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2014高考数学一轮高强优化课件:直 线 与 圆选择、填空题型

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第一讲

直 线 与 圆?选择、填空题型?

考点 直线与直线的位置关系 圆的方程 直线与圆的位置关系 圆的综合问题

考情 1.直线与直线的位置关系在高考中出现的频率较高,主要考

查两直线平行或垂直的条件,有时与充要条件相结合出现在选
择题中. 2.圆的方程及直线与圆的位置关系是高考重点考查的内容,

涉及圆的方程的求法,直线与圆的位置关系的判断,弦长问题
及切线问题,如2013年山东T9.

1.(2013· 陕西高考)已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外, 则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是 A.相切 C.相离 B.相交 D.不确定 ( )

解析:由点 M 在圆外,得 a2+b2>1,∴圆心 O 到直线 1 ax+by=1 的距离 d= 2 2<1,则直线与圆 O 相交. a +b 答案:B

2.(2013· 安徽高考)直线 x+2y-5+ 5=0 被圆 x2+y2-2x- 4y=0 截得的弦长为 A.1 C.4 B.2 D.4 6 ( )

解析:依题意,圆的圆心为(1,2),半径 r= 5,圆心到 |1+4-5+ 5| 直线的距离 d= =1, 所以结合图形可知弦 5 长的一半为 r2-d2=2,故弦长为 4.

答案:C

3.(2012· 安徽高考)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公 共点,则实数 a 的取值范围是 A.[-3,-1] C.[-3,1] B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) ( )

解析: 欲使直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点, 只需使圆心到直线的距离小于等于圆的半径 2即可,即 |a-0+1| 2 2≤ 2,化简得|a+1|≤2,解得-3≤a≤1. 1 +?-1?

答案:C

4.(2013· 山东高考)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切 点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为 A.2x+y-3=0 C.4x-y-3=0 B.2x-y-3=0 D.4x+y-3=0 ( )

解析:法一:根据平面几何知识,直线 AB 一定与点(3,1), 1 (1,0)的连线垂直, 这两点连线的斜率为 , 故直线 AB 的斜率 2 一定是-2,只有选项 A 中直线的斜率为-2.

法二:以(3,1)和(1,0)为直径的两个端点的圆的方程为(x-2)2+
? 1?2 1 5 ?y- ? =(2-1)2+ = ,AB 2? 4 4 ?

是两圆的公共弦,因此直线 AB 的

方程为两圆的方程的差,即 2x+y-3=0.

答案:A

5.(2013· 江西高考)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线 y =1 相切,则圆 C 的方程是________.

解析:因为圆过原点,所以可设圆的方程为 x2+y2+Dx+ Ey=0.因为圆过点(4,0),将其代入圆的方程得 D=-4,即 圆的方程为 x2+y2-4x+Ey=0.又圆与直线 y=1 相切,将 其代入圆的方程得 x2+1-4x+E=0,又方程只有一个解, 所以 Δ=42-4(1+E)=0,解得 E=3.故所求圆的方程为 x2 +y -4x+3y=0,即(x-2)
2 2

答案:(x-2)

2

? 3?2 25 +?y+2? = 4 ? ?

? 3?2 25 +?y+2? = . 4 ? ?

1.直线方程的五种形式 (1)点斜式:y-y1=k(x-x1). (2)斜截式:y=kx+b. y-y1 x-x1 (3)两点式: = (x ≠x2,y1≠y2). y2-y1 x2-x1 1 x y (4)截距式:a+b=1(a≠0,b≠0). (5)一般式:Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0).

2.圆的三种方程 (1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2. (2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F> 0). (3)圆的直径式方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圆 的直径的两端点是 A(x1,y1),B(x2,y2)).

3.判定直线与圆位置关系的两种方法 (1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情 况):Δ>0?相交,Δ<0?相离,Δ=0?相切. (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):设圆 心到直线的距离为 d,则 d<r?相交,d>r?相离,d=r?相 切.(主要掌握几何方法)

直线与方程
[例 1] 则 a 的值为 A.2 C. 2 B.± 2 D.± 2 ( ) (1)直线 x+2ay-5=0 与直线 ax+4y+2=0 平行, ( )

(2)已知点 M 是直线 l: 2x-y-4=0 与 x 轴的交点, M 点 过 作直线 l 的垂线,得到的直线方程是 A.x-2y-2=0 C.x+2y-2=0 B.x-2y+2=0 D.x+2y+2=0

[自主解答] =± 2.

a 1 5 1 (1)依题意得- =- 且 ≠- ,由此得 a 4 2a 2a 2

(2)显然直线 l:2x-y-4=0 与 x 轴的交点坐标为(2,0),∵ 所求直线与直线 l:2x-y-4=0 垂直, 1 ∴所求直线的斜率为- , 2 1 ∴所求直线的方程为 y-0=- (x-2), 2 即 x+2y-2=0.

[答案] (1)D

(2)C

本例(1)中直线 x+2ay-5=0 改为 x+ay+1=0,其他条 件不变,求 a 的取值. a 4 解:由 =a得 a=± 2. 1

当 a=2 时,两直线重合,不合题意(舍去); 当 a=-2 时,两直线平行. 故 a=-2.

——————————规律· 总结———————————— 两条直线平行与垂直的判定

(1)若两条不重合的直线 l1,l2 的斜率 k1,k2 存在,则 l1∥ l2?k1=k2,l1⊥l2?k1k2=-1. (2)判定两直线平行与垂直的关系时, 如果给出的直线方程 中存在字母系数,不仅要考虑斜率存在的情况,还要考虑斜率 不存在的情况. ———————————————————————————

1.m=-1 是直线 mx+(2m-1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直的 A.充分不必要条件 C.充要条件 ( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:由两直线垂直得 3m+(2m-1)m=0,解得 m=0 或 m=-1.而当 m=-1 时可得两直线垂直.所以 m=-1 是 直线 mx+(2m-1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直的充 分不必要条件.

答案:A

2.若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一 象限,则直线 l 的倾斜角的范围是
?π π? A.?6,3 ? ? ? ?π π? C.?3,2 ? ? ? ?π π? B.?6 ,2 ? ? ? ?π π? D.?6 ,2 ? ? ?

(

)

?y=kx- 3, ? 解析:法一:由? ?2x+3y-6=0, ?

? ?x=6+3 3, 2+3k ? 解得:? ? 6k-2 3 ?y= 2+3k . ? ?6+3 3 ? >0, ? 2+3k 因为交点在第一象限,所以? ?6k-2 3 ? 2+3k >0, ? 所以,直线 l
?π π? 的倾斜角的范围是?6 ,2 ?. ? ?

3 解得:k> . 3

法二:∵直线 l:y=kx- 3恒过定点(0,- 3),直线 2x+3y- 6=0 与 x 轴,y 轴交点的坐标分别为(3,0),(0,2). 0+ 3 3 又∵点(0, 3)与点(3,0)连线的斜率为 - = , 点(0, 3) - 3 3-0 与点(0,2)连线的斜率不存在, ∴要使直线 l 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则 k
?π π? 3 > ,所以直线 l 的倾斜角的范围是?6, 2 ?. 3 ? ?

答案:B

圆的方程及应用
(1)已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点 A(1,0),且被 x 轴

[例 2]

分成两段, 弧长之比为 1∶2, 则圆 C 的方程为_________________. (2)(2013· 哈尔滨模拟)圆心在直线 y=-4x 上,并且与直线 l: x+y-1=0 相切于点 P(3,-2)的圆的方程为_________________.

[自主解答]

(1)∵圆 C 关于 y 轴对称,

∴圆 C 的圆心 C 在 y 轴上,可设 C(0,b). 设圆 C 的半径为 r, 则圆 C 的方程为 x2+(y-b)2=r2. ?2 4 ?1 +?-b? =r , ?r =3, ? 依题意,得? 解之得? 1 ?|b|=2r, ?b=± 3. ? 3 ?
2 2 2

∴圆 C 的方程为 x

2

? 3 ?2 4 ? +?y± ? = . 3? 3 ? ?

(2)据已知, 过点 P 且与直线 l 垂直的直线方程为 y=x-5, 由圆的几何性质可知圆心为直线 y=x-5 与 y=-4x 的交点, 即圆心坐标为 A(1,-4),故半径为点 A 到直线 x+y-1=0 4 的距离,即 r= =2 2,故圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. 2 ? 3 ?2 4 ? 2 [答案] (1)x +?y± ? = 3? 3 ? ?

(2)(x-1)2+(y+4)2=8

——————————规律· 总结————————————
求圆的方程的两种方法 (1)几何法:通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置 关系,进而求得圆的基本量和方程. (2)代数法:即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求 得各系数. ——————————————————————————

3.(2013· 郑州模拟)以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心,且过坐标原 点的圆的方程为
A.x2+y2+2x=0 C.x2+y2-x=0

(
B.x2+y2+x=0 D.x2+y2-2x=0

)

解析:抛物线 y2=4x 的焦点坐标为(1,0),选项 A 中圆的 圆心坐标为(-1,0), 排除 A; 选项 B 中圆的圆心坐标为(- 0.5,0),排除 B;选项 C 中圆的圆心坐标为(0.5,0),排除 C. 答案:D

4.我们把圆心在一条直线上且相邻两圆彼此外切的一组圆叫 做“串圆”.在如图所示的“串圆”中,圆 C1 和圆 C3 的方 程分别为 x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=1,则圆 C2 的方程 为________.

解析:由题意知:C1(0,0),C3(3,4), ∴|C1C3|=5,又∵r1=r3=1, 5-1-1 3 ∴r2= = . 2 2
?3 ? 3 5 又∵|C1C2|=1+ = ,∴C2?2,2?. 2 2 ? ?

∴圆

? 3?2 9 2 C2 的方程为?x-2? +(y-2) = . 4 ? ?

? 3 ?2 9 ?x- ? +(y-2)2= 答案: 2? 4 ?

与圆有关的最值问题
[例 3] (1)(2013· 重庆高考)已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,

圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 A.5 2-4 C.6-2 2 B. 17-1 D. 17 ( )

(2)已知圆 C:(x+1)2+y2=8.若点 Q(x,y)是圆 C 上一点,则 x+y 的取值范围为________.

[自主解答]

(1)两圆的圆心均在第一象限,先求|PC1|+

|PC2|的最小值, 作点 C1 关于 x 轴的对称点 C′(2, -3), 则(|PC1| 1 +|PC2|)min=|C′1C2|=5 2,所以(|PM|+|PN|)min=5 2-(1+3) =5 2-4. (2)设 x+y=t,因为 Q(x,y)是圆上的任意一点,所以该直 |-1+0-t| 线与圆相交或相切,即 ≤2 2,解得:-5≤t≤3,即 2 x+y 的取值范围为[-5,3].

[答案]

(1)A

(2)[-5,3]

——————————规律· 总结———————————— 四种与圆有关的最值问题的求法

(1)圆 O 外一点 A 到圆上一点的距离的最小值为|AO|-r,最 大值为|AO|+r. (2)求 ax+by(其中(x, y)为圆上点)的取值范围转化为直线与圆 的位置关系. ax+by (3)求 (其中(x,y)为圆上点)的最值,可转化为求直线的 cx+dy 斜率. (4)形如(x-a)2+(y-b)2 型的最值问题,可转化为动点到定点 的距离的最值问题. ———————————————————————————

5.设点 P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1 上的任意一点,则(x-5)2+ (y+4)2 的最大值为 A.6 C.26 B.25 D.36 ( )

解析:设 Q(5,-4),圆的圆心为 C(2,0).易知(x-5)2+(y +4)2 的几何意义是点 P(x, y)到点 Q(5, -4)的距离的平方, 由于点 P 在圆(x-2)2+y2=1 上,故所求的最大值是(|QC| +1)2=36. 答案:D

y 6.已知圆 C:(x-2) +y =3,点 P(x,y)是圆上的动点,则x
2 2

的最大值为________.

y y-0 解析:圆心坐标为(2,0),半径为 3,x= ,可转化为 x-0 求直线 OP 的斜率. 当直线 OP 与圆相切且 P 在第一象限 时,斜率最大. 又 OC=2,CP= 3, ∴∠POC=60° OP=tan 60° 3. ,k =
答案: 3

课题16
[典例]

几何法解决直线与圆的位置关系问题

(2013· 浙江高考)直线 y=2x+3 被圆 x2+y2-6x

-8y=0 所截得的弦长等于________. [考题揭秘] 本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的

弦长的求法及解析几何思想、数形结合思想.

[审题过程]

第一步:审条件.已知直线与圆的方程.

第二步:审结论.求直线截圆所得的弦长. 第三步:建联系.可先化简圆的方程得到圆心坐标与半径, 然后求圆心到直线的距离 d, 再根据圆的弦长公式求解得出结果.

[规范解答] 25,

圆 x2+y2-6x-8y=0 可化为(x-3)2+(y-4)2=

因此,圆心坐标为(3,4),半径 r=5.??????????① 圆心到直线的距离为 d, |2×3-4+3| d= = 5.??????????????② 5 直线交圆于 A,B 两点,则|AB|=2 r2-d2 =2 25-5= 4 5.???????????????????????③ 因此,弦长为 4 5.

[答案]

4 5

[模型归纳] 利用几何法求圆的弦长的模型示意图如下:

[变式训练] 1.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y-5=0 与圆 x2+y2 =4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长等于 A.3 3 B.2 3 C. 3 D.1 ( )

解析:由圆心(0,0)到直线 3x+4y-5=0 的距离为 d=1,r =2,得|AB|=2 r2-d2=2 22-1=2 3.

答案:B

2.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,设该圆中过点 M(3,5) 的最长弦、最短弦分别为 AC,BD,则以点 A,B,C,D 为顶点的四边形 ABCD 的面积为 A.10 6 B.20 6 C.30 6 ( D.40 6 )

解析:已知圆的圆心为(3,4),半径为 5,则最短的弦长为 2 52-12=4 6,最长的弦为圆的直径为 10,且最短的弦 1 与最长的弦垂直,于是四边形的面积为 ×4 6×10= 2 20 6.

答案:B


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