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3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示_图文

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第三章 空间向量与立体几何 探究一:空间向量基本定理 思考1:平面向量基本定理是什么? 如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线 向量,那么对于这一平面内的任意向量 a , 有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. B N e2 A e1 C a O M 思考2 : 设a, b, c是空间不共面的三个向 量, 作 OA ? a, OB ? b, OC ? c, OP ? p, 过点P作PM // CO, 交平面AOB于点M , 那么向量OM能用 向量OA, OB线性表示吗? C P O A OM ? xa ? yb B M 思考3 : 向量MP与向量OC的位置关系如何? 向量MP用向量OC如何表示? MP ? zOC C O A P B M 思考4 : 向量OP与OM , MP有什么关系?向量 OP与OA, OB, OC有什么关系? C P O A B M OP ? OM ? MP OP ? xOA ? yOB ? zOC 思考6:上述分析表明什么结论?如何 用适当的语言阐述? 若向量 a , b , c 不共面,则对空间任一 向量 p ,存在有序实数组 {x ,y ,z},使 得 p = x a + y b + z c. 注:上述结论叫空间向量基本定理,其 中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a, b , c 都叫做基向量 . 那么空间任意三 个向量都能构成一个基底吗? 零向量能 否作基向量?一个基底中的三个基向量 是否要起点相同? 空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底. 思考5:以{a,b,c}为基底,空间所有 向量组成的集合如何表示? { p| p=xa+yb+zc,x,y,z∈R } 思考6:对于基底{a,b,c},设 p=xa +yb+zc,当x,y,z至少一个为0时, 向量p的位置分别如何? 探究二:空间向量的坐标表示 思考1:什么是平面向量的坐标表示? 在平面直角坐标 系中,分别取与x轴y 轴方向相同的两个 单位向量 i 、 j 作为基 底 , 若 a = xi + yj , 则把有序数对(x,y) 叫做向量a的坐标, 记作a=(x,y). y B a a P A x j O i 若将向量a的起 点移到坐标原点, 则其终点坐标就是 向量a的坐标. y B a a P A x j O i 思考 2 :若空间向量的一个基底中的三 个基向量互相垂直,则称这个基底为正 交基底,若三个基向量是互相垂直的单 位向量,则称这个基底为单位正交基底 在哪些空间图形中能找到正交基底? D′ A′ D A B B′ C C′ 思考3:设e1,e2,e3为有公共起点 O的 单位正交基底,分别以 e1 , e2 , e3 的方 向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间 直角坐标系Oxyz. 对于空间任意一个向 量p,用基底{e1,e2,e3}可以怎样表示. z p e3 e2 e1 x O y p=xe1+ye2+ze3 思考4:若p=xe1+ye2+ze3则把x,y,z 称为向量p在单位正交基底e1,e2,e3下 的坐标,记作p=(x,y,z). 对一个给 定的向量 p ,其坐标惟一吗?相等向量 C 的坐标相等吗? l (x,y,z) z p B e3 e1 O A e2 y M x 思考5 : 若向量 p ? ( x, y, z ), 作OP ? p, 则点P的坐标 是什么? l z C P?x, y, z ? M p B e3 e1 A e2 O y x 例题讲解 例1. 如图,在长方体OABC-D′A′B′C′中,建 立 空 间 直 角 坐 标 系, ,?|OC|=4 , |OA |=3 ???? ? ???? ??? ?若 ???? |OD′|=2,写出向量 AB, AC, AC ' , AD' 的坐标. z D′ ? 2 ? B′ k j A′ ? 3i O 4 x A B C′ C y ??? ? AC ? (?3, 4,0) ???? ? ' AC ? (?3, 4, 2) ???? ? ' AD ? (?3,0, 2) ??? ? AB ? (0, 4,0) 例2.如图, M , N分别是四面体 OABC的边OA, BC的 中点, P, Q是MN的三等分点 , 用向量OA, OB, OC表 示OP和OQ. O M A Q P B N 1 1 1 OP ? OA ? OB ? OC 6 3 3 C 1 1 1 OQ ? OA ? OB ? OC 3 6 6 课堂小结 1. 空间向量基本定理表明,空间任意一个 向量都可以用三个不共面的向量线性表示, 并且基向量的系数是惟一的,它是平面向 量基本定理的推广,也是空间向量的合成 与分解原理. 2. 把空间向量放到空间直角坐标系中进行 研究,向量可以用坐标表示,从而使空间 向量的几何运算转化为坐标运算. 课后作业 每一个成功者都有一个开始。 能找到成功的路。 勇于开始,才 基础训练

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