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圆锥曲线中的取值范围最值问题

时间:2018-07-01


圆锥曲线中的最值取值范围问题
90.已知 F , F2 分别是双曲线 1 若

x2 y =l(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线上的一点, ? a 2 b2

2

?F1 PF2 ? 900 ,且 ?F1 PF2 的三边长成等差数列.又一椭圆的中心在原点,短轴的

一个端点到其右焦点的距离为 3 ,双曲线与该椭圆离心率之积为 (I)求椭圆的方程;

5 6 。 3

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 面积的最大值. 90.解:设 | PF1 |? m, | PF2 |? n ,不妨 P 在第一象限,则由已知得

3 ,求△AOB 2

?m ? n ? 2a, ? 2 2 2 2 2 ?m ? n ? (2c) , ? 5a ? 6ac ? c ? 0, ?n ? 2c ? 2m. ?

?e 2 ? 6e ? 5 ? 0,

解得 e ? 5或e ? 1 (舍去) 。设椭圆离心率为 e?, 则5e? ?

5 6 . 3

? e? ?

6 . 3

可设椭圆的方程为

x2 y2 ? 2 ? 1, 半焦距为 c ?. a ? 2 b?

? c? 6 , ? ? ?a ? ? 3, 3 ? a? ? ? ? ?b? 2 ? c ? 2 ? 3, 解之得 ?b? ? 1, ?b? 2 ? c ? 2 ? a ? 2 . ? ?c ? ? 2 . ? ? ?
(Ⅱ)①当 AB ? x轴时 , | AB |?

? 椭的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

3.

②当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由已知

|m| 1? k
2
2

?

3 3 , 得 m 2 ? (k 2 ? 1), 把y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 2 4
2

(3k ? 1) x ? 6kmx? 3m ? 3 ? 0, ? x1 ? x 2 ?
2

? 6km 3(m 2 ? 1) , x1 x 2 ? . 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

? AB |2 ? (1 ? k 2 )(x2 ? x1 ) 2 ? (1 ? k 2 )[ |
?

36 k 2 m 2 12(m 2 ? 1) ? ] (3k 2 ? 1) 2 3k 2 ? 1

12(1 ? k 2 )(3k 2 ? 1 ? m 2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (3k 2 ? 1) 2 (3k 2 ? 1) 2

? 3?

12k 2 ? 3? 9k 2 ? 6k 2 ? 1

12 12 ? 4. (k ? 0) ? 3 ? 1 2?3? 6 2 9k ? 2 ? 6 k

当且仅当 9k 2 ?

1 3 时等号成立,此时 | AB |? 2. ,即k ? ? 2 3 k
3.

③当 k ? 0时, | AB |? 综上所述: | AB |max ? 2 ,

此时 ?AOB面积取最大值 S ?

1 3 3 | AB | max ? ? . 2 2 2

85.已知曲线 C 的方程为 x2 ? 2 y ,F 为焦点。 (1)过曲线上 C 一点 P( x0 , y0 ) ( x0 ? 0 )的切线 l 与 y 轴交于 A,试探究|AF|与|PF|之间 的关系; (2) (1) 若在 的条件下 P 点的横坐标 x0 ? 2 , N 在 y 轴上, 点 且|PN|等于点 P 到直线 2 y ? 1 ? 0 的距离,圆 M 能覆盖三角形 APN,当圆 M 的面积最小时,求圆 M 的方程。 85.

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 4 ,离心率为 , F1 , F2 分别为其 2 a b 2 左右焦点.一动圆过点 F2 ,且与直线 x ? ?1相切. (Ⅰ) (ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (ⅱ)求动圆圆心轨迹 C 的方程;
74.已知椭圆 C1 : (Ⅱ) 在曲线 C 上有四个不同的点 M , N , P, Q , 满足 MF2 与 NF 2 共线,PF2 与 QF2 共 线,且 PF2 ? MF2 ? 0 ,求四边形 PMQN 面积的最小值.

?2a ? 4 ?a ? 2 ? 74.解:(Ⅰ)(ⅰ)由已知可得 ? ? b2 ? a2 ? c2 ? 3, c 1 ?? ?c ? 1 ?e ? a ? 2 ? x2 y2 ? ?1. 则所求椭圆方程 C1 : 4 3
(ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线,且抛物线 C 的焦点为 (1,0 ) ,准线方程 为 x ? ?1,则动圆圆心轨迹方程为 C : y 2 ? 4x . (Ⅱ)由题设知直线 MN, PQ 的斜率均存在且不为零 设直线 MN 的斜率为 k (k ? 0) , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则直线 MN 的方程为:

y ? k ( x ? 1)

联立 C : y 2 ? 4x

消去 y 可得 k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0

由抛物线定义可知:

| MN |?| MF2 | ? | NF 2 |? x1 ? 1 ? x 2 ? 1 ?
同理可得 | PQ |? 4 ? 4k 2 又 S PMQN ?

2k 2 ? 4 4 ?2 ? 4? 2 2 k k

1 1 4 1 | MN | ? | PQ |? (4 ? 2 )(4 ? 4k 2 ) ? 8(2 ? k 2 ? 2 ) ? 32 2 2 k k (当且仅当 k ? ?1时取到等号)

所以四边形 PMQN 面积的最小值为 32 . 69.如图,已知直线 l: y ? kx ? 2 与抛物线 C: x2 ? ?2 py( p ? 0) 交于 A,B 两点, O 为坐 标原点, OA ? OB ? (?4, ?12) 。 (Ⅰ)求直线 l 和抛物线 C 的方程; (Ⅱ)抛物线上一动点 P 从 A 到 B 运动时,求△ABP 面积最大值. 69.解: (Ⅰ)由 ?

??? ??? ? ?

? y ? kx ? 2, ? x ? ?2 py
2

得, x2 ? 2 pkx ? 4 p ? 0,

设 A x1, y1 , B ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ? ?2 pk , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 4 ? ?2 pk ? 4,
2

?

?

因为 OA ? OB ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? ?2 pk, ?2 pk 2 ? 4 = ? ?4, ?12 ? , 所以 ?

??? ??? ? ?

?

?

??2 pk ? ?4, ??2 pk ? 4 ? ?12.
2

解得 ?

? p ? 1, ? k ? 2.

所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2, 抛物线 C 的方程为 x2 ? ?2 y. (Ⅱ)方法 1:设 P( x0 , y0 ), 依题意,抛物线过 P 的切线与 l 平行时,△APB 面积最大,

1 y' ? ? x ,所以 ?x0 ? 2 ? x0 ? ?2, y0 ? ? x0 2 ? ?2, 所以 P (?2, ?2). 2
此时 P 到直线 l 的距离 d ?

2 ? (?2) ? (?2) ? 2 22 ? (?1) 2

?

4 4 5 ? , 5 5

由?

? y ? 2 x ? 2, ? x ? ?2 y,
2

得, x2 ? 4x ? 4 ? 0,

| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 ? x2 ? 1 ? 22 (?4) 2 ? 4(?4) ? 4 10

4 10 ?
∴△ABP 的面积最大值为

2

4 5 5 ?8 2

(Ⅱ)方法 2:由 ?

? y ? 2 x ? 2, ? x ? ?2 y,
2

得, x2 ? 4x ? 4 ? 0,

| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 ? x2 ? 1 ? 22 (?4) 2 ? 4(?4) ? 4 10 ……9 分

设 P(t , ? t 2 ) , (?2 ? 2 2 ? t ? ?2 ? 2 2) 因为 AB 为定值,当 P 到直线 l 的距离 d 最大时,△ABP 的面积最大,

1 2

d?

1 2t ? t 2 ? 2 2 22 ? (?1) 2

?

(t ? 2) 2 ? 4 5

,
4 5 ,此时 P ( ?2, ?2). 5

因为 ?2 ? 2 2 ? t ? ?2 ? 2 2 ,所以当 t ? ?2 时, d

max=

4 10 ?
∴△ABP 的面积最大值为

2

4 5 5 ?8 2

66.椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0)的长轴为短轴的 3倍, 直线 y ? x 与椭圆交于 A、B 两点, a2 b2

C 为椭圆的右项点, OA? OC ? (I)求椭圆的方程;

3 . 2

(II)若椭圆上两点 E、F 使 OE ? OF ? ? OA, ? ? (0,2), 求?OEF 面积的最大值

t2 t2 66.解: (I)根据题意, a ? 3b, C (a,0), 设 A (t , t ), 则t ? 0, 2 ? 2 ? 1. a b
解得 t 2 ?

a 2b 2 3 3 ? b 2 ,即t ? b, 2 2 4 2 a ?b 3 3 3 3 3 b, ), OC ? (a,0), OA ? OC ? ab ? 3b 2 ? , 2 2 2 2 2

? OA ? (

? b ? 1, a ? 3 ,

? 椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(Ⅱ)设 E( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ), EF 中点为 ( x0 , y0 ), M

? OE ? OF ? ? OA,

? 3 ?, ?2 x 0 ? x1 ? x 2 ? ? 2 ?? ?2 y ? y ? y ? 3 ? , 1 2 ? 0 2 ?
由①-②得
2 x12 ? x 2 2 ? y12 ? y 2 ? 0, 3

? x12 2 ? ? y1 ? 1, ① ?3 ? E , F在椭圆上 , 则? 2 ? x 2 ? y 2 ? 1, ② 2 ?3 ?

? k EF ?

y1 ? y2 1 x ? x2 1 ?? ? 1 ? , x1 ? x2 3 y1 ? y2 3

x2 3 1 3 ? 直线 EF 的方程为 y ? ? ? ? (x ? ? ), 即 x ? ?3 y ? 3? , 代入 ? y 2 ? 1 3 4 3 4
2 2 并整理得, 4 y ? 2 3?y ? ? ? 1 ? 0,

? y1 ? y 2 ?

3 ?2 ? 1 ? , y1 y 2 ? , 2 4

? EF |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 10 | y1 ? y2 | |
? 10 ?


3?2 ? 4(?2 ? 1) 4 ? ?2 ? 10 ? , 2 2 3? 10

? 原点 O(0,0)到直线 EF的距离为 h ?

, ? S ?OEF ?

1 3? 4 ? ?2 | EF | h ? 2 4

?

3 2 3 ?2 ? 4 ? ?2 3 ? (4 ? ?2 ) ? ? ? , 4 4 2 2 2时等号成立 , 所以?OEF面积的最大值为 3 . 2

当? ?

63.已知椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 ,过点 M(0, 1)的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 A、B. 4

(Ⅰ)若 l 与 x 轴相交于点 P,且 P 为 AM 的中点,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设点 N (0, ) ,求 | NA ? NB | 的最大值. 63. (Ⅰ)解:设 A(x1, y1), 因为 P 为 AM 的中点,且 P 的纵坐标为 0,M 的纵坐标为 1,所以

1 2

??? ??? ? ?

y1 ? 1 ? 0 ,解得 y1 ? ?1, 2

y12 3 1 ? 1 ,即 x12 ? ? 1,解得 x1 ? ? 又因为点 A(x1, y1)在椭圆 C 上,所以 x ? , 则点 A 4 2 4
2 1

的坐标为 (

3 3 y ? 或 , ?1) , 所 以 直 线 l 的 方 程 为 4 3x ? 3 ? 3 ,? 1 ) (? 2 2

0 或 ,

4 3x ? 3 ? 3 .0 y ?
(Ⅱ)设 A(x1, y1),B(x2, y2),则 NA ? ( x1, y1 ? ), NB ? ( x2 , y2 ? ), 所以 NA ? NB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ? 1) ,则 | NA ? NB |? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ? 1)
2

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

1 2

??? ?

1 2

2

??? ??? ? ? 当直线 AB 的斜率不存在时,其方程为 x ? 0 , A(0,2), B(0, ?2) ,此时 | NA ? NB |? 1 ;

当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? 1 ,

? y ? kx ? 1 ? 由题设可得 A、B 的坐标是方程组 ? 的解,消去 y 得 (4 ? k 2 ) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 y2 2 ?1 ?x ? ? 4
所以 ? ? (2k )2 ? 12(4 ? k 2 ) ? 0, x1 ? x2 ? 则 y1 ? y2 ? (kx1 ? 1) ? (kx2 ? 1) ? 所以 | NA ? NB |2 ? (

?2k , 4 ? k2

8 , 4 ? k2

??? ??? ? ?

?2k 2 8 ?12k 2 ) ?( ?1)2 ? ?1 ? 1 , 4 ? k2 4 ? k2 (4 ? k 2 )2

??? ??? ? ? 当 k ? 0 时,等号成立, 即此时 | NA ? NB | 取得最大值 1. ??? ??? ? ? 综上,当直线 AB 的方程为 x ? 0 或 y ? 1 时, | NA ? NB | 有最大值 1.
50.已知点 A 是抛物线 y =2px(p>0)上一点,F 为抛物线的焦点,准线 l 与 x 轴交于点 K, 已知|AK|= 2 |AF|,三角形 AFK 的面积等于 8. 2 (1)求 p 的值; 0 (2)过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线 l1,l2,与抛物线相交得两条弦,两条弦 0 9 0 50.解: (Ⅰ)设 A ? x0 , y0 ? , 3 2 p ?p ? ? p ? 因为抛物线的焦点 F ? ,0 ? , 准线l的方程为:x ? 2 , K ? ? ,0 ? , 作AM ? l于M , ? 7 2 ? 2 ? ?2 ? 0 0 p 则 AM ? x0 ? ? AF , 9 2 0 又 AK ? 2 AF 得 AK ? 2 AM ,即?AKM为等腰直角三角形, 3 2 p p p? ? ? KM ? AM ? x0 ? ,? y0 ? x0 ? ,即A ? x7 , x0 ? ? ,而点 A 在抛物线上, 0 的中点分别为 G,H.求|GH|的最小值.
2

2

2

?

2?

p? p ? ?p ? ? ? x0 ? ? ? 2 px0 ,? x0 ? ,于是A ? , p ? . . 2? 2 ? ?2 ?
又? S?AFK ?

2

1 1 p2 KF ? y0 ? ? p ? p ? ? 8,? p ? 4. 故所求抛物线的方程为 y2 ? 8x .6 分 2 2 2

(2)由 y 2 ? 8x ,得 F (2,0) ,显然直线 l1 , l 2 的斜率都存在且都不为 0. 设 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,则 l 2 的方程为 y ? ?

1 ( x ? 2) . k

48.椭圆的中心为原点 O , 焦点在 y 轴上, 离心率 e ?

6 , P (0,1) 的直线 l 与椭圆交于 A 、 过 3

??? ? ??? ? B 两点,且 AP ? 2 PB ,求 ?AOB 面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程.
48.解:设椭圆的方程为

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0), 直线 l 的方程为 y ? kx ? 1, a2 b2

A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) ? e ?

6 2 1 ?c2 ? a2 ,b2 ? a2 , 3 3 3

则椭圆方程可化为

y2 x2 ? 2 ? 1 即 3x 2 ? y 2 ? 3b2 , 3b 2 b

?3x 2 ? y 2 ? 3b 2 联立 ? 得 (3 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 1 ? 3b 2 ? 0 (*) ? y ? kx ? 1
有 x1 ? x2 ? ? 所以 S ?AOB ?

2k 2k , 而由已知 AP ? 2PB 有 x1 ? ?2x2 ,代入得 x 2 ? 2 3? k 3? k2

1 3 3| k | 3| k | 3 , ? | OP | ? | x1 ? x2 |? | x2 |? ? ? 2 2 2 2 3? k 2 3|k|

当且仅当 k ? ? 3 时取等号

?k ? 3 ?k ? ? 3 3 2k 5 ? ? ,? 由 x2 ? 得 x2 ? ? ,将 ? 代入(*)式得 b 2 ? 2 3 3 3? k ?x ? 3 3 ?x ? ? 3 3 ? ?
所以 ?AOB面积的最大值为

3 y2 x2 ,取得最大值时椭圆的方程为 ? ?1 5 2 5 3

x2 y 2 1 46.已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ?(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,上顶点为 A,P 为 C 1 上任一点,MN a b 2 2 是圆 C2: x ? ( y ? 3) ? 1 的一条直径,若与 AF 平行且在 y 轴上的截距为 3 ? 2 的直线 l 恰
好与圆 C 2 相切。 (1)已知椭圆 C1 的离心率; (2)若 PM ? PN 的最大值为 49,求椭圆 C 1 的方程. 46.解: (1)由题意可知直线 l 的方程为 bx ? cy ? (3 ?

???? ??? ? ?

2 )c ? 0 ,因为直线与圆
从而

c2 : x 2 ? ( y ? 3)2 ? 1 相切,所以 d ?
e? 2 ; 2

3c ? 3c ? 2c 2 2 =1,既 a ? 2c , 2 2 b ?c

(2)设 p ( x, y ), 则

x2 y2 ? 2 ? 1(c ? 0) 2c 2 c
2 2

又PM ? PN ? (PC2 ? C2 M ) ? (PC2 ? C2 N) ? PC2 ? C2 N ?

x 2 ? (3 ? y) 2 ?1 ? ?( y ? 3) 2 ? 2c ? 17(?c ? y ? c))
( PM ? PN ) max ? 17 ? 2c ? 49, 解得c ? 4, 此时椭圆方程为 ? 当 c ? 3时,
2

x2 y2 ? ?1 32 16

?

( PM ? PN ) max ? ?(?C ? 3) ? 17 ? 2 ? 49, 当 0 ? c ? 3时,
2 2

解 得 c ? 5 2 ?3 但

c ? 5 2 ? 3 ? 3, 故舍去。
综上所述,椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 32 16

25.已知椭圆 C1 :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆 2 a b 3 心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切.

(I)求椭圆 C1 的方程; (II)设椭圆 C1 的左焦点为 F1 ,右焦点 F2 ,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直 线 l2 垂直 l1 于点 P ,线段 PF2 垂直平分线交 l2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C 2 的方程; (III)设 C 2 与 x 轴交于点 Q ,不同的两点 R, S 在 C 2 上,且满足 QR ? RS ? 0, 求 QS 的 取值范围. 25. 解 : ( Ⅰ ) ∵ e ?

??? ??? ? ?

??? ?

3 c 2 a 2 ? b2 1 ,? e2 ? 2 ? ? ,? 2a 2 ? 3b2 3 a c2 3
2 2 ? b,? b ? 2 , b 2 ? 2

∵ 直 线

l : x ? y ? 2 ? 0与圆x 2 ? y 2 ? b2 相切,∴
x2 y2 ? ?1 3 2

2 ∴a ? 3

∵椭

圆 C1 的方程是

(Ⅱ)∵MP=MF2,∴动点 M 到定直线 l1 : x ? ?1的距离等于它到定点 F1(1,0)的距 离, ∴动点 M 的轨迹是 C 为 l1 准线,F2 为焦点的抛物线 ∴点 M 的轨迹 C2 的方程为

y ? 4x
2







Q



0



0

) ,



R(

y12 y2 , y1 ), S ( 2 , y 2 ) 4 4



QR ? (

y12 y 2 ? y12 , y1 ), RS ? ( 2 , y 2 ? y1 ) 4 4

∵ QR ? RS ? 0 ∵
2 y 2 ? y12 ?

2 y12 ( y 2 ? y12 ) ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 0 ∴ 16

y1 ? y2 , y1 ? 0











y 2 ? ?( y1 ?

16 ) y1



256 ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64 y12 256 2 2 当且仅当 y1 ? 2 , y1 ? 16, y1 ? ?4 时等号成立 y1
∵ | QS |?

(

2 y2 2 1 2 2 2 ) ? y2 ? ( y 2 ? 8) 2 ? 64,又 ? y 2 ? 64 4 4

2 | ∴当 y 2 ? 64, y 2 ? ?8时,QS | min ? 8 5,故 | QS | 的取值范围是 [8 5 ,?? )

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 有一 a 2 b2 个公共点 A(3,1) 1、F2 分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. ,F (Ⅰ)求 m 的值与椭圆 E 的方程; ??? ???? ? (Ⅱ)设 Q 为椭圆 E 上的一个动点,求 AP ? AQ 的取值范围.

8. 8.已知点 P(4,4) ,圆 C: ( x ? m)2 ? y2 ? 5 (m ? 3) 与椭圆 E:

【解】 (Ⅰ)点 A 代入圆 C 方程, 得 (3 ? m)2 ? 1 ? 5 .∵m<3,∴m=1. 圆 C:( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 .设直线 PF1 的斜率为 k, 则 PF1: y ? k(x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 . ∵直线 PF1 与圆 C 相切, ∴
11 1 , 或k ? . 2 2
A y P

| k ? 0 ? 4k ? 4 | k2 ?1

? 5.

F1

O

C Q

F2

x

解得 k ? 当 k=

11 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 2

36 ,不合题意,舍去. 11

当 k=

1 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为-4,∴c=4.F1(-4,0) 2(4,0) ,F . 2

x2 y 2 ? 1. 2a=AF1+AF2= 5 2 ? 2 ? 6 2 ,a ? 3 2 ,a2=18,b2=2.椭圆 E 的方程为: ? 18 2 ??? ? ?? ?? ??? ??? ? ? (Ⅱ) AP ? (1, 3) ,设 Q(x,y) A ? ( ? , ? ,Q x 3 ) , AP ? AQ ? (x ? 3) ? 3( y ?1) ? x ? 3y ? 6 . y 1



x2 y 2 ? ? 1 ,即 x2 ? (3 y)2 ? 18 ,而 x2 ? (3 y)2 ≥2 | x | ? | 3 y | ,∴-18≤6xy≤18. 18 2

则 ( x ? 3 y)2 ? x2 ? (3 y)2 ? 6xy ? 18 ? 6xy 的取值范围是[0, 36].x ? 3y 的取值范围是[-6,

6]. ??? ???? ? ∴ AP ? AQ ? x ? 3y ? 6 的取值范围是[-12,0]. 12. 12.已知直线 l : y ? x ? 1 与曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 交于不同的两点 A, B , a2 b2

O 为坐标原点.
(Ⅰ)若 | OA |?| OB | ,求证:曲线 C 是一个圆; (Ⅱ)若 OA? OB,当 a ? b 且 a ? [

6 10 , ] 时,求曲线 C 的离心率 e 的取值范围. 2 2

【解】 (Ⅰ)证明:设直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? | OA |?| OB | ∴ x1 ? y1 ? x2 ? y 2
2 2 2

2

即: x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2

2

∴ x1 ? x 2 ? y 2 ? y1
2 2 2

2

? A, B 在 C 上
2

x y x y ∴ 12 ? 12 ? 1, 22 ? 22 ? 1 a b a b
∴两式相减得: x1 ? x 2 ?
2 2

2

2

2

a2 2 2 ( y 2 ? y1 ) 2 b



a2 ? 1 即: a 2 ? b 2 2 b

∴曲线 C 是一个圆 (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,? a ? b ? 0 ∴曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆 ? OA? OB ∴

y1 y 2 ? ? ?1 即: y1 y 2 ? ? x1 x2 x1 x2

将 y ? x ? 1 代入 b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ? 0 整理得:

(b2 ? a 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? a 2b2 ? 0
∴ x1 ? x 2 ? ?

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) , x1 ? x 2 ? a2 ? b2 a2 ? b2


? A, B 在 l 上

y1 ? y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 1
∴ 2x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? 0
2 2 2 2 ∴ a ? b ? 2a b ? 0

又? y1 y 2 ? ? x1 x2 ∴2 ?

a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? (? 2 ) ?1 ? 0 a2 ? b2 a ? b2

∴ a 2 ? a 2 ? c 2 ? 2a 2 (a 2 ? c 2 ) ? 0 ∴c ?
2

4 2 2 2 2 ∴ 2a ? 2a ? c ? 2a c ? 0

2a 2 (a 2 ? 1) 2a 2 ? 1

∴e ?
2

c 2 2(a 2 ? 1) 1 ? ? 1? 2 2 2 a 2a ? 1 2a ? 1
∴ 1?

?

a ?[

6 10 , ] 2 2



2a 2 ?1?[2,4]

1 3 ?[ , ] 2a ? 1 2 4
2

1

e ?[

2 3 , ] 2 2

15.已知动点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上,且满足|AB|=2,点 P 在线段 AB 上,且

AP ? t PB(t是不为零的常数 ). 设点 P 的轨迹方程为 c。
(1)求点 P 的轨迹方程 C; (2)若 t=2,点 M、N 是 C 上关于原点对称的两个动点(M、N 不在坐标轴上) ,点 Q 坐标为 ( ,3), 求△QMN 的面积 S 的最大值。 15.【解】 (1)设 A(a,0), B(0, b), P( x, y )

3 2

? AP ? t PB,即( x ? a, y ) ? t (? x, b ? y ) ???? 2分 ?a ? (1 ? t ) x ? x ? a ? ?tx ? ?? 则? 1 ? t ,由题意知 t ? 0, ?y ? y ? t (b ? y ) ?b ? t ? 1? t2 2 2 2 2 2 ?| AB |? 2 ? a ? b ? 4即(1 ? t ) x ? ( )y ? 4 t x2 y2 ? 点P轨迹方程 C为 : ? ? 1???? 4分 4 4t 2 (1 ? t ) 2 (1 ? t ) 2
(2)t=2 时, C为

9x 2 9 2 ? y ?1 4 16

设M ( x1 , y1 ), 则N ? (? x1 ,? y1 ), 则MN ? 2 x12 ? y12 . 设直线 MN的方程为 y ? y1 x, ( x1 ? 0) x1

点Q到MN距离为 3 | y1 ? 3 x1 | h? 2 ???? 7分 x12 ? y12 ? S ?QMN 3 | y1 ? 3 x1 | 1 3 ? ? 2 x12 ? y12 ? 2 ?| y1 ? 3 x1 | ????8分 2 2 x12 ? y12 9 2 y1 ? 9 x1 y1 4

2 ? S ?QMN ? 9 x12 ?

9 x12 9 y12 9 又 ? ? 1? 9 x12 ? y12 ? 4 4 16 4 2 ? S ?QMN ? 4 ? 9 x1 y1 9 x12 9 y12 3x 3 y 9x y ? ? ?2 ? 1 ? 1 ? ? 1 1 4 16 2 4 4 ? ?9 x 2 y1 ? 4 ????11分 而1 ? 3 x1 3 y1 1 ? , 即x1 ? ? y1时, 等号成立 2 4 2 ? S ?QMN的最大值为 2 2 ????12分 当且仅当

25.已知椭圆 C1 :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆 2 a b 3 心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切.

(I)求椭圆 C1 的方程; (II)设椭圆 C1 的左焦点为 F1 ,右焦点 F2 ,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直 线 l2 垂直 l1 于点 P ,线段 PF2 垂直平分线交 l2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C 2 的方程; (III)设 C 2 与 x 轴交于点 Q ,不同的两点 R, S 在 C 2 上,且满足 QR ? RS ? 0, 求 QS 的 取值范围. 25. 解 : ( Ⅰ ) ∵ e ?

??? ??? ? ?

??? ?

3 c 2 a 2 ? b2 1 ,? e2 ? 2 ? ? ,? 2a 2 ? 3b2 2 3 a c 3
2 2 ? b,? b ? 2 , b 2 ? 2

∵ 直 线

l : x ? y ? 2 ? 0与圆x 2 ? y 2 ? b2 相切,∴

2 ∴a ? 3

∵椭

圆 C1 的方程是

x2 y2 ? ?1 3 2

(Ⅱ)∵MP=MF2,∴动点 M 到定直线 l1 : x ? ?1的距离等于它到定点 F1(1,0)的距 离, ∴动点 M 的轨迹是 C 为 l1 准线,F2 为焦点的抛物线 ∴点 M 的轨迹 C2 的方程为

y ? 4x
2







Q



0



0

) ,



R(

y12 y2 , y1 ), S ( 2 , y 2 ) 4 4



QR ? (

y12 y 2 ? y12 , y1 ), RS ? ( 2 , y 2 ? y1 ) 4 4 2 y12 ( y 2 ? y12 ) ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 0 ∵ QR ? RS ? 0 ∴ 16


y1 ? y2 , y1 ? 0











y 2 ? ?( y1 ?

16 ) y1



2 y 2 ? y12 ?

256 ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64 y12 256 2 2 当且仅当 y1 ? 2 , y1 ? 16, y1 ? ?4 时等号成立 y1
∵ | QS |?

(

2 y2 2 1 2 2 2 ) ? y2 ? ( y 2 ? 8) 2 ? 64,又 ? y 2 ? 64 4 4

2 | ∴当 y 2 ? 64, y 2 ? ?8时,QS | min ? 8 5,故 | QS | 的取值范围是 [8 5 ,?? )

37. 已 知 点 B (0, t ) , 点 C (0, t ? 4) ( 其 中 0 ? t ? 4 ) , 直 线 PB 、 PC 都 是 圆

M : ( x ? 1)2 ? y2 ? 1 的切线.
(Ⅰ)若 ?PBC面积等于 6,求过点 P 的抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的方程; (Ⅱ)若点 P 在 y 轴右边,求 ?PBC面积的最小值. 37. 解 : (1) 设

P( x p , y p )









xp ? 0



? S ?PBC ?

1 ? 4 ? x p ? 6,? x p ? 3,? P(3,? 6 p ) , 2

设直线 PB 与圆 M 切于点 A,? M (1,0)

1 ? (4 ? 4 ? 2PA) ?1 ? 6,? PA ? 2,? PM ? 5 , 2 1 1 ? PM ? 4 ? 6 p ? 5 ,? p ? , ? y 2 ? x 6 3
又? S ?PBC ? (2) ? 点 B(0,t) ,点 C (0, t ? 4) ,

进一步可得两条切线方程为: PB : y ?

1? t2 ? t 2 ? 8t ? 15 x ? t , PC : y ? x?t ?4, 2t 2t ? 8

?

1? t2 ? t 2 ? 8t ? 15 2t 2 ? 8t xp ? t ? x p ? t ? 4 ,? x p ? 2 , 2t 2t ? 8 t ? 4t ? 1

8 8 ? 0 ? t ? 4,? x p ? 0或x p ? ,? x p ? 0,? x p ? , 3 3 1 16 16 , ? S ?PBC ? ? 4 ? x p ? ,又?t ? 2 时, S ?PBC ? 2 3 3 16 ? ?PBC面积的最小值为 3


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