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安徽省舒城中学2014-2015学年高一数学下学期期中试题

时间:2015-11-13


舒城中学高一数学期中考试试题
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) . 1. 以下说法错误的是( ) A.零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 2.已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么| a + 3 b | =( A. 7
?
? ? ? ?



B. 10
?

C. 13
? ? ? ?

D.4

3.已知 a =(1,2) , b =(-2,3) ,且 k a + b 与 a -k b 垂直,则

号:

k=( A

) B



?1? 2

2 ?1

C

2 ?3

D

3? 2
)

4. 已知△ABC 中,a=4,b=4 3 ,∠A=30°,则∠B 等于(

姓 名:

A.30° C.60°

B.30°或 150° D.60°或 120 )

? ? 5. 在 ?ABC 中, a ? 6 , B ? 30 , C ? 120 ,则 ?ABC 的面积是(

A. 9

B. 18
2 2 2

C. 9 3

D. 18 3

6.在△ABC 中,已知 a ? b ? c ? bc ,则角 A 为( ) A.

? 3

B.

? 6
C.

C.

2? 3

D.

? 2? 或 3 3
).

7.{an}是首项 a1=1,公差为 d=3 的等差数列,如果 an=2 005,则序号 n 等于(

班 级:

A.667 8.已知等差数列{

B. 669

668

D.670

an }满足 a1 ? a2 ? a3 ? ?? a101 ? 0, 则有
B. a2 ? a100 ? 0 C. a3 ? a99 ? 0
). D. ). ④

A. a1 ? a101 ? 0

D. a51 ? 57

9.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A.1 B.-1

a5 S 5 = ,则 9 =( a3 S5 9

C.2

1 2

10.锐角三角形 ?ABC 中,若 A ? 2 B ,则下列叙述正确的是( ① sin 3B ? sin C A.①② ② tan

3B C tan ? 1 2 2
C.③④



?
6

?B?

?
4

a ? [ 2, 3] b

B.①②③

D.①④

1

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 5 分,共 25 分) . 11.若 AB ? (3,4), A点的坐标为(-2,-1),则B点的坐标为 12.已知 a ? (3, ?4), b ? (2,3) ,则 2 | a | ?3a ? b ? 13.在△ABC 中, a ? 3 3, c ? 2, B ? 150°,则 b= 14.若数列 则 。

?an ?是等差数列, a3 , a10 是方程 x 2 ? 3x ? 5 ? 0 的两根,

a5 ? a8 ?

15. 一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60? ,行驶4h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15? ,这时船与灯塔的距离为 km. 一、选择题: 1 2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 5 分,共 25 分) . 11 12 13 14 15

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 75 分). 16. (本小题 12 分) 设平面三点 A(1,0) ,B(0,1) ,C(2,5) . (1)试求向量 2 AB + AC 的模; (2)试求向量 AB 与 AC 的夹角

17. (本小题 12 分) 已知等差数列{an}中,

a3 a7 ? ?16, a4 ? a6 ? 0, 求{a }前 n 项和 S
n

n

2

18.(本小题 12 分) 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n -2n, (1)求数列{an}的通项公式。 (2)求证数列{an}成等差数列.

19. (本小题 13 分) 在 ?ABC 中 , m ? ? c o s (1)求 角 C ; (2)已 知 C ?

? ?

C 2

C? ? , si? nn ? ,? 2? ?

C co ?s 2

? C? ,,且 n 和 n的 夹 角 为 . ? s im 3 2?

7 3 3 , 三 角 形的 面 积 s? , 求 a ? b. 2 2

3

20. (本小题 13 分) 已知 M=(1+cos2x,1),N=(1, 3 sin2x+a)(x,a∈R,a 是常数),且 y= OM · ON (O 是坐标原点) (1)求 y 关于 x 的函数关系式 y=f(x); (2)若 x∈[0, ], f(x)的最大值为 4, 求 a 的值, 并说明此时 f(x)的图象可由 y=2sin(x+ 的图象经过怎样的变换而得到.

? 2

? ) 6

21. (本小题 13 分) 在海岸 A 处,发现北偏东 45? 方向,距离 A 为 ( 3 ? 1) n mile 的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏西 75? 方向,距离 A 为 2 n mile 的 C 处有一艘缉私艇奉命以 10 3 n mile / h 的速 度追截走私船,此时,走私船正以 10 n mile / h 的速度从 B 处向北偏东 30? 方向逃窜,问 缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间。(本题解题过程中请不要使 用计算器,以保证数据的相对准确和计算的方便)

C 西

北 A 南

B 东

4

高一数学期中考试答案 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的 代号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C A D C C B C A B 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 5 分,共 25 分) . 11 (1,3) 12 28 13 7 14 3 15

30 2

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 75 分). 16, (本小题 12 分)解: (1)∵ . AC =(2-1,5-0)=(1,5) ∴ 2 AB + AC =2(-1,1)+(1,5)=(-1,7) .
2 2 ∴ |2 AB + AC |= ( ?1) ? 7 = 50 . 2 2 | AB |= ( ?1) ? 1 = 2 .| AC |= 12 ? 5 2 = 26 ,

, AB =(0-1,1-0)=(-1,1)

(2)∵

AB · AC =(-1)×1+1×5=4.
∴ cos ? =

AB ? AC | AB | ? | AC |



4 2 ? 26



2 13 13

17, (本小题 12 分)解:设

?an ? 的公差为 d ,则
?a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 ?a1 ? ?8, ?a1 ? 8 或? ? ? d ? 2, a ? ? 4 d ? ?d ? ?2 即? 1 解得

?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? ? ? ?a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0

因此

Sn ? ?8n ? n ? n ?1? ? n ? n ? 9?,或Sn ? 8n ? n ? n ?1? ? ?n ? n ? 9?

18, (本小题 12 分) (1)解: n=1 时,a1=S1=3-2=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n -2n-[3(n-1) -2(n-1)]=6n-5,
2 2

n=1 时,亦满足,∴an=6n-5(n∈N*).
(2)证明:an-an-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6(常数), ∴数列{an}成等差数列且 a1=1,公差为 6.

? 19, (本小题 13 分)解(略): ( 1 ) C ? 60 , ( 2 ) a ? b ? 5.5 .

5

20, (本小题 13 分)解:(1)y= OM · ON =1+cos2x+ 3 sin2x+a,得 f(x) =1+cos2x+ 3 sin2x+a;

? ? )+a+1,x∈[0, ]。 6 2 ? ? 当 x= 时,f(x)取最大值 a+3=4,解得 a=1,f(x) =2sin(2x+ )+2。 6 6 ? 将 y=2sin(x+ )的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半,纵坐标保持不变,再向上平 6 ? 移 2 个单位长度可得 f(x) =2sin(2x+ )+2 的图象。 6
(2)f(x) =1+cos2x+ 3 sin2x+a 化简得 f(x) =2sin(2x+ 21, (本小题 13 分)解:设 缉 私 艇 追 上 走 私 船 需 t 小 时 则 BD=10 t n mile C D = 10 3 t n m i l e

∵ ∠ BAC=45°+75°=120° ∴ 在 △ ABC 中 , 由 余 弦 定 理 得

BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos ?BAC     ? ( 3 ? 1) 2 ? 2 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) ? 2 ? cos120?     ?6


BC= 6

由正弦定理得
? BD ? sin?BAC 2s 1 i n 2 0 2 sin?ABC ? ? ? BC 2 6

∴ ∠ ABC=45°, ∴ BC 为 东 西 走 向 ∴ ∠ CBD=120° 在 △ BCD 中 , 由 正 弦 定 理 得

sin?BCD ?


BD ? sin?CBD 10t ? sin120? 1 ? ? CD 2 10 3t
∠ BDC=30°

∠ BCD=30°, ∴

∴ BD ? BC ? 6 即

10t ? 6
t? 6 10
(小时)



答 :缉 私 艇 沿 北 偏 东 6 0 ° 方 向 行 驶 才 能 最 快 追 上 走 私 船 ,这 需

6 小 10
6


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