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甘肃省张掖市临泽一中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

时间:2016-07-26


2014-2015 学年甘肃省张掖市临泽一中高一(上)期末数学试卷

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请将正确的选项填涂在答题卡上) 1.集合 A={x|2014≤x≤2015},B={x|x<a},若 A?B,则实数 a 的取值范围是( A.a>2014 B.a>2015 C.a≥2014 D.a≥2015 )

2.已知集合 A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,那么 该函数的值域 C 的不同情况有( A.7 种 B.4 种 C.8 种 D.12 种 )

3.化简 A.6 B.2x



得(



C.6 或﹣2x D.6 或 2x 或﹣2x

4.已知 a=

,b=log2 ,c=

,则(



A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a

5.直线 3x+y﹣a=0 与 6x+2y+1=0 的位置关系是( A.相交 B.平行 C.重合 D.平行或重合



6.空间有四个点,如果其中任意三个点都不在同一直线上,那么过其中三个点的平面( A.可能有三个,也可能有两个 B.可能有四个,也可能有一个 C.可能有三个,也可能有一个 D.可能有四个,也可能有三个



7.已知直线 3x﹣2y﹣3=0 和 6x+my+1=0 互相平行,则它们之间的距离是( A.4 B. C. D.



8.已知函数 f(x)= A.2012 B.2013 C.2014 D.2015

,则 f(2014)=(



9.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是 2 的圆,则这个几何体的 表面积是( )

A.16π B.14π C.12π D.8π

10.如图所示,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD=



BD⊥CD,将其沿对角线 BD 折成四面体 A﹣BCD,使平面 ABD⊥平面 BCD,则下列说法中不正确 的是( )

A.平面 ACD⊥平面 ABD C.平面 ABC⊥平面 ACD

B.AB⊥CD D.AD⊥平面 ABC

11.已知点 A(1,3) ,B(﹣2,﹣1) ,若直线 l:y=k(x﹣2)+1 与线段 AB 没有交点,则 k 的取值范围是( A. ) C. ,或 k<﹣2 D.

B.k≤﹣2

12.如图所示,正四棱锥 P﹣ABCD 中,O 为底面正方形的中心,侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角 的正切值为 ,若 E 是 PB 的中点,则异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值为( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题纸上) 13.函数 . (x∈R)的值域是

14.已知两点 A(﹣3,﹣4) ,B(6,3)到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等,则实数 a 的值等 于 .

15. 已知点 A (2, 2) , B (5, ﹣2) , 点 P 在 x 轴上且∠APB 为直角, 则点 P 的坐标是



16.在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.如图,在平行四边形 OABC 中,点 C(1,3) . (1)求 OC 所在直线的斜率; (2)过点 C 做 CD⊥AB 于点 D,求 CD 所在直线的方程.

18.如图在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,垂足为点 A,PA=AB=2, 点 M,N 分别是 PD,PB 的中点. (Ⅰ)求证:PB∥平面 ACM; (Ⅱ)求证:MN⊥平面 PAC; (Ⅲ)求四面体 A﹣MBC 的体积.

19.已知平面内两点 A(8,﹣6) ,B(2,2) . (Ⅰ)求 AB 的中垂线方程; (Ⅱ)求过 P(2,﹣3)点且与直线 AB 平行的直线 l 的方程; (Ⅲ)一束光线从 B 点射向(Ⅱ)中的直线 l,若反射光线过点 A,求反射光线所在的直线方 程.

20.设函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 (Ⅰ)求 f(3)的值;



(Ⅱ)令 t=log3x,将 f(x)表示成以 t 为自变量的函数;并由此,求函数 f(x)的最大值 与最小值及与之对应的 x 的值.

21.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,E 为 AB 的中点,F 为 CC1 的中点. (1)证明:BF∥平面 ECD1; (2)求二面角 D1﹣EC﹣D 的余弦值.

22.底面半径为 2,高为 4 的四棱柱) .

的圆锥有一个内接的正四棱柱(底面是正方形,侧棱与底面垂直

(1)设正四棱柱的底面边长为 x,试将棱柱的高 h 表示成 x 的函数; (2)当 x 取何值时,此正四棱柱的表面积最大,并求出最大值.

2014-2015 学年甘肃省张掖市临泽一中高一(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请将正确的选项填涂在答题卡上) 1.集合 A={x|2014≤x≤2015},B={x|x<a},若 A?B,则实数 a 的取值范围是( A.a>2014 B.a>2015 C.a≥2014 D.a≥2015 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题;集合. 【分析】根据 A 是 B 的真子集,得出?(﹣∞,a) ,从而求得实数 a 的取值范围,注意等号的 取舍. 【解答】解:因为 A 是 B 的真子集,且 A={x|2014≤x≤2015}=, B={x|x<a}=(﹣∞,a) , 即:?(﹣∞,a) , 所以,a>2015, (不能取“=”) , 故答案为:B. 【点评】本题主要考查了集合的包含关系的判断及其应用,即真子集的判断和参数范围的确 定,属于基础题. )

2.已知集合 A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,那么 该函数的值域 C 的不同情况有( A.7 种 B.4 种 C.8 种 D.12 种 【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】函数的性质及应用;集合. 【分析】值域 C 只可能是集合 B 的真子集,求出 B 的真子集的个数即可. 【解答】解:值域 C 可能为:只含有一个元素时,{a},{b},{c}3 种; 有两个元素时,{a,b},{a,c},{b,c}3 种; 有三个元素时,{a,b,c}1 种; )

∴值域 C 的不同情况有 3+3+1=7 种. 故选:A. 【点评】本题考查了函数的定义的应用问题,也考查了集合的应用问题,是基础题.

3.化简 A.6 B.2x



得(



C.6 或﹣2x D.6 或 2x 或﹣2x

【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】化简 ﹣ =|x+3|﹣(x﹣3)= .

【解答】解: 故选 C.



=|x+3|﹣(x﹣3)=



【点评】本题考查了指数幂的化简与运算,属于基础题.

4.已知 a=

,b=log2 ,c=

,则(



A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 【考点】对数值大小的比较. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】判断 a、b、c 与 1,0 的大小,即可得到结果. 【解答】解:a= ∈(0,1) ,b=log2 <0,c=log >1.

∴c>a>b. 故选:C. 【点评】本题考查函数值的大小比较,基本知识的考查.

5.直线 3x+y﹣a=0 与 6x+2y+1=0 的位置关系是( A.相交 B.平行 C.重合 D.平行或重合



【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系. 【专题】直线与圆. 【分析】由直线方程易判:当 a=﹣ 时,两直线重合,当 a≠﹣ 时,两直线平行,进而可得 答案. 【解答】解:∵3×2=1×6, ∴当 a=﹣ 时,两直线重合, 当 a≠﹣ 时,两直线平行, ∴直线 3x+y﹣a=0 与 6x+2y+1=0 的位置关系为平行或重合, 故选:D 【点评】本题考查直线的平行关系,涉及分类讨论的思想,属基础题.

6.空间有四个点,如果其中任意三个点都不在同一直线上,那么过其中三个点的平面( A.可能有三个,也可能有两个 B.可能有四个,也可能有一个 C.可能有三个,也可能有一个 D.可能有四个,也可能有三个 【考点】平面的基本性质及推论. 【专题】空间位置关系与距离.



【分析】根据题意判断出空间四点构成的两条直线的位置关系,由公理 2 以及推论、符合条 件的几何体进行判断. 【解答】解:根据题意知,空间四点确定的两条直线的位置关系有两种: 当空间四点确定的两条直线平行或相交时,则四个点确定 1 个平面; 当四点确定的两条直线异面时,四点不共面,如三棱锥的顶点和底面上的顶点,则这四个点 确定 4 个平面. 故选 B. 【点评】本题考查了平面公理 2 以及推论的应用,主要利用公理 2 的作用和公理中的关键条 件进行判断,可以借助于空间几何体有助理解,考查了空间想象能力.

7.已知直线 3x﹣2y﹣3=0 和 6x+my+1=0 互相平行,则它们之间的距离是( A.4 B. C. D.



【考点】两条平行直线间的距离. 【专题】直线与圆. 【分析】根据两条直线平行,一次项的系数对应成比例,求得 m 的值,再根据两条平行线间 的距离公式求得它们之间的距离. 【解答】 解: 直线 3x﹣2y﹣3=0 即 6x﹣4y﹣6=0, 根据它和 6x+my+1=0 互相平行, 可得 故 m=﹣4. 可得它们间的距离为 d= 故选 D. 【点评】本题主要考查两条直线平行的性质,两条平行线间的距离公式的应用,属于中档题. = , ,

8.已知函数 f(x)= A.2012 B.2013 C.2014 D.2015 【考点】抽象函数及其应用;函数的值. 【专题】函数的性质及应用.

,则 f(2014)=(



【分析】利用赋值法,先令 x=1,求出 f(1) ,再令 x=2,求出 f(2) ,令 x=n,则 f(n)﹣f (n﹣1)=1,再根据等差数列的通项求出 f(2014) . 【解答】解:当 x=1 时,f(1)=log5(5﹣1)=2, 当 x>1 时,f(x)=f(x﹣1)+1, 令 x=2,则 f(2)=f(1)+1=2+1=3, 令 x=n,则 f(n)﹣f(n﹣1)=1, ∴{f(n)}是以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列, ∴f(2014)=2+(2014﹣1)×1=2015, 故选:D 【点评】本题主要考查了抽象函数的问题,关键转化为{f(n)}是以 2 为首项,以 1 为公差 的等差数列,属于基础题.

9.一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是 2 的圆,则这个几何体的 表面积是( )

A.16π B.14π C.12π D.8π 【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】由三视图可知该几何体为一个球体的 ,缺口部分为挖去的 ,据此可得出这个几何 体的表面积. 【解答】 解: 由三视图可知该几何体为一个球体的 , 缺口部分为挖去球体的 . 球的半径 R=2, 这个几何体的表面积等于球的表面积的 加上大圆的面积. S= ×4π R +π R =16π 故选 A. 【点评】本题考查三视图求几何体的表面积,考查计算能力,空间想象能力,三视图复原几 何体是解题的关键.
2 2

10.如图所示,平面四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD=



BD⊥CD,将其沿对角线 BD 折成四面体 A﹣BCD,使平面 ABD⊥平面 BCD,则下列说法中不正确 的是( )

A.平面 ACD⊥平面 ABD C.平面 ABC⊥平面 ACD

B.AB⊥CD D.AD⊥平面 ABC

【考点】平面与平面垂直的判定. 【专题】证明题;空间位置关系与距离. 【分析】对四个结论分别加以判断,即可得出结论. 【解答】解:对于 A,∵平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD,BD⊥CD, ∴CD⊥平面 ABD,∴平面 ACD⊥平面 ABD,即 A 正确; 对于 B,∵平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD,AB? 平面 ABD,AB⊥BD, ∴AB⊥平面 BCD,又 CD? 平面 BCD,∴AB⊥CD,即 B 正确; 对于 C,∵AB⊥AD,AB⊥CD,AD∩CD=D,∴AB⊥平面 ACD,∴平面 ABC⊥平面 ACD,即 C 正确; 对于 D,若 AD⊥平面 ABC,则 AD⊥AC,与 CD⊥AD 矛盾, 故选:D. 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.

11.已知点 A(1,3) ,B(﹣2,﹣1) ,若直线 l:y=k(x﹣2)+1 与线段 AB 没有交点,则 k 的取值范围是( A. ) C. ,或 k<﹣2 D.

B.k≤﹣2

【考点】两条直线的交点坐标. 【专题】直线与圆. 【分析】由已知条件画出图象并求出直线 l 与线段 AB 相交的条件,进而即可求出答案. 【解答】解:如图所示: 由已知可得 kPA= , .

由此可知直线 l 若与线段 AB 有交点,则斜率 k 满足的条件是 ,或 k≥﹣2. 因此若直线 l 与线段 AB 没有交点,则 k 满足以下条件: ,或 k<﹣2. 故选 C

【点评】熟练掌握直线的斜率与直线的位置之间的关系是解决问题的关键.

12.如图所示,正四棱锥 P﹣ABCD 中,O 为底面正方形的中心,侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角 的正切值为 ,若 E 是 PB 的中点,则异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】转化思想;数形结合法;空间角. 【分析】取 AD 中点 M,连接 MO,PM,连接 AE,OE,由 OE∥PD,知∠OEA 为异面直线 PD 与 AE 所成的角.由此能求出异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值. 【解答】解:取 AD 中点 M,连接 MO,PM,依条件可知 AD⊥MO,AD⊥PO,∵PO⊥面 ABCD, ∴∠PAO 为侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角. ∵侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角的正切值为 设 AB=a,则 AO= a, ,∴tan∠PAO= .

∴PO=AO?tan∠POA=

a,

连接 AE,OE,∵OE∥PD,∴∠OEA 为异面直线 PD 与 AE 所成的角. ∵AO⊥BD,AO⊥PO,∴AO⊥平面 PBD.又 OE? 平面 PBD,∴AO⊥OE. ∵OE= PD= ∴tan∠AEO= 故选:A. = = a, .

【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空 间思维能力的培养.

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题纸上) 13.函数 (0,1] . 【考点】函数的值域. 【专题】计算题. 【分析】由实数平方的非负性,得 x ≥0,∴1+x ≥1;从而取倒数,得 【解答】解:由题意,知 x∈R,∴x ≥0,∴1+x ≥1;∴ 所以,f(x)的值域是(0,1]. 故答案为: (0,1]. 【点评】本题用求值域的方式考查了不等式的性质和应用,是基础题.
2 2 2 2

(x∈R)的值域是

的取值范围. .

14.已知两点 A(﹣3,﹣4) ,B(6,3)到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等,则实数 a 的值等于 ﹣ 或﹣ .

【考点】点到直线的距离公式. 【专题】直线与圆. 【分析】利用点到直线的距离公式即可得出. 【解答】解:∵两点 A(﹣3,﹣4) ,B(6,3)到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等, ∴ ,化为|3a+3|=|6a+4|.

∴6a+4=±(3a+3) , 解得 故答案为: 或 . 或 .

【点评】本题考查了点到直线的距离公式的应用,属于基础题.

15.已知点 A(2,2) ,B(5,﹣2) ,点 P 在 x 轴上且∠APB 为直角,则点 P 的坐标是 (1, 0)或(6,0) . 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 【专题】计算题;平面向量及应用. 【分析】设 P(a,0) ,然后根据∠APB=90°得出 【解答】解:设出 P(a,0) =(a﹣2,﹣2) , ∵∠APB=90°, ∴ 即(a﹣2) (a﹣5)﹣4=0 =(a﹣5,2) 即可得出结果.

解得:a=1 或 a=6. ∴P 点的坐标为(1,0)或(6,0) . 故答案为: (1,0)或(6,0) . 【点评】本题考查了平面直角坐标系中向量的运用,两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系, 数量积判断两个平面向量的垂直关系,属于中档题.

16.在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 60° .

【考点】直线与平面所成的角. 【专题】空间角. 【分析】三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是正三棱柱,取 BC 的中点 E,则∠ADE 就是 AD 与平面 BB1C1C 所成 角,解直角三角形求出∠ADE 的大小, 即为所求. 【解答】解:由题意可得,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是正三棱柱, 取 BC 的中点 E,则 AE⊥∠面 BB1C1C,ED 就是 AD 在平面 BB1C1C 内的射影,故∠ADE 就是 AD 与 平面 BB1C1C 所成角,

设三棱柱的棱长为 1,直角三角形 ADE 中,tan∠ADE=

=

=



∴∠ADE=60°, 故答案为 60°. 【点评】本题考查直线与平面成的角的定义和求法,取 BC 的中点 E,判断∠ADE 就是 AD 与平 面 BB1C1C 所成角,是解题的关键,属于 中档题.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.如图,在平行四边形 OABC 中,点 C(1,3) . (1)求 OC 所在直线的斜率; (2)过点 C 做 CD⊥AB 于点 D,求 CD 所在直线的方程.

【考点】直线的点斜式方程;斜率的计算公式;直线的一般式方程. 【专题】计算题.

【分析】 (1)根据原点坐标和已知的 C 点坐标,利用直线的斜率 k= 斜率即可;

,求出直线 OC 的

(2) 根据平行四边形的两条对边平行得到 AB 平行于 OC, 又 CD 垂直与 AB, 所以 CD 垂直与 OC, 由(1)求出的直线 OC 的斜率,根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1,求出 CD 所在直线的斜率, 然后根据求出的斜率和点 C 的坐标写出直线 CD 的方程即可. 【解答】解: (1)∵点 O(0,0) ,点 C(1,3) , ∴OC 所在直线的斜率为 .

(2)在平行四边形 OABC 中,AB∥OC, ∵CD⊥AB, ∴CD⊥OC.∴CD 所在直线的斜率为 ∴CD 所在直线方程为 . ,即 x+3y﹣10=0.

【点评】此题考查学生会根据两点的坐标求出过两点直线方程的斜率,掌握两直线平行时斜 率所满足的条件,会根据一点和斜率写出直线的点斜式方程,是一道综合题.

18.如图在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,垂足为点 A,PA=AB=2, 点 M,N 分别是 PD,PB 的中点. (Ⅰ)求证:PB∥平面 ACM; (Ⅱ)求证:MN⊥平面 PAC; (Ⅲ)求四面体 A﹣MBC 的体积.

【考点】直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【专题】综合题.

【分析】 (I)证明 PB∥平面 ACM,利用线面平行的判定定理,只需证明线线平行,利用三角 形的中位线可得 MO∥PB; (II)证明 MN⊥平面 PAC,由于 MN∥BD,只要证明 BD⊥平面 PAC,利用线面垂直的判定定理, 即可证得; (III)利用等体积,即 ,从而可得结论.

【解答】证明: (I)连接 AC,BD,AM,MC,MO,MN,且 AC∩BD=O ∵点 O,M 分别是 PD,BD 的中点 ∴MO∥PB, ∵PB?平面 ACM,MO? 平面 ACM ∴PB∥平面 ACM.?(4 分) (II)∵PA⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD ∴PA⊥BD ∵底面 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD 又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面 PAC?(7 分) 在△PBD 中,点 M,N 分别是 PD,PB 的中点,∴MN∥BD ∴MN⊥平面 PAC.?(9 分) (III)∵ ∴ , .?(14 分) ?(12 分)

【点评】本题考查线面平行,考查线面垂直,考查三棱锥的体积,解题的关键是正确运用线 面平行、线面垂直的判定方法,利用等体积法求体积.

19.已知平面内两点 A(8,﹣6) ,B(2,2) . (Ⅰ)求 AB 的中垂线方程; (Ⅱ)求过 P(2,﹣3)点且与直线 AB 平行的直线 l 的方程; (Ⅲ)一束光线从 B 点射向(Ⅱ)中的直线 l,若反射光线过点 A,求反射光线所在的直线方 程. 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】直线与圆. 【分析】 (I)先由中点坐标公式求出中点坐标,然后根据垂直求出中垂线的斜率,进而由点 斜式求出直线方程; (II)根据平行得出斜率,从而由点斜式求出直线方程; (III)求得点 B 关于直线 l 的对称点 B'的坐标,然后求出斜率,再由点斜式求出直线方程即 可. 【解答】解: (Ⅰ) , ,∴AB 的中点坐标为(5,﹣2)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1 分) , ∴AB 的中垂线斜率为 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2 分) ∴由点斜式可得 ﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) ∴AB 的中垂线方程为 3x﹣4y﹣23=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (Ⅱ)由点斜式 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) ∴直线 l 的方程 4x+3y+1=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣(6 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(Ⅲ)设 B(2,2)关于直线 l 的对称点 B'(m,n)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分)



,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)

解得

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(10 分)





﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分) 由点斜式可得 ,整理得 11x+27y+74=0

∴反射光线所在的直线方程为 11x+27y+74=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 【点评】本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标,用点斜式求直线的方程,属于中 档题.

20.设函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 (Ⅰ)求 f(3)的值;



(Ⅱ)令 t=log3x,将 f(x)表示成以 t 为自变量的函数;并由此,求函数 f(x)的最大值 与最小值及与之对应的 x 的值. 【考点】对数函数图象与性质的综合应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)根据函数 f(x)的解析式求得 f(3)的值. (Ⅱ)令 t=log3x,则﹣2≤t≤2,且 f(x)=t +3t+2,令 g(t)=t +3t+2= 利用二次函数的性质求得 g(t)的最值以及此时对应的 x 的值.
2 2

﹣ ,

【解答】解: (Ⅰ)∵函数 f(x)=log3(9x)?log3(3x) ,且 故 f(3)=log327?log39=3×2=6.



(Ⅱ)令 t=log3x,则﹣2≤t≤2,且 f(x)=(log3x+2) (1+log3x)=t +3t+2, 令 g(t)=t +3t+2=
2

2

﹣ ,

故当 t=﹣ 时,函数 g(t)取得最小值为﹣ ,此时求得 x= 当 t=2 时,函数 g(t)取得最大值为 12,此时求得 x=9.

=



【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用,二次函数的性质,属于中档题.

21.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,E 为 AB 的中点,F 为 CC1 的中点. (1)证明:BF∥平面 ECD1; (2)求二面角 D1﹣EC﹣D 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (1)取 CD1 中点 G,连结 FG,由已知推导出四边形 FGEB 为平行四边形,由此能证明 BF∥平面 ECD1. (2)连结 DE,E 为 AB 的中点,DE⊥EC,DD1⊥EC,由已知得∠DED1 为二面角 D1﹣EC﹣D 的平面 角,由此能求出二面角 D1﹣EC﹣D 的余弦值. 【解答】 (1)证明:取 CD1 中点 G,连结 FG. ∵F 为 CC1 的中点 D1,∴ ∵AB=C1D1 且 AB∥C1D1,∴ 且 FG∥C1D1, 且 FG∥BE,

∴四边形 FGEB 为平行四边形∴BF∥GE,?(4 分) ∵GE? 平面 ECD1,BF?平面 ECD1, ∴BF∥平面 ECD1.?(7 分)

(2)解:连结 DE, ∵AD=AA1=1,AB=2,E 为 AB 的中点,∴DE⊥EC,?(9 分) ∵DD1⊥平面 ABCD,∴DD1⊥EC, 又 DD1∩DE=D,DD1? 平面 EDD1, DE? 平面 EDD1∴CE⊥平面 EDD1,∴CE⊥ED1,?(11 分) ∴∠DED1 为二面角 D1﹣EC﹣D 的平面角.?(12 分) Rt△ADE 中 ∴Rt△D1DE 中, , ,



.?(14 分)

【点评】本题考查直线与平面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养.

22.底面半径为 2,高为 4 的四棱柱) .

的圆锥有一个内接的正四棱柱(底面是正方形,侧棱与底面垂直

(1)设正四棱柱的底面边长为 x,试将棱柱的高 h 表示成 x 的函数; (2)当 x 取何值时,此正四棱柱的表面积最大,并求出最大值.

【考点】函数的最值及其几何意义;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】计算题;函数的性质及应用;空间位置关系与距离.

【分析】 (1)由相似性可得

=

,从而化出 h=4
2 2

﹣2x, (其中 0<x<2 ﹣2x)=﹣6x +16
2

) ; ,利用配

(2)设该正四棱柱的表面积为 y,则 y=2x +4xh=2x +4x(4 方法求函数的最大值. 【解答】解: (1)根据相似性可得:

= 解得:h=4

, ﹣2x, (其中 0<x<2 ) .

(2)解:设该正四棱柱的表面积为 y.则有关系式: y=2x +4xh=2x +4x(4 =﹣6x +16 =﹣6(x﹣ 因为 0<x<2 所以当 x= ymax= , 时,此正四棱柱的表面积最大,为 . )+ , 时,
2 2 2 2

﹣2x)



故当正四棱柱的底面边长为

【点评】本题考查了空间几何体的结构特征及函数的最值问题,属于中档题.


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