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安徽省滁州市定远县育才学校2018-2019学年高二下学期第三次月考数学(理)(普通班)试题+Word版含解析

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定远育才学校 2018-2019 学年度第二学期第三次月考试卷 高二理科(普通班)数学 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.12 月 26 号合肥地铁一号线正式运营,从此开创了合肥地铁新时代,合肥人民有了自己开往 春天的地铁.设地铁在某段时间内进行调试,由始点起经过 t 分钟后的距离为 (单位:米),则列车运行 10 分钟的平均速度为( A. 10 米/秒 【答案】A 【解析】 【分析】 运用公式代入求解平均速度 【详解】设列车从开始运行到 分钟时,列车的位移增加了 则列车运行 分钟的平均速度为 故选 【点睛】为求平均速度,运用公式代入求解即可得到结果,较为基础 2.质点运动规律 A. 【答案】A 【解析】 平均速度为 ,故选 A. ,则物体的初速度为( ) B. ,则在时间 C. 中,质点的平均速度等于( D. ) 米/秒 B. 8 米/秒 C. 4 米/秒 D. 0 米/秒 )

3.一物体作直线运动,其位移 与时间 的关系是 A. 0 B. 3 C. -2 D. 3-2t

【答案】B 【解析】 【分析】 求函数的导数,令 【详解】 即可得到结论 ,

位移 与时间 的关系是

则 故物体的初速度为 故选 【点睛】本题是一道关于导数应用的题目,解答本题的关键在于位移 与初速度 的转化关系, 物体的速度为位移 关于时间 的导数,不要误以为初速度是当 4.曲线 A. B. 在点 C. 2 处切线的斜率等于( D. 1 ) 时是 的值。

【答案】C 【解析】 【分析】 求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率 【详解】 ,



时, 在点 处切线的斜率

即曲线 故选

【点睛】本题主要考查了导数的计算以及导数的几何意义,属于基础题。 5.设点 是曲线 ( A. 【答案】B 【解析】 【分析】 求导后通过导数的解析式确定导数的取值范围,再根据函数的导数就是函数在此点的切线的 斜率,求出倾斜角的取值范围 【详解】 ) B. C. [ , ] D. [ , ] 上的任意一点,点 处切线的倾斜角为 ,则角 的取值范围是

或 则角 的取值范围为 故选 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,求导后解得直线的倾斜角与斜率,属于基础题。 6.如图,函数的图象在 P 点处的切线方程是 ( ) ,若点 的横坐标是 5,则

A.

B. 1

C. 2

D. 0

【答案】C 【解析】 试题分析:函数 的斜率, 的图象在点 P 处的切线方程是 2,故选 C。 ,所以,在 P 处的导数值为切线

考点:本题主要考查导数的几何意义。 点评:简单题,切线的斜率等于函数在切点的导函数值。 7.下列式子不正确的是( A. C. 【答案】D 【解析】 【分析】 对四个选项逐一求导验证即可得到答案 【详解】 ,故 正确 ,故 正确 D. ) B.

,故 正确

,故 错误 故选 【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式和导数的运算法则及其应用,属于基础题。 8.设函数 则( A. C. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据函数 推出 【详解】 的导数为 ,同理可得 , 可得函数 是定义在 上的减函数, 则有 , ) B. D. 是定义在 上的函数,其中 的导函数 满足 对于 恒成立,

,从而得到答案

故函数 , 即 同理可得 故选 ,

是定义在 上的减函数

【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的意义,求导后判定原函数的单调性然后比较大 小,需要注意导数的运用,还是较为基础。 9.已知函数 的定义域为 ,部分对应值如下表, 的导函数 的图象如图所示.

-1 1

0 2

2 0

3 2

4 0

当 A. 2

时,函数 B. 3 C. 4

的零点的个数为( D. 5

)

【答案】C 【解析】 【分析】 根据导函数图象,画出原函数的草图,利用 ,即可得到函数 的零点的个数

【详解】

, 则函数 故选 【点睛】本题主要考查了导函数和原函数的单调性之间的关系,二者之间的关系是:导函数 为正,原函数递增,导函数为负,原函数递减,从而得到原函数图像,继而判定交点个数。 10.设函数 A. 在区间 B. 在区间 C. 在区间 D. 在区间 【答案】D 【解析】 ,则 内均有零点 内均无零点 内有零点,在区间 内无零点,在区间 内无零点 内有零点 ( ) 的零点的个数为

【分析】 求导后判定单调性,然后判断其零点问题 【详解】 的定义域为 , 在 单调递减, 单调递增

当在区间 点 当在区间 故选

上时,

在其上单调,



,故

在区间

上无零

上时,

在其上单调,



,故

在区间

上有零点

【点睛】本题主要考查了导数的应用,结合函数的单调性利用零点存在定理来判断含有有无 零点问题,较为基础 11.若函数 A. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求导函数,根据函数 既有极大值又有极小值,可得 有两个不等的实数根,从而可以求得实数 的取值范围 【详解】 , 函数 既有极大值又有极小值, 有两个不等的实数根, , , 则 故选 【点睛】本题主要考查了导数知识的运用,考查了函数的极值,还考查了解不等式,属于基 础题。 12.某公司生产一种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本增加 100 元, 或 , B. C. 既有极大值又有极小值,则实数 的取值范围为( 或 D. 或 )

若总收入 与年产量间的关系 品的单位数是( A. 150 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出总成本为 B. 200 ) C. 250 D. 300

,则当总利润最大时,每年生产产

,然后求出总利润的函数式,对总利润的函数式求导,利用导

数的大小判断出函数的增减性,进而可得函数的最值,即可确定出答案 【详解】由题意可得总成本为 设总利润为 元,则 ,

当 当 当 故 则当 故选 在

时, 时, 时,

, ,

是增函数,在 时,总利润最大

上是减函数

【点睛】本题考查了分段函数的应用,解题的关键是利用导数的大小判断出函数的增减性, 求出函数的极值和最值,属于中档题。 二、填空题(共4小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若函数 【答案】-12 【解析】 【分析】 根据 ,再利用 满足 ,则 等于________.

条件求得结果 【详解】 ,



故答案为 【点睛】这是一道考查导数知识的题目,掌握导数的定义是解题的关键,属于基础题。 14. 【答案】 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义求出函数在 【详解】 , 在点 故答案为 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,以及导数的运算法则,熟练掌握公式是解题的关 键,属于基础题。 15.已知 【答案】8 【解析】 【分析】 求导,然后求得切线的斜率,可得切线方程,再由切线与曲线 只有一个切点,联立切线与曲线方程,根据 【详解】 曲线 则 在 在 , 处的切线斜率为 处的切线方程为 ,即 可求得结果 相切,有且 在点 处的切线与曲线 相切,则 _________. 处的切线斜率是 , 处的导数,从而求出切线的斜率即可 在点 处的切线斜率是________.

切线与曲线 可以联立 得到 ,两线相切有一个切点

相切,

解得 故答案为 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,只要按照题意进行解答即可得 到结果,较为基础 16.已知函数

,若



处取得极值,直线



的图象有三个

不同的交点,则 的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用函数 在 处取得极值, 先求出 , 要使直线 与 的图象有三个不同的交点,

则说明 小于极大值,大于极小值

【详解】

函数 , 函数 则 在 ,即 处取得极值, ,解得



时,得





当 即函数在 要使直线 即

时, 处取得极大值 与 ,在 处取得极小值 ,

的图象有三个不同的交点,则 小于极大值,大于极小值

的取值范围是 故答案为 【点睛】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件,求导后得到原函数的单调性,继而判 定出原函数图像,结合图像得到结果,较为基础 三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.求由直线 和曲线 围成的图形面积.

【答案】三分之四 【解析】 【分析】 用定积分的定义求出结果 【详解】 【点睛】本题主要考查的知识点是利用定积分求图形面积,考查了数形结合的思想。 18.已知函数 (1)是否存在 ,使 (2)若 . 的单调减区间是 ;

在 上是增函数,求 的取值范围. .

【答案】(1)存在;(2) 【解析】 【分析】 通过求导且令 通过函数 即

,然后求出答案 在 上恒成立,进而计算即可得到结果

在 上是增函数,可知

【详解】f′(x)=3x2-a.

(1)∵f(x)的单调减区间是(-1,1), ∴-1<x<1 是 f′(x)<0 的解, ∴x=±1 是方程 3x2-a=0 的两根,∴a=3. (2)∵f(x)在 R 上是增函数, ∴f′(x)=3x -a≥0 对 x∈R 恒成立, 即 a≤3x 对 x∈R 恒成立. ∵y=3x2 在 R 上的最小值为 0. ∴a≤0. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,属于基础题。在求解过程中采用了分 离含参量的方法 19.已知函数 (Ⅰ)求 (Ⅱ)讨论 【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (I) 求出导函数,利用导数的几何意义及曲线 , 建立方程, 即可求出 得极大值. 试题解析:(I) ,由已知得: ,故 从而 的值; (II)利用导数的正负, 可得 在点 处切线方程为 的值; 的单调性,并求 的极大值. ,曲线 在点 处切线方程为 .
2 2

; (2)详见解析.

的单调性, 从而求

(II) 由(I)知, 令 从而当 故 当 在 , 时,函数 时, ; 得: 或 时, , .

单调递增,在 取得极大值,极大值为

单调递减.所以 .

点睛:本题考查函数的单调性极值及恒成立问题,涉及函数不等式的证明,综合性强,难 度大,属于难题.处理导数大题时,一般涉及求函数单调性及极值时,比较容易入手,求导 后注意分类讨论,对于恒成立问题一般要分离参数,然后利用函数导数求函数的最大值或 最小值,对于含有不等式的函数问题,一般要构造函数,利用函数的单调性来解决,但涉

及技巧比较多,需要多加体会. 20.已知函数 (1)求 (2)若对 的值及函数 在 的单调区间; 恒成立,求 的取值范围. 与 处都取得极值.

,不等式

【答案】(1) 【解析】 【分析】 求出 并令



的减区间为

,增区间为

;(2)

.

得到方程, 把



代入即可求出

的值, 判断出导函数的符号,

即可得到函数的单调区间 求出函数的最大值为 范围 【详解】(1)f′(x)=3x +2ax+b,由题意得 即
2

,要使不等式恒成立,即要证明

,即可求出 的取值

解得

∴f(x)=x3- x2-6x+c,f′(x)=3x2-3x-6. 令 f′(x)<0,解得-1<x<2; 令 f′(x)>0,解得 x<-1 或 x>2. ∴f(x)的减区间为(-1,2),增区间为(-∞,-1),(2,+∞). (2)由(1)知,f(x)在(-∞,-1)上单调递增;在(-1,2)上单调递减;在(2,+∞)上单调递 增. ∴x∈[-2,3]时,f(x)的最大值即为 f(-1)与 f(3)中的较大者.

f(-1)= +c,f(3)=- +c.
∴当 x=-1 时,f(x)取得最大值. 要使 f(x)+ c<c2, 只需 c2>f(-1)+ c,

即 2c >7+5c,解得 c<-1 或 c> . ∴c 的取值范围为(-∞,-1)∪( ,+∞). 【点睛】本题主要考查了学生利用导数求函数极值的能力,利用导数研究函数单调性的能力, 以及对不等式证明方法的掌握,属于中档题。 21.已知函数 (1)若 (2)若 (3)若 求函数 求函数 . 的极值,并指出极大值还是极小值; 在 上的最值; 上,函数 ;(2) 的图象在 的图象下方.

2

求证:在区间

【答案】(1) 极小值 【解析】 【分析】 代入 代入 代入 令 ,从而化简 ,从而化简 ,函数

;(3)证明解析.

并求出其定义域,再求导判断函数的单调性及极值即可 并求出其定义域,再求导判断函数的单调性及求函数的最值 图象的下方,可以转化为 ,利用导数求出 在 上恒成立,

的图象在

的最小值,只要最小值大于 ,即可证明

【详解】(1)当 a=-1 时,f(x)= x2-lnx 的定义域为(0,+∞),

f′(x)=x- =

.

故 f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数, 故 f(x)在 x=1 处取得极小值 f(1)= . (2)当 a=1 时,f(x)= x2+lnx 的定义域为(0,+∞),f′(x)=x+ >0; 故 f(x)在[1,e]上是增函数, 故 f(x)min=f(1)= ,f(x)max=f(e)= e2+1. (3)令 F(x)=g(x)-f(x)= x - x -lnx, 则 F′(x)=2x2-x- = ∵x∈[1,+∞), ,
3 2

∴F′(x)=

≥0,

∴F(x)在[1,+∞)上是增函数, 故 F(x)≥F(1)= - = >0, 故在区间[1,+∞)上,函数 f(x)的图象在 g(x)= x3 的图象下方. 【点睛】本题考查了导数的综合应用,同时考查了函数的图象和函数的性质的关系以及恒成 立问题,考查了转化能力,属于中档题。 22.已知函数 (1)求 的值; 且 时, . 曲线 在点 处的切线方程为 .

(2)证明:当

【答案】 (1)1,1; (2)证明见解析. 【解析】 【分析】 先对函数求导,利用切线方程求出切线的斜率及切点,利用函数在切点处的导数值为曲线 切线的斜率及切点也在曲线上,列出方程组,求出 的值

将不等式变形,构造新函数,求出新函数的导数,判断出导函数的符号,得到函数的单调 性,从而得证。

【详解】 (1)

由于直线

的斜率为

,且过点

,故



解得



.

(2)由(1)知 f(x)=

所以

考虑函数

则 h′(x)= 所以 x≠1 时 h′(x)<0 而 h(1)=0, 故x x 从而当 时 h(x)>0 可得 h(x)<0 可得 ,且 时, , , .

【点睛】本题考查了导函数的几何意义,在切点处的导数值为切线的斜率,考查了通过判断 导函数的符号判断出函数的单调性,通过求函数的最值证明不等式的恒成立,属于中档题。

没有平日的 失败, 就没有 最终的 成功。 重要的 是分析 失败原 因并吸 取教训 。


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