2b2 ? b1 ,所以对一切 n ? N 均有 2bn?1 ? bn . 所以数列 ?bn ? 成公差为 所以 bn ?
?

1 的等比数列, 2
?????????????????????8 分

1 . 2 n ?1

1 (2)因为 bn ? n ?1 ,所以 Tn ? 2

1?

1 2n ? 2 ?1 ? 1 ? ,?????????????10 分 ? n ? 1 ? 2 ? 1? 2

1 ? ? 2 ?1 ? n ?1 ? ? m 1 T ?m 2 ? ? 1 ? m ?1 ,?????????????12 分 由 n ?1 ? 1 ? bm? 2 ,得 ? 1 ? 2 ? Tn ? m 2 ?1 ? n ? ? m ? 2 ?


1 1 1 1 ? 2 ? m ? 2n ? 1 ? 1 ? 1 , 1 ? ? 1 ? m?1 , ? m?1 n n n m ?1 2 2 ? 2 ? m? 2 ? 2 ? 2 ? m? 2 ? 2 2 ? 2 ? m? 2 ? 2
m ?1

因为 2

? 0 ,所以 ? 2 ? m? 2n ? 2 ? 0 ,且 ? 2 ? m? 2n ? 2 ? 2m?1 ,
n m?1

即 ? 2 ? m? 2 ? 2 ? 2
?

且 ? 2 ? m? 2 ? 2 ,??????????????????14 分
n
n 2

n 即 m ? 2 且 m ? N ,故 m ? 1 ,此时 2 ? 2 ? 2 ? 6 , ? 2 ?1? 2 ? 2 ,故 n ? 2 ,

综上可知,存在符合条件的所有有序实数对 ? m, n ? 为:?1, 2 ? .??????????16 分 25. (江苏省扬州市 2015 届高三上学期期末考试数学试卷)19. (本小题满分 16 分)已知数 列{ an }中, a1 ? 1, a2 ? a ,且 an?1 ? k (an ? an?2 ) 对任意正整数都成立,数列 { an }的前 n 项和为 Sn. (1)若 k ?

1 ,且 S2015 ? 2015a ,求 a; 2

(2) 是否存在实数 k, 使数列{ an }是公比不为 1 的等比数列, 且任意相邻三项 am , am?1 , am? 2 按某顺序排列后成等差数列,若存在,求出所有 k 值,若不存在,请说明理由; (3)若 k ? ?

1 , 求Sn . 2

? 1 ? 2 (a ? 1), n是奇数 2 【答案】 (1)a=1; (2)存在, k ? ? ; (3) S n ? ? . 5 n是偶数 ? n (a ? 1),
2
【命题立意】本题旨在考查数列的递推关系式,等差数列、等比数列的通项与性质,数列求 和,考查分类讨论及其应用,难度中等. 【解析】 (1) k ? 差数列,??1 分 此 时 首 项 a1 ? 1 , 公 差 d ? a2 ? a1 ? a ? 1 , 数 列 {an } 的 前 n 项 和 是

n ?1

1 1 时, an ?1 ? (an ? an ? 2 ) , an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ,所以数列 {an } 是等 2 2

1 Sn ? n ? n(n ? 1)(a ? 1) , 2
故 2015a ? 2015 ?

??3 分

1 1 ? 2015 ? 2014(a ? 1) ,即 a ? 1 ? ? 2014(a ? 1) ,得 a ? 1 ;?4 2 2

(没有过程,直接写 a ? 1 不给分) ( 2 )设数列 {an } 是等比数列,则它的公比 q ?

a2 ? a ,所以 am ? am?1 , am?1 ? am , a1

am?2 ? a m?1 , ??6 分
①若 am?1 为等差中项,则 2am?1 ? am ? am?2 ,即 2a ? a
m m?1

? a m?1 ,解得: a ? 1 ,不

合题意; ②若 am 为等差中项,则 2am ? am?1 ? am?2 ,即 2a 解得 a ? ?2 (舍 1) ;k ?
m?1

? a m ? a m?1 ,化简得:a 2 ? a ? 2 ? 0 ,

am?1 am a 2 ? m?1 m1? ? 2 ? ? ; am ? am?2 a ? a 1? a 5
m?1

③若 am?2 为等差中项, 则 2am?2 ? am?1 ? am , 即 2a

? a m ? a m?1 , 2a 2 ? a ? 1 ? 0 , 化简得:
??9 分

1 am?1 am a 2 解得 a ? ? ;k ? ? m?1 m?1 ? ?? ; 2 2 am ? am?2 a ? a 1? a 5
综上可得,满足要求的实数 k 有且仅有一个, k ? ? (3) k ? ?

2 ; 5

??10 分

1 1 则 an ?1 ? ? (an ? an ? 2 ) , 2 2
??12 分

an?2 ? an?1 ? ?(an?1 ? an ) , an?3 ? an?2 ? ?(an?2 ? an?1 ) ? an?1 ? an ,
当 n 是偶数时,

Sn ? a ? 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4?
?

? n ?a

1

? ? a(a1 ? a 2 )? a ( 3 ? a 4? ) ? ? an (? ? n 1 an

)

n n (a1 ? a2 ) ? (a ? 1) , 2 2

当 n 是奇数时,

Sn ? a ? 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4?
? a1 ?
式,

? n ?a

1

? ? a a1 ? (a 2? a 3)? a ( ? ? ) ?? an (? ?1an n 4 a 5

)

n ?1 n ?1 n ?1 (a2 ? a3 ) ? a1 ? [?(a1 ? a2 )] ? 1 ? ( a ? 1) , n ? 1 也 适 合 上 2 2 2
??15 分

? 1 ? 2 (a ? 1), n是奇数 综上可得, Sn ? ? . n是偶数 ? n (a ? 1),
2

n ?1

??16 分

26.(江苏省镇江市 2015 届高三上学期期末考试数学试卷)20. (本小题满分 16 分)已知数列 ?an ?中, a1 ? 1,在 a1 , a2 之间插入 1 个数,在 a2 , a3 之间插入 2 个数,在 a3 , a4 之间插入 3 个数,?,在 an , an?1 之间插入 n 个数,使得所有插入 的数和原数列 ?an ?中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列 ?bn ?.
(1)若 a4 ? 19,求 ?bn ?的通项公式; (2)设数列 ?bn ?的前 n 项和为 Sn ,且满足 2Sn ? ? ? bn ? ? (? , ? 为常数) ,求 ?an ? 的通 项公式.

n2 ? n 【答案】 (1)bn=2n-1; (2)an= . 2
【命题立意】本题旨在考查等差数列的性质、 通项、 求和、 简单递推; 考查一般与特殊思想、 转化与划归思想;考查运算能力;考查分析探究能力,难度较大. 【解析】 (1)设 {bn } 的公差为 d ,由题意:数列 {bn } 的前几项为:
b1 ? a1 ? 1, b2 , b3 ? a2 , b4 , b5 , b6 ? a3 , b7 , b8 , b9 , b10 ? a4 ? 19
a 4 为 {bn } 的第 10 项,则 b10 ? b1 ? 9d ,

??2 分 ??4 分

d ? 2 ,而 b1 ? 1 ,

??5 分 ??6 分

故数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 .

(2)由 2Sn ? ? ? bn ? ? ( ? , ? 为常数) , 得 2Sn ? ? ? (bn ? ? )2 ? bn 2 ? 2?bn ? ? 2 ,??① 当 n ? 1 得: 2 ? ? ? 1 ? 2? ? ? 2 ,??② 当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? ? ? bn?12 ? 2?bn?1 ? ? 2 , ??③ ①-③得 2bn ? bn2 ? bn?12 ? 2? (bn ? bn?1 ) , 则 2bn ? d (bn ? bn ?1 ) ? 2? d ? d (2bn ? d ) ? 2? d , 若 d ? 0 ,则 bn ? b1 ? 1 ,代入④式,得 2 ? 0 ,不成立; ??8 分 ??9 分 ??10 分 ??7 分

(法一)当 n ? 2 , (2 ? 2d )bn ? 2? d ? d 2 ? 常数??④恒成立,又 {bn } 为正项等差数列,
? 2 ? 2d ? 0, 1 当 d ? 0 时, bn 不为常数,则 ? 得 d ? 1, ? ? , 2 2 ? d ? d ? 0, 2 ?

??11 分

代入②式,得 ? ?

1 . 4

??12 分

(法二) 2bn ? d (2bn ? d ) ? 2?d , (2 ? 2d )bn ? 2? d ? d 2 ,即 (2 ? 2d )[b1 ? (n ? 1)d ] ? 2? d ? d 2 , 则 2d (1 ? d )n ? 2(1 ? d )2 ? 2? d ? d 2 对 n ≥2 恒成立,

? d ? 1, ?4d (1 ? d ) ? 2(1 ? d ) 2 ? 2 ?d ? d 2 , ? 令 n ? 2,3 ,得 ? 解得 1 ? 2 2 ?? , ?6d (1 ? d ) ? 2(1 ? d ) ? 2 ?d ? d , ? ? 2

??11 分

【或者: 2d (1 ? d )n ? 2(1 ? d )2 ? 2?d ? d 2 ? 常数,则 2d (1 ? d ) ? 0 ,得 d ? 1 ,

1 当 d ? 1 时,代入上式得 ? ? , 】 2
代入②式,得 ? ?

1 . 4

??12 分

(法三)由 2bn ? d (bn ? bn?1 ) ? 2? d (n ? 2) ,??④ 得 2bn?1 ? d (bn?1 ? bn?2 ) ? 2? d (n ? 3) ,??⑤

1 ④-⑤,得 2d ? 2d 2 , d ? 1 , 代入上式得 ? ? , 2
代入②式,得 ? ?

??11 分 ??12 分 ??13 分

1 . 4

所以等差数列 {bn } 的首项为 b1 ? 1 ,公差为 d ? 1 ,则 bn ? n .

设 {an } 中 的 第 n 项 为 数 列 {bn } 中 的 第 k 项 , 则 a n 前 面 共 有 {an } 的 n ?1 项 , 又 插 入 了

1 ? 2 ? 3? ? ? ( n ? 1) ?
故 an ? bk ? k ?

n(n ? 1) n2 ? n n(n ? 1) 项,则: k ? (n ? 1) ? ?15 分 ?1 ? 2 2 2
??16 分

n2 ? n . 2

27. (南通市高级中学 2014-2015 年高三数学一模试卷)20. (本题满分 16 分)设首项为 1 的正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 an 2 的前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 其中 p 为常数. (1)求 p 的值; (2)求证:数列 ?an ? 为等比数列; (3) 证明: “数列 an ,2 x an ?1 ,2 y an?2 成等差数列, 其中 x、 y 均为整数”的充要条件是“ x ? 1 , 且 y ? 2 ”. 【答案】 (1)p=2; (2)略; (3)略. 【命题立意】本题旨在考查等差、等比数列的定义与通项公式、求和公式等基础知识,考查 灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力,难度中等. 【解析】 (1)n ? 1 时,由 1 ? 若 p ? 0 时, Tn ?

? ?

4 ? ( Sn ? p) 2 , 3

4 ? (1 ? p)2 得 p ? 0 或 2, (2 分) 3

4 ? Sn 2 , 3 4 ? (1 ? a2 )2 ,解得 a2 ? 0 或 a2 ? ? 1 , 2 3

当 n ? 2 时, 1 ? a22 ?

而 an ? 0 ,所以 p ? 0 不符合题意,故 p ? 2; (5 分) (2)当 p ? 2 时, Tn ? 4 ? 1 (2 ? Sn )2 ①,则 Tn?1 ? 4 ? 1 (2 ? Sn?1 )2 ②, 3 3 3 3 ② ? ①并化简得 3an?1 ? 4 ? Sn ?1 ? Sn ③,则 3an? 2 ? 4 ? Sn? 2 ? Sn?1 ④, ④ ? ③得 an ? 2 ? 1 an ?1 ( n ? N? ) ,又易得 a2 ? 1 a1 , 2 2

1 ; 所以数列{an}是等比数列,且 an ? n (10 分) 2 ?1 1 知 a ,2 x a ,2 y a 依次为 1 , 2 , 4 , (3) 充分性: 若 x ? 1, y ? 2, 由 an ? n n n ?1 n?2 2n?1 2n 2n?1 2 ?1
满足 2 ? 2 (12 分) ? 1 ? 4 ,即 an,2xan?1,2yan?2 成等差数列; 2n 2n ?1 2n ?1

1 , 2 x an ?1 , 2 y an?2 成等差数列, 必要性: 假设 an , 其中 x、 y 均为整数, 又 an ? n 2 ?1

1 , 所以 2 ? 2x ? 1 ? 1 ? 2y ? n 2n 2n?1 2 ?1

化简得 2 x ? 2 y ? 2 ? 1 显然 x ? y ? 2 ,设 k ? x ? ( y ? 2) , 因为 x、y 均为整数,所以当 k≥2 时, 2 x ? 2 y ? 2 ? 1 或 2 x ? 2 y ? 2 ? 1 , 故当 k ? 1 ,且当 x ? 1 ,且 y ? 2 ? 0 时上式成立,即证. (16 分) 28. (江苏省连云港、南通、扬州市 2015 届高三第二次调研测试数学试卷)20. (本小题满 分 16 分) 设 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, 记 cn ? an ? bn . ?bn ? 是公比为 q ( q ? 1 )的等比数列. (1)求证:数列 ?cn ?1 ? cn ? d ? 为等比数列; (2)已知数列 ?cn ? 的前 4 项分别为 4,10,19,34. ① 求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; ② 是否存在元素均为正整数的集合 A ? ?n1 , n 2 ,?, nk ? ( k≥4 , k ? N? ),使 得数列 cn1 , cn2 ,?, cnk 为等差数列?证明你的结论. 【答案】 (I)略(II)① an ? 3n ? 2 , bn ? 3 ? 2n?1 ②假设不成立,从而不存在满足题意的集 合A 【命题立意】本题考查了等差数列,等比数列,通项公式等,考查了学生的方程思想,难度 中等. 【解析】 (1)证明:依题意, cn?1 ? cn ? d ? ? an?1 ? bn?1 ? ? ? an ? bn ? ? d
? ? an?1 ? an ? ? d ? ?bn ?1 ? bn ?
? bn (q ? 1) ? 0 ,

?? 3 分

从而

cn?2 ? cn?1 ? d bn?1 (q ? 1) ? ? q ,又 c2 ? c1 ? d ? b1 (q ? 1) ? 0 , cn?1 ? cn ? d bn (q ? 1)
?? 5 分

所以 ?cn ?1 ? cn ? d ? 是首项为 b1 (q ? 1) ,公比为 q 的等比数列.

(2)① 法 1:由(1)得,等比数列 ?cn ?1 ? cn ? d ? 的前 3 项为 6 ? d , 9 ? d , 15 ? d , 则 ? 9 ? d ? ? ? 6 ? d ??15 ? d ? ,
2

解得 d ? 3 ,从而 q ? 2 ,
?a1 ? b1 ? 4, 且? ?a1 ? 3 ? 2b1 ? 10,

?? 7 分

解得 a1 ? 1 , b1 ? 3 , 所以 an ? 3n ? 2 , bn ? 3 ? 2n?1 .
?a1 ? b1 ? 4 , ? ?a1 ? d ? b1q ? 10 , 法 2:依题意,得 ? 2 ?a1 ? 2d ? b1q ? 19 , ?a ? 3d ? b q 3 ? 34 , ? 1 1
?d ? b1q ? b1 ? 6 , ? 消去 a1 ,得 ?d ? b1q 2 ? b1q ? 9 , ? 3 2 ?d ? b1q ? b1q ? 15 ,

?? 10 分

?? 7 分

?b1q 2 ? 2b1q ? b1 ? 3 , ? 消去 d ,得 ? 3 2 ? ?b1q ? 2b1q ? b1q ? 6 ,
消去 b1 ,得 q ? 2 , 从而可解得, a1 ? 1 , b1 ? 3 , d ? 3 , 所以 an ? 3n ? 2 , bn ? 3 ? 2n?1 . ?? 10 分

② 假设存在满足题意的集合 A ,不妨设 l , m , p , r ? A (l ? m ? p ? r ) ,且
cl , cm ,

c p , c r 成等差数列,
则 2cm ? cp ? cl , 因为 cl ? 0 ,所以 2cm ? cp , ① 若 p ? m ? 1 ,则 p≥m ? 2 ,
m?1 m?1 p ?1 结合①得, 2 ? ?(3m ? 2) ? 3 ? 2 ? ? ? (3 p ? 2) ? 3 ? 2 ≥3(m ? 2) ? 2 ? 3 ? 2 ,

化简得, 2m ? m ? ? 8 ? 0 , 3



因为 m≥2 , m ? N? ,不难知 2m ? m ? 0 ,这与②矛盾, 所以只能 p ? m ? 1 , 同理, r ? p ? 1 , 所以 cm , c p , c r 为数列 ?cn ? 的连续三项,从而 2cm?1 ? cm ? cm? 2 , 即 2 ? am?1 ? bm?1 ? ? am ? bm ? am? 2 ? bm? 2 , 故 2bm?1 ? bm ? bm? 2 ,只能 q ? 1 ,这与 q ? 1 矛盾, 所以假设不成立,从而不存在满足题意的集合 A . ?? 16 分

(注:第(2)小问②中,在正确解答①的基础上,写出结论“不存在” ,就给 1 分. )

29. (江苏省苏锡常镇四市 2015 届高三教学情况调研(一)数学试题)20.已知数列 ?an ? 的 前 n 项和为 Sn ,设数列{bn } 满足 bn ? 2(Sn?1 ? Sn )Sn ? n(Sn?1 ? Sn )(n ? N? ) . (1)若数列 ?an ? 为等差数列,且 bn ? 0 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a1 ? 1 , a2 ? 3 ,且数列 ?a2n?1? , ?a2 n ? 都是以 2 为公比的等比数列,求满足不等 式 b2 n ? b2 n ?1 的所有正整数 n 的集合. 【答案】 (1) an ? 0 或 an ? n (2) {1,2,3,4,5,6} 【命题立意】本题考查了等差数列,等比数列及数列的前 n 项和.考查了学生分类讨论思想 和函数思想,难度中等. 【解析】 (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d , ∴ an ?1 ? a1 ? nd , Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d ,由 bn ? 2(Sn?1 ? Sn )Sn ? n(Sn?1 ? Sn )(n ? N? ) ,得 2

bn ? 2an?1Sn ? n(2Sn ? an ?1 ) ,及由 bn ? 0 ,
n(n ? 1) ? ? d ? ? n ? 2na1 ? n(n ? 1)d ? a1 ? nd ? ? 0 又由 bn ? 0 ,得 2(a1 ? nd ) ? na1 ? 2 ? ?

对 一 切 n ? N? 都 成 立 ,
n ? N? 都成立.

即 d 2 ? d n2 ? (3a1d ? d 2 ? 2a1 )n ? 2a12 ? a1d ? a1 ? 0 对 一 切

?

?

? d ? 0, ? d ? 1, 令 n ? 1 , n ? 2 ,解之得 ? 或? ? a1 ? 0, ? a1 ? 1,

经检验,符合题意,

∴ ?an ? 的通项公式为 an ? 0 或 an ? n . (2)由题意得 a2n?1 ? 2n?1 , a2n ? 3 ? 2n?1 , S2n ? 2n ? 1 ? 3(2n ? 1) ? 4 ? 2n ? 4 ,
S2n?1 ? S2n ? a2n ? 4 ? 2n ? 4 ? 3 ? 2n?1 ? 5 ? 2n?1 ? 4 . ? 2 ? 2n ? (4 ? 2n ? 4) ? 2n(8 ? 2n ? 8 ? 2n ) ? 2n?1 (2n? 2 ? 9n ? 4) ? 16n .
b2n?1 ? 2a2n S2n?1 ? (2n ? 1)(2S2n?1 ? a2n ) b2n ? 2a2n?1S2n ? 2n(2S2n ? a2n ?1 )

? 6 ? 2n?1 ? (5 ? 2n?1 ? 4) ? (2n ? 1)(10 ? 2n?1 ? 8 ? 3 ? 2n?1 )

? 2n?1 (30 ? 2n?1 ? 26n ? 11) ? 16n ? 8 . b2n ? b2n?1 ? 2n?1 (2n? 2 ? 9n ? 4) ? 16n ? [2n?1 (30 ? 2n?1 ? 26n ? 11) ? 16n ? 8]

5 5 ? 2n (2n?1 ? 5n ? ) ? 8 ? 22n?1 ? 8 ? 2n (5n ? ) . 2 2


5 f (n) ? 22n?1 ? 8 ? 2n (5n ? ) 2





1 5 f (n) ? 2n [ ? 2n ? (5n ? )] ? 8 2 2





1 5 1 15 1 5 g (n) ? ? 2n ? (5n ? ) ,则 g (n ? 1) ? g (n) ? ? 2n?1 ? (5n ? ) ? ? 2n ? 5n ? 2 2 2 2 2 2 1 ? ? 2n ? 5 , 2
当 n ? 1 ,2,3 时, g (n ? 1) ? g (n) ? 0 ,

1 13 当 n ? N * 时, n ≥ 4 , g (n ? 1) ? g (n) ? ? 2n ? 5 ? 0 , ∵ n ? 1 时, g (1) ? ? ? 0 ,∴ 2 2 1 53 g (4) ? 0 ;且 g (6) ? ? ? 0 ; g (7) ? ?0. 2 2 1 5 ∴ f (n) ? 2n [ ? 2n ? (5n ? )] ? 8 在 n ≥ 7(n ? N*) 时也是单调递增, 2 2
n ? 1 时, f (1) ? ?5 ? 0 ; n ? 2 时, f (2) ? ?34 ? 0 ; n ? 3 时, f (3) ? ?100 ? 0 ; n ? 4 时, f (4) ? ?224 ? 0 ; n ? 5 时, f (5) ? ?360 ? 0 ; n ? 6 时, f (6) ? ?24 ? 0 ; n ? 7 时, f (7) ? 3400 ? 0 ,

∴满足条件的正整数 n 的集合为{1,2,3,4,5,6} . 30. (江苏省泰州市 2015 届高三第二次模拟考试数学试卷) 19. (本题满分 16 分) 已知 an ? ,

?

?b ? ,?c ? 都是各项不为零的数列,且满足 a b ? a b
n n
1 1

2 2

其中 Sn ? ? ? anbn ? cn Sn ,n ? N? ,

是数列 an ? 的前 n 项和,

?

?c ? 是公差为 d (d ? 0) 的等差数列.
n

(1)若数列 an ? 是常数列, d ? 2 , c2 ? 3 ,求数列 bn ? 的通项公式; (2)若 an ? ?n ( ? 是不为零的常数) ,求证:数列 bn ? 是等差数列; (3)若 a1 ? c1 ? d ? k ( k 为常数, k ? N ) , bn ? c 2 , n ?)N ,求证:对任意的 nk ? (n ?
?

?

?

?

?

b n ? 2, n ? N? ,数列 { n } 单调递减. an
【答案】 (1) bn ? 4n ? 3(n ? N? ) (2)略 (3)略

【命题立意】本题考查了等差数列,通项公式,单调性等,考查了学生方程与函数思想和分 类讨论思想,难度中等. 【解析】 (1)因为 d ? 2 , c2 ? 3 ,所以 cn ? 2n ? 1, 因为数列 an ? 是各项不为零的常数列,所以 a1 ? a2 ? ? ? an , Sn ? na1 , 则由 Sncn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn 及 cn ? 2n ? 1得 n(2n ?1) ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 当 n ? 2 时, (n ?1)(2n ? 3) ? b1 ? b2 ? ?? bn?1 ,两式相减得 bn ? 4n ? 3 , 当 n ? 1 时, b1 ? 1 ,也满足 bn ? 4n ? 3 ,故 bn ? 4n ? 3(n ? N? ) . (2)因为 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? cn Sn , 当 n ? 2 时, Sn?1cn?1 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? an?1bn?1 ,两式相减得 Sncn ? Sn?1cn?1 ? anbn , 即 (Sn?1 ? an )cn ? Sn?1cn?1 ? anbn , Sn?1 (cn ? cn?1 ) ? ancn ? anbn ,即 Sn?1d ? ?ncn ? ?nbn , 又 S n ?1 ? 即

?

? ? ? (n ? 1)
2

(n ? 1) ?

? n(n ? 1)
2

,所以

? n(n ? 1)
2

d ? ? ncn ? ? nbn ,

(n ? 1) d ? cn ? bn , 2 (n ? 2) 3 d ? cn ?1 ? bn ?1 ,两式相减得 bn ? bn ?1 ? d (n ? 3) , 所以当 n ? 3 时, 2 2 3 所以数列 ?bn ? 从第二项起是公差为 d 等差数列; 2
又当 n ? 1 时,由 S1c1 ? a1b1 得 c1 ? b1 ,

(2 ? 1) 1 3 3 d ? c2 ? d ? (c1 ? d ) ? b1 ? d 得 b2 ? b1 ? d , 2 2 2 2 3 故数列 ?bn ? 是公差为 d 等差数列. 2
当 n ? 2 时,由 b2 ? (3)由(2)得当 n ? 2 时, Sn?1 (cn ? cn?1 ) ? ancn ? anbn ,即 Sn?1d ? an (bn ? cn ) , 因为 bn ? cn?k ,所以 bn ? cn ? kd ,即 bn ? cn ? kd ,所以 Sn?1d ? an ? kd ,即 Sn?1 ? kan , 所以 Sn ? Sn?1 ? an ? (k ? 1)an ,

当 n ? 3 时, Sn?1 ? (k ? 1)an?1 ,两式相减得 an ? (k ? 1)an ? (k ? 1)an?1 ,

k ?1 an ?1 ,故从第二项起数列 ?an ? 是等比数列, k k ? 1 n?2 ) , 所以当 n ? 2 时, an ? a2 ( k
即 an ?

bn ? cn?k ? cn ? kd ? c1 ? (n ?1)k ? k 2 ? k ? (n ?1)k ? k 2 ? k (n ? k ) ,
另外由已知条件得 (a1 ? a2 )c2 ? a1b1 ? a2b2 ,又 c2 ? 2k , b1 ? k , b2 ? k (2 ? k ) , 所以 a2 ? 1 ,因而 an ? (

k ? 1 n?2 b d b a (n ? k ? 1)k ) ,令 dn ? n ,则 n?1 ? n?1 n ? , k dn an ?1bn (n ? k )(k ? 1) an

因为 (n ? k ? 1)k ? (n ? k )(k ? 1) ? ?n ? 0 ,所以

d n?1 ? 1 ,所以对任意的 n ? 2, n ? N? ,数 dn

列{

bn } 单调递减. an

31. (南京市、盐城市 2015 届高三年级第二次模拟考试 数学试题)20. (本小题满分 16 分) 给定一个数列 ?an ? ,在这个数列中,任取 m (m ? 3, m ? N ? ) 项,并且不改变它们在数列

?an ? 中的先后次序,得到的数列 ?an ? 的一个 m 阶子数列.
已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 数列 ?an ? 的一个 3 子阶数列. 求 a 的值;
? 等差数列 b1 , b2 ,?, bm 是 ?an ? 的一个 m (m ? 3, m ? N ) 阶子数列,且 b1 ?

1 (n ? N ? , a为常数) ,等差数列 a2 , a3 , a6 是 n?a

1 k

(k为常数, k ? N ? , k ? 2) ,求证: m ? k ? 1
等比数列 c1 , c2 ,?, cm 是 ?an ? 的一个 m (m ? 3, m ? N ? ) 阶子数列, 求证: c1 ? c1 ? ? ? cm

? 2?

1 2
m ?1

【答案】 (1) a =0 (2)见解析 (3)见解析 【命题立意】本题旨在考查数列新定义及其前 n 项和.考查一般与特殊思想、转化与划归思 想;考查运算能力;考查分析探究能力,难度较大. 【解析】 (1)因为 a2,a3,a6 成等差数列,所以 a2-a3=a3-a6.

1 1 1 又因为 a2= ,a = , a6= , 2+a 3 3+a 6+a 代入得 1 1 1 1 - = - ,解得 a=0. 2+a 3+a 3+a 6+a …………… 3 分

(2)设等差数列 b1,b2,…,bm 的公差为 d. 1 1 因为 b1= ,所以 b2≤ , k k+1 从而 d=b2-b1≤ 1 1 1 - =- . k+1 k k(k+1) ……………… 6 分

1 m-1 所以 bm=b1+(m-1)d≤ - . k k(k+1) 1 m-1 又因为 bm>0,所以 - >0. k k(k+1) 即 m-1<k+1. 所以 m<k+2. 又因为 m,k∈N*,所以 m≤k+1. …………… 9 分

1 (3)设 c1= (t∈N*) ,等比数列 c1,c2,…,cm 的公比为 q. t 1 c2 t 因为 c2≤ ,所以 q= ≤ . c1 t+1 t+1 1 t ?n-1 - 从而 cn=c1qn 1≤ ? (1≤n≤m,n∈N*) . t ?t+1? 1 1 t ?1 1? t ?2 1 t ?m-1 所以 c1+c2+…+cm≤ + ? + +…+ ? t t ?t+1? t ?t+1? t ?t+1? t+1 t ?m = [1-? ] t ?t+1? = t+1 ? t ?m-1 - . t ?t+1? ………… 13 分

1 设函数 f(x)=x- m-1, (m≥3,m∈N*) . x 1 当 x∈(0,+∞)时,函数 f(x)=x- m-1为单调增函数. x t+1 因为当 t∈N*,所以 1< ≤2. t 1 即 c1+c2+…+cm≤2- m-1. 2 t+1 1 所以 f( )≤2- m-1. t 2 ……… 16 分

32. (江苏省南京市 2015 届高三第三次模拟考试数学试题)20. (本小题满分 16 分)已知数 列{an}的各项均为正数,其前 n 项的和为 Sn,且对任意的 m,n∈N*,
2 都有(Sm+n+S1) =4a2ma2n.

a2 (1)求 的值; a1 (2)求证:{an}为等比数列; (3)已知数列{cn},{dn}满足|cn|=|dn|=an,p(p≥3)是给定的正整数,数列{cn},{dn} 的前 p 项的和分别为 Tp,Rp,且 Tp=Rp,求证:对任意正整数 k(1≤k≤p),ck=dk. a2 【答案】 (1) =2; (2)略; (3)略。 a1 【命题立意】本题旨在考查数列的递推关系式,等比数列的定义与通项,数列求和,数 列与不等式的综合, 考查运算和计算能力,难度较大。
2 2 【解析】 (1)由(Sm+n+S1)2=4a2na2m,得(S2+S1)2=4a2 2 ,即(a2+2a1) =4a 2 .

a2 因为 a1>0,a2>0,所以 a2+2a1=a2,即 =2. a1 4a2a4, 令 m=n=2,得 S4+S1=2a4,即 2a1+a2+a3=a4. 所以 a4=4a2=8a1. a2 又因为 =2,所以 a3=4a1. a1

?????????? 3 分

证明:(2)(方法一)令 m=1,n=2,得(S3+S1)2=4a2a4,即(2a1+a2+a3)2=

?????????? 6 分

由(Sm+n+S1)2=4a2na2m,得(Sn+1+S1)2=4a2na2,(Sn+2+S1)2=4a2na4. (Sn+2+S1)2 a4 Sn+2+S1 两式相除,得 = ,所以 = (Sn+1+S1)2 a2 Sn+1+S1 即 Sn+2+S1=2(Sn+1+S1), 从而 Sn+3+S1=2(Sn+2+S1). 所以 an+3=2an+2,故当 n≥3 时,{an}是公比为 2 的等比数列. 又因为 a3=2a2=4a1,从而 an=a1·2 n 1,n∈N*.


a4 =2. a2

显然,an=a1·2 n

-1

满足题设, ?????????? 10 分

因此{an}是首项为 a1,公比为 2 的等比数列. (方法二)在(Sm+n+S1)2=4a2na2m 中, 令 m=n,得 S2n+S1=2a2n. 令 m=n+1,得 S2n+1+S1=2 a2na2n+2 , 在①中,用 n+1 代 n 得,S2n+2+S1=2a2n+2.

① ② ③ ④ ⑤ ⑥

②-①,得 a2n+1=2 a2na2n+2-2a2n=2 a2n( a2n+2- a2n), ③-②,得 a2n+2=2a2n+2-2 a2na2n+2=2 a2n+2( a2n+2- a2n), 由④⑤得 a2n+1= a2na2n+2.

?????????? 8 分 ⑥代入④,得 a2n+1=2a2n;⑥代入⑤得 a2n+2=2a2n+1, a2n+2 a2n+1 a2 所以 = =2.又 =2, a1 a2n+1 a2n 从而 an=a1·2 n 1,n∈N*.


显然,an=a1·2 n

-1

满足题设, ?????????? 10 分

因此{an}是首项为 a1,公比为 2 的等比数列. (3)由(2)知,an=a1·2 n 1.


因为|cp|=|dp|=a1·2p 1,所以 cp=dp 或 cp=-dp.


若 cp=-dp,不妨设 cp>0,dp<0, 则 Tp≥a1·2p 1-(a1·2p 2+a1·2p 3+?+a1)=a1·2p 1-a1·(2p 1-1)=a1>0.
- - - - -

Rp≤-a1·2p 1+(a1·2p 2+a1·2p 3+?+a1)=-a1·2p 1+a1·(2p 1-1)=-
- - - - -

a1<0. 这与 Tp=Rp 矛盾,所以 cp=dp. 从而 Tp-1=Rp-1. 由上证明,同理可得 cp-1=dp-1.如此下去,可得 cp-2=dp-2,cp-3=dp-3.?,c1=d1. 即对任意正整数 k(1≤k≤p),ck=dk. ?????????? 16 分

33. (江苏省苏锡常镇四市 2015 年高三教学情况调研(二)数学试题)20. (本小题满分 16 分)已知 ? , ? 为常数,且为正整数, ? ? 1 ,无穷数列 ?an ? 的各项均为正整数,其前 n 项和为 Sn , 对任意正整数 n ,Sn ? ?an ? ? . 数列 ?an ? 中任意不同两项的和构成集合 A (1)证明无穷数列 ?an ? 为等比数列,并求 ? ; (2)如果 2015 ? A ,求 ? ; (3)当 n ? 1 时,设集合 Bn ? x 3? ? 2

?

n ?1

? x ? 3? ? 2n , x ? A , Bn 中元素的个数记为

?

bn ,求数列 ?bn ? 的通项公式.
【答案】 (1)证明略,λ=2; (2)u=31 或 403; (3)bn=n. 【命题立意】本题旨在考查等比数列的定义与性质,考查分类讨论思维,反证法及其应 用. 【解析】

34. (江苏省徐州、连云港、宿迁三市 2015 届高三第三次模拟考试数学试题)19.(本小题 满分 16 分) 设正项数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且 Sn ? 满足: b2 ? a2 , b4 ? a6 . (1)求等比数列 {bn } 的通项公式;
* ? ?a n , n ? 2k ? 1, k ? N (2)设 c n ? ? 数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn , 求所有正整数 m 的值,使得 * ? ?bn , n ? 2k , k ? N

1 2 1 an ? an , n ? N * . 正项等比数列 {bn } 2 2

T2 m 恰好为数列 {cn } 中的项 . bn ? b2 ? qn?2 ? 2 ? ( 3)n?2 T2 m ? 1

【答案】 (1)bn=2· ( 3 )n 2; (2)1 或 2.


【命题立意】 本题旨在考查数列的递推关系式, 等差数列与等比数列的通项, 数列求和, 函数的基本性质及其应用,考查分类讨论思想,难度较大.

1 1 【解析】 (1)因为 an ? 0 ,当 n ? 1 时, a1 ? a12 ? a1 ,解得 a1 ? 1 . 2 2


………………1

1 1 由 Sn ? an 2 ? an , 2 2 1 1 当 n ? 2 时, Sn?1 ? an?12 ? an?1 , 2 2 1 2 1 2 两式相减,得 (an ? an (an +an?1 ) ? 0 . ?1 ) ? 2 2
又因为 an ? 0 ,所以 an +an ?1 ? 0 , 所以 an ? an ?1 =1 , 所以 {an } 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列, 所以 an ? a1 ? (n ? 1) ? 1 ? n . 由 b2 ? a2 , b4 ? a6 ,得 q 2 ?
b4 a6 ? ? 3, b2 a2

………………………………2 分

…………………………………………4 分

所以 bn ? b2 ? qn?2 ? 2 ? ( 3)n?2 .
?n, n ? 2k ? 1, k ? N? , ? (2)由题意得 cn ? ? n ?1 ? 2 ? ? 2 ? 3 , n ? 2k , k ? N ,

……………………………………6 分

所以 T2 m ? (a1 ? a3 ? ? ? a2m?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? ? b2 m )

?

m(1 ? 2m ? 1) 2(1 ? 3m ) m ? ? 3 ? m2 ? 1 , 2 1? 3

………………………………8 分

T2m?1 ? T2m ? b2m ? 3m ? m2 ? 1 ? 2 ? 3m?1 ? 3m?1 ? m2 ? 1 ,
所以

T2 m 3m ? m2 ? 1 2(m2 ? 1) ? m?1 ? 3 ? ≤ 3 , ……………………………10 分 T2 m?1 3 ? m2 ? 1 3m?1 ? m2 ? 1
T2 m 为 ?cn ? 中的项只能为 c1 , c2 , c3 . T2 m ?1
……………………………11 分

故若

①若 3 ? ②若 3 ?

2(m 2 ? 1) =1 ,则 3m ?1 ? 0 ,所以 m 无解. 3m?1 ? m 2 ? 1

……………………12 分

2(m2 ? 1) =2 ,则 3m?1 ? 1 ? m2 ? 0 , 显然 m ? 1 不合题意, m ? 2 符合题意. 3m?1 ? m2 ? 1

当 m ≥ 3 时,即 f (m) ? 3m?1 ? 1 ? m2 ,则 f ?(m) ? 3m?1 ln3 ? 2m , 设 g (m) ? 3
m?1

ln 3 ? 2m ,则 g?(m) ? 3m?1 (ln 3)2 ? 2 ? 0 ,

即 f ?(m) ? 3m?1 ln3 ? 2m 为增函数, 故 f ?(m) ≥ f ?(3) ? 0 ,即 f ( m) 为增函数,故 f (m) ? f (3) ? 1 ? 0 . 故当 m ≥ 3 时方程 3
m?1

? 1 ? m2 =0 无解,

即 m ? 2 是方 程唯一解.………………………………………………………………15 分 ③若 3 ?

2(m 2 ? 1) ? 3 ,则 m2 ? 1 ,即 m ? 1 . m ?1 2 3 ? m ?1
……………………………………………16 分

综上所述, m ? 1 或 m ? 2 .

35. (江苏省盐城市 2015 届高三第三次模拟考试数学试题)20. (本小题满分 16 分)设函数

f ( x) ?

1 2 2 (其中 p ? q ? 0 ) ,且存在无穷数列 ?an ? ,使得函数在其定义域内还 1+px ? qx 2

可以表示为 f ( x) ? 1 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn ? ? . (1)求 a2 (用 p, q 表示) ; (2) 当 p ? ?1, q ? ?1 时, 令 bn ?

3 an?1 Sn ? ; , 设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn , 求证: 2 an an ? 2

(3)若数列 ?an ? 是公差不为零的等差数列,求 ?an ? 的通项公式. 【答案】 (1) a2 ? p2 ? q ; (2)略; (3) an ? n ? 1 . 【命题立意】本题旨在考查函数及其应用,数列的递推关系式,数列求和,等差数列的 通项及其应用,考查分析法、反证法等考查转化和化归能力,运算和推理能力,难度较大.

【解析】 (1)由题意,得 (1 ? px ? qx2 )(1 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn ? ?) ? 1 , 显然 x, x 2 的系数为 0,所以 ? 分 (2)由 p ? ?1, q ? ?1 ,考虑 xn (n ? 3) 的系数,则有 an ? pan?1 ? qan?2 ? 0 ,

? a1 +p ? 0 ,从而 a1 ? ? p , a2 ? p2 ? q .……………4 a + a p + q ? 0 ? 2 1

? a1 ? 1 ? 得 ? a2 ? 2 ,即 an?2 ? an?1 ? an , ? a ? a ? a ? 0(n ? 3) n ?1 n?2 ? n
所以数列 ?an ? 单调递增,且 bn ?

an? 2 ? an 1 1 , ? ? an an? 2 an an ? 2

所以 Sn ? (

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ), a1 a3 a2 a4 a3 a5 an an? 2 1 1 1 1 3 1 1 3 ? ? ? ? ? ? ? . …………………………10 a1 a 2 an +1 an? 2 2 an +1 an? 2 2

当 n ? 2 时, Sn ? 分

(3)由(2) an ? pan?1 ? qan?2 ? 0 , 因数列 ?an ? 是等差数列,所以 an ? 2an?1 ? an?2 ? 0 ,所以 (2+p)an?1 ? (1 ? q)an?2 对一切

n ? 3 都成立,
2 2 若 an ? 0 ,则 p ? q ? 0 ,与 p ? q ? 0 矛盾,

若数列 ?an ? 是等比数列,又据题意 ?an ? 是等差数列,则 ?an ? 是常数列,这与数列 ?an ? 的 公差不为零矛盾,

, q1 ? , 所以 2 ? p ? 1 ? q ? 0 , 即 p ? ?2 由 (1) 知 a1 ? 2 , 所以 an ? n ? 1 . ………16 a2 ? 3 ,
分 (其他方法:根据题意可以用 p 、 q 表示出 a1 , a2 , a3 , a4 ,由数列 ?an ? 为等差数列, 利用 2a2 ? a1 ? a3 , 2a3 ? a2 ? a4 解方程组也可求得. ) 解法 2:由(1)可知 a1 ? ? p , a2 ? p2 ? q ,因为数列 ?an ? 是等差数列,设公差为 d

d ? a2 ? a1 ? p2 ? q ? p , a3 ? 2 p2 ? 2q ? p , a4 ? 3 p2 ? 3q ? 2 p . 又 由 ( 2 )
an ? pan?1 ? qan?2 ? 0 ,
所以 a3 ? pa2 ? qa1 ? 0, 得 p( p ? 1)2 ? 2q( p ? 1) ? 0 ,若 p ? 1 ? 0, 即 p ? ?1, 时, a1 ? 1 ,

a2 ? 1 , d ? 0 与 条 件 公 差 不 为 零 相 矛 盾 , 因 此 p ? ?1, 则 q ? a4 ? pa3 ? qa2 ? 0 ,可得 3 p2 ? 3q ? 2 p ? p(2 p2 ? 2q ? p) ? q( p2 ? q) ? 0 ,整理可得 (2 p ? q ? 3)( p2 ? q) ? p2 ? 2 p ? 0 代 入 q ?
p ? ?2
若 p ? 0 ,则 p ? q ? 0 ,与 p2 ? q2 ? 0 矛盾, 若 p ? ?2 ,则 q ? 1 ,满足题意, 所以 an ? n ? 1 .

p ( p ? 1) .由 2

p ( p ? 1) 1 2 , p ( p ? 2)( p ? 1) ? 0 , p ? 0 或 2 4

36. (江苏省南通市 2015 届高三第三次调研测试)19. (本小题满分 16 分)已知数列{an}, {bn}中,a1=1, bn ? (1 ?
2 an 1 )? ,n∈N?,数列{bn}的前 n 项和为 Sn. 2 an a ?1 n ?1

(1)若 an ? 2n?1 ,求 Sn; (2)是否存在等比数列{an},使 bn? 2 ? Sn 对任意 n∈N*恒成立?若存在,求出所有满足条件 的数列{an}的通项公式;若不存在,说明理由; (3)若 a1≤a2≤?≤an≤?,求证:0≤Sn<2. 【答案】 (1) Sn ? 和 an= (?1)n?1 . (3)详见解析. 【命题立意】本题考查等比数列的性质,求和公式,探求性问题,不等式的证明,考查函数 与方程思想,难度较大.

3 3 (2)满足条件的数列{an}存在且只有两个,其通项公式为 an=1 ? n?2 ; 4 2

3 1 1 【解析】 (1)当 an= 2 n ?1 时,bn= (1 ? ) ? n = n? 2 . 2 4 2

3 1 1 3 3 所以,Sn= (1 ? ? ? ? n?1 ) ? ? n? 2 . 8 2 2 4 2
(2)满足条件的数列{an}存在且只有两个,其通项公式为 an=1 和 an= (?1)n?1 . 证明:在 bn? 2 ? Sn 中,令 n=1,得 b3=b1.

设 an= q n ?1 ,则 bn= (1 ? 由 b3=b1,得 (1 ?

1 1 ) . q2 qn

1 1 1 1 ) 3 ? (1 ? 2 ) . 2 q q q q

若 q= ?1 ,则 bn=0,满足题设条件.此时 an=1 和 an= (?1)n?1 . 若 q ? ?1,则

1 1 ? ,即 q2 =1,矛盾. q3 q
10 分

综上,满足条件的数列{an}存在,且只有两个,一是 an=1,另一是 an= (?1)n?1 . (3)因 1=a1≤a2≤?≤an≤?,故 an>0 ,0< 所以, bn ? (1 ?
an a2 ≤1,于是 0< 2n ≤1. a n ?1 a n ?1

2 an 1 )? ≥0,n?1,2,3,?. 2 an ?1 an ?1

所以,Sn=b1+b2+?+bn≥0. 又, bn ? (1 ?
2 a a an 1 1 )? = (1 ? n )(1 ? n ) ? 2 an ?1 an ?1 an ?1 an ?1 an ?1

? (1 ?

an 1 a 1 1 1 )( ? ) ? n ≤ 2( ? ). an ?1 an an ?1 an ?1 an an ?1

故,Sn=b1+b2+?+bn≤ 2( ? 2(

1 1 1 1 1 1 ? ) ? 2( ? ) ? ? ? 2( ? ) a1 a2 a2 a3 an an ?1

1 1 1 ? ) = 2(1 ? ) <2. a1 an ?1 a n ?1

所以,0≤Sn<2.


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