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浙江省金华市东阳中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题

时间:2016-10-07


东阳中学 2015 年上学期期中考试卷 (高二 数学(文) )
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.

已知集合 A ? ?x 3x ? 2 ? 0? , B ? ?x ?x ? 1??x ? 3? ? 0? , 则A ? B ?
2? ? ? ? 1,? ? 3? B. ?
2





A. ?? ?,?1?

? 2 ? ? ? ,3 ? C. ? 3 ?

D. ?3,???

3 sin ? ? cos ? ? 0, 则
2.若

1 的值为 cos ? ? sin 2? 2 C. 3





10 A. 3

5 B. 3

D.-2 ( )

3.已知向量 a ? ?3,4?, b ? ?sin ? , cos? ?, 且a与b共线, 则tan? ?

4 A. 3
4.

?
B.

4 3

3 C. 4

?
D.

3 4
( )

设x1 , x2是方程ln x ? 2 ? m?m为实常数? 的两根, 则x1 ? x2的值为
B. 2 C. ? 4 D. 与m有关 (

A.4

5.在△ABC 中,已知 sinC=2sin(B+C)cosB,那么△ABC 一定是 A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 6. 设{an}是公差为正数的等差数列, 若 a1+a2+a3=15, a1a2a3=80, 则 A. 120 C.90 B.105 D.75

)

a1 ?a 2 1

? a 3 1

=(

)

? ? ?? 若? , ? ? ?? , ?, 且? sin ? ? ? sin ? ? 0, 则下面结论正确的是 ? 2 2? 7.
A. ? ? ? 8. B. ? ? ? ? 0 C. ? ? ? D. ? ? ?
2 2





向量a, b, c : a ? 1, b ? 2, c ? 3, a与b的夹角为 60? , 则 a ? b ? c 最小值为
B. 3 ? 3 C. 3 ? 7 D. 3 ? 7

(

)

A. 3 ? 3

二、填空题(9、10、11 题每题 6 分,12、13、14、15 每题 5 分,共 38 分)

-1-

?log3 x, x ? 0 ? ? 1 ?? f ?x ? ? ? x , 则f ? f ? ?? ? ? ? 9 ?? ?2 , x ? 0 9.已知函数
10.



函数y ? loga ( x ? 1) ? 2(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过一定点是___________.
1? x 2

1 f ( x) ? ( ) 3 11.函数
12.在等比数列 ;若

的单调增区间是___________,值域为



?an ?中, 前n项和为S n ,已知S1 , S3 , S2成等差数列 . 则 ?an ? 的公比q ?


a1 ? a3 ? 3, 则S n ?

13.在锐角三角形 ABC 中,∠BAC=45°,AD 为 BC 边上的高,且 BD=2,DC=3,则三角形 ABC 的面积是________. 14.用[x]表示不超过 x 的最大整数,如[0.78]=0,[3.01]=3,如果定义数列{xn}的通项公式为 n xn=[5](n∈N*),则 x1+x2+…+x5n=________. 15.在 ?ABC 中,已知 a ,b,c 是角 A、B、C 的对应边,则 ①若 a ? b ,则 f ( x) ? (sin A ? sin B) ? x 在 R 上是增函数; ②若 a ? b ? (a cos B ? b cos A) ,则 ? ABC 是 Rt? ;
2 2 2

③ cos C ? sin C 的最小值为 ? 2 ; ④若 cos 2 A ? cos 2 B ,则 A=B;

⑤若 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 ,则

A? B ?

3 ? 4 ,其中是真命题的序号是_____



三、解答题(16、17 题每题 15 分,18、19、20 题每题 14 分,共 72 分) 16.已知向量 m ? ( 3sin 2x ?1,cos x), n ? (1, 2cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n 。

??

?

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期及

x ? [0, ] 2 时的最大值;

?

? (2)把函数 f ( x ) 的图象向左平移 (? ? 0) 个单位,所得到的图象对应的函数为奇函数,求

? 的最小值。

-2-

17.数列 (1)

?an ?的前n项和记为Sn , a1 ? t,点?Sn , an?1 ?在直线y ? 3x ? 1上, n ? N ? .
?cn ?的前n项和, 求Tn . bn ? log4 an?1 , cn ? an ? bn , Tn是数列

当实数t为何值时 , 数列?an ?是等比数列 .

(2)在(1)的结论下,设

18.如图,在平面四边形 ABCD 中, ?A ? 90 , ?B ? 135 , ?C ? 60 , AB ? AD ,
? ? ?

M , N 分别是边 AD, CD 上的点,且 2 AM ? MD,2CN ? ND .将 ?ABD 沿
对角线 BD 折起,使平面 ABD ? 平面 BCD ,并连结 AC , MN . (如图 2) (Ⅰ) 证明: MN / / 平面 ABC ; (Ⅱ) 证明: AD ? BC ; (Ⅲ)求直线 BM 与平面 ACD 所成角的正弦值.

-3-

2 19.已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) ,点 E (2,1) ,若斜率为 2 的弦过点 E ,且以 E 为弦中点.

(1)求抛物线方程; (2)若 AB 是抛物线过点 C (0, ? 3) 的任一弦, 点 M 是抛物线准线与 x 轴的交点, 直线 AM , BM 分 别与抛物线交于 P, Q 两点,求证:直线 PQ 的斜率为定值,并求 | PQ | 的取值范围.

k ? ? ? x | x ? R, x ? , k ? Z ? f ( x ) 2 ? 20.已知函数 的定义域是 ?
且 f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 , (1)求证: f ( x ) 是奇函数;

f ( x ? 1) ? ?

1 1 0? x? x f ( x) ,当 2 时, f ( x) ? 3 .

(2)求 f ( x ) 在区间

1 (2k ? , 2k ? 1)(k ? 2 Z )上的解析式;

1 (2k ? , 2k ? 1) log3 f ( x) ? x2 ? kx ? 2k 有解? 2 (3)是否存在正整数 k ,使得当 x∈ 时,不等式
证明你的结论.

-4-

高二数学(文)答案: DACABBDD

1 9. 4

10. ?2,2?

?1 ? ? ,1? 11. ?0,1? , ? 3 ?

n 1 8? ? 1? ? ? ; ?1 ? ? ? ? ? 2 3? ? ? 2? ? ? 12.

13.15 15.(1)(2)(4)

5 3 14.2n2-2n 三、16.

(1) f ( x) ? 3 sin 2x ? 1 ? 2 cos x
2

? 2 sin( 2 x ?

?

) 6 。 T? 2? ?? 2 。

最小正周期为

? ? ? 7? ? ? ? x ? [0, ],? 2 x ? ? [ , ] 2x ? ? 2 6 6 6 ,因此当 6 2 时 f max ? 2 。
f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 2? ?
(2)图像平移后解析式为

?

) 6 为奇函数,

? 2? ?

?
6

? k? , (k ? Z )

5? ?? ? 0 ,? k ? 1 时 ? 最小值为 12 。

17.解: (1)

an?1 ? 3S n ? 1, 则an ? 3S n?1 ? 1(n ? 1),作差可得an?1 ? 4an

?an ?为等比数列. 又a2 ? 3S1 ? 1 ? 3t ? 1, 故t ? 1时数列
(2)可得

an ? 4n?1 , bn ? n, 则cn ? 4n?1 ? n

Tn ?

4 n ? 1 n?1 ? n ? ? 3 2

3 18. (3) 5
2 2 19.(1) y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 , ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 2 p( x1 ? x2 ) ,

-5-

y1 ? y2 2p ? ?p x1 ? x2 y1 ? y2
(2)设

2 ,得 p ? 2 ,抛物线方程为 y ? 4 x

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,AB 方程: m( y ? 3) ? x ,代入 y 2 ? 4 x ,

y 2 ? 4my ?12m ? 0 , ? ? 0, m ? ?3, m ? 0 y1 ? y2 ? 4m, y1 ? y2 ? ?12m ,
点 M (?1, 0) ,直线 AM:

y?

y1 ( x ? 1) x1 ? 1

y1 ? ? y ? x ? 1 ( x ? 1) 1 ? ? y2 ? 4x ?

y2 ? 4 ?


x1 ? 1 y?4?0 ? y1 y p ? 4, y1 ,

yp ?

4 y1

P(


4 4 4 4 , ), Q( 2 , ) 2 y 1 y1 y 2 y2
4 y2 yy ?12m ? 1 2 ? ? ?3 4 y1 ? y2 4m y 22

k PQ

4 ? y1 ? 4 ? y 21

| PQ |? 1 ?

1 4 10 3 | yP ? yQ |? 1? 2 k 9 m
| PQ |? (0, 4 10 4 10 )?( , ??) 9 9

由 ? ? 0, m ? ?3, m ? 0 ,

f ( x ? 1) ? ?
20.(1) 由

1 1 f ( x ? 2) ? ? ? f ( x) f ( x) 得 f ( x ? 1) ,

由 f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 得 f ( x) ? f (? x) ? 0 , 故 f ( x ) 是奇函数.

1 1 ? x ? (0, ) 1? x 2 ,? f (1 ? x) ? 3 。 (2)当 x∈时,

f (1 ? x) ? ?


1 1 ? f (? x) f ( x) ,? f ( x) ? 3 x?1 。

-6-

1 1 (2k ? , 2k ? 1)(k ? x ? 2k ? ( ,1) x ?2 k ?1 2 2 ,? f ( x ? 2k ) ? 3 当 x∈ Z)时, ,
因此 f ( x) ? f ( x ? 2k ) ? 3 (3)不等式
2 x ?2 k ?1



log3 f ( x) ? x 2 ? kx ? 2k 即为 x ? 2k ? 1 ? x 2 ? kx ? 2k ,

即 x ? (k ? 1) x ? 1 ? 0 。

令 g ( x) ? x ? (k ? 1) x ? 1,对称轴为
2

x?

k ?1 1 ? 2k ? 2 2,

因此函数 g ( x) 在

1 (2k ? ,2k ? 1) 2 上单调递增。

1 1 1 1 1 g (2k ? ) ? (2k ? ) 2 ? (k ? 1)( 2k ? ) ? 1 ? (2k ? )( k ? ) ? 1 2 2 2 2 2 因为 ,又 k 为正整数, 1 1 g ( 2k ? ) ? 0 (2k ? ,2k ? 1) 2 2 2 所以 ,因此 x ? (k ? 1) x ? 1 ? 0 在 上恒成立,
因此不存在正整数 k 使不等式有解。

-7-


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