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专题一 方程、不等式及函数的应用(1)

时间:2014-06-28

方程、不等式及函数的应用
【专题诠释】 函数思想就是用联系和变化的观点看待或提出数学对象之间的数量关系。函数是贯穿在初中数学中 的一条主线,函数思想方法主要包括建立函数模型解决问题的意识,函数概念、性质、图象的灵活应用等。 函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量一定或在某一范围内的方程或不等式,体现了从一般到特殊 的观念;也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系。 这一专题,往往以计算为主线,侧重决策问题,或综合各种知识命题,近年各地中考卷中占有相当 的分量。常用的思想方法有数形结合思想、转化思想、分类讨论思想。 【解题策略】 1、 明确函数、不等式、方程的关系:一次函数及图象与一元一次方程、一元一次不等式的关系;二元一 次方程(组)与一次函数的关系;二次函数及图象与一元二次方程、不等式的关系. 2、 函数图象的交点与相应方程、方程组的关系;函数图象与相应不等式的关系. 例 1:考查方程、不等式与函数的关系 (1)直线 y = kx + b 交坐标轴于 A(-2,0) ,B(0,3)两点,则关于 x 的方程 kx+b=0 的解是_________; 不等式 kx + b>0 的解集是________. (2)如图,经过点 B(-2,0)的直线 y = kx +b 与直线 y = 4x + 2 相交于点 A(-1,-2) ,则关于 x,y 的方程组

? y ? kx ? b 的解为____________;不等式 4x + 2<kx +b<0 的解集为______ ; ? ? y ? 4x ? 2
y=kx+b y y=4x+2

y
A

B A

O

x

x

第(1)题

第(2)题 第(3)题

(3)如图,抛物线 y = x2 + 1 与双曲线 y = k + x2 + 1 < 0 的解集是 x A.x > 1 B .x < ? 1

k 的交点 A 的横坐标是 1,则关于 x 的不等式 x ( )

D.?1 < x < 0 1 (4)方程 x2 +2x-1=0 的根可看成函数 y = x + 2 与函数 y ? 的图象交点的横坐标,用此方法可推断方程 x x3 + x-1 = 0 的实根 x 所在范围为 ( ) 1 1 1 3 A . ? <x<0 B .0<x< C . <x<1 D .1<x< 2 2 2 2 C.0 < x < 1 (5)①已知直线 y = b(b 为实数)与函数 y =|x 2- 4x+3|的图象至少有三个公共点,则实数 b 的取值范围是 __________ ②已知直线 y = x+b(b 为实数)与函数 y =|x2 - 4x + 3|的图象有三个不同的公共点,请求出实数 b 的值。

例 2. 已知抛物线 y = 3ax2 + 2bx + c (1) 若 a = b = 1,c =-1,求抛物线与 x 轴公共点的坐标;

(2) 若 a = b = 1,且当-1<x<1 时,抛物线与 x 轴有且只有一个公共点,求 c 的取值范围.

追问:①若 a = b = 1,且当-1<x<1 时,抛物线与 x 轴有两个公共点,求 c 的取值范围. ②若 a = b = 1,且当-1<x<1 时,抛物线与 x 轴无公共点,求 c 的取值范围.

思考 若 a + b + c = 0,且 x1=0 时,对应的 y1>0;x2=1 时,对应的 y2>0,试着判断当 0<x<1 时,抛物 线与 x 轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由。

【方法归纳】 :1、函数、方程、不等式的内在联系 2、数形结合思想的运用。 1.数形结合是数学常用的思想方法,试运用这一思想方法确定 y=x +1 与 y ?
2

3 的交点的横坐标 x0 的取 x

值范围是 ( A. 0<x0<1 B. 1<x0<2 C. 2<x0<3 D. -1<x0<0 2 .如图,表示阴影区域的不等式组为( )
?2 x ? y ? 5 ? A. ?3x ? 4 y ? 9 ?y ? 0 ? ?2 x ? y ? 5 ? B. ?3x ? 4 y ? 9 ?y ? 0 ? ?2 x ? y ? 5 ? C. ?3x ? 4 y ? 9 ?x ? 0 ? ?2 x ? y ? 5 ? D. ?3x ? 4 y ? 9 ?x ? 0 ?



3.已知函数 y ? ?

2 ? ?( x ? 1) ? 1( x ? 3) ,若使 y =k 成立的 x 值恰好有 4 个,则 k 的取值范围是_______ 2 ? ( x ? 5 ) ? 1 ( x ? 3 ) ?

4.若

2k ? 1 1 有意义,则双曲线 y= 与抛物线 y=x2+2x+2-2k 的交点在第_____象限. x 1 ? 2k
k2 ( x ? 0 )的图象 x

5.如图,函数 y1 ? ? x ? 4 的图象与函数 y2 ? 交于 A( a ,1) 、B(1, b )两点. (1)求函数 y2 的表达式;

(2)观察图象,比较当 x ? 0 时, y1 与 y2 的大小.

6.已知:直线 y=ax+b 过抛物线 y=-x2-2x+3 的顶点 P,如图所示. (1)顶点 P 的坐标是___________; (2)若直线 y=ax+b 经过另一点 A(0,11),求出该直线的表达式; (3)在(2)的条件下,若有一直线 y=mx+n 与直线 y=ax+b 关于 x 轴成轴对称,求直线 y=mx+n 与抛物线 y= y -x2-2x+3 的交点坐标. A y=ax+b P

x y=-x2-2x+3 7.如图抛物线 y=-

1 2 5 3 x +bx+c 与 x、y 轴分别交于点 A(2,0),B(0, ),直线 y=kx- 过点 A 与 y 轴 4 2 2

交于点 C 与抛物线的另一个交点是 D. (1)求抛物线 y=-

1 2 3 x +bx+c 与直线 y=kx- 的解析式; 4 2

(2)设点 P 是直线 AD 上方的抛物线上一动点(不与点 A、D 重合) ,过点 P 作 y 轴的平行线,交直线 AD 于点 M,作 DE⊥y 轴于点 E.探究:是否存在这样的点 P,使四边形 PMEC 是平行四边形,若存在请求 出点 P 的坐标,若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,作 PN⊥AD 于点 N,设△PMN 的周长为 l,点 P 的横坐标为 x,求 l 与 x 的函数 关系式,并求出 l 的最大值.

8.在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,点 P(m,-1) (m>0) .连接 OP,将线段 OP 绕点 O 按逆时 2 针方向旋转 90°得到线段 OM,且点 M 是抛物线 y=ax +bx+c 的顶点. (1)若 m=1,抛物线 y = ax2+bx+c 经过点(2,2) ,当 0≤x≤1 时,求 y 的取值范围; 2 (2)已知点 A(1,0) ,若抛物线 y = ax +bx+c 与 y 轴交于点 B,直线 AB 与抛物线 y = ax2+bx+c 有且只 有一个交点,请判断△BOM 的形状,并说明理由.


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