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高中新课标数学数列考点专项训练教师版

时间:2013-06-20


高中新课标数学数列考点专项训练
1.公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 = (A) 1 【答案】A (B)2 (C) 4 (D)8

2 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a5 ? 22 ? a5 ? 1

2.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,,则 Sn ? (A) 2
n ?1
n ?1 (B) ( )

3 2

n ?1 (C) ( )

2 3

(D)

1 2 n ?1

【答案】B 【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用。 【解析】由 Sn ? 2an?1 可知,当 n ? 1 时得 a2 ? 当 n ? 2 时,有 Sn ? 2an?1 ① Sn?1 ? 2an

1 1 S1 ? 2 2



①-②可得 an ? 2an?1 ? 2an 即 an ?1 ?

3 1 3 an ,故该数列是从第二项起以 为首项,以 为 2 2 2

?1 ( n ? 1) ? 公比的等比数列,故数列通项公式为 an ? ? 1 3 , n?2 ( n ? 2) ? ( ) ?2 2

1 3 (1 ? ( ) n ?1 ) 3 2 ? ( )n ?1 故当 n ? 2 时, Sn ? 1 ? 2 3 2 1? 2 3 1?1 当 n ? 1 时, S1 ? 1 ? ( ) ,故选答案 B 2
3.数列{an}满足 an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前 60 项和为 (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830 【答案】D 【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力,是难题. 【解析】 【法 1】有题设知 a2 ? a1 =1,① a3 ? a2 =3 ② a4 ? a3 =5 ③ a5 ? a4 =7, a6 ? a5 =9,

a7 ? a6 =11, a8 ? a7 =13, a9 ? a8 =15, a10 ? a9 =17, a11 ? a10 =19, a12 ? a11 ? 21 ,
…… ∴②-①得 a1 ? a3 =2, ③+②得 a4 ? a2 =8, 同理可得 a5 ? a7 =2,a6 ? a8 =24,a9 ? a11 =2,

a10 ? a12 =40,…, ∴ a1 ? a3 ,a5 ? a7 ,a9 ? a11 , …, 是各项均为 2 的常数列,a2 ? a4 ,a6 ? a8 ,a10 ? a12 , …
是首项为 8,公差为 16 的等差数列,

∴{ an }的前 60 项和为 15 ? 2 ? 15 ? 8 ? 【法 2】可证明:

1 ?16 ?15 ?14 =1830. 2

bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16
b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 10 ? S15 ? 10 ? 15 ?
4.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10= (A) 12 【答案】B 【解析】 ? a4 ? a8 ? (a1 ? 3d ) ? (a1 ? 7d ) ? 2a1 ? 10d , (B) 16 (C) 20 (D)24

15 ?14 ? 16 ? 1830 2

a2 ? a10 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 9d ) ? 2a1 ? 10d ,?a2 ? a10 ? a4 ? a8 ? 16 ,故选 B
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题。 5.数列{an}的通项公式 a n ? cos

n? ,其前 n 项和为 Sn,则 S2012 等于 2

A.1006 B.2012 C.503 D.0 【答案】A. 考点:数列和三角函数的周期性。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和,所以先要找出周期,然后分组 计算和。 解答: a 4 n ?1 ? ( 4n ? 1) ? cos

a4 n ?2 a 4 n ?3 a4 n ?4

( 4n ? 1)? ? ? ( 4n ? 1) ? cos ? 0 , 2 2 ( 4n ? 2)? ? ( 4n ? 2) ? cos ? ( 4n ? 2) ? cos ? ? ?( 4n ? 2) , 2 ( 4n ? 3)? 3? ? ( 4n ? 3) ? cos ? ( 4n ? 3) ? cos ?0, 2 2 ( 4n ? 4)? ? ( 4n ? 4) ? cos ? ( 4n ? 4) ? cos 2? ? 4n ? 4 , 2

所以 a4 n ?1 ? a4 n ?2 ? a4 n ?3 ? a4 n ?4 ? 2 。 即 S 2012 ?

2012 ? 2 ? 1006 。 4

6.已知为等比数列,下面结论种正确的是
2 2 2 (A)a1+a3≥2a2 (B) a1 (C)若 a1=a3,则 a1=a2(D)若 a3>a1,则 a4> ? a3 ? 2a2

a2 【答案】B 【解析】 当 a1 ? 0, q ? 0 时, 可知 a1 ? 0, a3 ? 0, a2 ? 0 , 所以 A 选项错误; 当 q ? ?1 时,

C 选项错误;当 q ? 0 时, a3 ? a2 ? a3q ? a1q ? a4 ? a2 ,与 D 选项矛盾。因此根据均 值定理可知 B 选项正确。 【考点定位】 本小题主要考查的是等比数列的基本概念, 其中还涉及了均值不等式的知识, 如果对于等比数列的基本概念(公比的符号问题)理解不清,也容易错选,当然最好选择 题用排除法来做。 7.首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4 ? 【答案】15

1 ? 24 ? 15 【解析】 : S4 ? 1? 2
【考点定位】本题考查等比数列的前 n 项和公式 8.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=_______ 【答案】 ? 2 【命题意图】本题主要考查等比数列 n 项和公式,是简单题. 【解析】当 q =1 时, S3 = 3a1 , S2 = 2a1 ,由 S3+3S2=0 得, 9a1 =0,∴ a1 =0 与{ an } 是等比数列矛盾,故 q ≠1,由 S3+3S2=0 得,

a1 (1 ? q3 ) 3a1 (1 ? q 2 ) ? ? 0 ,解得 q =-2. 1? q 1? q
都有 an+2+an+

9.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1。若 a1=1,且对任意的
1-2an=0,则

S5=_________________。 【答案】11 【解析】由已知可得公比 q=-2,则 a1=1 可得 S5。 10.已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1 ? 【答案】 a2 ? 1 , Sn ?

1 ,S2=a3,则 a2=______,Sn=_______。 2

1 2 1 n ? n 4 4

【解析】 所以 a1 ? a1 ? d ? a1 ? 2d ? d ? ? S2 ? a3 ,

1 1 ? a2 ? a1 ? d ? 1 ,S n ? n(n ? 1) 。 2 4
.

【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算, 考查通项公式和前 n 项和公式的计算。 11.若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? 【答案】

1 2 ,则 a1a3 a5 ? 2

1 4 1 1 1 2 2 4 ? a3 ? , a1a3 a5 ? a3 ? 2 2 4

a2 a4 ?

2 12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n ? n ,n∈N﹡,数列{bn}满足 an=4log2bn

+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn.

【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念,通项公式以及求和公式等基础知 识,同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力。 【解析】

(1) 由 Sn= 2n2 ? n ,得
当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;
2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? n ? ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡.

由 an=4log2bn+3,得 bn ? 2n ? 1,n∈N﹡.

(2)由(1)知 anbn ? (4n ?1) ? 2n?1 ,n∈N﹡
所以 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ?11? 2 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2
2 n?1



2Tn ? 3? 2 ? 7 ? 22 ?11? 23 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n , 2Tn ? Tn ? ? 4n ?1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n?1 )]
? (4n ? 5)2n ? 5
Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡.
13.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 常数 ? ? 0 , 且 ?a1an ? S1 ? Sn 对一切正整数 n 都成立。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg [解析]取 n=1,得 ?a 1 ? 2s1 ? 2a1 , a1 (?a1 ? 2) ? 0 若 a1=0,则 s1=0, 当 n ? 2时,a n ? sn ? sn?1 ? 0, 所以a n ? 0 若 a1 ? 0,则 a1 ?

1 } 的前 n 项和最大? an

2

?

,

2a n ? 当 n ? 2时,

2

?

? s n , 2a n ?1 ?

2

?

? s n ?1 ,

上述两个式子相减得:an=2an-1,所以数列{an}是等比数列 综上,若 a1 = 0,

则a n ? 0
2n

若 a1 ? 0,则a n ?

?

…………………………………………7 分

(2)当 a1>0,且 ? ? 100 时,令bn ? lg

1 , 所以,bn ? 2 ? n lg 2 an

所以,{bn}单调递减的等差数列(公差为-lg2) 则 b1>b2>b3>…>b6= lg

100 100 ? lg ? lg 1 ? 0 6 64 2

当 n≥7 时,bn≤b7= lg

100 100 ? lg ? lg1 ? 0 7 128 2

故数列{lg

1 }的前 6 项的和最大. …………………………12 分 an

14.已知 {an } 为等差数列, 且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12,(Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值。 【解析】 (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ? 所以 a2k ? a1Sk ?2

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2
,即

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,

从而 (2k )2 ? 2(k ? 2)(k ? 3)

k 2 ? 5k ? 6 ? 0

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去) ,因此 k ? 6 。 15.已知等比数列 ?an ? 的公比为 q=(1)若

1 . 2

a

3

=

1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和; 4

(Ⅱ)证明:对任意 k ? N ? ,

a

k



a

k ?2



a

k ?1

成等差数列。

【答案】 : (Ⅰ) an ? 2 n (Ⅱ) k ? 6 【解析】 : : (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ? 所以 a2k ? a1Sk ?2

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2
2

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,

从而 (2k ) ? 2(k ? 2)(k ? 3)

,即

k 2 ? 5k ? 6 ? 0

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去) ,因此 k ? 6 。 16.已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ)求等差数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a 2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和. 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,

?3a ? 3d ? ?3, ?a ? 2, ?a ? ?4, 由题意得 ? 1 解得 ? 1 或? 1 ?d ? ?3, ?d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8.

所以由等差数列通项公式可得
an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 .

故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条 件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3.

记数列 {| an |} 的前 n 项和为 Sn . 当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时,
Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)

?5?

(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2

n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 n ? n ? 10, n ? 1. ? ?2 2
【解析】本题考查等差数列的通项,求和,分段函数的应用等;考查分类讨论的数学思想 以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式 an ? a1 ? ? n ?1? d 求解;有时需 要利用等差数列的定义: an ? an?1 ? c ( c 为常数)或等比数列的定义:

an ? c ' ( c ' 为常 an ?1

数, c ' ? 0 )来判断该数列是等差数列或等比数列,然后再求解通项;有些数列本身不是等 差数列或等比数列,但它含有无数项却是等差数列或等比数列,这时求通项或求和都需要 分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质. 17. 已 知 { } 是 等 差 数 列 , 其 前 { } 是 等 比 数 列 , 且 = =2, n 项 和 为 Sn ,

a4 ? b4 ? 27 ,-=10
(I)求数列{ }与{ }的通项公式; (II)记 = ++ +?. + , ∈ , 证明 ? = ? ?, (n∈ ,n>2) 。 【解析】(Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d ,数列 {bn } 的公比为 q ;

?a4 ? b4 ? 27 ? 2 ? 3d ? 2q3 ? 27 ?d ? 3 则 ? ?? ? ? 3 ? S4 ? b4 ? 10 ?4a1 ? 6d ? 2q ? 10 ?q ? 2

得: an ? 3n ?1, bn ? 2n (Ⅱ) ak bk ? (3k ?1) ? 2k ? (3k ? 4) ? 2k ?1 ? (3k ? 7) ? 2k ? ck ?1 ? ck (k ? N * )

Tn ? (c2 ? c1 ) ? (c3 ? c2 ) ? ?? (cn?1 ? cn ) ? cn?1 ? c1 ? (3n ? 4) ? 2n?1 ? 8
当 n ? 2 时, Tn ? 8 ? an?1bn?1 18.已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N* ,将数列 {an } 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项 和 Sm .
?5a ? 10d ? 105, 【答案】 (I)由已知得: ? 1 ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

解得 a1 ? 7, d ? 7 , 所以通项公式为 an ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n . (II)由 an ? 7n ? 72m ,得 n ? 72m?1 , 即 bm ? 72m?1 . ∵
bk ?1 7 2 m ?1 ? 2 m ?1 ? 49 , bk 7

∴ {bm } 是公比为 49 的等比数列, ∴ Sm ?

7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) . 1 ? 49 48

19.已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式。

n?2 an 。 3

【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用。 解: (1)由 a1 ? 1 与 S n ?

n?2 an 可得 3


2?2 a2 ? a1 ? a2 ? a2 ? 3a1 ? 3 3 3? 2 2 S3 ? a3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a3 ? a1 ? a2 ? 4 ? a3 ? 6 3 3 S2 ?
故所求 a2 , a3 的值分别为 3, 6 。

n?2 n ?1 an ① Sn ?1 ? an ?1 ② 3 3 n?2 n ?1 an ? an ?1 即 ①-②可得 S n ? S n ?1 ? 3 3
(2)当 n ? 2 时, S n ?

an ?

a n?2 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 an ? an?1 ? an ? an ?1 ? n ? 3 3 3 3 an?1 n ? 1

故有 an ?

an an?1 a n ?1 n 3 n2 ? n ? ??? 2 ? a1 ? ? ??? ?1 ? an?1 an?2 a1 n ?1 n ? 2 1 2



12 ? 1 n2 ? n ? 1 ? a1 ,所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 2

【点评】试题出题比较直接,没有什么隐含的条件,只要充分发挥利用通项公式和前 和的关系式变形就可以得到结论。

n项

20.设数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,数列 ?Sn ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N .
*

(1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式. 【答案】 【解析】 (1)当 n ? 1 时, T1 ? 2S1 ? 1。 因为 T1 ? S1 ? a1 ,所以 a1 ? 2a1 ? 1,求得 a1 ? 1 。 (2)当 n ? 2 时, Sn ? Tn ? Tn?1 ? 2Sn ? n2 ? [2Sn?1 ? (n ?1)2 ] ? 2Sn ? 2Sn?1 ? 2n ? 1 , 所以 Sn ? 2Sn?1 ? 2 n? 1 ① 所以 Sn?1 ? 2Sn ? 2 n? 1 ② ② ? ①得 an?1 ? 2an ? 2 , 所以 an?1 ? 2 ? 2 a ( n ? 2,即 )

an?1 ? 2 , ? 2 (n ? 2 ) an ? 2 a2 ? 2 ? 2。 a1 ? 2

求得 a1 ? 2 ? 3 , a2 ? 2 ? 6 ,则

所以 ?an ? 2? 是以 3 为首项,2 为公比的等比数列,
n ?1 所以 an ? 2 ? 3 ? 2 ,

n?1 所以 an ? 3 ? 2 , n ? N* 。 ?2

21. 已知数列 {an } 为等差数列,且 a1 ? 1 , a5 ? 5 ;设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,且

bn ? 2 ? Sn .
(Ⅰ)求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ? an ? bn (n ? 1, 2,3,…), Tn 为数列 {cn } 的前 n 项和,求 Tn . 解:(Ⅰ)由 bn ? 2 ? Sn , 令n ? 1, 则b1 ? 2 ? S1 , 又S1 ? b1 , 所以b1 ? 1 …………1 分

当n ? 2时,由bn ? 2 ? Sn , 可得bn ? bn?1 ? ?(Sn ? Sn?1 ) ? ?bn ………………3 分 b 1 …………………………………………4 分 即 n ? , bn ?1 2
1 1 所以?bn ? 是以b1 ? 1为首项, 为公比的等比数列,于是bn ? n ?1 . …………………6 分 2 2 (Ⅱ)数列 {an } 为等差数列,公差 d ? 1 ,可得 an ? n ……………………8 分
从而 c n ? a n ? bn ? n ? ∴ Tn ? 1 ?

1 2 n ?1



………………………9 分

2 3 n ? 2 ? ??? ? n ?1 2 2 2 1 1 2 n ?1 n Tn ? ? 2 ? ?? ? n ?1 ? n 2 2 2 2 2

1 ) n 1 1 1 1 n n 2 ∴ Tn ? 1 ? ? 2 ? ?? ? n ?1 ? n ? ? n 1 2 2 2 2 2 2 1? 2 2 n n?2 =2? n ? n ? 2? . ………………………………11 分 2 2 2n n?2 从而. Tn ? 4 ? n ?1 . ………………………………12 分 2 1(1 ?
22. 已知公差大于零的等差数列 ?an ? ,

a2 ? a3 ? a4 ? 9, 且 a2 ? 1, a3 ? 3, a4 ? 8 为等比数列

?bn ? 的前三项.
(1)求 ?an ? ,?bn ? 的通项公式; (2)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求 解: (1)由a2 ? a3 ? a4 ? 9

1 1 1 1 ? ? ? ...... ? . S1 S2 S3 Sn
………………2 分

? a3 ? 3

设等差数列的首项为a1,公差为d , 且d ? o

由 a2 ? 1, a3 ? 3, a4 ? 8 成等比数列, ? 36 ? (4 ? d )(11 ? d ) 即: d 2 ? 7d ? 8 ? 0 解得: d ? 1, d ? ?8(舍) 则?b1 ? 3, q ? 2 (2) 由S n ? ……………………………………3 分

? an ? n

……………………………5 分 ………………………7 分 ………………9 分

? bn ? 3 ? 2n?1

n(n ? 1) 2

?

2n 1 1 1 1 2 2 2 2 = ? ? ? ...... ? ? ? ? ? ...... ? S1 S2 S3 Sn 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n ? (n ? 1) n ? 1

……12 分

23.已知{an}是等差数列,a1=3, Sn 是其前 n 项和,在各项均为正数的等比数列{bn}中, b1=1 且 b2+S2=1O, S5 =5b3+3a2.

(I )求数列{an}, {bn}的通项公式;
(II)设 c n ?

2 3 ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求证 Tn ? Sn 2

解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q, ? b1 ? q ? 2a1 ? d ? 10, ? 由题意可得: ? 5? 4 5a1 ? ? d ? 5b1q 2 ? 3(a1 ? d ), ? 2 ?

17 (舍),d=2. 5 ∴ 数列 {an}的通项公式是 an=2n+1,数列{bn}的通项公式是 bn ? 2n?1 . …7 分 2 1 1 n(3 ? 2n ? 1) ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 Sn ? , ? n2 ? 2n ,于是 cn ? Sn n n ? 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?1? ? ? 3 2 4 3 5 n n?2 2 n ?1 n ? 2 3 1 1 3 < . …………12 分 ? ? ? 2 n ?1 n ? 2 2
解得 q=2 或 q= ? 24.已知各项均不相等的等差数列{ an }的前四 项和为 S4=14,且 a1 , a3 , a7 成等比。 (1)求数列 { an }的通项公式; (2)设 Tn 为 数列 ? 的最小值。

?

1 ? * ? 的前 n 项和,若 Tn ? ?an?1 ,对一切 n ? N 恒成立,求实数 ? a a ? n n ?1 ?

25.在数 列 ?an ? 中,a1 ? 1, an?1 ? an ? c(c 为常数,n ? N ? ) ,且 a1 , a2 , a5 成公比不等于 1 的等比数列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . an an ?1
…..(2 分)

解: (Ⅰ)∵ an?1 ? an ? c, a ? 1, c 为常数,∴ an ? 1 ? (n ? 1)c ∴ a2 ? 1 ? c, a5 ? 1 ? 4c .

2 又 a1 , a2 , a5 成等比数列,∴ (1 ? c) ? 1 ? 4c ,解得 c ? 0 或 c ? 2

….(4 分)

当 c ? 0 时, a n ?1 ? a n 不合题意,舍去. ∴ c ? 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 2n ? 1 ∴ bn ?

……………..(5 分)

……………………(6 分)

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

…………………(9 分)

∴ S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? ?
…(12 分)

?

1 1 n (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1

26.已知向量 p ? (an ,2 ), q ? (2
n

? ?

?

n?1

?? ? , ?an?1), n ? N * , 向量 p 与 q 垂直,且 a1 ? 1.

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 满足 bn ? log2 an ? 1 ,求数列 ?an ? bn ? 的前 解(1)? 向量 p 与 q 垂直

n 项和 Sn .

??

?

?2n an?1 ? 2n?1 an ? 0, 即?2n an?1 ? 2n?1 an
?

…………2 分

an ?1 ? 2 ??an ? 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列…………4 分 an
…………5 分

? an ? 2n?1 。

(2)?bn ? log2 a2 ? 1 ,?bn ? n

?an ? bn ? n ? 2n?1 ,

…………8 分

? Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ?? n ? 2n?1, ……①

?2Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ?? n ? 2n , ……②
? 由①— ②得,

………10 分

? Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ?

1 ? 2n ? n ? 2n ? (1 ? n)2n ? 1 ……12 分 1? 2

? Sn ? 1 ? (n ? 1)2n ? n ? 2n?1 ? 1 ? (n ?1)2n

………14 分

27.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,数列 {S n ? 1} 是公比为 2 的等比数列, a2 是 a1 和 a3 的 等比中项. (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 nan 的前 n 项和 Tn . (本小题主要考查数列、 数列求和等知识, 考查化归与转化、 分类与整合的数 学思想方法, 以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

? ?

(2)解:∵ nan ? n? 2

n ?1


1

∴ Tn ? 1 ? 1 ? 2?

2?

? 3

2

1 . ① 2 ? ? ? n? n ? 2

…………… 9 分 …………… 10

2 Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n? 2n .②
分 ① ? ②得 ?Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 n ?1

? n? 2n

…………… 11 分

?


1 ? 2n ? n?2n 1? 2

…………… 12

? ?1 ? n ??2n ? 1 .
分 ∴ Tn ?

…………… 13

? n ? 1??2

n

? 1.

…………… 14 分

28.已知等比数列{a n }满足 a1 a 2 ? ? , a3 ?

1 3

1 9

(

(I) 求{a n }的通项公式; (II) 设 bn ?

bn n ?1 n ?1 n ?1 ? ? ... ? ,求数列 { } 的前 n 项的和. 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) an
n-1

解: (Ⅰ)设 an=a1q
1 2 2 1

,依题意,有

?a a =a q=- 31, 1 解得 a =1,q=- . ? 1 3 a =a q = , ? 9
1 2 3 1

…4 分

所以 an=(- (Ⅱ )bn=

1 n-1 ) . 3

…5 分

n+1 n+1 n+1 1 1 1 + +…+ =(n+1)[ + +…+ 1×2 2×3 n(n+1) 1×2 2×3 n(n+1)] 1 1 1 1 1 +( - )+…+( - =n. ) 2 2 3 n n+1)] …7

=(n+1)[(1- 分

bn 记数列{ }的前 n 项的和为 Sn,则 an Sn=1+2×(-3)+3×(-3) +…+n×(-3)
2 3 2 n-1


n

-3Sn=-3+2×(-3) +3×(-3) +…+n×(-3) , 两式相减,得 4Sn=1+(-3)+(-3) +…+(-3)
1-(4n+1)(-3)n 故 Sn= . 16
2 n-1

1-(-3) n n -n× (-3) = -n × (-3) , 4
…12 分

n

29.已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足 a1 ? 2, 2an ? 1 ? an an?1 ,? bn ? an ? 1, bn ? 0 ⑴求证数列 {

1 } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; bn

⑵令 c n ?

1 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn , bn 2 n

解.? bn ? an ? 1,?an ? bn ? 1. 又 ? 2an ? 1 ? anan?1 ?2(bn ? 1) ? 1 ? (bn ? 1)(bn?1 ? 1) 化简得: bn ? bn ?1 ? bnbn?1 ………………………………………………………2 分
[来源:21 世纪教育网]

? bn ? 0,?

bn b 1 1 1 1 1 ? n ?1 ? 1 即 ? ? 1(n ? N*) 又 ? ? ?1 bnbn ?1 bnbn ?1 bn ?1 bn b1 a1 ? 1 2 ? 1

1 1 1 1 为公差的等差数列.………5 分? ? 1 ? (n ? 1) × 1 ? n,? bn ? ?{ } 是以 1 为首项 , n bn bn

? an ?

1 n ?1 ?1 ? …………………7 分 n n
Tn=
1
1 2
1

n (Ⅱ)由(Ⅰ)知,Cn= n . 2 1 2 1 2 2 2
2

?

n 1 2 n 1 …… n ①, Tn= 2 ? 3 …… n ?1 ②… …10 分 2 2 2 2 2 2
2

2

①-②得:

Tn=

?



1 2
n

?

n 2
n ?1

? 2

(1 ?

) n 2 ? n ? 1 ? 1 ? n ? 1 ? n ? 2 …12 分 n ?1 n ?1 n n ?1 1 2 2 2 2 1? 2

1

∴Tn=2-

n?2 n . …13 分 2

30.已知数列{an}满足:a1=1, nan ?1 =2(n 十 1)an+n(n+1) , ( n? N* ) , (I)若 bn ?

an ? 1 ,试证明数列{bn}为等 比数列; n

(II)求数列{an}的通项公式 an 与前 n 项和 Sn.

∴ S n ? (n ? 1) ? 2
21 世纪教育网

n ?1

?2?

n(n ? 1) . 2

………12 分

31.已知数列{an}的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,且 an ? 2 Sn -1, n ? N * , 数列

1 b1 , b2 ? b1 , b3 ? b2 ……, bn ? bn?1 是首项为 1,公比为 的等比数列。 2
(I)求证:数列{an}是等差数列; (II)若 cn ? anbn ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn。

32.已知各项均为正数的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,a1 ? 3, S3 ? 39. (1) 求数列 {an } 通 项公 式; (2)若在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使得这 n ? 2 个数组成一个公差为 dn 的等差 数列, 求证:

1 1 1 5 ? ?…? ? 。 d1 d 2 dn 8

解: (Ⅰ)? a1 ? 3, S3 ? 39,? q ? 1

?

3 1 - q3 ? 39 1? q

?

?

?1 ? q ? q 2 ? 13, q 2 ? q ?12 ? 0
?q ? 3
故 an ? 3n ………………………………………………………………6 分


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