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精品高中数学1-2点线面之间的位置关系1-2-2空间中的平行关系2课堂探究新人教B版必修2

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免费会员专享精品 【最新】2019 年高中数学 1-2 点线面之间的位置关系 1-2-2 空间中的平行关系 2 课堂探究新人教 B 版必修 2 课堂探究 探究一 平面与平面平行的判定定理 平面与平面平行判定的四种常用证明方法: (1)(定义法)证明两个平面没有公共点,通常采用反证法. (2)(利用判定定理)一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个 平面,证明时应遵循先找后作的原则,即先在一个平面内找到两条与 另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线. (3)(转化为线线平行)平面 α 内的两条相交直线与平面 β 内的两 条直线分别平行,则 α ∥β . (4)(利用平行平面的传递性)若 α ∥β ,β ∥γ ,则 α ∥γ . 【典型例题 1】 如图所示,三棱柱 ABCA1B1C1,D 是 BC 上一点, 且 A1B∥平面 AC1D,D1 是 B1C1 的中点. 求证:平面 A1BD1∥平面 AC1D. 思路分析:由 A1B∥平面 AC1D? 平面 A1BC∩平面 AC1D = ED , A1B∥ED? D 为 BC 中点? 得出结论. 证明:如图所示,连接 A1C 交 AC1 于点 E, 因为四边形 A1ACC1 是平行四边形, 所以 E 是 A1C 的中点,连接 ED, 因为 A1B∥平面 AC1D, 1/5 免费会员专享精品 平面 A1BC∩平面 AC1D=ED, 所以 A1B∥ED. 因为 E 是 A1C 的中点, 所以 D 是 BC 的中点. 又因为 D1 是 B1C1 的中点, 所以 BD1∥C1D,A1D1∥AD. 又 A1D1∩BD1=D1,AD∩C1D=D, 所以平面 A1BD1∥平面 AC1D. 探究二 平面与平面平行的性质定理 1.平面与平面平行的性质定理实际给出了判定两条直线平行的一 种方法,应用时需要作(找)出第三个平面与已知的两个平行平面的交 线,从而说明两交线平行.类似于线面平行的性质定理,是以平面为 媒介证明线线平行的.该定理可以简单地概括为:面面平行 ? 线线平 行. 2.两个平面平行除了具有上述性质外,还有以下结论,这些结论 在证题中经常遇到. (1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任一直线均平行于 另一个平面. (2)夹在两个平行平面间的平行线段相等. (3)经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. (5)平行于同一平面的两个平面平行(即平行平面的传递性). 【典型例题 2】 如图,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E 为 CC1 的 2/5 免费会员专享精品 中点,求证:AC∥平面 DB1E. 证明:取 B1B 的中点 F,连接 EF,FC,FA, 因为 E,F 为中点, 所以 EFBC, 又因为 BCAD, 所以 EFAD, 所以四边形 EFAD 为平行四边形, 所以 AF∥DE, 又因为 E,F 为中点,且 C1CB1B, 有 CEB1F, 所以四边形 CEB1F 为平行四边形, 所以 B1E∥FC, 因为 B1E∩DE=E,CF∩AF=F, 所以平面 ACF∥平面 DB1E, 因为 AC? 平面 ACF, 所以 AC∥平面 DB1E. 【典型例题 3】 如图,已知 α ∥β ,点 P 是平面 α ,β 外的一 点(不在 α 与 β 之间),直线 PB,PD 分别与 α ,β 相交于点 A,B 和 C,D. (1)求证:AC∥BD. (2)已知 PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求 PD 的长. 解:(1)证明:因为 PB∩PD=P, 所以不妨设直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ ,则 α ∩γ = AC , 3/5 免费会员专享精品 β ∩γ =BD. 又 α ∥β ,所以 AC∥BD. (2)由(1)得 AC∥BD, 所以=,所以=, 所以 CD= (cm), P A A B P C C D 4 5 3 C D 1 5 4 2 7 4 所以 PD=PC+CD= (cm). 探究三 探索型问题 解探索型问题常用策略: (1)( 条件探索型 ) 所给问题结论明确,需要完备条件或条件需探 索,或条件增删需确定,或条件正误需判断. (2)(结论探索型)先探索结论再去证明,在探索过程中常先从特殊 情况入手,通过观察、分析、归纳进行猜测,得出结论,再就一般情 况去证明结论. 【典型例题 4】 如图所示,在四棱锥 P?ABCD 中,AB∥CD,E,F 分别为 PC,PD 的中点,在底面 ABCD 内是否存在点 Q,使平面 EFQ∥平 面 PAB?若存在,确定点 Q 的位置;若不存在,说明理由. 解:存在.点 Q 在底面 ABCD 的中位线 GH 上,理由如下: 取 AD,BC 的中点 G,H,连接 FG,HE,GH. 因为 F,G 分别为 DP,DA 的中点,所以 FG∥PA. 因为 FG 平面 PAB,PA? 平面 PAB, ? 所以 FG∥平面 PAB. 因为 AB∥CD,EF∥CD,EF∥AB, 4/5 免费会员专享精品 而 EF 平面 PAB,AB? 平面 PAB, ? 所以 EF∥平面 PAB. 因为 EF∩FG=F,所以平面 EFG∥平面 PAB. 又 GH∥CD,所以 GH∥EF. 所以平面 EFG 即平面 EFGH. 所以平面 EFGH∥平面 PAB. 又点 Q∈平面 ABCD,所以点 Q∈(平面 EFGH∩平面 ABCD).所以点 Q∈GH. 所以点 Q 在底面 ABCD 的中位线 GH 上. 5/5

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