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2017届高考数学大一轮总复习 第三章 三角函数、三角恒等变形、解三角形 计时双基练23 解三角形应用举例 文

时间:2016-08-07

计时双基练二十三

解三角形应用举例

A 组 基础必做 1.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150°,然后朝新方向走 3 km,结果他离出发点 恰好是 3 km,那么 x 的值为( A. 3 C. 3或 2 3 ) B.2 3 D.3

解析 如图所示,设此人从 A 出发,则 AB=x,BC=3,AC= 3,∠ABC=30°,由余弦 定理得( 3) =x +3 -2x·3·cos 30°,整理得 x -3 3x+6=0,
2 2 2 2

解得 x= 3或 2 3。 答案 C 2.张晓华同学骑电动自行车以 24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶,在点 A 处望 见电视塔 S 在电动车的北偏东 30°方向上,15 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏 东 75°方向上,则电动车在点 B 时与电视塔 S 的距离是( A.2 2 km C.3 3 km )

B.3 2 km D.2 3 km

15 解析 如图, 由条件知 AB=24× =6, 在△ABS 中, ∠BAS=30°, AB=6, ∠ABS=180° 60 -75°=105°, 所以∠ASB=45°。 由正弦定理知 = , 所以 BS= sin 30° sin 45° sin 45° sin 30°=3 2。

BS

AB

AB

答案 B 3.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是( A.10 2海里 C.20 3海里 B.10 3海里 D.20 2海里
1

)

解析 如图所示,易知,在△ABC 中,AB=20,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦 定理得 = ,解得 BC=10 2(海里)。 sin 30° sin 45°

BC

AB

答案 A 4.如图所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上,另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤上,石堤的倾斜角为 α ,则坡度值 tan α 等于( )

A. C.

231 5 231 16

B. D.

5 16 11 5

解析 由题意,可得在△ABC 中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,且∠α +∠ACB =π 。 由余弦定理,可得 AB = AC + BC -2×AC×BC×cos ∠ ACB ,即 3.5 = 1.4 + 2.8 - 5 231 sin α 2×1.4×2.8×cos(π -α ),解得 cos α = ,所以 sin α = ,所以 tan α = 16 16 cos α = 231 。 5 答案 A 5.如图,在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30°,测得湖中之影的俯角 为 45°,则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m)( )
2 2 2 2 2 2

A.2.7 m B.17.3 m C.37.3 m
2

D.373 m 解析 ∵在△ACE 中,tan 30°= = ∴AE=

CE CM-10 。 AE AE

CM-10 m。 tan 30° DE CM+10 = , AE AE

∵在△AED 中,tan 45°= ∴AE=

CM+10 CM-10 CM+10 m,∴ = , tan 45° tan 30° tan 45°

10? 3+1? ∴CM= =10(2+ 3)≈37.3 m。 3-1 答案 C 6.如图所示,某电力公司为保护一墙角处的电塔,计划利用墙 OA,OB,再修建一长度 为 AB 的围栏,围栏的造价与 AB 的长度成正比。现已知墙角 AOB 的度数为 120°,当△AOB 的面积为 3时,就可起到保护作用。则当围栏的造价最低时,∠ABO=( )

A.30° C.60°

B.45° D.90°
2

解析 只要 AB 的长度最小,围栏的造价就最低。设 OA=a,OB=b,则由余弦定理得 AB
2 2 2 2

=a +b -2abcos 120°=a +b +ab≥2ab+ab=3ab(当且仅当 a=b 时取等号),又 S△AOB= 1 absin 120°= 3,所以 ab=4。故 AB2≥12,即 AB 的最小值为 2 3。由 a=b 及 3ab=12, 2 得 a=b=2。由正弦定理得 sin ∠ABO= A。 答案 A 7.甲、乙两楼相距 20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角 为 30°,则乙楼的高是________m。 解析 如图, 依题意甲楼高度 AB=20tan 60°=20 3, 又 CM=DB=20 m, ∠CAM=60°, 1 20 3 20 3 40 3 所以 AM=CM· = m,所以乙楼的高 CD=20 3- = m。 tan 60° 3 3 3

asin 120° 2 3 1 = × = 。故∠ABO=30°,故选 AB 2 3 2 2

3

答案

40 3 3

8.(2015—2016 学年度上学期衡水中学高三年级六调考试)为了测量一古塔的高度,某 人在塔的正西方向的 A 地测得塔尖的仰角为 45°,沿着 A 向北偏东 30°前进 100 米到达 B 地(假设 A 和 B 在海拔相同的地面上),在 B 地测得塔尖的仰角为 30°,则塔高为________ 米。

解析 如图所示,CD 为古塔的高度,设为 h m,由题意得,CD 平面 ABD,AB=100 米, ∠BAD=60°,∠CAD=45°,∠CBD=30°,在△CBD 中,BD= 3h m,在△CAD 中,AD=h m, 在△ABD 中,BD= 3h m,AD=h m,AB=100 m,∠BAD=60°, ∴3h =10 000+h -2×100hcos60°, 解得 h=50 或-100(舍),∴塔高为 50 米。 答案 50 9.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部 测得俯角分别为 45°和 60°,而且两条船与炮台底部连线成 30°角,则两条船相距 ________m。 解析 如图,
2 2

OM=AO tan 45°=30(m),ON=AO tan 30°=
弦定理得,MN= 900+300-2×30×10 3× = 300=10 3(m)。 答案 10 3 3 2

3 ×30=10 3(m),在△MON 中,由余 3

4

10.如图所示,A、C 两岛之间有一片暗礁,一艘小船于某日上午 8 时从 A 岛出发,以 10 海里/小时的速度沿北偏东 75°方向直线航行,下午 1 时到达 B 处。然后以同样的速度沿北 偏东 15°方向直线航行,下午 4 时到达 C 岛。

(1)求 A、C 两岛之间的距离; (2)求∠BAC 的正弦值。 解 (1)在△ABC 中,由已知,得 AB=10×5=50(海里),BC=10×3=30(海里),∠ABC

=180°-75°+15°=120°, 由余弦定理,得 AC =50 +30 -2×50×30cos120°=4 900,所以 AC=70(海里)。 故 A、C 两岛之间的距离是 70 海里。 (2)在△ABC 中,由正弦定理, 得 = , sin∠BAC sin∠ABC
2 2 2

BC

AC

所以 sin∠BAC=

BC·sin∠ABC 30sin120° 3 3 = = 。 AC 70 14

3 3 故∠BAC 的正弦值是 。 14 11. (2016·广州模拟)在一个特定时段内, 以点 E 为中心的 7 海里以内的海域被设为警 戒水域。点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A。某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位 于点 A 的北偏东 45°且与点 A 相距 40 2海里的位置 B, 经过 40 分钟又测得该船已行驶到点

A 的北偏东(45°+θ )(其中 sin θ = C。

26 ,0°<θ <90°)且与点 A 相距 10 13海里的位置 26

(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶。判断它是否会进入警戒水域,并说明理由。 解 (1)如图所示, AB=40 2, AC=10 13, ∠BAC=θ , sin θ = 1-? 26 。 因为 0°<θ <90°, 26

所以 cos θ =

? 26?2 5 26 ? = 26 , ? 26 ?

5

BC= AB2+AC2-2AB·AC·cos θ =10 5。
10 5 所以该船的行驶速度为 =15 5海里/小时。 2 3 (2)解法一: 如图所示, 以 A 为原点建立平面直角坐标系, 设点 B, C 的坐标分别是 B(x1,

y1),C(x2,y2),BC 与 x 轴的交点为 D。

由题设,得 x1=y1=

2 AB=40, 2

x2=ACcos ∠CAD=10 13·cos(45°-θ )=30, y2=ACsin ∠CAD=10 13·sin(45°-θ )=20。
20 所以过点 B,C 的直线 l 的斜率 k= =2, 10 直线 l 的方程为 y=2x-40。 又点 E(0,-55)到直线 l 的距离

d=

|0+55-40| =3 5<7, 1+4

所以船会进入警戒水域。 解法二:如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q。在△ABC 中,由余弦定理, 得

AB2+BC2-AC2 cos ∠ABC= 2AB·BC
40 ×2+10 ×5-10 ×13 3 10 = = 。 10 2×40 2×10 5 所以 sin ∠ABC= 1-cos ∠ABC = 9 10 1- = 。 10 10
2 2 2 2

6

在△ABQ 中,由正弦定理,得 10 AB·sin ∠ABC AQ= = =40。 sin?45°-∠ABC? 2 2 10 2 × 10 由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15。 过点 E 作 EP⊥BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离。 在 Rt△QPE 中, PE=QE·sin ∠PQE=QE·sin ∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)=15× =3 5<7。 所以船会进入警戒水域。 B 组 培优演练 1.如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔 18 km,速度为 1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 30°,经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75°,则 山顶的海拔高度为(精确到 0.1 km)( ) 5 5 40 2× 10

A.11.4 km C.6.5 km 1 50 解析 ∵AB=1 000× = km, 60 3 ∴BC= 50 ·sin 30°= km, sin 45° 3 2

B.6.6 km D.5.6 km

AB

50 ∴航线离山顶 h= ×sin 75°≈11.4 km。 3 2 ∴山高为 18-11.4=6.6 km。 答案 B 2.如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练。已知点 A 到墙 面的距离为 AB,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准目标点 P,需计算 由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小。(仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)。若 AB=15 cm,

AC=25 m,∠BCM=30°,则 tan θ 的最大值是(

)

7

A. C.

30 5 4 3 9

B. D.

30 10 5 3 9

解析 由于 AB⊥BC,AB=15 m,AC=25 m, 所以 BC= 25 -15 =20 m。
2 2

过点 P 作 PN⊥BC 交 BC 于 N, 连接 AN(如图),则∠PAN=θ ,tan θ = 。

PN AN

设 NC=x(x>0),则 BN=20-x, 于是 AN= =

AB2+BN2=

15 +?20-x?

2

2

x2-40x+625,
3 x, 3 3 x 3

PN=NC·tan 30°=

所以 tan θ = 3 3

x2-40x+625
3 3 625 40 +1 2 -



= 40 625 1- + 2



x

x

x

x

1 625 40 2 令 =t,则 2 - +1=625t -40t+1,

x

x

x

当 t= 因此

4 9 2 时,625t -40t+1 取最小值 , 125 25 625 40 +1的最小值为 2 -

x

x

9 3 3 5 5 3 = ,这时 tan θ 的最大值为 × = (此 25 5 3 3 9

8

125 时 x= )。故选 D。 4 答案 D 3.如图,经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的 区域内建一工厂 P,分别在两条公路边上建两个仓库 M,N(异于村庄 A),要求 PM=PN=MN =2(单位:千米)。如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离 最远)?



设∠AMN=θ ,在△AMN 中,

= 。 sin 60° sin?120°-θ ? 4 3 因为 MN=2,所以 AM= sin(120°-θ )。 3 在△APM 中,cos ∠AMP=cos(60°+θ )。

MN

AM

AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos ∠AMP
= 16 4 3 2 sin (120°-θ )+4-2×2× sin(120°-θ )cos(60°+θ ) 3 3 16 16 3 2 sin (θ +60°)- sin(θ +60°)cos(θ +60°)+4 3 3



8 8 3 = [1-cos(2θ +120°)]- sin(2θ +120°)+4 3 3 8 20 =- [ 3sin(2θ +120°)+cos(2θ +120°)]+ 3 3 = 20 16 - sin(2θ +150°),θ ∈(0,120°)。 3 3
2

当且仅当 2θ +150°=270°,即 θ =60°时,AP 取得最大值 12,即 AP 取得最大值 2 3。

9


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